Exercicis del tema 4 resolts: Optimització amb restriccions d’igualtat (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 22
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 13
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del tema 4: Optimització amb restriccions d’igualtat 25. Determineu els òptims dels problemes següents: a) s.a.
Per a punt crític ; llavors, amb h  1 .
2 125 Llúcia Mauri Masdeu Per a punt crític ; llavors, amb .
Calculem la matriu hessiana de la funció lagrangiana: A def. negativa A màxim restringit A def. positiva A mínim restringit b) s.a.
126 Matemàtiques II Per a Per a ; llavors, punt crític ; llavors, punt crític amb amb ..
.
Calculem la matriu hessiana de la funció lagrangiana: A def. negativa A A def. positiva A c) s.a.
127 màxim restringit mínim restringit Llúcia Mauri Masdeu punt crític amb i .
Calculem la matriu hessiana de la funció lagrangiana: A def. positiva A mínim restringit d) s.a.
128 Matemàtiques II Punt crític amb i Calculem la matriu hessiana de la funció lagrangiana: 129 Llúcia Mauri Masdeu A indefinida Per tant, mirem què passa sobre les direccions factibles: Llavors, . Per tant, mirem què passa Atès que és negativa, el punt e) és un màxim restringit.
s.a.
130 Matemàtiques II per a per a punt crític (5, 5, 5).
punt crític (–5, – 5, –5).
Calculem la matriu hessiana de la funció lagrangiana: A indefinida A indefinida 131 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, mirem què passa sobre les direccions factibles: Per al punt crític (5, 5, 5) amb Llavors, : . Per tant, mirem què passa  1 1     0 b  c  10 b  c  10  1   1  1  1 1  0    b  =   (b + c) b c  b  = (b  c,b,c)   10   10 10    10   10 c    c  1 1     0    10 10 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 =  b  bc  c + b + c = (b + c + bc) > 0 5 10 10 10 5 10 Atès que és positiva, el punt (5, 5, 5) és un mínim restringit.
Per al punt crític (–5, –5, –5) amb : a   (10 10 10)  b = 0   c Llavors, . Per tant, mirem què passa: 132 Matemàtiques II  1 1  0 10 10   b  c  b  c  1  1  1  1 1    b  =  (b + c)  b  c  b  = 0 (b  c,b,c)  10   10 10   10   10 c    c  1 1   0   10 10 1 1 1 1 1 1 =  b 2  bc  c 2  b 2  c 2 =  (b 2 + c 2 + bc) < 0 5 10 10 10 5 10 Atès que és negativa, el punt (–5, –5, –5) és un màxim restringit.
26. Un taller utilitza en la seva producció tres tipus d’inputs amb quantitats x, y, z.
S’estima que la funció de costos es dóna per i que la tecnologia aplicada implica la utilització d’aquests inputs en la quantitat total de 25 unitats físiques. A més, s’ha de complir la relació: 2x–3z = 10 Quines quantitats de cada input s’utilitzaran per minimitzar el cost? Busquem la funció lagrangiana: 133 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, tenim el punt crític (11, 10, 4) amb h1=20 i h2=3 134 Matemàtiques II és indefinida. Per tant, cal mirar què passa en les direccions factibles: Com que és positiu, podem concloure que (11, 10, 4) amb h1=20 i h2=3 és un mínim restringit. Per tant, utilitzarem 11 unitats de l’input x, 10 de l’input y i 4 de l’input z.
27. Una empresa ha de transportar tres tipus de matèria primera x, y, z. El cost de transport es determina per la funció Cadascuna de les matèries primeres és dins d’un recipient, amb un volum mitjà de 2, 1 i 7 m3, respectivament. El volum total de la càrrega ha de ser de 20 m3. Determineu la compra òptima per tal de minimitzar el cost de transport. Què passa amb el cost mínim si s’incrementa el volum total de la càrrega en 1,5 metres cúbics més? Busquem la funció lagrangiana: 135 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, tenim el punt crític amb .
és definida positiva; per tant, Per tant, la comprarem unitats de matèria x, és un mínim.
unitats de matèria y i unitats de matèria z.
Pel teorema de sensibilitat, si s’incrementa el volum mínim en 1,5 unitats més; llavors, el cost mínim s’incrementarà: unitats monetàries.
136 Matemàtiques II 28. Disposem de 1536 euros per construir un contenidor. Els costos de construcció per metre quadrat són de 5 euros per al sòl, 4 euros per a cada paret i 3 euros per al sostre.
Determineu les dimensions per tal que el volum sigui màxim.
Opt. f (x, y,z) = xyz s.a. 8xy + 8zy + 8xz = 1536 Busquem la funció lagrangiana: L( x, y,z,  ) = xyz  (8xy + 8zy + 8xz 1536) = xyz  8xy  8zy  8xz +1536   L(x, y,z, ) x L(x, y,z, ) y L(x, y,z, ) = 0   L(x, y,z, ) z L(x, y,z, )    yz  8y  8z = 0   xz  8x  8z = 0   xy  8y  8x = 0  8xy  8zy  8xz +1536 = 0 =0  yz 8y 8z = 0 xz 8x 8z = 0   xy 8y 8x = 0 =0  8xy 8zy 8xz +1536 = 0 =0 =0  y(z  8 )  8z = 0   x(z  8 )  8z = 0   xy  8y  8x = 0  8xy  8zy  8xz +1536 = 0 Si restem les dues primeres obtenim: Però z & 8h, perquè llavors h = 0, i no pot ser.
x = y   y(z  8 )  8z = 0  2  y 16y = 0  8y 2 16zy +1536 = 0 x = y   y(z  8 )  8z = 0   y(y 16 ) = 0  8y 2 16zy +1536 = 0 137 x = y   y(z  8 )  8z = 0   y = 16   8y 2 16zy +1536 = 0 Llúcia Mauri Masdeu (1) y & 0, ja que si no fos així no compliria l’última equació.
x = y  8 z 128 2 = 0   y = 16   2048 2  256z +1536 = 0 x = y  8 (z 16  ) = 0   y = 16   2048 2  256z +1536 = 0 x = y  8 z 128 2 = 0   y = 16   2048 2  256z +1536 = 0 x = y   z = 16    y = 16   2048 2  256z +1536 = 0 (2) El paràmetre h= 0, perquè sinó no compliria l’última equació.
x = y   z = 16    y = 16   6144 2 +1536 = 0 x = y   z = 16    y = 16   6144 2 +1536 = 0 x = 4  z = 4 y = 4   = 1  4 (3) Prenem el h positiu, ja que el negatiu ens dóna dimensions negatives.
Per tant, tenim el punt crític: (4, 4, 4) amb  = 1 4  0 2 2   1  HL(x,y,z ) 4,4,4,  = 2 0 2  4    2 2 0  1 HL(x,y,z ) 4,4,4,  A indefinida  4 Per tant, mirem què passa sobre les direccions factibles:  a   Jg( 4,4,4 )  b = 0   c   a   (64 64 64)  b = 0   c  138 {64a + 64b + 64c = 0 Matemàtiques II Llavors, ⌬v=(–b–c, b, c). Per tant, mirem què passa:  b  c    1  (b  c,b,c) HL(x,y,z) 4,4,4,  b   4    c  0 2 2  b  c      (b  c,b,c)  2 0 2  b  = (2b + 2c      2 2 0  c   b  c    2b 2c ) b  = 4b 2  4bc  4c 2 < 0    c  Per tant, (4, 4, 4) és un màxim restringit.
29. Voleu construir un contenidor de 125 m3de volum. Els costos de fabricació per metre quadrat són de 5 euros per al sòl, 4 euros per a cada paret i 3 euros per al sostre.
Determineu les dimensions del contenidor per tal que el cost total sigui mínim.
Busquem la funció lagrangiana: (*) 139 Llúcia Mauri Masdeu Si restem les dues primeres obtenim: Però , perquè no compliria les dues primeres equacions.
(1) y & 0, ja que si no fos així no compliria l’última equació.
(*) Nota: podem observar que per la simetria de les variables obtenim x=y=z.
Per tant, tenim el punt crític (5, 5, 5) amb 140 .
Matemàtiques II A indefinida.
Per tant, mirem què passa sobre les direccions factibles: .
Llavors, ⌬v=(–b–c, b, c). Per tant, mirem què passa: Com que és positiva, el punt (5, 5, 5) és un mínim restringit.
30. Un ramader vol construir una tanca rectangular a la vora d’un riu recte. Només té 1.000 metres de filferro i no cal tanca pel costat del riu. Quina és l’àrea màxima que es pot envoltar amb una tanca de filferro? Quants metres quadrats es poden tancar amb cada metre de filferro addicional? Busquem la funció lagrangiana: 141 Llúcia Mauri Masdeu Punt crític: (250, 500) amb h = 250 HL(x, y) (250, 500, 250) és indefinida. Per tant, cal mirar les direccions factibles: Jg(x, y) = ¢g(x, y)= (2 1) Jg(250,500)= (0) Æ Jg(250,500)= (2 1) Æ(2 1) =0 Æ 2a+b=0 Æ b=–2a Llavors, ⌬v=(a, –2a): Com que és negativa, el punt (250,500) serà un màxim restringit.
Per tant, l’àrea màxima que podrem envoltar amb la tanca de filferro serà: f (250,500)  250 =500  125000 m 2 Pel teorema de sensibilitat, per cada metre de filferro addicional podrem tancar una àrea de 250 metres quadrats més, aproximadament.
31. Una cadena de televisió catalana està elaborant la programació per al proper mes.
Cada pel·lícula és vista per 2 milions d’espectadors i cada partit de futbol és vist per 3 milions d’espectadors. Les despeses de retransmissió per a pel·lícules (x1) i partits de 3x 2 futbol (x2) estan donades per l’expressió f ( x1 , x2 )  x12 2 . El pressupost de la cadena 2 per cobrir les despeses del mes de novembre és de 10 u.m. (que gastarà íntegrament).
Quantes pel·lícules i partits de futbol programarà la cadena per maximitzar la seva audiència? Quant s’hauria d’augmentar el pressupost per tal que l’audiència fos d’11 milions d’espectadors? 142 Matemàtiques II Busquem la funció lagrangiana: Punts crítics (2,2) amb J ¦ ¦ BNC . Però aquest últim no pot ser, ja que la quantitat de pel·lícules i partits de futbol mai pot ser negativa.
Atès que és definida negativa, el punt (2,2) serà un màxim. Per tant, per tenir el màxim d’audiència caldrà emetre 2 pel·lícules i 2 partits de futbol.
Tenim que f(2, 2)=10 milions d’espectadors com a màxim. Pel teorema de sensibilitat, atès que , per cada unitat monetària que augmentarem tindrem milions d’espectadors més. Per tant, per tenir 11 milions d’espectadors hauríem d’augmentar el pressupost a 12 u.m.
143 Llúcia Mauri Masdeu 32. La funció de cost total d’un monopolista que produeix dos béns és 1 C(q1,q2 )  q12 10q2 90 6 on q1 i q2 representen les unitats produïdes d’aquests béns. Suposem que les funcions de demanda de l’empresa estan donades per q1 5 p1 3p2  1240 q2 3p1 2 p2  770 On p1 i p2 són els preus de cadascún dels béns.
1. Justifiqueu que els preus que proporcionen el benefici màxim són p1=140 i p2=70, respectivament.
Mètode directe: Prodem utilitzar el mètode directe, donat que les restriccions en aquest cas són lineals.
Busquem la funció de beneficis, tenint en compte que: q1 + 5 p1 + 3 p 2 = 1240 q 2 + 3 p1 + 2 p 2 = 770 ĺ q1 = 1240 − 5 p1 − 3 p 2 q 2 = 770 − 3 p1 − 2 p 2 I per tant, substituint obtenim, B( p1 , p 2 ) = I ( p1 , p 2 ) − C ( p1 , p 2 ) = p1 (1240 − 5 p1 − 3 p 2 ) + p 2 (770 − 3 p1 − 2 p 2 ) 1 − (1240 − 5 p1 − 3 p 2 ) 2 − 10(770 − 3 p1 − 2 p 2 ) − 90 = 6 55 2 7 2 10010 792170 =− p1 − p 2 − 11 p1 p 2 + p1 + 2030 p 2 − 6 2 3 3 Per tal de justificar que el punt (p1, p2)= (140, 70) és un màxim de la funció de beneficis restringida a les dues funcions de demanda anteriors, cal comprovar que ¢B(140, 70)=0 i a més a més esudiar HB(140, 70).
10010 § 55 · ∇B ( p1 , p 2 ) = ¨ − p1 − 11 p 2 + , − 7 p 2 − 11 p1 + 2030 ¸ 3 © 3 ¹ ∇B(140,70) = (0, 0 ) § 55 − HB ( p1 , p 2 ) = ¨ 3 ¨ © − 11 · § 55 − 11¸ − ĺ HB (140,70) = ¨ 3 ¸ ¨ −7 ¹ © − 11 144 · − 11¸ ¸ és definida negativa −7 ¹ Matemàtiques II Com ¢B(140, 70)=0 i HB(140, 70) és definida negativa, per la condició suficient de segon ordre tindrem que (140, 70) és un màxim local estricte de B.
2. Disposem de 150 unitats monetàries per incrementar un (i només un) dels dos termes independents de les restriccions (1240 i 770). Cada unitat addicional del primer recurs (1240) té un preu de 10 u.m.; cada unitat addicional del segon recurs (770) té un preu de 15 u.m. Quin dels dos hauríem d'augmentar per obtenir el millor profit? Quin seria, aproximadament, el nou benefici? Aplicarem el Teorema de Sensibilitat però caldrà obtenir el valor dels multiplicadors de Lagrange.
Si haguéssim utilitzat el mètode dels multiplicadors de Lagrange a l'apartat anterior, ja tindríem els valors dels hperò quan el número de variables és elevat, aquest mètode és un pèl més feixuc que el mètode directe.
No obstant per trobar els multiplicadors de Lagrange sols ens caldrà imposar que el punt (140, 70) compleixi la condició de primer ordre sobre la funció lagrangiana del benefici.
Buscarem la funció de benefici: B ( q 1 , q 2 , p 1 , p 2 ) = I ( q 1 , q 2 , p1 , p 2 ) − C ( q1 , q 2 ) = p1 q1 + p 2 q 2 − 1 2 q1 − 10 q 2 − 90 6 1240 ­qq1 ++ 55pp11 ++ 33pp22 == 680 s.a. ® 1 770 ¯qq22 ++ 33pp11 ++ 22pp22 == 430 Busquem la funció Lagrangiana: 1 L(q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 , λ 2 ) = p1q1 + p 2 q 2 − q12 − 10q 2 − 90 − λ1 (q1 + 5 p1 + 3 p 2 − 1240) − 6 − λ 2 (q 2 + 3 p1 + 2 p 2 − 770) = 1 = p1q1 + p 2 q 2 − q12 − 10q 2 − 90 − q1λ1 − 5 p1λ1 − 3 p 2 λ1 + 1240λ1 − q 2 λ 2 − 3 p1λ 2 − 2 p 2 λ 2 + 770λ 2 6 Imposarem la condició de primer ordre al punt (140, 70), tenint en compte que: q1 + 5 p1 + 3 p 2 = 1240 q 2 + 3 p1 + 2 p 2 = 770 ĺ q1 + 5 ⋅ 140 + 3 ⋅ 70 = 1240 q 2 + 3 ⋅ 140 + 2 ⋅ 70 = 770 145 ĺ q1 = 330 q 2 = 210 Llúcia Mauri Masdeu ­ ∂L (q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 ,λ 2 ) ° ∂q1 ° ° ∂L (q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 ,λ 2 ) ° ∂q 2 ° ° ∂L (q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 ,λ 2 ) ° ∂p1 ° ∇L (q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 , λ 2 ) = 0 ⇔ ® ° ∂L (q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 ,λ 2 ) ° ∂p 2 ° ° ∂L (q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 ,λ 2 ) ° ∂λ1 ° ° ∂L (q1 , q 2 , p1 , p 2 , λ1 ,λ 2 ) ° ∂λ 2 ¯ =0 =0 1 ­ ° p1 − 3 q1 − λ1 = 0 ° =0 ° p 2 − 10 − λ 2 = 0 ° ⇔ ®q1 − 5λ1 − 3λ 2 = 0 °q 2 − 3λ1 − 2λ 2 = 0 =0 ° °− q1 − 5 p1 − 3 p 2 + 1240 = 0 °− q − 3 p − 2 p + 770 = 0 =0 1 2 ¯ 2 =0 1 ­ °140 − 3 330 − λ1 = 0 ° °70 − 10 − λ 2 = 0 ° ∇L(330,210,140,70, λ1 , λ 2 ) = 0 ⇔ ®330 − 5λ1 − 3λ 2 = 0 ⇔ λ1 = 30 λ 2 = 60 °210 − 3λ1 − 2λ 2 = 0 ° °− 330 − 5 ⋅ 140 − 3 ⋅ 70 + 1240 = 0 °− 210 − 3 ⋅ 140 − 2 ⋅ 70 + 770 = 0 ¯ Si augmentem el terme independent 1240: Amb 150 unitats monetàries (a 10 u.m. cada unitat addicional), podrem comprar 15 unitats més. Per tant augmentarem de 1240 a 1255.
Benefici anterior: B(140, 70)=40560 u.m.
Benedific actual aproximat: B(140, 70)+15 u30=41010 u.m.
Si augmentem el terme independent 770: Amb 150 unitats monetàries (a 15 u.m. cada unitat addicional), podrem comprar 10 unitats més. Per tant augmentarem de 770 a 780.
Benefici anterior: B(140, 70)=40560 u.m.
Benefici actual aproximat:B(140, 70)+10 u60=41160 u.m.
Hauríem d'augmentar el segon recurs per tal d'obtenir major profit.
146 ...