Apuntes y jercicios (2010)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura matemáticas financieras
Año del apunte 2010
Páginas 110
Fecha de subida 27/05/2014
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Apuntes y ejercicios detallados

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Grado en ADE Año Académico 2012 – 2013 MATEMÁTICAS FINANCIERAS: - Material del curso Profesor: Dra. Cristina Tomàs CONTENIDO 1.1.
CAPITAL FINANCIERO................................................................................................................ 7 1.3.
OPERACIÓN FINANCIERA......................................................................................................... 8 1.2.
1.4.
EQUIVALENCIA FINANCIERA.................................................................................................. 7 LEYES FINANCIERAS................................................................................................................... 9 Ley de Capitalización:..................................................................................................................... 9 Ejemplos: .......................................................................................................................................... 9 Ley de descuento:............................................................................................................................. 9 1.5.
Ejemplos: ........................................................................................................................................10 LEYES FINANCIERAS.................................................................................................................10 2.1. INTERÉS SIMPLE VENCIDO.........................................................................................................11 2.2. INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO .................................................................................................15 2.3. DESCUENTO SIMPLE O COMERCIAL .......................................................................................16 2.4. DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO.............................................................................18 2.5. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE DESCUENTO E INTERÉS ............................19 2.5.1. EQUIVALENCIA ENTRE EL INTERÉS SIMPLE VENCIDO Y EL DESCUENTO RACIONAL..............................................................................................................................................19 2.5.2. EQUIVALENCIA ENTRE EL INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO Y EL DESCUENTO COMERCIAL...........................................................................................................................................19 2.5.2. EQUIVALENCIA ENTRE EL INTERÉS SIMPLE VENCIDO Y EL DESCUENTO COMERCIAL...........................................................................................................................................19 3.1. CUENTAS CORRIENTES ................................................................................................................21 3.1.1. CUENTAS CORRIENTES A INTERÉS FIJO.......................................................................22 3.1.2. CUENTAS CORRIENTES A INTERÉS VARIABLE..........................................................24 3.1.3. CUENTAS CORRIENTES CON SALDO DESCUBIERTO ...............................................26 3.2. IMPOSICIONES CON RENDIMIENTO EN ESPECIE..............................................................27 3.3. EFECTOS COMERCIALES ..............................................................................................................28 3.4. DESCUENTOS POR PRONTO PAGO ..........................................................................................29 3.5. PAGARÉS DE EMPRESA ................................................................................................................31 3.6. LETRAS DEL TESORO ....................................................................................................................33 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 2 3.7. OPERACIÓN DE COMPRAVENTA CON PACTO DE RECOMPRA (REPO).....................35 4.1. INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO...........................................................................37 4.2. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE INTERÉS EFECTIVOS ..................................38 4.3. INTERÉS COMPUESTO ..................................................................................................................38 4.4. DESCUENTO NOMINAL Y DESCUENTO EFECTIVO ............................................................41 4.5.
EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE DESCUENTO EFECTIVOS ......................41 4.6. DESCUENTO COMPUESTO...........................................................................................................42 4.7. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO .....................43 4.8. CAPITALIZACIÓN CONTÍNUA.....................................................................................................45 4.9.
VENCIMIENTO COMÚN Y VENCIMIENTO MEDIO .........................................................47 4.10. CÁLCULO DE LA TAE SEGÚN LA NORMATIVA DEL BANCO DE ESPAÑA ...............49 5.1. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UNA RENTA .........................................................................52 5.2. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS..............................................................................................52 5.3.
RENTAS CONSTANTES .............................................................................................................53 5.3.1.
DEFINICIÓN DE LA RENTA MODELO.........................................................................53 5.3.2. VALOR ACTUAL DE LA RENTA MODELO .....................................................................53 5.3.3. CORRECCIONES A LA RENTA MODELO ........................................................................54 5.3.3.1. RENTA ANTICIPADA .....................................................................................................54 5.3.3.2. RENTA DIFERIDA ...........................................................................................................55 5.3.3.4. VALOR FINAL ...................................................................................................................56 5.3.3.5. VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA ......................................................56 5.4. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA .....................................................59 5.4.1. RENTAS TEMPORALES........................................................................................................59 El factor financiero es distinto al factor de crecimiento: 1 + El factor financiero es igual al factor de crecimiento: 1 + = ≠ .......................59 ............................60 5.4.2. RENTAS PERPÉTUAS.............................................................................................................60 5.5. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA.......................................................61 5.5.1. RENTAS TEMPORALES.........................................................................................................61 5.5.2. RENTAS PERPÉTUAS.............................................................................................................61 5.6. RENTAS FRACCIONADAS .............................................................................................................63 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 3 6.1. CONCEPTO .........................................................................................................................................69 6.2.
Cuadro de amortización ..............................................................................................................69 TIPOS DE PRÉSTAMO ...............................................................................................................71 6.3. PRÉSTAMOS CON AMORTIZACIÓN ÚNICA ...........................................................................71 6.3.1. AMORTIZACIÓN ÚNICA SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES...........................71 6.3.2. AMORTIZACIÓN ÚNICA CON PAGO PERIÓDICO DE INTERESES .........................72 6.4. PRÉSTAMOS CON TÉRMINO AMORTIZATIVO CONSTANTE..........................................73 6.4.1. AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA FRANCÉS (TÉRMINO AMORTIZATIVO CONSTANTE) ........................................................................................................................................73 Ecuación de equilibrio..................................................................................................................73 Deuda pendiente ............................................................................................................................73 Cuotas de interés y de amortización.......................................................................................74 Deuda amortizada..........................................................................................................................74 Cuadro de amortización ..............................................................................................................75 6.4.2. AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA AMERICANO (CONSTITUCIÓN DE UN FONDO)...................................................................................................................................................75 Cuota de interés..............................................................................................................................76 Cuota de amortización .................................................................................................................76 Término amortizativo ..................................................................................................................77 Deuda amortizada..........................................................................................................................77 Deuda pendiente ............................................................................................................................77 Cuadro de amortización ..............................................................................................................78 6.4.3. AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA ALEMÁN (INTERESES ANTICIPADO) .......78 Ecuación de equilibrio..................................................................................................................78 Deuda pendiente ............................................................................................................................79 Cuotas de interés y amortización.............................................................................................79 Deuda amortizada..........................................................................................................................80 Cuadro de amortización ..............................................................................................................80 6.5. PRÉSTAMOS CON TÉRMINO VARIABLE ................................................................................80 6.5.1. AMORTIZACIÓN MEDIANTE EL SISTEMA ITALIANO (TÉRMINO AMORTIZATIVO VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA)...........................................81 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 4 Ecuación de equilibrio..................................................................................................................81 Cuota de capital...............................................................................................................................81 Deuda amortizada ...........................................................................................................................82 Deuda pendiente ............................................................................................................................82 Cuota de interés..............................................................................................................................82 Término amortizativo ..................................................................................................................82 Cuadro de amortización ..............................................................................................................83 6.5.2. AMORTIZACIÓN MEDIANTE TÉRMINO AMORIZATIVO VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA...........................................................................................................83 Ecuación de equilibrio..................................................................................................................83 Deuda pendiente ............................................................................................................................84 Cuotas de interés y amortización.............................................................................................84 Deuda amortizada..........................................................................................................................84 Cuadro de amortización ..............................................................................................................85 6.6. LEASING FINANCIERO ..................................................................................................................85 Ecuación de equilibrio..................................................................................................................86 6.7. PRÉSTAMOS CON CARENCIA .....................................................................................................87 6.7.1. CARENCIA TOTAL...................................................................................................................87 6.7.2. CARENCIA PARCIAL...............................................................................................................87 6.8. CANCELACIÓN ANTICIPADA ......................................................................................................89 6.8.1. CANCELACIÓN TOTAL ..........................................................................................................89 6.8.2. CANCELACIÓN PARCIAL ......................................................................................................89 6.9. COSTE, RENTABILIDAD Y TAE...................................................................................................89 6.9.1. COSTE EFECTIVO O REAL PARA EL PRESTATARIO..................................................90 6.9.2. RENTABILIDAD EFECTIVA O REAL PARA EL PRESTAMISTA...............................90 6.9.3. TAE DEL PRÉSTAMO .............................................................................................................90 7.1. DEFINICIONES..................................................................................................................................94 7.2. EMPRÉSTITO NORMAL.................................................................................................................95 7.2.1. CARACTERÍSTICAS.................................................................................................................95 7.2.2. ECUACIÓN DINÁMICA...........................................................................................................95 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 5 7.2.3. ECUACIÓN DE EQUILIBRIO................................................................................................96 7.2.4. NÚMERO DE TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DE LA R-ÉSIMA AMORTIZACIÓN......96 7.2.5. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS DESPUÉS DEL PERÍODO R-ÉSIMO..97 7.2.6. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS ..........................................................................97 7.2.7. CUADRO DE AMORTIZACIÓN.............................................................................................98 7.2.7.1. Método del Redondeo ...................................................................................................98 7.2.7.2. Método de la Capitalización de Residuos ..............................................................98 7.3. EMPRÉSTITO CON PRIMA DE EMISIÓN, PRIMA DE AMORTIZACIÓN Y LOTE CONSTANTE............................................................................................................................................ 101 7.3.1. CARACTERÍSTICAS.............................................................................................................. 101 7.3.2. ECUACIÓN DINÁMICA........................................................................................................ 101 7.3.3. ECUACIÓN DE EQUILIBRIO.............................................................................................. 102 7.3.4.
NÚMERO DE TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DE LA R-ÉSIMA AMORTIZACIÓN 102 7.3.5. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS ....................................................................... 103 7.3.6. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS EN EL PERÍODO R-ÉSIMO .................. 103 7.3.7. CUADRO DE AMORTIZACIÓN.......................................................................................... 103 7.4. TANTO EFECTIVO DE UN EMPRÉSTITO ............................................................................. 105 7.3.1. TANTO EFECTIVO EMISOR .............................................................................................. 105 7.3.2. TANTO EFECTIVO SUSCRIPTOR .................................................................................... 106 7.3.3. TANTO PROBABLE OBLIGACIONISTA......................................................................... 106 7.3.3.1. PROBABILIDADES....................................................................................................... 106 7.3.3.2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIABLE ALEATORIA “PERÍODO DE AMORTIZACIÓN” DE UN TÍTULO VIVO EN D...................................... 107 7.3.3.3. ESPERANZA DE VIDA MEDIA DE UN TÍTULO EN D....................................... 107 7.3.3.4. TANTO PROBABLE OBLIGACIONISTA ................................................................ 108 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 6 TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA FINANCIERA 1.1. CAPITAL FINANCIERO Se entiende por Matemática Financiera las herramientas que pretenden equilibrar las magnitudes económicas a través del tiempo.
C2 t1 C1 t2 Siendo C1 ≠ C2.
Las cuantías que se intercambian se denominan Capitales Financieros, que es “la medida de un bien económico referida al momento de su disponibilidad, vencimiento o entrega”1.
Un capital financiero se representa como (C, t), en donde C representa la cuantía del capital en unidades monetarias, y t el vencimiento de la operación.
Cuando la cuantía es positiva, se trata de un ingreso, mientras que se trata de un reintegro cuando la cuantía es negativa.
1.2. EQUIVALENCIA FINANCIERA La equivalencia financiera se representa por (C1, t1) ≈ (C2, t2). Uno de los capitales se corresponde con la prestación, mientras que el segundo se denomina contraprestación. Se llama origen al vencimiento de la prestación, y final al de la Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 7 contraprestación. La duración de la operación es el tiempo que trascurre entre los dos vencimientos.
El inversor es, por definición, conservador, y se caracteriza por la preferencia por la liquidez; esto es, a cuantías iguales, se prefiere la que vence primero, y a iguales vencimientos, la de mayor cuantía.
Ejemplo Determinar la preferencia de los siguientes capitales financieros: A: (20.000€, 15/12/2012) B: (15.000€, 15/12/2012) C: (20.000€, 15/12/2011) El capital financiero A es preferido a B, y C es preferido a A.
1.3. OPERACIÓN FINANCIERA La operación financiera es el intercambio de capitales en diferentes momentos del tiempo, y se clasifican en: 1) Operaciones financieras simples: la operación consiste en el intercambio de un único capital financiero (prestación) por otro único capital financiero (contraprestación).
2) Operaciones financieras parcialmente complejas: un único capital financiero a modo de prestación y múltiples capitales financieros representando la contraprestación, o viceversa.
3) Operaciones financieras complejas: múltiples capitales (prestación) y múltiples capitales financieros (contraprestación).
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs financieros 8 1.4. LEYES FINANCIERAS Para que las dos cuantías sean iguales, es preciso que se produzca una corrección monetaria entre ellas, por el paso del tiempo. La ley financiera es la función que permite esta corrección monetaria.
Existen dos tipos de leyes financieras: la ley de capitalización y la ley de descuento.
LEY DE CAPITALIZACIÓN: Las operaciones de capitalización suponen un depósito o aportación C1 en el momento inicial, t1, que ha de ser equivalente a otra cuantía, C2 en el momento t2. Por tanto, la equivalencia se produce en el momento del vencimiento de la operación, t2.
C2 t1 C1 t2 La cuantía final es igual a la inicial más los intereses.
Siempre se cumple que C2 > C1.
E JEMPLOS : a) depósitos bancarios de libre disposición b) depósitos bancarios a plazo c) cuentas corrientes LEY DE DESCUENTO: Las operaciones de descuento suponen un ingreso esperado C1 en un momento futuro, t1, que ha de ser equivalente a otra cuantía, C2 en el momento inicial, t2. Por tanto, la equivalencia es anterior al vencimiento de la operación.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 9 C1 t2 C2 t1 E JEMPLOS : a) descuento de un efecto comercial b) cesión de créditos a terceros 1.5. FACTOR FINANCIERO Si bien mediante la ley financiera podemos desplazar capitales entre dos momentos del tiempo, el factor financiero es la función que nos permite obtener el capital financieramente equivalente a otro, y se representa como: f(t , t ) Cuando el factor financiero es positivo, se produce un desplazamiento a la derecha, y por tanto se trata de un factor de capitalización. Cuando es negativo, realizamos un desplazamiento a la izquierda, y hablamos de un factor de descuento.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 10 TEMA 2: REGÍMENES FINANCIEROS Los regímenes financieros se definen como las leyes que determinan el comportamiento de las operaciones financieras.
Así, podemos definir los siguientes tipos de Regímenes Financieros: Regímenes Financieros Simples Compuestos Interés Simple Vencido Interés Compuesto Interés Simple Anticipado Descuento Compuesto Descuento Comercial Descuento Racional 2.1. INTERÉS SIMPLE VENCIDO El Régimen Financiero de Interés Simple Vencido supone que el devengo de los intereses se produce de forma lineal. Es, por tanto, proporcional, a la cuantía invertida y al tiempo transcurrido.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 11 C0 + interés 0 C0 t Suponiendo que invertimos un capital financiero (V0,0) para obtener (Vt,t) al vencimiento de la operación, que se corresponderá con la cuantía inicial invertida más los intereses generados durante el período en que se ha producido la inversión.
Esta equivalencia se obtiene a partir de un tanto anual de interés, i, durante un tiempo t medido en fracción de años.
V = V + I = V + V · i · t = V · (1 + i · t) El régimen financiero de interés simple vencido se caracteriza por:    No corresponderse con la realidad No hay pago de intereses hasta el vencimiento de la operación Es la forma habitual de capitalización en las cuentas corrientes de las entidades financieras españolas El factor financiero que equilibra la operación en el tiempo es: f(t) = 1 + it Ejemplo: Nos prestan 1.000 € durante un año, al 5% de interés anual.
= 1.000€ =1 = 0,05 = (1 + ) = 1.000€ · (1 + 0,05 ∙ 1) = 1.050,00€ Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 12 Supongamos que la operación se pacta a 7 meses: = 1.000€ 7 = 12 = 0,05 = (1 + ) = 1.000€ · 1 + 0,05 ∙ 7 = 1.029,17€ 12 Regímenes Financieros Simples Compuestos Supongamos que la operación se pacta a 18 días: = 1.000€ 18 = 365 = 0,05 = (1 + ) = 1.000€ · 1 + 0,05 ∙ 18 = 1.002,47€ 365 EJERCICIO 2.1.: Calcular el valor final de un depósito de 800€ iniciado el 23 de marzo de 2010, y que vence el 13 de agosto del mismo año, si la tasa de interés simple es un 16% anual.
EJERCICIO 2.2.: Usar la fórmula del interés simple para obtener el valor que falta, suponiendo que un año equivale a 12 meses y a 365 días: a) V0 ?, i = 3%, t = 90 días, Vt = 80.600€ b) V0 =800, i = 6%, t ?, Vt = 864€ c) V0 = 1.650€, i ?, t = 6,5 años, Vt = 1.993,20€ Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 13 EJERCICIO 2.3.: Un particular inició, hace nueve meses, una cuenta en la que ingresó 300€ en el momento de la apertura y, hace 2 meses, retiró 100€. Sabiendo que dicha cuenta ha proporcionado un 4% anual de interés simple vencido, ¿cuál será la cuantía acumulada hoy? EJERCICIO 2.4.: Hace quince meses, una persona abrió una cuenta con 1.000€ en la que ingresó hace nueve meses 2.000€. Sabiendo que la capitalización se efectúa en régimen financiero de interés simple vencido al 10% anual, determinar cuál será la cuantía acumulada en fecha de hoy.
EJERCICIO 2.5.: Una cuenta corriente abona intereses del 0,15% anual, en régimen financiero de interés simple vencido. Calcular el saldo a 31 de diciembre, después de que a los intereses se les haya practicado una retención del 18%.
Los movimientos de la cuenta han sido los siguientes: Fecha Valor 25/09/2011 16/10/2011 25/10/2011 05/11/2011 25/11/2011 05/12/2011 Concepto Importe Imposición inicial 3.200,00 € Ingreso 800,00 € Reintegro 2.000,00 € Reintegro 1.010,00 € Ingreso 2.800,00 € Ingreso 500,00 € TOTAL 4.920,00 € EJERCICIO 2.6.: Una obligación de 1.000€ de nominal, paga un cupón del 4,75% anual, con pago semestral. Su vencimiento está previsto que se produzca dentro de tres años, momento en el cual se recupera el valor nominal. Los cupones se reinvierten en una cuenta que paga el 2% de interés simple vencido. Obtener el saldo final de la cuenta en la que se han ingresado los cupones.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 14 2.2. INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO El Régimen Financiero de Interés Simple Anticipado se corresponde con una cesión de un activo por un período de tiempo, y a cambio de un precio total, que se percibe al inicio de la operación. Igualmente, el devengo de los intereses se produce de forma lineal, proporcional a la cuantía cedido y al plazo de la tiempo transcurrido.
Ct 0 Ct - intereses t Suponiendo que invertimos un capital financiero (V0,0) para obtener (Vt,t) al vencimiento de la operación. La cuantía de la inversión equivale a la cuantía a percibir al vencimiento menos los intereses que se generan durante el período que dura la inversión. Esta equivalencia se obtiene a parir de un tanto anual de interés, i, durante un tiempo t medido en fracción de años.
V = V − I = V − V · i · t = V · (1 − i · t) El factor financiero que equilibra la operación en el tiempo es: f(t) = 1 − i · t EJERCICIO 2.7.: ¿Cuánto tiempo ha estado invertido 1.000€ en una cuenta, que paga el 3,5% de interés anual simple anticipado, sabiendo que al vencimiento de la operación se obtendrán 2.000€? Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 15 EJERCICIO 2.8.: ¿Cuánto debe depositarse en una cuenta de ahorro que proporciona el 6% de interés simple anticipado, para obtener 1.000€ en nueve meses? 2.3. DESCUENTO SIMPLE O COMERCIAL Igual que en el Régimen Financiero de Interés Simple Vencido, el Régimen de Descuento Comercial supone que el devengo de los intereses a satisfacer por anticipar la cuantía, se produce de forma lineal y proporcional a la cuantía a percibir y al tiempo a transcurrir.
Se trata de anticipar, mediante el pago hoy de un precio o “descuento”, una cuantía que la tenemos disponible en el futuro.
Ct 0 Ct - descuento t Sabiendo que la tasa de descuento siempre es anual, y que el tiempo debe medirse en años: V = V − D = V − V · d · t = V · (1 − d · t) El factor financiero que equilibra la operación en el tiempo es: f(t) = 1 − d · t Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 16 Ejemplo: Sea una Letra del Tesoro que, adjudicada mediante subasta, resulta a un precio medio de 892,53€. El nominal de la letra es de 1.000€. Analizar la rentabilidad para una tenencia de 364 días.
= (1 − ) 892,53€ = 1.000€ 1 − = 1− 364 360 892.53€ 360 ∙ = 0,106289011 1.000€ 364 EJERCICIO 2.9.: Disponemos de una letra de cambio, de 2.000€ de nominal, que la llevamos al descuento. La entidad financiera nos aplica un 7% de descuento comercial. Sabiendo que la entidad aplica una comisión del 0,75% sobre el nominal, determinar el líquido obtenido del descuento si: a) La letra vence dentro de 50 días b) La letra vence dentro de 4 meses EJERCICIO 2.10.: Una persona dispone de una letra de cambio por un valor nominal de 1.000€, que vence en diez meses. ¿Cuál es el importe que recibirá si se descuenta a una tasa del 9% en régimen financiero de descuento comercial? Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 17 EJERCICIO 2.11.: Calcular el valor, el 25 de septiembre de 2011, de una letra de cambio de 1.200€ de nominal, que vence el 15 de enero de 2012. La tasa que aplica la entidad financiera es del 12% anual en régimen financiero de descuento comercial.
EJERCICIO 2.12.: Roberto ha recibido una letra de 2.000€ de nominal, con vencimiento a 90 días, que descuenta al 9% en régimen financiero de descuento comercial. Calcular cuánto recibe por el descuento.
2.4. DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO Siguiendo con el mismo criterio de la proporcionalidad entre las cuantías inicial y final, y al igual que en el caso del descuento comercial, mediante el descuento racional C0 + descuento o matemático se anticipa una cuantía que será disponible en el futuro, a cambio de un 0 t precio o descuentoC0que se paga al final de la operación.
C0 + descuento 0 C0 t V = V + D = V + V · d · t = V · (1 + d · t) El factor financiero que equilibra la operación en el tiempo es: f(t) = 1 + d · t Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 18 2.5. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE DESCUENTO E INTERÉS Si partimos de la misma cuantía en 0, V0, para llegar a la misma cuantía en t, Vt, usando dos regímenes financieros distintos, entonces podemos decir que ambos regímenes son equivalentes.
2.5.1. EQUIVALENCIA ENTRE EL INTERÉS SIMPLE VENCIDO Y EL DESCUENTO RACIONAL Estos dos regímenes son equivalentes, tan sólo sustituyendo el tanto de descuento por el de interés, y viceversa.
2.5.2. EQUIVALENCIA ENTRE EL INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO Y EL DESCUENTO COMERCIAL Estos dos regímenes son equivalentes, tan sólo sustituyendo el tanto de descuento por el de interés, y viceversa.
2.5.2. EQUIVALENCIA ENTRE EL INTERÉS SIMPLE VENCIDO Y EL DESCUENTO COMERCIAL De este modo, podemos buscar la equivalencia entre el interés simple vencido y el descuento comercial: = = 1− 360 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 1+ → 365 = 1− 360 19 1+ = 365 1− = 1− 360 = 1− 1+ Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 360 −1 365 365 −1 360 20 TEMA 3: APLICACIONES DE LOS REGÍMENES FINANCIEROS PRÁCTICOS 3.1. CUENTAS CORRIENTES Una cuenta corriente es una operación financiera en la que se efectúan imposiciones sin esperar recibir a cambio una rentabilidad elevada, sino que más bien se prima la elevada disponibilidad de los fondos de cara a hacer frente a los pagos inmediatos.
Puesto que la operación se pacta a interés simple vencido, y que por concepto éste sólo satisface los intereses al final de la operación, en las cuentas corrientes sólo se pagarían los intereses a la cancelación de la misma. Por este motivo, se pacta un pago periódico de intereses, al final de un período natural (mes, trimestre, etc.), según se establezca en las condiciones de la operación facilitadas por la entidad financiera.
Las imposiciones se pueden efectuar a cualquier hora del día, pero es preciso conocer la fecha valor, que es aquélla a partir de la que se empiezan a contar intereses.
Para el cálculo de los intereses, es preciso considerar dos métodos diferentes: a) Calcular el saldo al final del período, momento en el cual se pagan los intereses.
En este caso, los intereses se obtienen por diferencia entre el saldo final (con intereses) y la suma de las operaciones realizadas (saldo sin intereses).
= 1+ 365 siendo tr el número de días hasta el vencimiento.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 21 b) Calcular los intereses de los saldos intermedios (método hamburgués). Se procede a calcular los intereses de los saldos, según el número de días que ese saldo concreto ha estado en la cuenta. La suma de los saldos, nos da el importe de los intereses percibidos durante el período. El saldo final se obtiene de la suma de los movimientos del período más los intereses devengados y cobrados al final del período.
= ∙ 365 siendo tr el número de días entre movimientos.
3.1.1. CUENTAS CORRIENTES A INTERÉS FIJO En este tipo de cuentas, el interés del período de liquidación se mantiene constante.
Ejemplo Calcular el importe final así como el valor de los intereses abonados en la siguiente cuenta corriente a interés fijo, que rinde un 1,5% anual, y paga los intereses trimestralmente: Fecha Operación a) Saldo Final: 01/04/2011 20/04/2011 16/05/2011 02/06/2011 27/06/2011 Fecha Valor 04/04/2011 21/04/2011 17/05/2011 03/06/2011 28/06/2011 - Movimiento 2.000,00 € 756,50 € 375,20 € 487,40 € 155,98 € El cálculo se realiza al final del trimestre natural, 30 de junio de 2011.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 22 Fecha Operación Fecha Valor 01/04/2011 20/04/2011 16/05/2011 02/06/2011 27/06/2011 30/06/2011 Movimiento 04/04/2011 21/04/2011 17/05/2011 03/06/2011 28/06/2011 - Días a vencimiento 2.000,00 € 756,50 € 375,20 € 487,40 € 155,98 € 1.950,12 € 88 71 45 28 3 Valor a vencimiento - 2.007,23 € 758,71 € 375,89 € 487,96 € 156,00 € 1.956,38 € Los intereses se obtienen por diferencia: 1.956,38€ - 1.950,12€ = 6,26€.
Los días hasta el final del periodo se calculan como la diferencia de las fechas, ambos incluidos: 30/06/2010 - 04/04/2010 →27 días de abril, 31 de mayo y 30 de junio = 88 días.
b) Saldos Intermedios: El cálculo de los días, al ser las fechas valor, se calcula de la siguiente forma: del 04/04/2010 al 21/04/2010 -> 19 – 2 = 17 días.
Fecha Operación Fecha Valor 01/04/2011 20/04/2011 16/05/2011 02/06/2011 27/06/2011 04/04/2011 2.000,00 € 21/04/2011 - 756,50 € 17/05/2011 375,20 € 03/06/2011 487,40 € 28/06/2011 - 155,98 € 30/06/2011 Movimiento 1.950,12 € Saldo Días entre movimientos 2.000,00 € 1.243,50 € 1.618,70 € 2.106,10 € 1.950,12 € 17 26 17 25 3 Intereses parciales 1,40 € 1,33 € 1,13 € 2,16 € 0,24 € 6,26 € El saldo final es 1.950,12€ + 6,25€ = 1.956,38€.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 23 EJERCICIO 3.1.: Determinar los intereses que se devengan al final del período mensual así como el nuevo saldo al inicio del siguiente mes, sabiendo que se trata de una libreta de ahorro a la vista, con liquidación mensual de intereses y que se remunera al 0,1% en Régimen Financiero de Interés Simple Vencido.
Fecha Valor 01/09/2011 02/09/2011 05/09/2011 10/09/2011 12/09/2011 18/09/2011 20/09/2011 22/09/2011 Concepto Imposición inicial Restaurante Reintegro Teléfono Devolución Hacienda Electricidad Tienda ropa Ingreso cheque Importe 3.000,00 € 14,57 € 60,00 € 43,09 € 967,82 € 37,68 € 161,01 € 836,61 € EJERCICIO 3.2.: Determinar los intereses que se devengan en el momento oportuno, así como los nuevos saldos, a 01.07.11, sabiendo que se trata de una cuenta corriente remunerada, con liquidación trimestral de intereses y que se remunera al 6% en Régimen Financiero de Interés Simple Vencido.
Fecha Valor 25/01/2011 02/04/2011 20/04/2011 15/05/2011 14/06/2011 Concepto Imposición inicial Reintegro Ingreso Reintegro Reintegro Importe 400.000,00 € - 50.000,00 € 100.000,00 € - 25.000,00 € - 50.000,00 € 3.1.2. CUENTAS CORRIENTES A INTERÉS VARIABLE En este tipo de cuentas, el interés del período de liquidación se mantiene constante durante un período, pero cambia a partir de una fecha concreta.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 24 Ejemplo Supongamos que, en el ejemplo anterior, en donde había que calcular el importe final así como el valor de los intereses abonados en la siguiente cuenta corriente a interés fijo, que rinde un 1,5% anual, y paga los intereses trimestralmente, el tipo de interés cambia el 1 de junio de 2010, pasando a ser un 1,25%: Fecha Operación Fecha Valor 01/04/2010 20/04/2010 15/05/2010 02/06/2010 25/06/2010 02/04/2010 21/04/2010 17/05/2010 03/06/2010 28/06/2010 - Movimiento 2.000,00 € 756,50 € 375,20 € 487,40 € 155,98 € a) Saldo Final: El cálculo se realiza al final del trimestre natural, 30 de junio de 2010.
Fecha Operación Fecha Valor Movimiento Días a vencimiento 01/04/2010 20/04/2010 15/05/2010 31/05/2010 02/04/2010 21/04/2010 17/05/2010 2.000,00 € 756,50 € 375,20 € 1.618,70 € 60 41 15 01/06/2010 02/06/2010 25/06/2010 30/06/2010 01/06/2010 03/06/2010 28/06/2010 - 1.622,59 € 487,40 € 155,98 € 1.954,01 € 30 28 3 Valor a vencimiento - - 2.004,93 € 757,77 € 375,43 € 1.622,59 € 1.624,26 € 487,87 € 156,00 € 1.956,13 € Los intereses se obtienen por diferencia en los saldos de los dos períodos: (1.622,59€ - 1.618,70€) – (1.956,13€ - 1.954,01€) = 6,01€.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 25 b) Saldos Intermedios: Fecha Operación Fecha Valor Movimiento Saldo Días entre movimientos Intereses parciales 01/04/2010 20/04/2010 15/05/2010 31/05/2010 02/04/2010 2.000,00 € 21/04/2010 - 756,50 € 17/05/2010 375,20 € 1.618,70 € 2.000,00 € 1.243,50 € 1.618,70 € 19 26 15 1,56 € 1,33 € 1,00 € 3,89 € 01/06/2010 02/06/2010 25/06/2010 30/06/2010 01/06/2010 1.622,59 € 03/06/2010 487,40 € 28/06/2010 - 155,98 € 1.954,01 € 1.622,59 € 2.109,99 € 1.954,01 € 2 25 3 0,11 € 1,81 € 0,20 € 2,12 € El saldo final es 1.954,01€ + 2,12€ = 1.956,13€.
3.1.3. CUENTAS CORRIENTES CON SALDO DESCUBIERTO Cuando en algún momento del período de liquidación, se produce un descubierto, es como si la entidad financiera estuviera financiando al cliente con un crédito. Por ello, se aplica, no sólo los intereses del descubierto, sino también una comisión de apertura del descubierto.
Ejemplo En el ejemplo anterior, vamos a suponer una cuenta corriente a interés fijo del 1,5% anual, con pago trimestral de intereses, en los que se cobra un 20% por los saldos deudores, así como un a comisión de apertura del 0,5% sobre el saldo deudor con un mínimo de 25€.
El saldo deudor se cobra al 20%, y en el momento en que el saldo se vuelve acreedor, se cobra la comisión: 0,5% · 131,70€ = 0,66€, que al ser menor de 25€, se cobra el mínimo.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 26 Fecha Operación Fecha Valor Movimiento 01/04/2011 20/04/2011 16/05/2011 02/06/2011 02/06/2011 27/06/2011 04/04/2011 21/04/2011 17/05/2011 03/06/2011 03/06/2011 28/06/2011 2.000,00 € - 756,50 € - 1.375,20 € 487,40 € 25,00 € - 155,98 € 30/06/2011 174,72 € Saldo Días entre movimientos 2.000,00 € 1.243,50 € - 131,70 € 17 26 17 330,70 € 174,72 € 25 3 Intereses parciales - 1,40 € 1,33 € 0,09 € 0,34 € 0,02 € 3,00 € 3.2. IMPOSICIONES CON RENDIMIENTO EN ESPECIE Recientemente, las entidades financieras suelen ofrecer productos de consumo en lugar de rendimientos en unidades monetarias. El bajo importe de las tasas de interés hace que sea más atractivo para el cliente disponer de un “regalo” que los pocos euros que le ofrecen por un depósito a plazo.
El esquema de la operación es el siguiente: Entrega del artículo 0 C C t La operación se pacta a Interés Simple Anticipado.
Ejemplo El Banco Postal regala una bicicleta de montaña por una imposición de 2.000€ a 6 meses. Si la bicicleta cuesta 150€, ¿cuál es el tipo de interés anual de la operación? Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 27 = 2.000€ − 150€ = 2.000€ ∙ 1 − 1850€ = 2.000€ ∙ 1 − =2 1− 1 2 1 2 1.850€ = 15% 2.000€ 3.3. EFECTOS COMERCIALES El efecto comercial es un documento que emite el vendedor mediante el cual el comprador se compromete a satisfacer el importe de la deuda en un determinado momento, pactado por ambas partes.
Sin embargo, puesto que el vendedor necesita liquidez para hacer frente al día a día de su negocio, acude al mercado financiero para que éste le adelante el importe adeudado, a cambio de un precio, mediante la operación de descuento.
Ejemplo Calcular el coste financiero resultante de descontar un efecto comercial, de 2.000€ de nominal, que vence dentro de 60 días, al 8% anual en régimen financiero de descuento comercial, sabiendo que la entidad financiera aplica una comisión del 0,7%, y unos gastos fijos adicionales en concepto de timbres, que ascienden a 30€.
El importe del descuento es el siguiente: = 2.000€ ∙ (1 − ) = 2.000€ ∙ 1 − 0,08 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 60 = 1.973,33€ 360 28 El líquido resultante de la operación de descuento resulta de sustraer la comisión y los gastos adicionales: í = 1.973,33€ − 0,007 ∙ 2.000€ − 30€ = 1.929,33€ Si deseamos buscar el tanto de interés simple vencido equivalente a esa operación de descuento: 1.929,33€ ∙ 1 + = 60 = 2.000€ 365 2.000€ 365 −1 ∙ = 22,28% 1.929,33€ 60 3.4. DESCUENTOS POR PRONTO PAGO El descuento de efectos comerciales supone un coste muy elevado para el vendedor.
Una forma de disminuirlos es ofrecer al comprador un descuento por pronto pago.
Esto sólo será posible si el comprador dispone de la liquidez necesaria para hacer frente al pago.
Sin embargo, el determinar la cuantía del descuento no es sencillo para el vendedor que no desea perder dinero con la venta.
Igual que en el caso anterior, descontamos a una tasa de descuento d, con unos gastos variables, g, y unos gastos fijos, G.
De este modo, í = Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ∙ (1 − )− − 29 El descuento por pronto pago, pp, debe ser tal que aplicado al nominal de la deuda, no sea inferior al líquido obtenido por el descuento en la entidad financiera: De donde, ∙ (1 − − ∙ − ∙ − )> í ∙ > í > ∙ (1 − ) − > − − + + > < ( + )+ < + − − + Ejemplo Calcular el descuento por pronto pago que debería ofrecer, como máximo, el vendedor que descuenta un efecto comercial, de 2.000€ de nominal, que vence dentro de 60 días, al 8% anual en régimen financiero de descuento comercial, sabiendo que la entidad financiera aplica una comisión del 0,7%, y unos gastos fijos adicionales en concepto de timbres, que ascienden a 30€.
< 0,08 ∙ 60 30€ + 0,007 + 360 2.000€ < 3,53% Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 30 3.5. PAGARÉS DE EMPRESA Los pagarés de empresa son instrumentos financieros, que emiten las empresas para obtener financiación a corto plazo. Estos pagarés se venden a otras empresas o, incluso, a particulares, como inversión a corto plazo.
Al igual que en el caso del descuento, se computa el año de 360 días. Se trata de instrumentos financieros cuyo valor nominal se devuelve en el momento de su vencimiento y por el que se recibe una cuantía inferior.
Ejemplo La empresa ABC emite pagarés por valor de 200.000€, con vencimiento 125 días, a una tasa de interés anual del 10%.
Por otra parte, la empresa ABZ adquiere pagarés de la empresa ABC en el momento de la emisión, por valor de 50.000€. Sin embargo, a los 45 días los vende en el mercado secundario que, en para esa fecha, está pagando un 10,5% por el mismo pagaré.
Suponiendo que no se aplican gastos ni comisiones, por la colocación de los pagarés, la empresa ABC recibe: ∙ 1 + 0,10 = 125 = 200.000€ 360 200.000€ = 193.288,59€ 125 1 + 0,10 360 El coste de la operación para la empresa ABC en términos de interés simple vencido es de: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 31 193.288,59€ 1 + = 125 = 200.000€ 365 200.000€ 365 −1 ∙ = 0,10138 ≈ 10,14% 193.288,59€ 125 Por su parte, en el momento de la emisión, la empresa ABZ ha pagado: 1 + 0,10 = 125 = 50.000€ 360 50.000€ = 48.322,15€ 125 1 + 0,10 360 En el momento de la venta en el mercado secundario, va a percibir: 1 + 0,105 = 125 − 45 = 50.000€ 360 50.000€ = 48.859,93€ 80 1 + 0,105 360 El importe total de los intereses percibidos, ha sido: 48.859,93€ − 48.322,15€ = 537,78€ El rendimiento de la operación para la empresa ABZ, en términos de interés simple vencido, ha sido de: 48.322,15€ 1 + Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 45 = 48.859,93€ 365 32 = 48.859,93€ 365 −1 = 0,09027 ≈ 9,03% 48.322,15€ 45 3.6. LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro es el instrumento financiero más utilizado para la financiación del Estado. Se emiten con un valor nominal de 1.000€, con emisiones a 3, 6, 12 y 18 meses.
Las Letras se emiten mediante subasta. El importe mínimo de cada petición es de 1.000 euros, y las peticiones por importe superior han de ser múltiplos de 1.000 euros. Son valores emitidos al descuento por lo que su precio de adquisición es inferior al importe que el inversor recibirá en el momento del reembolso. La diferencia entre el valor de reembolso de la Letra (1.000€) y su precio de adquisición será el interés o rendimiento generado por la Letra del Tesoro.
Suponiendo emisiones a un año, el precio de adquisición de la Letra, V0, se obtiene de la ecuación: 364 1+ = 1.000€ 360 Donde la fracción (364/360) expresa la relación entre los días que median entre la emisión y el vencimiento, en días, dividido por el año comercial.
En realidad, el interés se expresa por años naturales, con lo que la rentabilidad obtenida debería ser: 1+ Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 364 = 1.000€ 365 33 Igualando ambas expresiones: 1,000€ 1+ = 364 = 360 1+ 364 365 365 = ∙ 1,01389 360 Por lo que la rentabilidad real de las Letras del Tesoro es un 1,39% superior a lo publicado.
Ejemplo En la última subasta de Letras del Tesoro a un año se ha pagado 986,83€.
Determinar la rentabilidad publicada así como la rentabilidad real para el inversor.
986,83€ 1 + = = 364 = 1.000€ 365 1.000€ 360 −1 = 0,013199 ≈ 1,32% 986,83€ 364 365 365 = 0,013199 = 0,013382 ≈ 1,34% 360 360 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 34 3.7. OPERACIÓN DE COMPRAVENTA CON PACTO DE RECOMPRA (REPO) En el día a día de las empresas, hay momentos con excesos de liquidez, a los que se les quiere sacar una rentabilidad, mientras que puede darse el caso en que exista una falta puntual de liquidez que necesite financiación.
Para ello se puede adquirir o ceder un activo financiero con la garantía de que, transcurrido el periodo de tiempo establecido, existirá una entidad que le recomprará o le revenderá dicho activo, conocido de antemano el precio de compra o de venta. Se conoce, por tanto, el interés al cual de establece la operación.
El esquema de la operación sería el siguiente:  La Entidad A posee un exceso de liquidez, por valor de C, durante un período t.
 La Entidad B posee un activo financiero que está dispuesta a ceder por ese mismo espacio temporal t.
0' A compra 0 Período de cesión del activo B recompra t t' La operación se paga por vencido, por lo que se utiliza el régimen de interés simple vencido.
El precio de compra en 0 se obtiene como: 1+ = Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ′ = 365 1+ ′ 365 35 Ejemplo Hace 60 días la empresa CTP adquirió un activo financiero por valor de 95.000€ con vencimiento 340 días., y 100.000€ de valor nominal. A día de hoy, la empresa necesita efectuar un pago de 83.500€. En lugar de solicitar un crédito, decide entrar en una operación repo durante un plazo de 90 días, que es el tiempo que estima necesario para poder recuperar la liquidez, período durante el cual cede la titularidad del activo.
Si la tasa es del 5,6%, calcular la cuantía a obtener por la empresa en el momento de la cesión, así como lo que deberá abonar en el momento de la recompra.
La cuantía a obtener en el momento de la cesión es de: = 100.000€ 1 + 0,056 340 − 60 365 = 95.881,05€ La cuantía a satisfacer en el momento de la recompra: = 95.881,05€ 1 + 0,056 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 90 = 97.205,00€ 365 36 TEMA 4. REGÍMENES FINANCIEROS RACIONALES 4.1. INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO En los regímenes financieros compuestos, distinguiremos las siguientes formas de expresar los tipos de interés:  Interés nominal, im, interés anual pagadero por períodos, siendo m la frecuencia de capitalización.
 Interés efectivo, Im, es el interés efectivamente percibido en el período de capitalización.
La equivalencia entre ambos tantos de interés: = Ejemplo Calcular la tasa efectiva semestral a partir de un interés del 9% anual pagadero por semestres: = 0,09 = 2 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs = 0,09 = 0,045 2 37 4.2. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE INTERÉS EFECTIVOS Igualmente, se puede buscar la equivalencia de los tantos efectivos entre sí.
Una cuantía inicial, C, puede ser equivalente a otra final, C’, utilizando tantos de interés efectivo de distinta frecuencia de capitalización.
(1 + = = (1 + (1 + ) ) ) = (1 + = (1 + ) ) −1 Ejemplo Obtener el interés efectivo semestral equivalente al 2% efectivo trimestral.
(1 + ) = (1 + ) = (1 + ) − 1 = 0,0404 ≈ 4,04% 4.3. INTERÉS COMPUESTO Las operaciones que se realizan mediante interés compuesto son operaciones a largo plazo, con pago periódico de intereses.
Siendo una operación en la que se invierte en el momento actual, 0, la cuantía V0 a una tasa de interés efectivo de frecuencia m, Im, el valor obtenido al final de n períodos de capitalización, Vn, se obtiene a partir de la expresión: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 38 = (1 + ) Siendo el factor financiero asociado a la operación ( ) = (1 + ) .
Ejemplo Suponer la capitalización de 1.000€ a 2 años, al 5% de interés efectivo anual.
= 0,05 = 1.000€(1 + 0,05) = 1.102,50€ EJERCICIO 4.1.: Marcela acaba de ganar el tercer premio de la lotería y recibe un cheque por valor de 250.000€. Después de gastar 10.000€ en unas vacaciones, decide invertir el resto en una cuenta que paga el 1,5% anual con liquidación mensual de intereses. ¿Cuánto dinero habrá acumulado en la cuenta una vez transcurridos diez años? EJERCICIO 4.2.: Jessica quiere invertir 30.000€ el día de hoy. Su objetivo es disponer de 222.000€ dentro de 21 años. ¿Qué tasa anual de interés necesita para conseguir su objetivo? Si la tasa es anual con liquidación trimestral, ¿la tasa deberá ser mayor o menor para lograr el mismo objetivo? ¿Cuál sería esa tasa? EJERCICIO 4.3.: Daniela invierte 10.000€ hoy en un fondo que gana un 5% anual de interés. ¿Cuántos años tardará en que el fondo llegue a acumular 13.400€? Si el fondo paga una tasa de interés semestral, ¿tardará más o menos en conseguir su objetivo? Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 39 EJERCICIO 4.4.: Calcula el valor final de las siguientes operaciones: a) b) c) d) 2.000€ a 3 años a la tasa del 2% anual con liquidación semestral 2.000€ a 3 años a la tasa del 2% anual con liquidación trimestral 2.000€ a 3 años a la tasa del 2% anual con liquidación mensual 2.000€ a 3 años a la tasa del 2% an ual con liquidación diaria EJERCICIO 4.5.: Calcular el tipo de interés nominal anual al cual se debe colocar 3.000€ para que su cuantía se duplique en cuatro años, sabiendo que la frecuencia de capitalización es cuatrimestral.
EJERCICIO 4.6.: Un banco ofrece dos posibilidades de inversión a sus clientes, para una inversión a tres años: 1. Abono de intereses del 6% anual, en régimen de interés simple vencido 2. Abono de intereses del 5,5% anual, con pago mensual de intereses ¿Cuál de las dos opciones es más conveniente? EJERCICIO 4.7.: Se deposita en un banco un capital de C€ que, a los 20 años, se convierte en 4C€.
Determinar los siguientes tipos de interés que hacen posible esta equivalencia: a) El tanto nominal con liquidación semestral b) El tanto efectivo anual c) El tanto efectivo bienal Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 40 4.4. DESCUENTO NOMINAL Y DESCUENTO EFECTIVO De la misma manera que hemos procedido con las tasas de interés, se trabaja con las tasas de descuento: a) Descuento nominal, dm, tasa anual pagadera por períodos, siendo m la frecuencia de capitalización.
b) Descuento efectivo, Dm, es la tasa que se percibe efectivamente en el período de capitalización.
La equivalencia entre ambos tantos de descuento es: = Ejemplo Calcular la tasa de descuento efectiva mensual a partir de una tasa de descuento del 6% anual con liquidación mensual.
= = 0,06 12 = 0,06 = 0,005 12 4.5. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE DESCUENTO EFECTIVOS Repitiendo el proceso efectuado para las tasas de interés, se puede buscar la equivalencia de los tantos efectivos entre sí.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 41 Una cuantía final, C, puede ser equivalente a otra inicial, C’, utilizando tantos de descuento efectivo de distinta frecuencia de capitalización.
(1 − = (1 − = (1 − ) ) ) = (1 − = 1 − (1 − ) ) Ejemplo Obtener la tasa de descuento efectivo mensual equivalente al 10% de descuento efectivo trimestral.
(1 − ) = (1 − = 1 − (1 − 0,10) ) = 0,03451 ≈ 3,45% 4.6. DESCUENTO COMPUESTO Al igual que en el caso del Interés Compuesto, se utiliza el descuento compuesto Para operaciones a más de un año: Siendo una operación en la que se espera percibir después de n períodos la cuantía Vn y que se descuenta a una tasa de efectiva de frecuencia m, Dm, el valor obtenido hoy fruto del descuento, V0, se obtiene a partir de la expresión: = Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs (1 − ) 42 Siendo el factor financiero asociado a la operación ( ) = (1 − ) .
Ejemplo Obtener el importe del descuento de un efecto que vence dentro de dos años, de 1.000€ de nominal, al 3% de descuento efectivo trimestral.
= 0,03 = 1.000€(1 − 0,03) · = 783,74€ 4.7. EQUIVALENCIA ENTRE LOS TANTOS DE INTERÉS Y DE DESCUENTO Igualmente, la equivalencia entre los tantos de interés y descuento parte de la ecuación de equilibrio de ambos regímenes financieros: = = (1 + = = (1 + (1 − (1 + (1 − ) = (1 − = (1 − ) = 1 − (1 + Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ) ) ) ) ) −1 ) 43 EJERCICIO 4.8.: Una letra de 2.000€ se descuenta hoy a un tanto del 15% de descuento comercial, obteniéndose un valor de 1.925€. Calcular: a) El número de días hasta el vencimiento de la letra b) El tanto equivalente anual en régimen financiero de interés simple vencido c) El valor descontado en régimen financiero de descuento racional, si se utiliza el mismo tanto utilizado en el descuento comercial EJERCICIO 4.9.: Una empresa cuenta con las siguientes partidas: 1. Cuenta corriente iniciada hace tres años y durante los cuales se ha efectuado las siguientes imposiciones: 150.000€ en el momento de la apertura, 200.000€ hace dos años, 35.000€ hace un año y 200.000€ hace dos meses.
Determinar el saldo actual de la cuenta corriente, sabiendo que durante el primer año y medio rendía el 3% efectivo trimestral y un 6% efectivo semestral el resto del plazo.
2. Tres efectos comerciales de mil euros de nominal cada uno, que vencen a los 3, 6 y 18 meses respectivamente. Obtener el importe resultante del descuento sabiendo que a los efectos que vencen en un plazo inferior al año se les aplica un 15% anual de descuento comercial y un 13% de descuento efectivo semestral cuando el vencimiento es superior al año.
3. Los dividendos anuales de 100 acciones, adquiridas hace 4 años, de 5€ de nominal cada una y que rinden el 10% anual. Determinar el valor hoy de los dividendos de la sociedad sabiendo que éstos se obtienen al final de cada año y han sido ingresados en una cuenta de ahorro que rinde el 12% anual capitalizable mensualmente.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 44 EJERCICIO 4.10.: Una empresa del sector textil desea emprender un nuevo proyecto de inversión. Para ello valoran las diferentes partidas de su activo: 1. Cartera de efectos comerciales de nominal 2.000€, 3.000€, 4.000€ y 4.500€, que vencen dentro de 1, 3, 5 y 6 trimestres respectivamente. Obtener el líquido total obtenido por el descuento de la cartera de efectos, sabiendo que si su vencimiento es inferior al año se descuentan al 10% anual en descuento comercial y al 12% anual pagadero por meses en descuento compuesto, en caso contrario.
2. Cuenta bancaria que inició hace 3 años y en la que ingresó 1.000€ en el momento de la apertura; posteriormente, hace 19 meses, ingresó 2.000€.
Calcular el saldo acumulado en la cuenta bancaria si ésta ha proporcionado un 12% anual capitalizable mensualmente el primer año y medio, y capitalizable cuatrimestralmente el siguiente año y medio.
3. Hace 4 años compró 100 acciones al 105%, de 10 € de nominal cada una. Cada acción ha pagado dividendos de 2,2€ al final de cada año. Actualmente cotizan al 110%. Determinar el importe total obtenido por la cartera de valores si en fecha de hoy se venden las acciones a su precio de cotización y sabiendo que los dividendos se han ido ingresando en una cuenta corriente que ha proporcionado un 9% anual de interés simple vencido.
4.8. CAPITALIZACIÓN CONTÍNUA La ley financiera de la capitalización compuesta es la función matemática que permite obtener el valor de un capital financiero en un instante determinado mediante el uso de una tasa instantánea de interés.
Si partimos de la función del interés compuesto: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 45 = (1 + ) = 1+ → ∞, → Para el caso de la capitalización continua: lim = → = → Por lo que: 1+ 1+ = · 1+ Podemos transformar la anterior en: lim · · · 1 = · = (1 + ) De forma similar con el descuento continuo: = = − (1 − ) Ejemplo Calcular el capital que obtendríamos después de invertir 1.000€ durante un plazo de tres años si la tasa de interés continua es el equivalente a un 3% efectivo anual.
= (1 + 0,03) = 0,0295588 = 1.000€ · Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs , · = 1.092,73€ 46 Ejemplo Calcular el líquido a obtener si descontamos un efecto de 1.000€ de nominal por un plazo de tres meses si la tasa de descuento continuo es el equivalente a un 7% efectivo anual.
= − (1 − 0,07) = 0,072571 = 1.000€ · , · = 982,02€ 4.9. VENCIMIENTO COMÚN Y VENCIMIENTO MEDIO Se entiende por Vencimiento Común a la suma de los capitales financieros en un momento T cualquiera.
Se conoce como Vencimiento Medio cuando la suma de los capitales financieros coincide con la suma aritmética de las cuantías.
Para el caso concreto del interés compuesto: a) Vencimiento Común = (1 + = (1 + ) ) ·( [ (1 + ) + ) (1 + + ) (1 + = (1 + = (1 + Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ) ·( ) ) ) + ⋯+ (1 + +⋯+ ) (1 + ·( ) ) = ] · 47 = · b) Vencimiento Medio = · (1 + ) = ∑ (1 + ) = (∑ · )− (1 + ( ) ) Ejemplo Una empresa tiene que cobrar varias deudas del mismo deudor:  La primera deuda, por importe de 6.000€, que vence dentro de un año  La segunda deuda, por importe de 3.000€, que vence dentro de un año y medio  La tercera, por importe de 4.000€, que vence dentro de 9 meses Calcular el momento en el cuál se debe hacer efectiva la cancelación de las deudas si el importe a percibir es la suma nominal de las mismas, si el tanto de interés es un 7% efectivo anual.
Importe a satisfacer = 6.000€ + 3.000€ + 4.000€ = 13.000€ = 6.000€(1 + 0,07) = + 3.000€(1 + 0,07) = 12.120,04€ , + 4.000€(1 + 0,07) , ln(13.000€) − ln (12.120,04€) = 1,03592104 ln (1 + 0,07) Por lo que el momento en que debe hacerse efectivo el pago es 1 año y 13 días.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 48 4.10. CÁLCULO DE LA TAE SEGÚN LA NORMATIVA DEL BANCO DE ESPAÑA Según la Circular número 8 del Banco de España, sobre Transparencia de las Operaciones y protección de la Clientela, de 7 de septiembre de 1990, y la número 13, de 21 de diciembre de 1993, que modifica la anterior, las entidades financieras están obligadas del tanto efectivo de interés anual vencido que equilibra prestaciones y contraprestaciones y que incluya todos los gastos y comisiones que sean inherentes a la operación financiera.
Ejemplo: TAE de un préstamo con comisiones Se concede un préstamo de 10.000€ a devolver a los 6 meses en un solo pago, a un tanto nominal del 8% que acumula mensualmente los intereses, con una comisión de apertura del 1%. La cuantía a devolver será: El tanto efectivo anual es: = 10.000€ 1 + = 1+ 0,08 12 0,08 12 = 10.406,73€ − 1 = 0,083 ≈ 8,3% Sin embargo, para calcular la TAE, debe considerarse la comisión de apertura. El prestatario recibirá, en realidad, 10.000€ - 0,01·10.000€ = 9.900€. Por tanto: = 10.406,73€ 9.900€ Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs , − 1 = 0,105 ≈ 10,5% 49 Ejemplo: TAE de una cuenta corriente con comisiones Una cuenta corriente ha mantenido un saldo constante de 2.514€ durante todo el año.
Dicha cuenta se remunera al 1% de interés nominal y tiene una comisión de mantenimiento de 6€ que se liquidan al final del año. La cuantía final, sin considerar la comisión, será: = 2.514€(1 + 0,01) = 2.539,14€ Para calcular la TAE se debe tener en cuenta la comisión de mantenimiento. En realidad, el cliente recibirá 2.539,14 – 6 = 2.533,14€. Por tanto : = 2539,14€ − 6€ − 1 = 0,0076 ≈ 0,76% 2.514€ Ejemplo: TAE de una operación sin comisiones Se constituye una Imposición a Plazo Fijo a 9 meses por un importe de 5.000€, con abono mensual de intereses, al 3,75% de interés nominal. Al no haber comisiones, coincidirán el tanto efectivo anual y la TAE: = = 1+ 0,0375 12 − 1 = 0,03815 ≈ 3,82% EJERCICIO 4.11.: Un capital de 6.500€ se coloca en capitalización compuesta por un plazo de cinco años. Durante los tres primeros años, se abonan intereses del 4% efectivo semestral, mientras que en los dos últimos, el tipo de interés es del 10% anual con liquidación trimestral. Calcular: a) El importe acumulado al final de los cinco años b) La TAE de la operación Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 50 EJERCICIO 4.12.: Hace tres años se inició una cuenta bancaria con 2.000€, posteriormente, al año, se ingresaron 1.000€ y hace 6 meses 500€. Los tantos de interés compuesto aplicados han sido: 10% efectivo anual los dos primeros años y el 12% anual capitalizable cuatrimestralmente el resto del plazo. ¿Cuál es la T.A.E. de la operación conjunta? EJERCICIO 4.13.: Determinar el importe obtenido del descuento de una cartera de efectos de nominal 2.000€, 3.000€, 4.000€ y 6.000€ que vencen a los 4, 6, 12 y 18 meses, respectivamente, sabiendo que los efectos de vencimiento igual o inferior al año se descuentan al 15% anual en régimen de descuento comercial y el resto, en régimen financiero de interés compuesto al 8% efectivo semestral.
EJERCICIO 4.14.: Calcular la cuantía acumulada en una cuenta bancaria que se inició hace 4 años y en la que se ingresó en el momento de la apertura 600€; posteriormente, al año y medio, se ingresaron 1.000€ y hace 9 meses, 500€. Hace 2 meses se retiraron 200€. La cuenta ha proporcionado los siguientes tantos de interés compuesto: 4% efectivo trimestral el primer año, 12% anual pagadero por meses los dos años y medio siguientes y pagadero por semestres el resto del plazo.
EJERCICIO 4.15.: Se desea sustituir dos letras de cambio, la primera de 3.000€ con vencimiento dentro de tres meses, y la segunda de 2.000€, que vence dentro de ocho meses, por una única letra con vencimiento en seis meses. Sabiendo que ambas se descuentan al 12% en régimen financiero de descuento comercial, calcular: a) El capital equivalente: a. Dentro de seis meses b. En el vencimiento medio b) El vencimiento medio Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 51 TEMA 5. RENTAS FINANCIERAS 5.1. CONCEPTO Y ELEMENTOS DE UNA RENTA Se entiende por renta a una sucesión de cobros o pagos, periódicos y regulares.
 Término de la renta: cada uno de los cobros o pagos  Período de maduración: cada uno de los períodos en los que se satisface el término de la renta  Origen de la renta: es donde se hace efectivo el primer término de la renta  Final de la renta: momento en el que se hace efectivo el último término de la renta  Duración: es el tiempo que media entre el origen y el final de la renta 5.2. CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS Las rentas se pueden clasificar según distintos criterios: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 52 Por su naturaleza •Rentas ciertas •Rentas aleatorias Por la naturaleza del término •Rentas constantes •Rentas variables: •En progresión aritmética •En progresión geométrica Por su duración •Rentas temporales •Rentas perpétuas Por su inicio •Rentas inmediatas •Rentas diferidas Por su situación dentro del término •Rentas vencidas •Rentas anticipadas 5.3. RENTAS CONSTANTES 5.3.1. DEFINICIÓN DE LA RENTA MODELO El estudio de las rentas lo vamos a efectuar a través de la RENTA MODELO a la que vamos a aplicar los FACTORES DE CORRECCIÓN.
La RENTA MODELO es aquella renta unitaria, constante, cierta, temporal, inmediata y vencida.
5.3.2. VALOR ACTUAL DE LA RENTA MODELO Para obtener el valor actual de la renta modelo suponemos que, durante los próximos n períodos, vamos a percibir un euro, con una frecuencia m.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 53 El valor actual lo hallaremos trayendo cada uno de los euros situados en cada uno de los períodos, hasta el momento 0, utilizando para ello el régimen financiero de interés compuesto.
El objetivo es reducir, a una única cuantía, valorada a fecha de hoy, el importe de los flujos futuros, de los cuales es financieramente equivalente; esto es, es indiferente percibir un euro durante los próximos n períodos, que su valor actual en fecha de hoy.
0 1€ 1€ 1€ 1€ 1€ 1€ 1 2 3 4 n-1 n V0 Con ello, y aplicando el régimen de interés compuesto y realizando las convenientes operaciones algebraicas, obtenemos Ia fórmula de valor actual de Ia renta modelo.
+ 1€(1 + ) + 1€(1 + ) + ⋯ + 1€(1 + − · = = ; = (1 + ) = 1− ) − (1 + ) · (1 + ) (1 + ) · [1 − (1 + = (1 + ) − 1 1 − (1 + ) 1+ (1 + ) · [1 − (1 + ) ] = (1 + ) · (1 + ) − 1 = 1€(1 + = (1 + ) = · 1 − (1 + ) ) = ] ) 5.3.3. CORRECCIONES A LA RENTA MODELO 5.3.3.1. RENTA ANTICIPADA La renta anticipada supone que las cuantías periódicas se perciben al principio del periodo. Puesto que la única herramienta de que disponemos para valorar la renta Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 54 presupone que las cuantías están situadas al final, el valor actual de la renta está situado un periodo antes del primer flujo.
-1 V-1 → 0 2 1 3 4 n-1 n Vo Por ello, es preciso elevar el valor actual de la renta vencida, situado en -1, hasta el momento inicial de la renta anticipada,0.
= · (1 + ) 5.3.3.2. RENTA DIFERIDA La renta diferida supone valorar en fecha de hoy unos flujos a percibir durante n períodos a partir del momento d+1.
Con lo que la expresión para obtener el valor actual de la renta diferida equivale a actualizar, mediante el uso del régimen financiero de interés compuesto, el valor actual obtenido con la renta modelo, desde el inicio de la renta hasta el momento inicial.
= Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs · (1 + ) 55 5.3.3.4. VALOR FINAL El valor final de la renta modelo supone buscar la cuantía financieramente equivalente en un momento final, n, de los flujos unitarios durante los próximos n períodos.
Puesto que, mediante la fórmula del valor actual, hemos reducido las “n” cuantías a una sola, el capital que representa el valor actual de los flujos puede moverse a lo largo del eje temporal utilizando el régimen financiero de interés compuesto.
De este modo, la expresión del valor final de una renta es: = · (1 + ) 5.3.3.5. VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA La renta perpetua es aquella cuyo final se desconoce, asimilándose, por tanto, a un infinito número de términos.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 56 0 1€ 1€ 1€ 1€ 1€ 1€ 1€ 1€ 1 2 3 4 n-1 n n+1 ∞ La expresión para la renta perpetua se obtiene, por tanto, de aplicar el límite, cuando n tiende a infinito, de la expresión obtenida para la renta modelo.
= lim → = lim → · 1 − (1 + ) = · 1 La expresión para la renta perpetua se obtiene, por tanto, de aplicar el límite, EJERCICIO 5.1.: cuando n tiende a infinito, de la expresión obtenida para la renta modelo.
Determinar el valor actual de una renta de 100 términos mensuales, unitarios, que es anticipada y diferida un trimestre, valorada al 12% efectivo anual en régimen financiero de interés compuesto.
EJERCICIO 5.2.: Determinar el valor final de una renta constante, pagadera por semestres anticipados, durante 5 años y cuya cuantía es de 100€. El tanto de valoración es el 7% efectivo anual en régimen financiero de interés compuesto.
EJERCICIO 5.3.: Un trabajador invierte 1.000€ al principio de cada año, durante ocho años. La inversión rinde un 8% anual con liquidación trimestral. La inversión continua hasta el año doce, momento en el cual se retiran 9.000€. ¿Cuánto tendrá acumulado al final del año quince? Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 57 EJERCICIO 5.4.: Una persona invierte 2.000€ cada año, empezando al final de la primera anualidad, y durante un período de diez años. En el momento de depositar el ultimo importe, añade otros 11.000€ a la cuenta. ¿Cuánto habrá ahorrado al final del año dieciséis si el tipo de interés es un 8,55% anual? EJERCICIO 5.5.: Una persona dispone de 200.000€ en un depósito bancario. A partir del este año, y al final de cada año, retira 5.000€ al año. La inversión rinde un 8% anual. ¿De cuánto dinero dispondrá después de haber efectuado doce retiros? EJERCICIO 5.6.: Una persona quiere comprar un Porsche 911 nuevo dentro de cinco años. El Porsche con los accesorios que desea cuesta hoy 90.000€. Se espera que el precio de los nuevos modelos aumente a una tasa del 6% anual. ¿Cuánto costará el nuevo Porsche dentro de cinco años? a) Si se considera que se puede obtener un interés del 5% anual y se plantea efectuar cinco depósitos de igual cuantía, empezando dentro de doce meses, ¿a cuánto ascendería cada depósito para poder comprar el coche? b) Si la persona solo puede ahorrar 10.000€ al año (empezando dentro de doce meses), ¿a qué tipo de interés le deberían pagar su inversión? c) Si la persona puede ahorrar 20.000€ al año y le pagan por la inversión un 7% anual, ¿cuándo podrá comprar el Porsche? d) Si se reinvierten los ahorros a un fondo que garantiza un 7% anual durante los próximos cinco años, ¿cuánto se debería aportar para conseguir efectuar la compra? EJERCICIO 5.7.: Una empresa adquirió hace 4 años 1.000 acciones de la sociedad X, de nominal 200€ cada una, al 120% y que han proporcionado unos dividendos al final de cada trimestre del 4% los dos primeros años y del 6% los dos restantes. Estos dividendos se han ingresado en una cuenta bancaria al 9% anual capitalizable trimestralmente.
Calcular el saldo acumulado hoy en la cuenta bancaria.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 58 EJERCICIO 5.8.: Calcular el valor final de una renta de 30 términos trimestrales, pagaderos por vencido, con la siguiente variación: los diez primeros términos de 100€, los diez segundos, 200€ y los diez últimos, 300€. El tanto de valoración es el 4% efectivo trimestral.
5.4. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Se entiende por rentas variables aquéllas en las que la cuantía difiere de término a término.
Cuando los términos de la renta siguen una ley o progresión, podemos hallar una expresión para su cálculo. En caso contrario, el valor actual se obtiene sumar el valor actual de cada uno de los términos de la renta, por separado.
5.4.1. RENTAS TEMPORALES En las rentas variables cada término crece con respecto al término anterior en q=1+factor de crecimiento.
Representamos por q el tanto por ciento de crecimiento en el período más uno.
En el caso de que los términos de la renta sigan una progresión geométrica, distinguiremos dos casos distintos: EL FACTOR FINANCIERO ES DISTINTO AL FACTOR DE CRECIMIENTO: 1 + ≠ Para calcular el valor actual partimos de la actualización individual de cada uno de los términos y realizamos, de la misma forma en que lo hicimos para la renta modelo, las convenientes operaciones algebraicas: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 59 = (1 + = (1 + ) ) (1 + ) = + (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + − · = = ; = (1 + ) = 1− (1 + ) · (1 + ) (1 + ) · [1 − (1 + ) − = (1 + ) − 1 − (1 + ) 1+ (1 + ) · [1 − (1 + ) ] = (1 + ) · (1 + ) − = · 1− (1 + 1+ ] ) Los factores de corrección se aplican de la misma forma que en el caso de la Renta Modelo.
EL FACTOR FINANCIERO ES IGUAL AL FACTOR DE CRECIMIENTO: 1 + = (1 + ) = (1 + + (1 + ={ ) ) = 1+ + (1 + = + ) (1 + → (1 + · + (1 + · (1 + ) ) + ⋯+ ) ) = 1} = + ⋯ + (1 + = (1 + ) = ) Se observa que el factor financiero se anula con el factor de crecimiento para todos los períodos, con el desfase de un período.
5.4.2. RENTAS PERPÉTUAS La expresión, para la renta perpetua con variación geométrica, es: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 60 = lim → = lim → >1+ → · 1 − (1 + ) 1+ − = 1+ 1 − Este valor sólo es posible cuando se cumple que q<1+Im. En caso contrario, no se puede obtener el valor de la renta perpetua, ya que el límite cuando n tiende a infinito es siempre infinito.
5.5. RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA En caso de que el crecimiento de los términos de la renta siga una progresión aritmética, cada término crece, con respecto al término anterior, en h unidades monetarias.
5.5.1. RENTAS TEMPORALES La expresión para el valor actual de la renta aritmética es: = + ℎ+ ℎ 1 − (1 + ) − ℎ 5.5.2. RENTAS PERPÉTUAS En caso de que la renta sea perpetua: = lim → = Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs (1 + ) + ℎ(1 + ) ( ) 61 EJERCICIO 5.9.: Un inversor quisiera comprar un yate dentro de cuatro años. El precio del yate hoy asciende a 80.000€. El inversor espera que el precio del yate aumente en un 4% anual y se pretende efectuar el pago al contado.
a) ¿Cuál sería el precio del yate dentro de cuatro años? b) ¿A cuánto ascendería el ahorro anual (empezando dentro de doce meses) si el inversor pudiera ahorrar cada año un 5% más con respecto al año anterior y la cuenta rindiera un 7% anual, para poder disponer de la cuantía necesaria para adquirir el yate? EJERCICIO 5.10.: Hoy, usted supone que necesita 40.000€ al año para vivir a partir del momento en que se jubile.
a) ¿Cuánto necesitaría tener ahorrado a los 60 años, sabiendo que la tasa de interés de mercado es del 6% anual, y espera vivir hasta los 85 años? b) Si usted tiene ahora 40 años y se quiere jubilar a los 60, ¿cuánto va a tener que ahorrar cada año para poder disponer de la cuantía requerida en el apartado anterior, sabiendo que la tasa de interés de mercado es un 6% anual y la tasa de inflación esperada a largo plazo es del 3% anual? EJERCICIO 5.11.: Su asesor financiero le comunica que debería disponer de 4.000.000€ en el momento de su jubilación, que espera que se produzca dentro de 35 años. Si usted no tiene nada ahorrado en fecha de hoy y su entidad financiera le promete un 7% efectivo anual para todo el período, ¿cuánto necesita depositar al final de cada año para lograr su objetivo? Suponga que cada año puede incrementar su aportación en un 5% anual.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 62 5.6. RENTAS FRACCIONADAS Se entiende por rentas fraccionadas aquéllas en las que la periodicidad de pago no coincide con la variación de la renta.
Por ejemplo, una renta que crece anualmente y cuyos términos mensualmente. En este caso: m = 2 - pago semestral M = 1 - crecimiento anual 0 C1 C1 C2 C2 C3 C3 1 2 3 4 5 6 se pagan … V0 Hemos transformado una renta de pago semestral y crecimiento anual en otra, ficticia, de pago anual y crecimiento anual, para la cual disponemos de una fórmula para obtener su valor actual.
1− = (1 + ) 1+ − siendo M la frecuencia de crecimiento y N el número de veces que crece la renta.
Para pasar de esta renta ficticia a la original, es preciso corregir los intereses que se dejan de percibir por considerar que la suma de los pagos se efectúa al final del período.
Este factor de corrección coincide con el cociente de los intereses nominales de las respectivas frecuencias, la de crecimiento y la de pago.
= Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs · · · 63 En caso de ser una renta aritmética fraccionada: = · + + = 1 − (1 + · ) − · · EJERCICIO 5.12.: Calcular el capital que obtendrá un partícipe de un plan de pensiones, contratado el día que cumple 30 años de edad, en el momento en que se jubile, si efectúa aportaciones mensuales al plan, y por vencido. El importe de la primera aportación es de 400€ al mes, y crecen anualmente en un 3%. Se espera que la rentabilidad a obtener por el plan sea del 6% efectivo anual.
EJERCICIO 5.13.: Un particular está analizando tres ofertas de trabajo que le han presentado para los dos próximos años:  Oferta A: salario mensual de 1.500€ fijos durante los dos años, a cobrar al inicio de cada mes.
 Oferta B: salario mensual, al final de cada mes, de 1.000€ el primer mes, creciendo éste en 20€ cada mes durante los dos años. El primer mes no se percibe salario.
 Oferta C: salario mensual de 1.300€ al final de cada mes durante el primer año y crecimiento del 5% anual acumulativo el segundo año.
Si el tanto de valoración es del 6% efectivo semestral en régimen financiero de interés compuesto, ¿con cuál de las tres ofertas percibiría hoy unas retribuciones mayores? EJERCICIO 5.14.: Para determinar el beneficio al final del primer año de explotación, una fábrica de conservas debe valorar, entre otras, las siguientes partidas: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 64 a) Compra de latas: se adquieren 10.000 unidades mensuales, a 7€ cada una.
Obtener el valor al final del primer año de los gastos de adquisición de latas vacías, sabiendo que se pagan por meses anticipados.
b) Materia prima: se estima que el valor diario de la mercancía que se adquiere asciende a 25.000€ durante el primer y segundo trimestre del año, y a 30.000€ el resto del año. Obtener el valor al final del primer año de la compra de materia prima, sabiendo que si importe se abona diariamente y por vencido.
c) Material de embalaje: 10.000 cajas de cartón mensuales cuyo importe unitario asciende a 15 € los dos primeros meses, creciendo en 2€ cada una cada dos meses. Obtener el valor al final del primer año de los pagos efectuados en concepto de material de embalaje, sabiendo que éstos se realizan al principio de cada periodo bimestral.
d) La venta se hace directamente a los supermercados y se cobra al final de cada mes. La venta global se estima que será de 10.000 unidades mensuales, a 240€ cada una, creciendo el precio en un 1% acumulativo cada trimestre para compensar los efectos de la inflación. Obtener el valor final de los ingresos, sabiendo que éstos se perciben por vencido.
El tanto de valoración es del 10% efectivo anual.
EJERCICIO 5.15.: ¿Cuál será el saldo dentro de 20 años de una libreta de ahorro que se inicia hoy con imposiciones mensuales de 300€, que crecerán en 3€ con respecto al mismo mes del año anterior, sabiendo que ésta rinde el 10% efectivo anual? EJERCICIO 5.16.: Una empresa de seguros desea adquirir un equipo informático cuyo coste asciende a 3 millones de euros. La empresa informática le ofrece las siguientes condiciones:  Pago al contado de 1 millón de euros  El resto, cuotas trimestrales vencidas durante 10 años, que irán creciendo a razón del 10% anual acumulativo Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 65 Para hacer frente al pago al contado, la empresa cuenta con:  El saldo actual de la Cuenta A, en la que desde hace 4 años han ido ingresando imposiciones trimestrales de 30.000€ por vencido, el primer año, creciendo éstas en 4.000€ con respecto a las del año anterior.
 El saldo actual de la Cuenta B en la que desde hace 2 años ha ido ingresando 10.000€ cada mes durante el primer año y 20.000€ cada mes durante el segundo, siempre por vencido.
Por otra parte, una empresa de leasing le ofrece la posibilidad de alquilar un equipo informático de características similares, mediante el pago de unas cuotas mensuales de 20.000€ cada una, a pagar por anticipado durante 15 años, momento en el que puede ejercer su derecho de compra. Se pide: a) Saldo actual de la cuenta A si ha proporcionado un 9% efectivo anual de interés compuesto.
b) Saldo acumulado en la B si ha proporcionado un 6% efectivo semestral.
c) El importe de las cuotas trimestrales del primer año a satisfacer por la compra del equipo informático, si el tanto de valoración es del 10% efectivo anual en régimen financiero de interés compuesto.
d) El valor hoy de Ia operación de leasing considerando que no ejercerá Ia opción de compra y siendo el tanto de valoración del 10% efectivo anual en régimen financiero de interés compuesto.
EJERCICIO 5.17.: El empleado de una multinacional percibe un sueldo de 2.000€ mensuales más cuatro pagas extras anuales, del mismo importe, al final de cada trimestre. Las percepciones se ven incrementadas cada año con un 5% del sueldo inicial. Se pide: a) Valorar hoy la corriente de ingresos que percibirá en los próximos cinco años, si el tanto de interés efectivo es del 5% anual.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 66 b) Si coloca en una entidad financiera el 25% del sueldo mensual y las pagas extras integras, desea saber si tendrá dinero suficiente para comprarse un coche al final del tercer año, cuyo precio se estima en 40.000€.
EJERCICIO 5.18.: Un empleado que percibe un sueldo mensual de 3.000€ y en cuyos ingresos espera un aumento del 5% con respecto al año anterior, decide adquirir una vivienda con las siguientes condiciones de pago: a) En el momento de la compra, abona una cuantía equivalente a la suma de los ingresos a percibir durante el primer año.
b) El resto de la vivienda la financia a diez años, abonando el 50% de su sueldo mensual durante el primer año los cinco primeros años, y el 70% el resto de plazo.
Calcular el precio de la vivienda sabiendo que el banco le cargará unos intereses del 8% anual los cinco primeros años, y del 9% los cinco restantes.
EJERCICIO 5.19.: Un propietario tiene en alquiler por diez años dos fincas, cuyas rentas ascienden a 50.000€ al año y 20.000€ al semestre, respectivamente. Propone al arrendatario reunir dichos alquileres en uno solo, que se paga en 40 entregas trimestrales. Si el tanto de interés al que se concierta la unificación es del 10%, se pide obtener el nuevo alquiler.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 67 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 68 TEMA 6. PRÉSTAMOS 6.1. CONCEPTO Se entiende por préstamo aquélla operación financiera por la que el sujeto activo o prestamista cede una cuantía C al sujeto pasivo o prestatario, el cual se compromete a su devolución junto con los intereses devengados.
α0 α1 α2 α3 α4 … α n-1 αn 0 1 2 3 4 … n-1 n C La devolución puede consistir en un pago único o en un conjunto de pagos periódicos.
Los elementos del préstamo son: a) Deuda inicial, C. Es la cuantía solicitada en préstamo b) Término amortizativo, α r. Es el pago periódico con el que se lleva a cabo la devolución del préstamo.
c) Cuota de interés, Ir. Los intereses que se pagan periódicamente en función de la deuda de cada período.
d) Cuota de amortización, Ar. La devolución de capital, periódica, destinada a rebajar la deuda. α = I + A e) Deuda pendiente, DPr. La parte del préstamo que está pendiente de devolución.
f) Deuda amortizada, Mr. Es el total de capital amortizado correspondiente a la suma de los pagos destinados a la amortización de la deuda pendiente.
CUADRO DE AMORTIZACIÓN 0 1 2 … N α α … α I I … I Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs A A … A M M … M C DP DP … DP 69 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 70 6.2. TIPOS DE PRÉSTAMO Se pueden clasificar los préstamos atendiendo a dos criterios diferentes : Según el tipo de interés • Préstamos a interés fijo • Préstamos a interés variable Según el método de amortización • Préstamos con término amortizativo único • Préstamos con término amortizativo constante • Préstamos con término amortizativo variable 6.3. PRÉSTAMOS CON AMORTIZACIÓN ÚNICA Se pueden distinguir dos situaciones: 6.3.1. AMORTIZACIÓN ÚNICA SIN PAGO PERIÓDICO DE INTERESES C' 0 1 2 3 4 … n-1 n C La cuantía a devolver al final del préstamo equivale a la suma de la cuantía prestada inicialmente más los intereses acumulados.
De igual forma, la deuda pendiente en un momento r es la suma de la cuantía prestada inicialmente más los intereses acumulados hasta el momento r.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 71 = (1 + = (1 + ) = ) (1 + ) ( ) EJERCICIO 6.1.: Se inicia hoy una operación de préstamo de 10.000.000 € de nominal, amortizable mediante un único pago al vencimiento de la operación, que se producirá dentro de 12 años, concertado al 10% de interés anual pagadero por trimestres en régimen financiero de interés compuesto. Calcular la cuantía a devolver al vencimiento así como la deuda pendiente a los cuatro años de iniciada la operación de préstamo.
6.3.2. AMORTIZACIÓN ÚNICA CON PAGO PERIÓDICO DE INTERESES 0 I I I I … 1 2 3 4 … I I+C n-1 n C La cuantía a devolver al final del préstamo equivale al mismo importe prestado inicialmente, ya que los intereses se pagan periódicamente.
= · La deuda pendiente en un momento t cualquiera se calcula como los la deuda inicial más los intereses devengados desde el último pago de intereses en el período r.
= + (1 + Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ) , < < +1 72 6.4. PRÉSTAMOS CON TÉRMINO AMORTIZATIVO CONSTANTE Los préstamos a con término amortizativo constante siguen los siguientes métodos: 6.4.1. AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA FRANCÉS (TÉRMINO AMORTIZATIVO CONSTANTE) La amortización por el sistema francés distribuye uniformemente la carga financiera total del préstamo durante el plazo de la operación. Por tanto, el término amortizativo es constante en todo el plazo (αr = α).
ECUACIÓN DE EQUILIBRIO Describe la equivalencia financiera entre ambas prestaciones de la operación, valoradas en su origen.
0 α α α α α α 1 2 3 4 n-1 n La cuantía inicial del préstamo equivale, por tanto, al valor actual de los términos amortizativos del préstamo. Despejando: = 1 − (1 + ) DEUDA PENDIENTE Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 73 Después del pago del término r-ésimo, la deuda pendiente equivale a los términos amortizativos pendientes de satisfacer.
0 1 2 r α α α r+1 n-1 n DPr Con lo que el valor de la deuda pendiente en el período r equivale al valor actual de los n-r términos amortizativos pendientes.
= 1 − (1 + ) ( ) CUOTAS DE INTERÉS Y DE AMORTIZACIÓN La cuota de interés se obtiene de multiplicar el tipo de interés efectivo del período por la deuda pendiente en el momento de efectuar el pago del término amortizativo, que es la que se corresponde con el período inmediatamente anterior.
= · La cuota de amortización se obtiene por diferencia entre el término amortizativo y la cuota de interés para ese mismo período.
= − Ar crece en progresión geométrica de razón 1 + Im.
DEUDA AMORTIZADA La deuda amortizada en el período r es la suma de las cuotas de amortización de los r primeros períodos.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 74 = − = CUADRO DE AMORTIZACIÓN 0 1 2 … N α α … α I I … I A A … A M M … M C DP DP … DP EJERCICIO 6.2.: Estudio de un préstamo de 2.000.000€ a 4 años de plazo y 7% de interés anual pagadero por semestres, y amortizable por el sistema francés mediante términos semestrales.
6.4.2. AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA AMERICANO (CONSTITUCIÓN DE UN FONDO) Para la amortización del préstamo se constituye un fondo de amortización. Este sistema trata de solventar los problemas del préstamo francés para el prestamista, que al recibir los términos amortizativos del préstamo debe proceder a la constitución de sucesivas operaciones de inversión que, por ser de pequeña cuantía, tienen condiciones poco ventajosas.
Consiste en:  El pago periódico de los intereses que genera el préstamo.
 Aportación de cuotas periódicas y constantes a un fondo de amortización para la constitución del nominal del préstamo.
 Devolución del nominal del préstamo al vencimiento de la operación.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 75 Las cuotas de interés y de amortización son constantes. El tanto de interés al que se pacta la operación de préstamo y por la que se abonan periódicamente los intereses no suele coincidir con el tanto que nos remunera el fondo de capitalización para la constitución del capital final.
0 I I I I I I 1 2 3 4 n-1 n A A A A A A 1 2 3 4 n-1 n C 0 C CUOTA DE INTERÉS La cuota de interés es constante, y equivale al producto del nominal del préstamo por el tanto efectivo de interés asociado a la frecuencia de pago de los intereses del préstamo.
= · CUOTA DE AMORTIZACIÓN La cuota de amortización también es siempre constante y equivale a la cuantía necesaria para que, depositando estas cuotas en un fondo que devenga intereses, el saldo al final del período coincida con el nominal del préstamo a devolver.
= 1 − (1 + Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ) · (1 + ) 76 TÉRMINO AMORTIZATIVO El término amortizativo no es tal en esta modalidad de préstamo, ya que no se efectúan amortizaciones periódicas sino un ahorro sistemático para poder constituir un capital que permita la amortización de la deuda al vencimiento de la misma.
En este caso, el término amortizativo supone el total de pagos a efectuar por el prestatario en cada uno de los períodos, como la suma de las cuotas de interés y de amortización de capital.
= + DEUDA AMORTIZADA La deuda amortizada en un momento concreto r equivale al saldo acumulado en el fondo hasta ese momento, que no es otra cosa que el valor final en el momento r de las cuotas de capital efectuadas al fondo.
= · 1 − (1 + ) · (1 + ) DEUDA PENDIENTE La deuda pendiente representa, para esta modalidad de préstamo, la parte del nominal que aún no ha estado cubierta, o, lo que es lo mismo, la diferencia entre el nominal del préstamo y lo que ya se ha ahorrado a efectos de su devolución.
= Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs − 77 CUADRO DE AMORTIZACIÓN α 0 1 2 … N I I … I α α … α A A … A C DP DP … DP M M … M EJERCICIO 6.3.: Estudio de un préstamo por 5.000.000€, a 6 años de plazo y 7,5% del interés anual, amortizable mediante imposiciones anuales a un fondo que capitaliza semestralmente los intereses, al 6% nominal anual.
6.4.3. AMORTIZACIÓN POR EL SISTEMA ALEMÁN (INTERESES ANTICIPADO) Funciona igual que el préstamo francés, pero con pago anticipado de intereses.
I α α α α α α 0 1 2 3 4 n-1 n C ECUACIÓN DE EQUILIBRIO En el momento inicial, el prestamista concede al prestatario el nominal del préstamo, C, y, simultáneamente, está obligado a pagar la cuota de interés inicial, I.
La cuota de interés se determina a partir del producto del nominal con el interés anticipado del préstamo, que se asimila a un descuento.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 78 Por tanto, la deuda inicial (nominal menos cuota de interés inicial) ha de ser igual al valor actual de n los términos amortizativos que cancelarán el préstamo.
(1 − 1 − (1 + )= ) Siendo Ivenc el tanto de interés vencido equivalente al interés anticipado Iant m m .
1+ = = 1 − (1 + ) 1 1− (1 − = (1 + ) −1= ) = 1− 1 − (1 + ) (1 + ) DEUDA PENDIENTE La deuda pendiente en r sigue el mismo esquema que el término amortizativo, al ser el valor actual de los términos pendientes (de r+1 a n) más la cuota de interés del primer período, incluida en el término del período r-ésimo.
= 1 − (1 + ) ( ) (1 + ) CUOTAS DE INTERÉS Y AMORTIZACIÓN La cuota de interés se calcula sobre la deuda pendiente en el período en curso, y la cuota de amortización se obtiene por diferencia entre la deuda pendiente en el período inmediatamente anterior y la del período en curso.
= = Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs · − 79 DEUDA AMORTIZADA La deuda amortizada en r es la diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente en al finalizar el período r-ésimo.
= − CUADRO DE AMORTIZACIÓN 0 1 2 … N-1 N α α … α α C∙I I I … I 0 A A … A A M M … M M C DP DP … DP DP EJERCICIO 6.4.: Estudio de un préstamo por 8.000.000 de euros, a 5 años de plazo, al 7,75% de interés anual anticipado, amortizable mediante términos anuales por el sistema alemán.
6.5. PRÉSTAMOS CON TÉRMINO VARIABLE Los préstamos con término amortizativo variable siguen los siguientes métodos: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 80 6.5.1. AMORTIZACIÓN MEDIANTE EL SISTEMA ITALIANO (TÉRMINO AMORTIZATIVO VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Son préstamos cuyos términos amortizativos, suma de la cuota de capital y la de interés, que se satisface al final de cada período, es variable y decreciente, pues los intereses se pagan sobre capital pendiente, y éste cada vez es menor .
0 α1 1 α2 2 α3 α4 3 αn−1 4 n-1 αn n C ECUACIÓN DE EQUILIBRIO El capital del préstamo equivale a la suma del valor actual de cada uno de los pagos futuros que sirven para amortizar el préstamo y satisfacer los intereses devengados.
(1 + = ) CUOTA DE CAPITAL La cuota de capital, que es constante, se obtiene de dividir el nominal del préstamo entre el número de períodos durante los cuales se va a efectuar la amortización del mismo.
= Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs = 81 DEUDA AMORTIZADA La deuda ya amortizada es la suma de las cuotas de capital satisfechas. Dado que éstas son constantes.
= · DEUDA PENDIENTE La deuda pendiente se calcula como el nominal del préstamo menos el total amortizado hasta la fecha.
= − = − · =( − ) CUOTA DE INTERÉS La cuota de interés, igual que en el préstamo francés, se obtiene de multiplicar el tanto efectivo del período de amortización por la deuda pendiente en el período inmediatamente anterior.
= · TÉRMINO AMORTIZATIVO El término amortizativo en el préstamo amortizable por el sistema italiano es la suma de las cuotas de interés y de amortización para el período de referencia, = + que sigue una progresión aritmética de razón ℎ = − Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs · .
82 CUADRO DE AMORTIZACIÓN 0 1 2 … N α α … α I I … I A A … A C DP DP … DP M M … M EJERCICIO 6.5.: Se concertó un préstamo por valor de 12.000€ a un interés del 9% nominal pagadero mensualmente, a amortizar durante un año con pagos mensuales y cuota de amortización de capital constante.
6.5.2. AMORTIZACIÓN MEDIANTE TÉRMINO AMORIZATIVO VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Son aquellos préstamos en los que el término amortizativo sufre un crecimiento geométrico, de razón q.
0 α1 1 α2 α3 2 α4 3 4 αn−1 n-1 αn n C = · ECUACIÓN DE EQUILIBRIO Para obtener el importe del término amortizativo correspondiente al primero período de amortización, el nominal del préstamo debe igualarse al valor actual de los términos, que siguen una progresión geométrica.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 83 = 1 − (1 + ) 1+ − Los términos sucesivos se obtienen a partir del primero, teniendo en cuenta el número de períodos transcurridos y la razón de crecimiento.
En caso de que la periodicidad de crecimiento no coincidiera con la periodicidad de pago, debería utilizarse una renta fraccionada.
DEUDA PENDIENTE La deuda pendiente es el valor actual de una renta geométrica, desde el primer término amortizativo pendiente hasta el vencimiento del mismo, incorporando la razón de crecimiento.
= 1− (1 + ) 1+ − ( ) CUOTAS DE INTERÉS Y AMORTIZACIÓN La cuota de interés se obtiene de aplicar el tanto efectivo a la deuda pendiente en el período inmediatamente anterior.
La cuota de amortización se calcula como la diferencia entre el término amortizativo del período en curso y la cuota de interés del mismo período.
= = · − DEUDA AMORTIZADA La deuda amortizada es la diferencia entre el nominal del préstamo y la deuda pendiente en ese período.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 84 = − CUADRO DE AMORTIZACIÓN 0 1 2 … N α α … α I I … I A A … A M M … M C DP DP … DP EJERCICIO 6.6.: Estudio de un préstamo de 7.500.000€ a dos años y medio, al 6% pagadero por semestres, amortizable mediante términos semestrales crecientes cada uno en un 20% con respecto al anterior.
6.6. LEASING FINANCIERO Es una forma de financiación de inmovilizado para las empresas que consiste en utilizar un bien en régimen de arrendamiento, existiendo al final del contrato una opción de compra sobre dicho bien, cuya cuantía es el valor residual previamente pactado.
Al ser un contrato de arrendamiento, las cuotas del leasing están sujetas a IVA. Si bien la operación de leasing no es propiamente un préstamo, su análisis coincide con el de un préstamo con cuotas de capital e interés que se pagan por anticipado.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 85 ECUACIÓN DE EQUILIBRIO La ecuación de equilibro igual el valor del bien, en fecha de hoy, con la sucesión de términos amortizativos, que se satisfacen por anticipado, y el valor residual al final del período.
α α α α α α VR 0 1 2 3 4 n-1 n + (1 + VB = 1 − (1 + = ) (1 + ) − 1 − (1 + ) ) En caso de que el valor residual sea una cuota más: = = 1 − (1 + 1 − (1 + ) ) ( ( ) ) El cuadro de amortización debe iniciarse por el final, pues son las magnitudes que realmente conocemos.
EJERCICIO 6.7.: Una empresa adquiere un equipo informático de 100.000€ mediante un contrato de leasing financiero a cuatro años, con pago de cuotas trimestrales, constantes y anticipadas. Si para toda la operación se pacta un tipo de interés vencido del 14% anual pagadero trimestralmente, se pide construir el cuadro de amortización, suponiendo un valor residual de 20.000€.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 86 6.7. PRÉSTAMOS CON CARENCIA La carencia supone que, durante el período llamado de carencia, todos los pagos, o una parte de ellos, quedan eximidos.
6.7.1. CARENCIA TOTAL Durante el período de carencia no se efectúa ningún pago en concepto de amortización o intereses. Por lo que, una vez transcurrido el período de carencia, la deuda inicial ha aumentado por los intereses devengados durante este período.
0 s C 1 2 − 3 n-1 n DPs = (1 + ) A partir de aquí, el término amortizativo va a depender de la modalidad de préstamo.
6.7.2. CARENCIA PARCIAL Durante el período de carencia se efectúan pagos en concepto de pago por intereses.
0 Y Y s C C 1 2 = Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 3 − n-1 n · 87 Al final del período de carencia, la deuda pendiente coincide con la inicial, y es la cuantía a utilizar para calcular el término amortizativo según la modalidad correspondiente.
EJERCICIO 6.8.: Una empresa, ante la necesidad de modernizar sus instalaciones, decide solicitar un préstamo a una entidad financiera. Ésta le indica que las condiciones del préstamo estarán en función del nominal a solicitar.
A la vista de los presupuestos para proceder a la modernización de las instalaciones, el nominal asciende a 134.437.287€.
La entidad financiera le ofrece dos alternativas:  Alternativa A: préstamo francés, a 15 años, con abono trimestral de términos amortizativos y pactado al 17% de interés efectivo anual.
 Alternativa B: préstamo con términos amortizativos crecientes en progresión geométrica a 15 años, pactado al 16,5% de interés efectivo anual. Los términos amortizativos se satisfacen al final de cada semestre y crecen al 5% cada año.
Para poder comparar estas dos alternativas de préstamo una vez transcurrido el primer año, se pide: 1. La cuantía del término amortizativo del primer año.
2. Puesto que las expectativas de venta son favorables se considera la posibilidad de cancelar anticipadamente el préstamo una vez transcurridos 10 años.
Determinar el importe que cancela anticipadamente el préstamo en cada uno de las alternativas.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 88 6.8. CANCELACIÓN ANTICIPADA El prestatario puede optar por la cancelación anticipada del préstamo. Los motivos para tal cancelación pueden ser varios, pero en cualquier caso, dicha cancelación conlleva un coste, o comisión por cancelación anticipada, que siempre corre a cargo del prestatario.
Se pueden distinguir dos tipos de cancelación anticipada: 6.8.1. CANCELACIÓN TOTAL La deuda pendiente se cancela en su totalidad. Se abona la deuda pendiente y la operación de préstamo queda interrumpida, no estando obligado a efectuar más pagos a la entidad financiera.
6.8.2. CANCELACIÓN PARCIAL La deuda pendiente se cancela sólo en parte. Se abona una parte de la deuda pendiente y el prestatario sigue con su obligación de hacer al pago del término amortizativo inicial pero por un tiempo menor, o por el contrario, se debe abonar un término amortizativo reducido sin que se modifique el vencimiento original de la operación de préstamo.
6.9. COSTE, RENTABILIDAD Y TAE Para el cálculo del coste real del préstamo, su rentabilidad real y la TAE, es preciso tener en cuenta las condiciones bajo las cuales se ha contratado la operación de préstamo.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 89 6.9.1. COSTE EFECTIVO O REAL PARA EL PRESTATARIO Se trata de la tasa anual efectiva, pagadera por vencido, que equilibra los pagos de prestamista y prestatario durante la vida del préstamo, teniendo en cuenta que el prestatario está obligado a incurrir en unos gastos, que pueden ser iniciales y/o periódicos.
6.9.2. RENTABILIDAD EFECTIVA O REAL PARA EL PRESTAMISTA Se trata de la tasa anual efectiva, pagadera por vencido, que equilibra los pagos de prestamista y prestatario durante la vida del préstamo, teniendo en cuenta que el prestamista está obligado a incurrir en unos gastos, que pueden ser iniciales y/o periódicos.
6.9.3. TAE DEL PRÉSTAMO Se trata de la tasa anual efectiva, pagadera por vencido, que equilibra los pagos de prestamista y prestatario durante la vida del préstamo, teniendo en cuenta que el prestatario está obligado a incurrir en unos gastos, que pueden ser iniciales y/o periódicos, derivados de las condiciones generales de contratación, según la normativa vigente.
EJERCICIO 6.9.: Sea un préstamo de 5.000.000€ de nominal a devolver dentro de 6 años. Existe un plazo de carencia de 2 años en los que sólo se pagan intereses al final de cada anualidad. La amortización del préstamo se efectúa mediante 4 términos amortizativos constantes (sistema francés). La operación de préstamo se pacta al 10% de interés anual y el coste de apertura es del 3% sobre el nominal. Plantear la T.A.E. de la operación de préstamo.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 90 EJERCICIO 6.10.: Una empresa obtiene un préstamo de 50.000€, que deberá amortizarse mediante nueve anualidades vencidas, siendo el tipo de interés del 10% para los tres primeros años, del 11% para los tres siguientes y del 12% para los tres últimos. Calcular: a) La anualidad constante que permite amortizar el préstamo b) La deuda pendiente al principio del tercer año c) Las cuotas de interés de los años quinto y octavo EJERCICIO 6.11.: Nuestra empresa solicita un préstamo a la casa matriz, por un importe de 500.000€. Se pacta un plazo de devolución de 4 años, con amortizaciones semestrales, y a un tipo de interés del 6% anual pagadero por semestres. Durante el primer año sólo se satisfacen los intereses de la deuda. La casa matriz nos propone la amortización mediante el sistema francés.
A los dos años de la concesión, y para adaptarse a la nueva situación económica, la casa matriz cambia las condiciones del préstamo, pasando ahora a ser un interés del 7% anual pagadero por semestres.
Calcular el importe de cada uno de los pagos a efectuar a la casa matriz, así como el importe de la deuda pendiente una vez ha transcurrido tres años desde la concesión del préstamo.
EJERCICIO 6.12.: Sergio necesita comprar un coche nuevo. Su precio es de 14.500€. Tiene dos ofertas distintas.
¿Puedes ayudar a Sergio a averiguar cuál es la mejor, sabiendo que puede amortizar anticipadamente el préstamo a los tres años de su concesión? Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 91 Préstamo A: Amortizaciones por el sistema francés, a 4 años con términos trimestrales. El préstamo tiene un periodo de carencia de un año en el que no se efectúa ningún pago. Tasa de interés: 6% anual pagadero por trimestres.
Préstamo B: Amortizaciones por el sistema americano, a 4 años con términos trimestrales. El préstamo tiene un periodo de carencia de seis meses en el que no se efectúa ningún pago. Tasa de interés: 6% anual pagadero por trimestres. El fondo rinde un 5% efectivo anual.
EJERCICIO 6.13.: Luís va a comprar una vivienda por valor de un millón de euros. Como únicamente dispone de 209.000€ (que satisface en concepto de entrada), solicita una hipoteca por la diferencia.
Las condiciones del préstamo son las siguientes: 5,25% anual con liquidación mensual de intereses, a 30 años, con dos años de carencia en la que sólo se pagan intereses, y unos gastos de apertura del 3% sobre el nominal.
Calcular: a) Importe de los pagos a efectuar al banco b) Cuantía que amortiza anticipadamente la hipoteca a los 15 años de su concesión EJERCICIO 6.14.: Como gerente del Club de Tenis “La pelota de Rafa”, te planteas la necesidad de renovar la iluminación de cada una de las diez pistas con las que cuenta nuestro complejo, cambiando postes y reflectores.
Después de contrastar muchos presupuestos, te decides por el más económico, en el que se valora la iluminación de cada una de las pistas en 11.250€.
Puesto que el Club no dispone del efectivo suficiente, acudes a tu entidad financiera que te ofrece una financiación a 7 años, mediante un préstamo Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 92 amortizable por el sistema italiano, con pagos trimestrales, en el que durante los dos primeros años únicamente se satisfacen los intereses del préstamo. El tipo de interés aplicable es el 8.5% anual con liquidación trimestral de intereses.
Calcular el importe de los intereses a satisfacer durante el período de carencia, así como la deuda pendiente al final del quinto año.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 93 TEMA 7. EMPRÉSTITOS Se llama empréstito a aquélla operación de préstamo en la que la figura del prestamista no es única, sino que se compone de un conjunto de personas que prestan, simultáneamente, al prestatario o emisor del empréstito.
Así, el nominal del empréstito queda dividido en partes alícuotas, que se materializan en unos títulos llamados obligaciones, bonos o pagarés, según se emitan a largo, medio o corto plazo. Estos títulos se denominan de renta fija.
7.1. DEFINICIONES N C CT Pe Ce Pa Ca CI m Lr r r Número de títulos emitidos Valor nominal de cada título Cuantía total de la emisión = · Prima de emisión, que actúa como un descuento al precio que paga el comprador del bono Coste de emisión, diferencia entre el coste de emisión y la prima de emisión = − Prima de amortización, que actúa como premio incrementando el valor nominal que va a percibir el inversor a la amortización del título Coste de amortización = + Cupón, o intereses satisfechos al inversor a cada uno de los vencimientos Lote, que puede ser constante o variable, que beneficia a alguno de los títulos, por sorteo, en el momento de su amortización Número de títulos vivos después de la amortización del período r-ésimo Número de títulos que se amortizan en el período r-ésimo Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 94 7.2. EMPRÉSTITO NORMAL 7.2.1. CARACTERÍSTICAS  Amortización periódica de un determinado número de títulos  Inexistencia de primas de emisión y de amortización = =0 = =  Los títulos cobran periódicamente los cupones por vencido a un interés constante  El término amortizativo es constante, y se compone de la cuota de interés y la cuota de capital que, al igual que en el caso del préstamo francés, varían período a periodo = = +  La carga periódica de los intereses o cuota de interés comprende todos los cupones, incluidos los de los títulos que se amortizan en el período. Su valor se obtiene multiplicado el cupón por el número de títulos vivos en el momento en que se procede al pago de los mismos.
= ·  La cuota de amortización se obtiene como el número de títulos que se amortizan en cada sorteo por el importe del valor nominal del mismo: = · 7.2.2. ECUACIÓN DINÁMICA La ecuación dinámica del un empréstito plantea el cálculo del término amortizativo como la suma de la cuota de interés y la cuota de amortización del capital, expresada en términos del número de títulos vivos.
= · + · ·Δ ={ − Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs = −Δ · }=− ·Δ + =0 + · 95 Δ − · + =0 De ella se obtienen las expresiones de -o el tipo de interés interno del empréstito, así como de , promedio del número de títulos que se amortizan en cada período.
En este caso, − = ,y = 7.2.3. ECUACIÓN DE EQUILIBRIO La ecuación de equilibrio iguala el nominal el empréstito con el valor actual de los pagos, al tipo de interés interno de la operación, que para el caso del empréstito normal, coincide con el tipo de interés de los cupones, para la obtención del importe del término amortizativo.
· = · ⌉ · = ⌉ 7.2.4. NÚMERO DE TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DE LA R-ÉSIMA AMORTIZACIÓN El número de títulos vivos después del período r-ésimo se calcula como el valor actual, al tipo de interés - del valor de las  Por tanto, = = · . Sustituyendo - y por su valor: ⌉ · ⌉ = · Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ⌉ = · ⌉ · ⌉ = · ⌉ ⌉ 96 7.2.5. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS DESPUÉS DEL PERÍODO R-ÉSIMO El número de títulos amortizados en un período se obtiene por diferencia entre el número de títulos vivos después del sorteo anterior y el número de títulos vivos después del último sorteo. Realizando las operaciones convenientes: = − = = = = · ⌉ = ⌉ = 1 − (1 + (1 + ⌉ ⌉ ⌉ )⌉ 1 − (1 + ⌉ = ( = ( ) ) · ⌉ ( ( ( ) (1 + ) ( ) (1 + ) ( ) ⌉ ) ) ) [1 ) (1 + ⌉ ) − − 1 − (1 + − 1 + (1 + − (1 + 1− ) ] 1 (1 + ) (1 + ) = ) ⌉ (1 + = ) (1 + ⌉ ) ) ( ) ( ) = = = 1+ −1 (1 + ) 1 (1 + ) ⌉ (1 + ) 7.2.6. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS El número total de títulos amortizados se obtiene como la suma, desde el primer sorteo hasta el r-ésimo, de los títulos amortizados en cada sorteo.
La expresión final es: Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 97 = = (1 + ⌉ ) = ⌉ (1 + ) = ⌉ ⌉ 7.2.7. CUADRO DE AMORTIZACIÓN Existen dos métodos para confeccionar el cuadro de amortización: 7.2.7.1. MÉTODO DEL REDONDEO Consiste en forzar al entero más próximo los valores teóricos, superior e inferior, y cuadrando las cifras finalmente. La consecuencia de la aplicación de este método es que el término amortizativo real difiere algo de lo que se ha obtenido de forma teórica.
7.2.7.2. MÉTODO DE LA CAPITALIZACIÓN DE RESIDUOS Respeta el término amortizativo teórico, procediendo siempre por defecto, y acumulando al siguiente término el residuo anterior capitalizado al tanto de interés del cupón. Con este método se respeta el equilibrio financiero de la operación.
EJERCICIO 7.1.: Se han emitido 2.000 títulos de 30€ cada uno, que devengan un cupón anual de 1,5€, siendo amortizables en 6 a ños, según el sistema normal.
= 2.000 = 30€ Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs =1 98 = 1,5€ → = ⌉ = 2.000 · 30€ ⌉ , = =6 1,5€ = 0,05 30€ 60.000€ = 11.821,05€ 5,075692 = Para el cuadro de amortización: a) Método del Redondeo: Primero se obtiene el número de títulos vivos en cada período, y por diferencia, el número de títulos que se amortizan en cada período. Con ambos, se obtienen las cuotas de interés y de amortización, cuya suma es el término amortizativo de cada período.
= 2.000€ ⌉ , = 2.000€ = 294,03 6,801912 El número de títulos que se amortizan en un período es un 5% mayor que el que se amortizó en el período anterior. Así: TOTAL 294,03 308,74 324,17 340,38 357,40 375,27 294 309 324 340 357 375 1.999 Por lo que, en el último sorteo, añadiremos un título más. Por diferencia, se obtiene el número total de títulos vivos en cada período. Con ambos, se obtienen las cuotas de interés y de amortización, cuya suma es el término amortizativo de cada período.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 99 Período r 0 1 2 3 4 5 6 Término Efectivo Cuota Int.
Ir 11.820,00 € 11.829,00 € 11.815,50 € 11.809,50 € 11.809,50 € 11.809,50 € 3.000,00 € 2.559,00 € 2.095,50 € 1.609,50 € 1.099,50 € 564,00 € Cuota Am.
Ar 8.820,00 € 9.270,00 € 9.720,00 € 10.200,00 € 10.710,00 € 11.280,00 € σ μ 294 309 324 340 357 376 υ 2.000 1.706 1.397 1.073 733 376 0 294 603 927 1.267 1.624 2.000 b) Método de la Capitalización de los Residuos Primero es preciso obtener el importe del término efectivo en el primer período, atendiendo al número de títulos que se amortizan. De ahí obtenemos el residuo inicial y capitalizado al tanto de interés al que se paga el cupón (en nuestro caso, I1  5%) , que acumulamos al término disponible del siguiente período.
En caso de superar el término disponible, es preciso reducir en uno el número de títulos a amortizar.
Período r 0 1 2 3 4 5 6 Término Disponible Término Efectivo 11.821,05 € 11.822,15 € 11.845,35 € 11.850,82 € 11.831,36 € 11.844,00 € 11.820,00 € 11.799,00 € 11.817,00 € 11.841,00 € 11.809,50 € 11.844,00 € Residuo Residuo Inicial Capitaliz.
1,05 € 23,15 € 28,35 € 9,82 € 21,86 € - € 1,10 € 24,31 € 29,77 € 10,31 € 22,95 € - € Cuota Int.
Ir Cuota Am.
Ar 3.000,00 € 2.559,00 € 2.097,00 € 1.611,00 € 1.099,50 € 564,00 € 8.820,00 € 9.240,00 € 9.720,00 € 10.230,00 € 10.710,00 € 11.280,00 € σ μ 294 294 308 602 324 926 341 1.267 357 1.624 376 2.000 El residuo inicial nunca puede superar el valor nominal del título, pues en este caso podría amortizarse un título más.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 100 υ 2.000 1.706 1.398 1.074 733 376 0 7.3. EMPRÉSTITO CON PRIMA DE EMISIÓN, PRIMA DE AMORTIZACIÓN Y LOTE CONSTANTE 7.3.1. CARACTERÍSTICAS  Amortización periódica de un determinado número de títulos  Los costes son distintos, al existir primas de emisión y de amortización Ce  C a  C Ce  C  Pe Ca  C  Pa  Los títulos cobran periódicamente los cupones por vencido a un interés constante  Hay un lote constante, que se aplica para todos y cada uno de los sorteos.
 El término amortizativo es constante, y se compone de la cuota de interés y la cuota de capital que, al igual que en el caso del préstamo francés, varían período a periodo  r    I r  Ar  La carga periódica de los intereses o cuota de interés comprende todos los cupones, incluidos los de los títulos que se amortizan en el período. Su valor se obtiene multiplicado el cupón por el número de títulos vivos en el momento en que se procede al pago de los mismos.
I r   r 1  CI m  La cuota de amortización se obtiene como el número de títulos que se amortizan en cada sorteo por el importe del valor nominal del mismo: Ar   r  Ca  L 7.3.2. ECUACIÓN DINÁMICA La ecuación dinámica del un empréstito plantea el cálculo del término amortizativo como la suma de la cuota de interés y la cuota de amortización del capital, expresada en términos del número de títulos vivos.
Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 101 = · + De donde, − = · ={ + ·Δ Δ ,y − = }=− = −Δ − · · + + − − ·Δ =0 + · + =0 7.3.3. ECUACIÓN DE EQUILIBRIO La ecuación de equilibrio iguala el nominal el empréstito con el valor actual de los pagos, al tipo de interés interno de la operación, que para el caso del empréstito normal, coincide con el tipo de interés de los cupones, para la obtención del importe del término amortizativo.
= · ⌉ = − = · · ⌉ + ⌉ 7.3.4. NÚMERO DE TÍTULOS VIVOS DESPUÉS DE LA R-ÉSIMA AMORTIZACIÓN El número de títulos vivos después del período r-ésimo se calcula como el valor actual, al tipo de interés - del valor de las  Por tanto, = · ⌉ . Sustituyendo - y por su valor: = Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ⌉ ⌉ 102 7.3.5. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS Sumando el número de títulos que se amortizan en cada sorteo: ⌉ = ⌉ 7.3.6. NÚMERO DE TÍTULOS AMORTIZADOS EN EL PERÍODO R-ÉSIMO El número total de títulos amortizados se obtiene por diferencia entre los títulos vivos de dos sorteos consecutivos.
La expresión final es: = − = (1 − ) ⌉ 7.3.7. CUADRO DE AMORTIZACIÓN Coincide con las consideraciones efectuadas para el empréstito normal, pudiéndose resolver por el método del redondeo y el de la capitalización de residuos. Se debe añadir una columna adicional para el lote.
EJERCICIO 7.2.: Sea un empréstito de 4.000 títulos, de 3€ cada uno, emitido al 98% del nominal, amortizable en 5 años mediante anualidades constantes, con una prima del 5%, y sorteo de 10 lotes de 6€ entre los títulos amortizados en cada período. Los títulos vivos cobran un cupón anual de 0,24€ por título.
= 4.000 = 3€ =1 Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 103 = 0,98 · 3€ = 2,94€ = 3€ + 3€ · 0,05 = 3,15€ = 0,24€ → = =5 0,24€ = 0,08 3€ = 6 · 10€ = 60€ − = = ⌉ + = = 4.000 · 3,15€ ⌉ , 0,24€ = 0,07619 3,15€ + 60€ = 12.600€ + 60€ = 3.184,12€ 4,03312729 Número de títulos que se amortizan en cada sorteo: = 4.000€ = = = = ⌉ , = 4.000€ = 687,03 → 687 5,822194 (1 + 0,07619) = 739,37 → 739 (1 + 0,07619) = 795,70 → 796 (1 + 0,07619) = 856,33 → 856 (1 + 0,07619) = 921,57 → 922 Cuadro de amortización por el método del redondeo: Período r 0 1 2 3 4 5 Término Efectivo 3.184,05 € 3.182,97 € 3.185,16 € 3.183,12 € 3.185,58 € Cuota Int.
Ir 960,00 € 795,12 € 617,76 € 426,72 € 221,28 € Cuota Am.
Ar 2.164,05 € 2.327,85 € 2.507,40 € 2.696,40 € 2.904,30 € Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs Lote 60,00 € 60,00 € 60,00 € 60,00 € 60,00 € σ 687 739 796 856 922 μ 687 1.426 2.222 3.078 4.000 υ 4.000 3.313 2.574 1.778 922 0 104 Cuadro de amortización por el método de la capitalización de los residuos: Período Término Término Residuo r Disponible Efectivo Inicial 0 Res.
Cuota Int.
Cuota Am.
Ir Ar Lote Capit.
σ μ 687 1 3.184,13 € 3.184,05 € 0,08 € 0,09 € 960,00 € 2.164,05 € 60,00 € 687 4 3.184,47 € 3.183,12 € 1,35 € 1,45 € 426,72 € 2.696,40 € 60,00 € 856 2 3 5 3.184,22 € 3.185,47 € 3.185,58 € 3.182,97 € 3.185,16 € 3.185,58 € 1,25 € 1,34 € 0,31 € 0,34 € 0,00 € 0,00 € 795,12 € 617,76 € 221,28 € 2.327,85 € 2.507,40 € 2.904,30 € 60,00 € 60,00 € 60,00 € 739 1.426 922 4.000 796 2.222 3.078 7.4. TANTO EFECTIVO DE UN EMPRÉSTITO El tanto de interés que rige en el empréstito no siempre es la medida de la rentabilidad del obligacionista ni del coste para el emisor.
Los elementos que influyen en esta medida son:  Las primas de emisión y amortización  Los gastos, ya sean iniciales o periódicos  El momento en el que se produce la amortización del título, que no es conocido a priori 7.3.1. TANTO EFECTIVO EMISOR Los gastos que pueden correr a cargo del emisor son: G0e g re Gastos iniciales Gastos periódicos La ecuación de equilibrio es la que iguala los pagos y los cobros a cargo del emisor: = + Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs ( + ) (1 + ) 105 υ 4.000 3.313 2.574 1.778 922 0 7.3.2. TANTO EFECTIVO SUSCRIPTOR Los gastos que pueden correr a cargo del suscriptor son: G0s g rs Gastos iniciales Gastos periódicos La ecuación de equilibrio es la que iguala los pagos y los cobros a cargo del suscriptor, como un ente único. Es decir, considera al suscriptor como la suma integrada de todos y cada uno de los obligacionistas poseedores de títulos.
+ + (1 + ) (1 + = ) 7.3.3. TANTO PROBABLE OBLIGACIONISTA 7.3.3.1. PROBABILIDADES Antes de analizar el tanto probable obligacionista, es preciso hacer referencia a las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que un título vivo en d se amortice r períodos después = = b) Probabilidad de que un título vivo en d se amortice en alguno de los r períodos siguientes / = + + ⋯+ Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs = − = 1− 106 c) Probabilidad de que un título vivo en d siga vivo r períodos después / =1− / = 7.3.3.2. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIABLE ALEATORIA “PERÍODO DE AMORTIZACIÓN” DE UN TÍTULO VIVO EN D La distribución de probabilidad supone asignar, a cada uno de los períodos en los que se divide el espacio temporal, la probabilidad de que un título sea amortizado en ese período. La suma de todas las probabilidades debe sumar, por supuesto, la unidad.
= +1 +2 … + … +( − ) … … 7.3.3.3. ESPERANZA DE VIDA MEDIA DE UN TÍTULO EN D La esperanza de vida media es la media de los períodos ponderada por la probabilidad de que los títulos sean amortizados en ese período. Nos indica la fecha esperada en que un título será amortizado.
( )= ( + ) Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs = + · 107 7.3.3.4. TANTO PROBABLE OBLIGACIONISTA El tanto probable obligacionista nos indica la rentabilidad media esperada de la inversión en obligaciones. Para su obtención, es preciso efectuar la distribución de probabilidad en la que, para cada período de posible amortización, a la que se le asigna la probabilidad de que el título se amortice en dicho período, se le asocia la rentabilidad real obtenida por el título.
= +1 +2 … + … +( − ) … … … … Calculando la esperanza matemática de la rentabilidad ponderada por la probabilidad de que el título sea amortizado en cada uno de los períodos: [ ]= · También se puede hallar una aproximación al tanto probable obligacionista a través de la variable "esperanza de vida", suponiendo que la amortización del título coincide con ese momento.
EJERCICIO 7.3.: Efectuar el estudio de la emisión de un empréstito con las siguientes características:         Número de títulos: 10.000 Plazo: 5 años Gastos de emisión: 30.000€ Prima de amortización: 10€ sobre la par Prima de emisión: 2€ bajo la par Nominal del título: 100€ Cupón: 11€ anuales El término amortizativo es anual y constante Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 108 Calcular: 1. Importe del término amortizativo 2. Cuadro de amortización 3. Tanto efectivo emisor 4. Tanto efectivo suscriptor 5. Tanto probable obligacionista N C n m CIm Período r 0 1 2 3 4 5 Término Efectivo 10.000 100 5 1 11 Cuota Int.
Ir 290.180,00 110.000,00 290.202,00 91.982,00 290.180,00 72.160,00 290.158,00 50.358,00 290.158,00 26.378,00 P(e) C(e) P(a) C(a) Im Cuota Am.
Ar 2 98 10 110 0,11 Lote 180.180,00 198.220,00 218.020,00 239.800,00 263.780,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 a= 0 1 2 3 4 5 TAE 290.177,23 (-β) = 0,1   1.638 1.802 1.982 2.180 2.398 Período Término Término Residuo Residuo Cuota Int. Cuota Am.
r Disponible Efectivo Inicial Capitaliz.
Ir Ar 0 1 290.177,23 290.070,00 107,23 117,95 110.000,00 180.070,00 2 290.295,18 290.213,00 82,18 90,40 91.993,00 198.220,00 3 290.267,63 290.191,00 76,63 84,29 72.171,00 218.020,00 4 290.261,52 290.169,00 92,52 101,77 50.369,00 239.800,00 5 290.279,00 290.279,00 0,00 0,00 26.389,00 263.890,00 Tanto efectivo emisor 3,790787 an I m  10.000 8.362 6.560 4.578 2.398 0 1.638 3.440 5.422 7.602 10.000 Lote 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00   1.637 1.637 1.802 3.439 1.982 5.421 2.180 7.601 2.399 10.000 Tanto efectivo suscriptor 950000 -290177,2 -290177,2 -290177,2 -290177,2 -290177,2 16,01% Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 0 1 2 3 4 5 TAE 980000 -290177,2 -290177,2 -290177,2 -290177,2 -290177,2 14,69% 109  10.000 8.363 6.561 4.579 2.399 0 V.A. Periodo de amortización 0 1 2 3 4 5 Vida probable 0,163800 0,180200 0,198200 0,218000 0,239800 3,1898 La vida probable de un título es de 3 años, 2 meses y 8 días.
V. A. Tanto probable obligacionista I mr 1 98 -121 2 98 -11 -121 3 98 -11 -11 -121 4 98 -11 -11 -11 -121 5 98 -11 -11 -11 -11 -121 23,47% 16,87% 14,76% 13,72% 13,11% 0 1 2 3 4 5 Tanto probable obligacionista Pa v.a. Tpo v.a. Pa 0 1 23,47% 0,163800 2 16,87% 0,180200 3 14,76% 0,198200 4 13,72% 0,218000 5 13,11% 0,239800 TAE 15,94% Grado en Administración y Dirección de Empresas Dra. Cristina Tomàs 110 ...