Tema 4 (2016)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Microbiología - 2º curso
Asignatura Ecologia
Año del apunte 2016
Páginas 8
Fecha de subida 31/03/2016
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

Tema 4: models de dinàmica de població Cas continu La dinámica poblacional s’explica per la equació :(la de emigració, mort…) Si volem predir el nº individus d’una mostra la usem.
La població és tancada: no es dóna emigració ni immigració. Per tant només s’expliquen el canvi en la mida poblacional entre morst i naixements. En la natura no es dóna sovint. La dinàmica d’una població depèn de la dinàmica de poblacions amb les que interaccionen.
Metadinàmica té en compte emigració i immigració. El que es vol modelar es Nt+1 i Nt.
Full carpeta El model exponencial: cas continu Equació, com l’altre dia afegir... ho hem de saber fer.
Considerem que els naixements i les morts tenen un ritme continuu en la població, en el cas del cas continuu quan no considerem ni immigració ni emigració. Això permet obtenir una corba continua. Això és molt més fàcil de modelitzar. També considerem que l’interval de temps és molt petit. Això permet treballar amb equacions diferencials continues. En aquest cas: Dn/dt= natalitat-mortalitat La taxa de natalitat més gran o més petita (o la mortalitat). En un interval de temps molt petit podem observar molt grans o molt petits, influenciat per la mida inicial de la població (com més individus més naixements). Aquestes són les taxes instantànies. Quan més individus hi hagi més alta serà la B i més alta serà la D. Considerarem que depenen de la N, la població. Tindrem una b (Taxa instantània de natalitat) multiplicada per N, menys la taxa instantània de mortalitat multiplicada per N. Aquestes dues taxes es consideren una constant de la població perquè el temps estudiat és molt petit i per tant es manté cosntant. La resta de les dues instantànies és la r, l’increment instantani poblacional. Taxa instantània d’augment poblacional. Aquesta r és una constant Aquesta constant té unes unitats que són individus/individus *temps. S’expressa a 1/r. Com que es considera que en la població teòrica tots els individus son iguals, r es constant per tots els individus. Si és positiva: augmenta la població, si és 0 el canvi d’individus al larg del temps és 0, si és negatiu vol dir que el nº d’individus disminueix.
Dn/dt= és la diferència al llarg del temps, no permet saber quants hi haurà al llarg del temps. Per fer-ho integrem l’equació, i trobem Nt=N0* e^rt. Amb això coneixem el nº en un temps determinat.
Si la r és alta la corba creix ràpidament. Si la r és 0 la població no creix. Si treus el logaritme fas simple la representació.
El temps de duplicació de la població ve determinat per la r i és independent del nº d’individus que hi hagi en aquesta.
Taula: temps de duplicació de diferents espècies. Com més gran sigui la r més petit serà el temps de duplicació. Les espècies més petites són les que tenen temps de generació més ràpid (elefant vs e Coli). En general els organismes de mida més grossa tenen temps de duplicació més llargs.
Si hi ha limitació de recursos la r no es pot mantenir constant.
Assumpció del model Són assumpcions que no sempre models de la realitat es donen a partir d’aquest.
es donen. Tots els 1) No hi ha emigració ni immigració, és una població tancada. Quan es relaxa aquesta assumpció parlem de models metapoblacionals. (intercanvi d’individus entre poblacions connectades).
2) B i d són constants i per tant la r també és constant i no poden ser afectades per recursos. Però quan hi ha escassetat de recursos això passa i entrem en model logístic que prediu canvis en la r 3) No ha variació genètica respecte b i d i que són les mateixes per qualsevol individu de la població. Els individus ón exactes 4) No hi ha variació de b i d en funció de l’edat. Això no és veritat, hi ha moltes espècies que la seva b és 0 fins a una certa edat. I la d també és en funció de l’edat. Per incorporar informació d’això s’usen models de poblacions estructurades per edat.
5) El creixement és continu i no hi ha retards: model de creixement discret.
Cas discret Molts organismes concentren els processos demogràfics en moments de la seva vida. Per tant la r no es considera continua al llarg del temps. El cas més clar és les espècies semèlperes que es reprodueixen al final de la seva vida.
Tenim una població que augmenta cada any en una determinada proporció. Nt moment anterior i Rd constant al llarg del temps (Rd). Si augmenta un 15% cada any. Aquest augment és la taxa discreta de creixement. La lambda és la taxa finita de creixement poblacional. És similar a la r del model continu. Ens diu el que augmenta la població al llarg del temps.
Si representem una població amb un creixement exponencial discret podem tenir un gràfic amb dents de serra.
Al final del moment 1, aquella població no produeix molts individus. Els naixements segueixen com un curs, al final de l’any hi ha una època reproductiva i puja. Comences amb 2000, disminueix, i en un moment hi ha la reproducció i augmenta de cop i així successivament. Si la lambda d’aquesta dinàmica és positiva, la població creixerà i al llarg del temps la corba s’enlairarà. Si fos més petita que 1 al cap de x generacions seria gairebé 0. Si considerem cada vegada temps més petits els dents s’ajunten i si considerem temps infinitament petits, els dents estan junts i són discret model altre cop.
Relació lambda-r La lambda és un rati entre mides poblacionals i per tant no té unitats però està expressada en un pas de temps implícit. Si tenim una lambda d’1.2 mesurada en un interval d’un any. Si volem saber l’augment de la població no podem anar a sac i dividir per 1.2. el 12.
Quan volem canviar les unitats de lambda, quan volem expressar la lambda en un altre interval de temps que no és l’original, primer hem de passar la lambda a r i aplicar un factor de conversió passar-ho al temps que interessa i després retornar-ho a la lambda.
Exemple diapo Com fer el model exponencial més realista? Model determinístic: els paràmetres d’aquest model són fixos, constants. Això vol dir que a partir d’unes condicions inicials i aplicant el model sempre arribem als mateixos resultats, per això és determinístic. A la pràctica és evident que la r no és una constant invariable, i s’entén, fins i tot assumint que no hi hagués limitació de recursos, pot ser que a causa del clima pot haver-hi anys bons i dolents per segons quina espècie. La r encara que assumim que és una constant varia d’un any a l’altre segons condicions ambientals. L’efecte aquest que la r pot oscil·lar, s’anomena estocasticitat ambiental.
Si imaginem un model continu, amb distribució normal amb una desviació. Això vol dir que si mostregem la polació un nº alt d’anys tindrem un valor mitjà d’r que podria ser coincident amb un model deterministic. La mitjana de molts anys bons i de dolents serà la r òptima. Si modelitzem la població amb exponencial continu, i el valor concret de la r per cada any per predir el nº individus d’una població, agafem un valor aleatori d’r, veurem que alguns anys serà més baixa i d’altres més alta. Si ho repetim n vegades i fem la mitja, trobarem una mitjana que és coincident amb la r del model determinístic. Això pot transformar-se a trajectòries molt diferents.
La r mitjana coincideix amb la r determinista però oscil·la també en la desviació mitjana de la mostra. El model determinista és massa simple, la r no és invariable cal calcular-la. Si fem la trajectòria amb la mitjana de moltes r trobarem la mateixa trajectòria que si fem amb la r determinista. Però en realitat hi ha moltes trajectòries diferents. Les diferencies entre les diferents trajectòries dependran de la desviació. Si la variança és mes gran que dues vegades la mitjana la població s’extingirà perquè alguna oscil·lació anirà molt avall.
Estocacisticitat demogràfica: també fa que no es pugui predir les trajectòries de les poblacions deterministicament. Assumim que les taxes instantànies son constants sota totes les condicions. Si la taxa de natalitat és dues vegades la de mortalitat, en un interval de temps esperarem el doble de naixement que de morts. Si la població va canviant afegint o traient un exemplar, la N canviarà. Si a més tenim la relació b=2d afegim esdeveniments que impliquen més canvis en la població. A la pràctica no passa això perquè pot variar per qüestions d’atzar. En la vida real que el creixement no és continu al llarg del temps. Cal aplicar la formula de probabilitats reals. Aquests dos números sumen 1 (morts i naixaments).
Tenint en compte això es pot calcular el risc real d’extinció de la població. Imaginant que es concatenen moltes morts i per tant la població s’extingeix tot i que la natalitat sigui superior. La formula de baix ens diu quina és la probabilitat que això passi. Això és aplicabl quan la taxa instantània de natalitat és més alta que al taxa instantània de mortalitat.
𝑑 𝑃(𝑒𝑥𝑡𝑖𝑛𝑐𝑖ó) = ( )𝑁0 𝑏 En una població amb una r positiva, quan el nº d’individus és petit, hi ha una gran probabilitat d’extinció degut a aquests factors.
Pel cas del power, per una població de 50 exemplars aplicant la fórmula tenim un risc d’extinció de 0.009=0.9%. Si en comptes de partir d’una mida de 50, treballem amb una població de 10, la possibilitat d’extincióa és de 38.6% Resultat problema dictat: condor de california. Población inicial 21, i la final 2. La lambda és més petita que 1 per tan disminueix. Exponencial discret, 45,84 anys.
2a part: el temps en un model més realista serà més curt perquè hi ha problemàtica (més mascles que femelles) estocàsticitat demogràfica. Tal com es planteja el problema és model determinista, i si afegim estocascittat el fem més realista, perquè existeix en situacions reals, tant la demogràfica com la ambiental cosa que fa fluctuar la població.
El model exponencial es fonamenta en creixement infinit, que vol dir que hi ha recursos il·limitats. Modificant el model exponencial incorporant un efecte de la densitat i això és el que s’anomena model logístic Model logístic Parteix inicialment de l fórmula de la exponencial dn/dt=(b’-d’)N. La “novetat” és que les taxes de mortalitat i natalitat deixen de ser taxes constants. La b’ és la nova taxa influïda per densitat i la d’ és la de mortalitat influïda. Quan més densitat hi hagi, més competència hi haurà pels recursos i menys tocarà a cada un. Per tant la taxa de natalitat disminuirà, perquè un individu amb menys recursos podrà invertir menys en la descendència. En el cas de la mortalitat serà el contrari, augmentarà perquè podrà haver-hi estrès, més malalties, Etc.
Una manera simple d’introduir aquest factor és considerar una relació lineal: b’=b-aN la nova taxa és igual a la antiga menys una constat per la densitat de la població, per tant com més densa sigui la població més baixa serà la taxa de naixement. La de mortalitat és al contrari d’=d+cN, per tant augmenta amb la densitat de població. Per tant la b’ en relació a la N té una pendent negatiu. La taxa de mortalitat farà el contrari i és que tindrà un pendent positiu. En densitat 0 ambdues taxes serien iguals a les originals i per tant serien les del model exponencial. La a i la c són constants. Quan més altes siguin, voldrà dir que l’efecte de la densitat serà major. Això voldrà dir que com més alta tingui una constant una població, implicarà que l’efecte que rep de la densitat serà major.
Substituint les noves taxes en l’equació del model exponencial (power point) EQUACIÓ DESENVOLUPAR. La constant K, capacitat de càrrega= b-d/a+c. Per tant ultima formula. Les unitats de k són individus, és un nº poblacional. És el nº d’individus que una població pot assolir fins que comença a decréixer. Quan n és petit l’increment poblacional en el temps s’assembla a rN que és el model exponencial. Però a mesura que N creix i s’apropa a K, fins al punt en que N arriba a K i per tant quan la població assoleix la seva capacitat de càrrega deixa de créixer. En el suposat que N supera K, per tant dn/dt serà negatiu per tant voldrà dir que la població creixerà.
El parèntesi és la proporció de recursos que la població usa.
Dn/dt és 0. La població no creix ni decreix. Hi ha dues situacions en que això es dóna:   Que la densitat poblacional sigui 0 Que el parèntesis sigui 0. Per tant quan N sigui igual a K. En aquest punt en que les taxes dependents de la densitat son iguals, coincideix en quan a N és igual a K. És un equilibri estable de la població. Les poblacions tendeixen a arribar a aquesta densitat.
La mida poblacional és la integral de la formula anterior. Aplicant l’equació surt una gràfica que acaba en estat estacionari. La població fa un creixement tal començament lent, després accelera (fins ara igual al exponencial), a mesura que hi ha més individus hi ha l’efecte de la densitat, i aleshores el creixement es frena quan N=K. En aquest cas concret seria 100 individus. Un equilibri estable és que si una població segueix un model logístic esperem que la població s’estabilitzi al voltant de la capacitat de càrrega, un moment ideal (logístic). Si la densitat es situa per sota de K, la taxa de naixements és més alta que la de mortalitat per tant la població creix (R positiva). Si “anem” a un punt superior a k passa el contrari. Si la densitat és igual a K, la població no creix i s’estabilitza.
Si representem la taxa de creixement (dn/Dt) respecte la N en un model logístic trobaríem una corba que comença a créixer en augment fins que arriba un punt que és màxim i aleshores començar a baixar fins que torna a 0. Comença a baixar quan N és igual a K/2. En un model logístic, la densitat poblacional que permet que hi hagi el màxim creixement de la població, es dóna quan la densitat és K/2.
dN/dt en funció de N és una recta. Per tant com més gran sigui N, més gran serà l’increment.
Per tant en un model exponencial, la representació de la taxa de creixement en temps serà una recta. Que tindrà pendent r (recta exponencial, corba logístic).
En el cas que N sigui 0, tindríem que el creixement per càpita és igual a R. Quan N sigui igual a K, per tant el creixement per càpita serà 0. (igualant crex per càpita i creix logístic). En el model exponencial el creixement per càpita és una constat que és r. A mesura que afegeixes individus a la població, el creixement per càpita (què contribueix cada individu al creixement de la població). Com més gran és la població, menys contribueix cada individu al creixement de la població.
K és una constant, per tant el model logístic assumeix que la capacitat de càrrega d’un medi sempre és la mateixa cosa que és falsa. L’altre és que quan la densitat es molt baixa i comença a augmentar el creixement és positiu. S’observa l’efecte d’Allee  Al principi hi ha tant poca població que no es reprodueixen. Quan la densitat és molt baixa, implica que el creixement és negatiu. En espècies que tenen propensió a la gregarietat (unir-se) quan les densitat són molt baixes les mortalitats augmenten molt (no es protegeixen, no aliment...) A partir d’un llindar de densitat proper al principi, en algunes espècies les taxes de natalitat es redueixen dràsticament i les de mortalitat augmenten. Per tant hi ha un creixement negatiu. Una altra raó perquè es doni a causa de la consanguinitat. Hi ha uns al·lels no dominants, que tenen efecte negatiu sobre l’organisme, i hi ha combinacions que abans no es donaven. La població mínima viable és aquesta població mínima de l’efecte d’Allee. Depèn de cada espècie. N’hi ha que no en tenen.
COMPARATIVA EXPONENCIAL LOGÍSTIC Al principi estan molt solapats però a partir d’una N cada vegada creixent, el creixement va baixant fins que s’estabilitza amb capacitat de càrrega.
Model de caos PROBLEMA PLANTA SEMÈLPARA: Es semèlpera, només es reprodueix una vegada a la vida.
Creix un 12% anual. Model discret exponencial. Ens està dient que N1 = N0 + 0.12· N0 ; lambda=1.12. Aleshores Nt= N0 · 1.12t ; 2N0= N0 · 1’12T. Ln 2 = t· ln 1.12; per tant t= ln2/ln1.12 = 6,130 anys (perquè la lambda està feta en el pas de temps d’un any.
1) Població de papallones creix d’acord amb model logístic. Capacitat de càrrega= 500 i r=0.1 individus/individus·mes dN/dt= rN (1-N/K). N màxima és = k/2=500/2= 250.
SUBSTITUIM: dN/Dt= 0.1·250·(1-250/500)= 12.5 individus/individus·mes 2) Població de truites, mantenint en 500. Taxa de creixement inicial si afegim 600 i s’assumeix que r=0.005 individus/(individus·dia).
Dn/dt=rN(1-N/K).
K és 1000 perquè 500 és k/2 perquè és el moment en que es maximitza el creixement de la població. La població en aquest cas té 1100 individus perquè has afegit 600. SUBSTITUIM 0.0005·1100(1-1100/1000) = -0’55 individus/dia 3) Població depenent de la densitat. La B no és recta, és una paràbola.
B’=0.1+0.03N-0’0005·N2 D’=0’2 + 0.01 N Representar gràficament interpretar-les.
GRÀFIQUES A PART, demanar claudia Es tallen en dos punts. Aquests dos punts són b’=d’. Si LA POBLACIÓ és trobe entre qualsevol punt entre abdós punts en que són iguals b’=d’ la població creix. Entre 5’86 i 34’15 (6 i 34 tortugues), la població augmenta. El segon punt de tall és K, per tant 34.15. Qualsevol punt superior a K la població decreix. Això és un punt d’equilibri estable, perquè s’arriba des d’una banda i des de l’altre. En qualsevol dels dos costats, la població tendeix a assolir els 34 individus, que és la k. Si és inferior a 5’86 la població tendirà a 0, a l’extinció. Aquest és un punt d’equilibri inestable.
Això és un exemple de l’efecte de Allee perquè a una densitat baixa, en comptes d’augmentar la taxa de creixement, és negativa.
Model logistic – variant discreta Ens dóna corbes en forma exponencial, el normal. El discret és el Nt+1=Nt + rdNt(1-Nt/K) sense el paréntesis seria el normal. El que fem és introduir l’efecte de la densitat (paréntesis). Ens pondera el creixement en funció de la densitat poblacional del momento.
Robert May va explorar els models de dinámica poblacional. Va trobar que en funció del valor concret de r, el tipus de dinàmica que preveiem canvia de manera radical, amb la mateixa fórmula.
Quan la r és més petit que 2 veurem una fórmula (dreta a dalt vermella, pujada i estabilitza). Es va apropant a la capacitat de càrrega fent oscil·lacions per sobra i sota fins que s’estabilitza Quan la r té un valor té un valor entre 2 i 2.449 s’assoleix la gràfica amb unes oscil·lacions molt majors, amb pics simètrics per sobre i sota de la capacitat de càrrega. La població mai arriba a estabilitzar-se en la capacitat de càrrega. Quan la r segueix augmentant, entre 2,449 i 2,570 aquests cicles es van complicant i en comptes de ser cicles amb dos pics, són cicles amb 4 pics que es repeteixen i després canvia a 8 pics, 16, 32...
Quan la r passa de 2.570 arribem a la zona caos. És a dir una dinàmica que no es repeteix mai, i que no s’estabilitza mai. Aquest caos és una dinàmica determinística. Són paràmetres fixos, si tornem a fer el model amb un valor inicial de Nt i una r i una K tornarem a generar exactament els mateixos punts que no es repeteixen punts que no es repeteixen mai. Caos no vol dir aleatorietat. Això serien dinàmiques que no es poden predir, però aquest si que es pot predir perquè els paràmetres són determinístics.
Una assumpció del model és que la K és estable Què passa si la K varia aleatòriament al temps? No hi ha poblacions en les que els recursos sempre es mantinguin constants. Per tant la K no és constant.
Podem introduir aleatorietat a la K. Es pot construir un model en el que la K oscil·li en el temps, per una distribució normal, per exemple.
Si fem la mitjana de totes les aleatorietats associades a la r obtenim la corba del model determinista, això també passa amb la K.
Si extraiem la k aleatòriament, la N final hauria de confluir amb la K mitjana? NO. Quan simules un model logístic amb una K aleatòria, la N final, la que calcularíem com la mitjana sempre es queda per sota de la K. La població no és capaç d’arribar a la seva capacitat de càrrega.
Això es relaciona amb la gràfica d’aquest model logístic. Quan la població està per sobre de la K disminueix, i quan és a sota augmenta, però aquestes corbes no són simètriques. Baixa més ràpid que puja. Això vol dir que quan oscil·la, les baixades són més fortes, i per tant vas acumulant i la població final sempre queda per sota de la capacitat de càrrega.
Com més gran sigui la desviació estàndard de la K, més per sota quedarà la població respecte la capacitat de càrrega.
La r, quan més alta sigui la r, més s’aproparà a la capacitat de càrrega malgrat quedi per sota de la població.
Testar model logístic amb població natural i laboratori Un dels primers que va testar aquests models, ho va fer Guase, microbiòleg, que va fer cultius amb dos espècies de paramecis. Al llarg dels dies, les poblacions de paramecis segueixen un model semblant al logístic Pearl va fer experiments amb Drosophila i va trobar corba logística també. Però es va criticar, perquè en les larves se’ls donava llevat i aquest també anava creixent, per tant la K no era constant.
La reintroducció d’espècies que havien desaparegut. Als anys 20 va augmentar molt i va assolir una capacitat de càrrega i es va col·lapsar.
...

Comprar Previsualizar