Solucions Seminari 8 (2017)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2017
Páginas 4
Fecha de subida 18/06/2017
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Matemàtiques III Curs 2013-2014 Seminari 8. Equacions diferencials de primer ordre (II) i de segon ordre Problema 1: Calculeu la solució de l’equació diferencial x – 2tx2 = 0 que satisfaci que x(0) = 1 Solució Problema 2: Aquesta equació es pot escriure de la següent forma: x = 2t x2 Obtenim per tant una equació de variables separades: 1 dx = 2tdt x2 on considerem que x ≠ 0. Aleshores hem de resoldre dues integrals: 1 1 dx C1 2 x x 2tdt t 2 C2 Igualant les funcions obtenim Ara, si aïllem la variable x obtenim 1 2 = t + C, x on C = C2 − C1.
1 , C∈ .
t C D’altra banda, la funció x(t) ≡ 0 també és solució, ja que és un zero de la funció g(x) = x que ens apareix quan apliquem la fórmula per a resoldre una equació diferencial del cas de variables separables.
x(t) = 2 Finalment, imposant la condició inicial donada a l’enunciat trobem que 1 x(0) = 2 =1 C=–1 0 C Per tant la solució és 1 1 .
x(t) = 2 t 1 1 t2 Problema 2: Calculeu la solució de les equacions diferencials a) x 3x 6 , x(0) 1 b) x 2 x e t , x(0) 2 c) x 2 0 0.5x t , x(0) Solució: 1 a) Lineal, amb b constant. L’escrivim com x 3x 6 i apliquem directament la fòrmula: x Ce 3t 2 Si imposem x(0) 1 tindrem C 2 1 i per tant C 3 i queda x 3e 3t 2 b) Lineal, l’escrivim com x 2 x e i apliquem directament la fòrmula: x e 2t C e 2t e t dt , és a dir, t x e x e 2t 2t C C e 3t dt e 3t 3 Finalment, si imposem la condició inicial obtenim x e 2t 5 3 e 3t , que es pot 3 escriure com 1 5e 3 x 2t et c) Lineal, l’escrivim com x 0.5x t 2 i apliquem directament la fòrmula: x e 0.5t C t 2 e 0.5t dt , i si resolem la integral per parts tindrem e^{0.5t}(2.0t -8.0t+16.0) x e 0.5t C e 0.5 que podem arreglar com x Ce 0.5t 2t 2 8t 16 Si ara imposem la condició inicial queda x 16e 0.5t 2t 2 8t 16 2 2t 2 8t 16 Problema 3: Trobeu la solució general de les equacions diferencials següents: (a) x 16x, (b) x x t 2 1.
Problema 4: Calculeu la solució de les equacions a) x x 2 x, x(0) 1, x(0) 1 b) x 4 x 4 x 4, x(0) 1, x(0) 1 i estudieu la seva estabilitat.
3 4 ...

Comprar Previsualizar