SFE_Proposat2 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

2. Teoria Cin` etica dels Gasos n Proposat: Distribuci´ o de Maxwell-Boltzmann.
Maxwell-Boltzmann, trobeu els seg¨ uents resultats: Utilitzant la distribuci´o de i) Èvx Í = Èvy Í = Èvz Í = 0 kB T 1 ii) Èvx2 Í = Èvy2 Í = Èvz2 Í = = Èv 2 Í m 3 Û iii) È|˛v |Í © ÈvÍ = Û iv) È|vi |Í = 8kB T fim 2kB T , i = x, y, z fim Soluci´ o: i) Sigui una distribuci´ o de probabilitat g(x) associada a una variable aleat`oria cont´ınua X, es definia el moment d’ordre k com: Èxk Í = ⁄ +Œ ≠Œ (0.169) xk g(x)dx.
En el nostre cas particular, g(x) ´es la distribuci´o de Maxwell-Boltzmann, g(˛v ) = 3 m 2fikB T 43/2 ≠ 2km T (vx2 +vy2 +vz2 ) e B (0.170) , ´ a dir, X © V = i la variable aleat` oria que ens interessa ´es la velocitat de la part´ıcula. Es {totes les possibles velocitats a les que es pot moure la part´ıcula}. El valor esperat ´es el moment d’ordre 1. Se segueix, Èvx Í = 3 m 2fikB T 43/2 ⁄ +Œ ≠Œ ≠ 2km T vx2 vx e B dvx ⁄ +Œ ≠ 2km T vy2 ≠Œ e B dvy ⁄ +Œ ≠ 2km T vz2 ≠Œ e B dvz .
(0.171) Clarament, la integral sobre vx ´es zero: es tracta de la integral d’una funci´o imparell en un interval sim`etric. Les integrals sobre vy i vz existeixen i s´on finites donat que l’integrand va a 0 quan |vi | æ Œ, i = y, z. Si calculam el valor esperat de vy o vz obtindrem el mateix. En conclusi´o, Èvx Í = Èvy Í = Èvz Í = 0 (0.172) El que ens v´e a dir aquest resultat ´es que hi ha equiprobabilitat en les components de la velocitat de la part´ıcula. Hi ha la mateixa probabilitat de que la part´ıcula tingui velocitat ≠vx que +vx ; ´Idem per a la resta de components.
ii) Calculem el moment d’ordre 2. Tenim el seg¨ uent: Èvx2 Í = 3 m 2fikB T 43/2 ⁄ +Œ ≠Œ ≠ m v2 vx2 e 2kB T x dvx 34 ⁄ +Œ ≠ 2km T vy2 ≠Œ e B dvy ⁄ +Œ ≠ 2km T vz2 ≠Œ e B dvz .
(0.173) Anant al “Schaum” veiem que les integrals anteriors, per un coeficient a gen`eric, donen ⁄ +Œ ≠Œ En el nostre cas, a = Èvx2 Í 2 x2 e≠ax dx = fi , 4a3 m , d’on resulta que 2kB T 3 43/2 3Ú a fi = Ú fi 4a3 ⁄ +Œ ≠Œ 4 3Ú 4 3Ú 4 fi a fi a = 2 e≠ax dx = Ú fi .
a 1 2kB T kB T = = .
2a 2m m (0.174) (0.175) Si ho feim per vy i vz arribam al mateix resultat. Donat que la velocitat t´e tres components, se segueix: |˛v |2 © v 2 = vx2 +vy2 +vz2 , de manera que Èv 2 Í = Èvx2 Í+Èvy2 Í+Èvz2 Í.
Considerant, Èvx2 Í = Èvy2 Í = Èvz2 Í, ´es t´e Èv 2 Í = 3Èvi2 Í per i = x, y o z. Finalment, Èvi2 Í = kB T 1 = Èv 2 Í m 3 (0.176) De fet, el resultat al que s’arriba en aquest apartat, s’obt´e de manera natural a partir del Teorema d’equipartici´ o. Recordem-lo: Sigui un sistema f´ısic i el seu hamiltoni` a associat, H, amb graus de llibertat xn , se satisf` a la seg¨ uent f´ ormula d’equipartici´ o: = xm ˆH ˆxn > = ”mn kB T.
(0.177) En el nostre cas, els graus de llibertat s´on les components de la velocitat. Considerem una part´ıcula del gas, de massa m i amb velocitat ˛v . El seu hamiltoni`a ´es H = 1 2 2 2 2 m(vx + vy + vz ). Per tant, = vi ˆH ˆvi > = ”ii kB T =∆ Èvi mvi Í = kB T =∆ Èvi2 Í = kB T .
m (0.178) iii) Per calcular el valor esperat del m`odul de la velocitat, ens interessa canviar a coordenades esf`eriques: {vx = v sin ◊ cos Ï, vy = v sin ◊ sen Ï, vz = v cos ◊}, amb v = Ò vx2 + vy2 + vz2 , (0.179) essent v © |˛v |, el m` odul de la velocitat. En fer aquest canvi, la distribuci´o de MaxwellBoltzmann esdev´e esf`ericament sim`etrica g(˛v ) = g(v, ◊, Ï) = g(v) = 3 m 2fikB T 43/2 ≠ 2km T v 2 e B , (0.180) i l’element de “volum” passa a ser dvx dvy dvz = v 2 sin ◊dvd◊dÏ. Novament, per simplim ficar els c` alculs feim a = . Aleshores es t´e, 2kB T ÈvÍ = = ⁄ R3 vg(v)v 2 sin ◊dvd◊dÏ 3 43/2 ⁄ 2fi a fi = 4fi = 4fi 0 dÏ 3 43/2 ⁄ Œ a fi 0 3 43/2 a 1 fi 2a2 ⁄ fi 0 sin ◊d◊ ⁄ Œ 0 2 v 3 e≠av dv (0.181) 2 v 3 e≠av dv = Ú 4 = afi Û 35 8kB T fim =∆ ÈvÍ = Û 8kB T fim ù Anteriorment he utilitzat la seg¨ uent integral del “Schaum”: ⁄ Œ 0 [(m + 1)/2] .
2a(m+1)/2 2 xm e≠ax dx = iv) Per a calcular el valor esperat del m`odul d’una component de la velocitat, agafam l’expressi´ o (0.171) i enlloc de posar vx , posam |vx | (considerant d’entrada el canvi a = m/(2kB T )) È|vx |Í = 3 43/2 ⁄ +Œ a fi ≠Œ ≠avx2 |vx |e ⁄ +Œ dvx ≠Œ ≠avy2 e ⁄ +Œ e≠avz dvz .
2 (0.182) |vx |e≠avx dvx .
2 (0.183) 2 (0.184) dvy ≠Œ Utilitzant la 2a integral de (0.174), È|vx |Í = 3 43/2 3Ú 4 3Ú 4 ⁄ +Œ a fi fi fi a a ≠Œ Calculem la integral sobre vx . Se segueix, ⁄ +Œ ≠Œ ≠avx2 |vx |e 3 dvx = ≠ ⁄ 0 ≠Œ + ⁄ Œ4 0 vx e≠avx dvx .
La integral sobre el semi-eix real positiu ´es immediata utilitzant el resultat del ‘Schaum” al que he fet refer`encia abans. La integral sobre el semi-eix real negatiu s’obt´e f`acilment fent vx æ ≠vxÕ i posteriorment utilitzant el resultat del “Schaum”. S’obt´e ⁄ +Œ ≠Œ 2 |vx |e≠avx dvx = 1 1 1 + = .
2a 2a a (0.185) Finalment,3 È|vx |Í = 3 3 43/2 3Ú 4 3Ú 4 3 4 a fi fi 1 fi a a a 1 =Ô =∆ fia Per a les components vy i vz s’arriba al mateix resultat.
36 È|vx |Í = Û 2kB T fim (0.186) ...