Examen Final Primavera 2012 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Probabilidad Procesos Estocasticos y Estadística
Año del apunte 2014
Páginas 8
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Examen final Notes provisionals 26/6, al.legacions 29/6, notes definitives 30/6.
22 de juny de 2012 Temps: 3h 1. Un canal transmet paraules d’un codi. Cada paraula consta de 4 bits que s’envien de forma 1 independent. La probabilitat que un bit arribi canviat ´es . Per tal de fer m´es segura la 3 transmissi´ o enviem cada bit dues vegades de forma independent. Direm que tenim un error en un bit si les dues transmissions d’aquest han fallat. Si N ´es la variable aleat` oria que compta el nombre d’errors en un paraula, la probabilitat de recuperar la paraula ´es: k P (recuperar | N = k) = 1 − per a 0 ≤ k ≤ 4.
4 (a) Doneu la probabilitat que una paraula transmesa es pugui recuperar.
(b) Quan el sistema ha rebut 4 paraules que no es poden recuperar, s’atura. Sigui Ti el nombre de paraules rebudes entre la (i−1)-`esima no recuperable i la i-`esima no recuperable (contant aquesta u ´ ltima). Justifiqueu que les variables Ti s´ on independents i digueu de quin tipus de variable es tracten. El nombre de paraules transmeses quan el sistema s’atura ´es T = T1 + T2 + T3 + T4 . Calculeu l’esperan¸ca i la vari` ancia de T .
(c) Quina ´es la probabilitat que les dues transmissions del primer bit diferexin entre si, si sabem que la paraula s’ha recuperat? Compareu-ho amb la probabilitat a priori i comenteu si la variaci´ o ´es raonable.
1 (d) Suposeu ara que rebem paraules de n bits i que la probabilitat d’error en un bit ´es .
2 n 3n Acceptem una paraula si hem rebut com a molt errors. La refusem si te almenys 4 4 errors. Altrament, la tornem a demanar. Raoneu quina ´es la probabilitat que acceptem la paraula si sabem que no l’hem tornat a demanar. Quan n ´es molt gran, aproximeu la probabilitat de tornar-la a demanar en funci´ o de n i de erf(). A qu`e tendir` a aquesta probabilitat quan n → +∞? Justifiqueu-ho.
2. Un senyal electromagn`etic es detecta en dos llocs diferents. En cada lloc hi ha un desfasament respecte el senyal original, donat per les variables aleat` ories X i Y respectivament. La seva funci´ o de densitat conjunta ´es:  1   (1 + α sin x sin y), si 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π 2 4π fXY (x, y) =   0, altrament.
on α ∈ [−1, 1], ´es un par` ametre real.
(a) Trobeu les funcions de densitat marginal de les variables aleat` ories X i Y . Quin tipus de variable s´ on? (b) Calculeu l’esperan¸ca condicionada E[Y |X = x]. Dibuixeu la corresponent corba de regressi´ o.
(c) Calculeu el coeficient de correlaci´o ρ entre X i Y . Quin ´es el m`axim valor que pot prendre? S´ on X i Y incorrelades per algun valor de α? En aquest cas: s´ on independents? (d) Calculeu el coeficient de correlaci´o ρ entre U = X +Y i V = X −Y . S´ on U i V incorrelades? S´ on U i V independents? SEGUEIX AL DARRERE 3. Sigui X(t) el proc´es estoc`astic X(t) = 2t, si 0 ≤ t ≤ Y 0, altrament, on Y ´es una variable aleat` oria exponencial de par` ametre λ = 1.
(a) Quins s´ on els possibles valors presos per cadascuna de les variables aleat` ories X( 12 ), X(2) i X(4). Determineu les seves funcions de probabilitat. Raoneu: es tracta d’un proc´es d’estat continu o d’estat discret? (b) Calculeu la funci´ o de probabilitat de primer ordre del proc´es X(t). Utilitzeu-la per obtenirne la funci´ o de valor mitj` a m(t), aix´ı com la pot`encia del proc´es. Compareu la forma de les realitzacions amb la del valor mitj` a. Quines similituds i difer`encies hi ha? (c) Calculeu la funci´ o d’autocorrelaci´o de X(t), R(t1 , t2 ). Verifiqueu a partir d’ella que la pot`encia calculada a l’anterior apartat ´es correcta. (Indicaci´ o: distingiu els casos t2 > t1 i t1 > t2 .) (d) Determineu la millor estimaci´o lineal no homog`enia de X(t2 ) donat X(t1 ), (0 < t1 < t2 ), i l’error quadr` atic m´ınim d’aquesta estimaci´o.
´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Soluci´ o de l’Examen final 22 de juny de 2012 1 Un canal transmet paraules d’un codi. Cada paraula consta de 4 bits que s’envien de forma 1 independent. La probabilitat que un bit arribi canviat ´es . Per tal de fer m´es segura la 3 transmissi´ o enviem cada bit dues vegades de forma independent. Direm que tenim un error en un bit si les dues transmissions d’aquest han fallat. Si N ´es la variable aleat` oria que compta el nombre d’errors en un paraula, la probabilitat de recuperar la paraula ´es: k P (recuperar | N = k) = 1 − per a 0 ≤ k ≤ 4.
4 (a) Doneu la probabilitat que una paraula transmesa es pugui recuperar.
(b) Quan el sistema ha rebut 4 paraules que no es poden recuperar, s’atura. Sigui Ti el nombre de paraules rebudes entre la (i−1)-`esima no recuperable i la i-`esima no recuperable (contant aquesta u ´ ltima). Justifiqueu que les variables Ti s´ on independents i digueu de quin tipus de variable es tracten. El nombre de paraules transmeses quan el sistema s’atura ´es T = T1 + T2 + T3 + T4 . Calculeu l’esperan¸ca i la vari` ancia de T .
(c) Quina ´es la probabilitat que les dues transmissions del primer bit diferexin entre si, si sabem que la paraula s’ha recuperat? Compareu-ho amb la probabilitat a priori i comenteu si la variaci´ o ´es raonable.
(d) Suposeu ara que rebem paraules de n bits i que la probabilitat d’error en un bit ´es 1/2.
Acceptem una paraula si hem rebut com a molt n/4 errors. La refusem si te almenys 3n/4 errors. Altrament, la tornem a demanar. Raoneu quina ´es la probabilitat que acceptem la paraula si sabem que no l’hem tornat a demanar. Quan n ´es molt gran, aproximeu la probabilitat de tornar-la a demanar en funci´ o de n i de erf(). A qu`e tendir` a aquesta probabilitat quan n → +∞? Justifiqueu-ho.
Soluci´ o: (a) Per cada bit de la paraula P (error) = P (fallen les dues transmissions) = nombre d’errors N ´es binomial amb n = 4, p = 19 .
1 3 · 1 3 = 1 .
9 El 4 P(recuperar) = P (recuperar | N = k)P (N = k) k=0 = 4 0 8 9 4 + 4 1 8 9 3 1 3 4 · + 9 4 2 8 9 2 1 9 2 1 4 8 + 2 3 9 1 9 3 1 8 = .
4 9 (b) Les variables Ti s´ on geom`etriques de par` ametre p = 1/9. S´ on independents ja que cada bit s’envia de forma independent. La vari` ancia de Ti val pq2 = 72. Com s´ on independents, la vari` ancia de la suma ´es suma de vari` ancies: 4 4 V(T ) = V Ti i=0 = V(Ti ) = 4 · 72 = 288.
i=0 (c) Utilitzant la f´ ormula de Bayes tenim, P(1rs bits diferents | recuperada) = P(recuperada | 1rs bits diferents)P(1rs bits diferents) .
P(recuperada) Aleshores, P(recuperada) = 89 , P(1rs bits diferents | recuperada) = P(recuperada | 1rs bits diferents) = 3 0 8 3 + 31 9 3 8 8 2 1 3 9 9·4+ 2 9 P(1rs bits diferents | recuperada) = 11 4/9 11 = 24 , 12 8/9 3 1 2 1 1 3 1 9 2+ 3 9 4 11 4/9 11 = .
12 8/9 24 = 11 12 .
Tenim que 11/24 > 4/9. Si hem recuperat la paraula, vol dir que teniem pocs errors. Si sabem que no hi ha gaires errors, disminueix la probabilitat d’error en la primera posici´ o.
Si la primera posici´ o no t´e errors, ´es m´es probable que els primer bits siguin diferents, que en el cas que no sapiguem res, ja que nom´es tenim error en un bit si les dues transmissions fallen, que en particular implica que els primers bits s´ on iguals.
(d) n 3n n N ≤ oN≥ 4 4 4 P(acceptar|no la tornem a demanar) = P N ≤ = P N ≤ n4 P N ≤ n4 + P N ≥ 3n 4 = 1 .
2 ja que amb p = 1/2 la funci´ o de probabilitat ´es sim`etrica al voltant de n/2 i per tant P N ≤ n4 = P N ≥ 3n .
4 (Alternativament, fixeu-vos que la probabilitat de rebre una paraula ´es la mateixa per totes les paraules bin` aries de longitud n, indiferentment de la paraula enviada. Podem aparellar una paraula P amb la seva complement` aria P que t´e tots els bits canviats. Observeu que si P te k errors, aleshores P en te n − k. Aix´ o implica que hi ha el mateix nombre de paraules que s’acceptaran que paraules que es refusaran. Com que totes tenen la mateixa probabilitat d’apareixer i sabem que no s’ha tornat a demanar la paraula, la probabilitat d’acceptar ´es 1/2 indiferentment de la n.) Sigui X el nombre de bits canviats. Aleshores X ∼ Binomial n, 21 , E(X) = np = n2 , √ σ = np(1 − p) = 2n .
Aproximant X amb la gaussiana de distribuci´ o FX : P(retornar) = P 1 = 2 1 + erf n 2 √ √n 2 2 3n 4 − n 3n <X < 4 4 1 − 2 3n 4 = FX 1 + erf n 4 n 2 √ √n 2 2 − − FX = erf n 4 √ n √ 2 2 .
Clarament, lim P(retornar) = 1. Sabem que una binomial est`a concentrada en una franja n→∞ √ de longitud proporcial a n al voltant de la seva esperan¸ca, np. Per tant, la probabilitat de estar dins d’una franja de longitud n/2 al voltant de l’esperan¸ca tendeix a 1 r` apidament.
2 Un senyal electromagn`etic es detecta en dos llocs diferents. En cada lloc hi ha un desfasament respecte el senyal original, donat per les variables aleat` ories X i Y respectivament. La seva funci´ o de densitat conjunta ´es:  1   (1 + α sin x sin y), si 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π 2 4π fXY (x, y) =   0, altrament.
on α ∈ [−1, 1], ´es un par` ametre real.
(a) Trobeu les funcions de densitat marginal de les variables aleat` ories X i Y . Quin tipus de variable s´ on? (b) Calculeu l’esperan¸ca condicionada E[Y |X = x]. Dibuixeu la corresponent corba de regressi´ o.
(c) Calculeu el coeficient de correlaci´o ρ entre X i Y . Quin ´es el m`axim valor que pot prendre? S´ on X i Y incorrelades per algun valor de α? En aquest cas: s´ on independents? (d) Calculeu el coeficient de correlaci´o ρ entre U = X +Y i V = X −Y . S´ on U i V incorrelades? S´ on U i V independents? Soluci´ o: (a) 2π ∞ fX (x) = fXY (x, y)dy = 0 −∞ = 2π 1 4π 2 1 (1 + α sin x sin y)dy 4π 2 2π dy + α sin x sin ydy 0 0 = 1 , 2π per a 0 ≤ x ≤ 2π. Degut a la simetria x ↔ y, la variable Y t´e la mateixa densitat.
X i Y s´ on variables uniformes en l’interval [0, 2π].
(b) La densitat de Y condicionada a X ´es (fixat x ∈ [0, 2π]) f(y|x) = fXY (x, y) 1 = (1 + α sin x sin y), fX (x) 2π per a 0 ≤ y ≤ 2π.
∞ E[Y |X = x] = yf(y|x)dy = −∞ = 2π 1 2π y(1 + α sin x sin y)dy 0 1 y2 + α sin x(−y cos y + sin y) 2π 2 2π = π − α sin x.
0 La corba de regressi´o ´es y = π − α sin x per a 0 ≤ x ≤ 2π. Per α = 0,7: y 7 6 5 4 3 2 1 −1 1 2 3 4 5 6 7 x −1 (c) Com s´ on uniformes, E[X] = E[Y ] = E[XY ] = ∞ ∞ −∞ −∞ = 1 4π 2 0+2π 2 = π, σX = σY = 2π 2π xyfXY (x, y)dxdy = xy 0 2π 2π 0 = 0 = π √ .
3 1 (1 + α sin x sin y)dxdy 4π 2 2π ydy + α xdx 0 2π−0 √ 12 2π x sin xdx 0 y sin ydy 0 1 (2π 2 )2 + α(−2π)2 = π 2 + α, 4π 2 aix´ı que C[X, Y ] = E[XY ] − E[X]E[Y ] = π 2 + α − π 2 = α.
ρ= C[X, Y ] 3α = 2.
σX σY π Els seus valors extrems s´ on ± π32 = ±0,304 (quan α = ±1).
X i Y s´ on incorrelades nom´es si α = 0. En aquest cas fXY (x, y) = 1 1 amb fX (x)fY (y) = 2π · 2π , aix´ı que tamb´e s´ on independents.
1 4π2 i aix` o coincideix (d) E[U ] = E[X] + E[Y ] = 2π, E[V ] = E[X] − E[Y ] = 0, E[U V ] = E[(X + Y )(X − Y )] = E[X 2 − Y 2 ] = E[X 2 ] − E[Y 2 ] = 0 ja que X i Y tenen la mateixa densitat. Llavors C[U, V ] = E[U V ] − E[U ]E[V ] = 0. Per tant, ρ = 0. S´ on incorrelades per a tot valor de α, per`o mai s´ on independents ja que el quadrat on viuen X i Y es transforma girant 45 graus i la forma de rombe ´es incompatible amb la independ`encia.
3 Sigui X(t) el proc´es estoc`astic X(t) = 2t, si 0 ≤ t ≤ Y 0, altrament, on Y ´es una variable aleat` oria exponencial de par` ametre λ = 1.
(a) Quins s´ on els possibles valors presos per cadascuna de les variables aleat` ories X( 12 ), X(2) i X(4). Determineu les seves funcions de probabilitat. Raoneu: es tracta d’un proc´es d’estat continu o d’estat discret? (b) Calculeu la funci´ o de probabilitat de primer ordre del proc´es X(t). Utilitzeu-la per obtenirne la funci´ o de valor mitj` a m(t), aix´ı com la pot`encia del proc´es. Compareu la forma de les realitzacions amb la del valor mitj` a. Quines similituds i difer`encies hi ha? (c) Calculeu la funci´ o d’autocorrelaci´o de X(t), R(t1 , t2 ). Verifiqueu a partir d’ella que la pot`encia calculada a l’anterior apartat ´es correcta. (Indicaci´ o: distingiu els casos t2 > t1 i t1 > t2 .) (d) Determineu la millor estimaci´o lineal no homog`enia de X(t2 ) donat X(t1 ), (0 < t1 < t2 ), i l’error quadr` atic m´ınim d’aquesta estimaci´o.
Soluci´ o: 1 2 (a) La variable aleat` oria X pren el valors 0 i 1 amb probabilitats P X 1 2 =1 =P Y ≥ 1 2 P X 1 2 =0 = 1−P X = 1 − FY 1 2 =1 1 2 = e−1/2 , = 1 − e−1/2 .
An` alogament, la variable aleat` oria X(2) pren els valors 0 i 4, mentre que X(4) pren els valors 0 i 8. Les probabilitats respectives valen: P (X (2) = 4) = P (Y ≥ 2) = 1 − FY (2) = e−2 , P (X (2) = 0) = 1 − P (X (2) = 4) = 1 − e−2 , P (X (4) = 8) = P (Y ≥ 4) = 1 − FY (4) = e−4 , P (X (4) = 0) = 1 − P (X (4) = 8) = 1 − e−4 .
En general, X(t) ´es una variable aleat` oria discreta que pren el valor 2t si Y ≥ t i el valor 0 altrament. X(t) ´es, doncs, un proc´es d’estat discret.
(b) Noteu que per a t < 0 el proc´es X(t) pren el valor 0 amb probabilitat 1. Per tant, si t < 0, mX (t) i la pot`encia P (t) valen trivialment 0.
Si t > 0, d’acord amb l’apartat anterior tenim: P(X(t) = 2t) = P(Y ≥ t) = 1 − FY (t) = e−t , P(X(t) = 0) = 1 − P(X(t) = 2t) = 1 − e−t .
Per tant, si t > 0, mX (t) = E(X(t)) = 2t P(X(t) = 2t) = 2t e−t .
P (t) = E(X 2 (t)) = 4t2 P(X(t) = 2t) = 4t2 e−t .
(c) Pel que fa a la funci´ o d’autocorrelaci´o tenim (prenent t1 , t2 > 0): RX (t1 , t2 ) = E(X(t1 )X(t2 )) = 4t1 t2 P(Y ≥ t1 , Y ≥ t2 ) = 4t1 t2 P (Y ≥ max (t1 , t2 )) = 4t1 t2 e− max (t1 ,t2 ) .
Per tant, P (t) = RX (t, t) = 4t2 e−t , reobtenint aix´ı el resultat de l’apartat anterior.
La covari` ancia val CX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ) = 4t1 t2 e− max (t1,t2 ) − e−(t1 +t2 ) .
(d) Sigui X(t2 ) = αX(t1 ) + β.
Plantejant les equacions ortogonals: 0 = E(X(t2 ) − αX(t1 ) − β) = mX (t2 ) − αmX (t1 ) − β, 0 = E ((X(t2 ) − αX(t1 ) − β)X(t1 )) = RX (t1 , t2 ) − αRX (t1 , t1 ) − βmX (t1 ), obtenim α= 4t1 t2 e−t2 − e−(t1 +t2 ) CX (t1 , t2 ) t2 −(t2 −t1 ) = = e .
CX (t1 , t1 ) 4t21 (e−t1 − e−2t1 ) t1 β = mX (t2 ) − αmX (t1 ) = 2t2 e−t2 − Per tant, X(t2 ) = t2 −(t2 −t1 ) e 2t1 e−t1 = 0 t1 t2 −(t2 −t1 ) e X(t1 ).
t1 Pel que fa a l’error tenim =E X(t2 ) − X(t2 ) X(t2 ) = E ((X(t2 ) − αX(t1 ) − β) X(t2 )) = RX (t2 , t2 ) − αRX (t1 , t2 ) − βmX (t2 ) = 4t22 e−t2 − t2 −(t2 −t1) e 4t1 t2 e−t2 = 4t22 e−t2 1 − e−(t2 −t1) .
t1 ...