Examen final 2016 (2016)

Examen Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2016
Páginas 4
Fecha de subida 18/06/2017
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

MATEMÀTIQUES III. 20 de juny de 2016 Nom i cognoms............................................................................................................................
DNI..............................
1. (20 punts) Considereu la matriu 0 on a és un paràmetre real.
1 2 0 a A = @ 0 6 0 A; a 0 2 (a) (2 punts) utilitzant la de…nició de vector propi, que el 1 0 Comproveu, 0 vector @ 1 Aés un vector propi de la matriu A i determineu el valor 0 propi associat.
(b) (6 punts) Determineu els valors propis de la matriu A:, eigenvalues: 2 a; 6; a + 2 (c) (2 punts) Determineu per quins valors del paràmetre a la matriu A és diagonalitzable. Sempre (d) (6 punts) Determineu, en de vectors 0funció 1 del paràmetre a, el conjunt 0 1 0 1 propis de valor propi 6.@ 1 A sempre. Si a = 4 també @ 0 A : 1 0 1 0 1 S i a = 4; també @ 0 A 1 (e) (4 punts) Estudieu la concavitat/convexitat de la funció f (x; y; z) = x2 + 3y 2 + z 2 + axz, en termes del valor del paràmetre real a: Doncs serà convexa quan 2 a 0 i a + 2 0; que és quan a 2 [ 2; 2] : 2. (20 punts) Considerem la funció f (x; y; z) = x2 + (y 1)2 + z sotmesa a les restriccions donades per les inequacions x2 4y 2 x+z 0 1 Trobeu el màxim i el mínim si n’hi ha, i justi…queu per què ho són, i en cas contrari, per què no.
1 Solució: La Lagrangiana ve donada per L(x; y; z) = x2 + (y 1)2 + z x2 2x 2 x + 2(y 1) + 8 y 1+ 2 x 4y 2 (x + z 1) = = = = = 4y 2 + (x + z 1) 0 0 0 0 0 Només hi haurà 2 casos. En el primer 2x 2 x 1 = 0 2(y 1) + 8 y = 0 = 0 x+z 1 = 0 , Solution is: x = 21 ; y = 1; z = 12 ; dat a mínim. En l’altre cas = 0 , satisfà les condicions. Candi- 2x 2 x 1 = 0 2(y 1) + 8 y = 0 x2 4y 2 = 0 x+z 1 = 0 , Solution is: x = 54 ; y = 52 ; z = 15 ; Ara L(x; y; z) = x2 + (y 1)2 + z punt és mínim.
= 83 que no pot ser candidat a res.
(x + z 1) és convexa i per tant el (15 punts) Una nena va mesurar, al néixer, 0,49 m. Al cap d’un any, ja feia 0,91 m, i quan va complir el segon any, ja feia 1,19 m.
(a) (7 punts) Si suposem que l’equació del seu creixement es pot expressar com una equació en diferències de primer ordre, escriviu aquesta equació i determineu els seus coe…cients a i b.
0:91 = a0:49 + b 1:19 = a0:91 + b (b) (3 punts) Resoleu l’equació.
xt = 2 3 xt = t 0:49 2 3 1 7=12 2=3 + 1 7=12 2=3 t (0:49 2 1: 75) + 1: 75 (c) (5 punts) La solució és estable? Creus que, segons aquest model, la nena podrà arribar a medir més de 1,80 m quan sigui adulta? Estable.
Mesurarà 1,75m.
3. (15 punts) Considereu la seqüència p xt = t 2 sin 3 t + t; 4 que satisfà una equació en diferències de segon ordre.
(a) (10 punts) Quina creus que pot ser aquesta equació? Directament de p 3 a 2 cos les fórmules b = 2; cos 34 = 2p ; i per tant a = 2 = 4 b 2: Ara, com t és solució particular t + 2 + 2(t + 1) + 2t = ct ct = 5t + 4. L’equació és xt+2 + 2xt+1 + 2xt = 5t + 4 (5 punts) Quina seria la solució per la mateixa equació, però amb les condicions inicials x0 = 1; x1 = 0? La solució general de l’equació és xt = A p t 2 cos p 3 t +B 2 4 t sin 3 t +t 4 Si x0 = 1; x1 = 0 1 = A 0 = A+B+1 i per tant la solució amb aquestes condicions inicials és xt = p t 2 cos 3 t +t 4 4. (10 punts) Resoleu l’equació x_ = x2 tet (a) amb la condició inicial x(0) = 1; (b) amb la condició inicial x(0) = 0: Solució: D”una banda tenim la solució trivial x separació de variables Z Z dx = tet dt x2 3 0:D’altra banda, si fem I per tant 1 = et (t x 1 = et (t x 1) + C; 1) + C el que implica x= 1 1) + C et (t 1 1+C 1= i C = 0. Si x(0) = 0 la solució és la solució trivial x 0: 5. (20 punts) Considerem l’equació següent, on k és un paràmetre real 9x = ekt x • (a) (15 punts) Trobeu la solució general d’aquesta equació, en termes del paràmetre k:Solució: xh = Ae3t + Be si k 6= 3; 3 xp = 1 (k 2 9) 3t ekt si k = 3; 3 xp = 1 kt te 2k (b) (5 punts) Quina és la solució en el cas k = 2 per les condicions inicials x0 = 15 ; x_ 0 = 25 ? Ae3t + Be 1 5 2 5 1 2t e 5 3t = A+B = , Solution is: [A = 0; B = 0] : 4 3A 3B 1 5 2 5 ...