Péndulos (2011)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2011
Páginas 6
Fecha de subida 14/11/2014
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Ecuaciones y explicación de los diferentes tipos de péndulos

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FÍSICA PÉNDULOS Alberto Lendínez Grupo 2.2 1. El Péndulo Simple Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento.
Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en la siguiente imagen: El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que: La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante: Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple: .
Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo: Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un Movimiento Armónico Simple. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación: , con la ecuación obtenida anteriormente vemos que la pulsación es: donde T es el período, llegamos a: , y teniendo en cuenta que 2. El Péndulo Físico El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′. La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.
Llamaremos a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo: Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo: que podemos escribir en la forma que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación anterior adopta la forma que corresponde a un movimiento armónico simple.
El periodo de las oscilaciones es, entonces: 3. Péndulo de Torsión El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro).
Al aplicar un momento torsional M en el extremo inferior del hilo, éste experimenta una deformación de torsión. Dentro de los límites de validez de la ley de Hooke, el ángulo de torsión φ es directamente proporcional al momento torsional M aplicado, de modo que donde τ es el coeficiente de torsión del hilo o alambre de suspensión, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material. Para el caso de un hilo o alambre es siendo D el diámetro del alambre, l su longitud y G el módulo de rigidez del material que lo constituye.
Debido a la elasticidad del hilo (rigidez), aparecerá un momento recuperador igual y opuesto al momento torsional aplicado; cuando se haga desaparecer el momento torsional aplicado, el sistema se encontrará en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio de torsión, concomitante con las oscilaciones de rotación de la masa suspendida del hilo o alambre. Igualando el momento recuperador -τφ al producto del momento de inercia I del sistema por la aceleración angular α=d2φ/dt2, tenemos la ecuación diferencial del movimiento de rotación: que es formalmente idéntica a la ecuación.diferencial.correspondiente a un movimiento armónico simple. Así pues, las oscilaciones del péndulo de torsión son armónicas, y la frecuencia angular y el período de las mismas son ...