Examen Parcial Primavera 2013 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Algebra
Año del apunte 2013
Páginas 1
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

ALED-ETSETB 16/05/2013 Codi de la prova: 230–00002–02–?–grup.
2 −1 −1 1. De la matriu A = −4 5 4 6 −6 −5 , en podem dir que (a) ´es diagonalitzable a R i C (b) no ´es diagonalitzable a R (c) els seus autovalors s´on λ1 = 1 (doble), λ2 = 2 (simple) (d) no ´es diagonalitzable a C 3 2. Sigui f l’endomorfisme de R definit per f (1, 0, 0) = (1, 0, 0), f (0, 1, 0) = (2, 3, 0) i f (0, 0, 1) = (2, 0, −1). Quin dels seg¨ uents ´es un vector propi de f ? 8. En R2 [x], el conjunt 1 − x, 2 + x + 5x2 , 3x + 5x2 (a) (b) (c) (d) no ´es base de R2 [x] ´es un sistema de generadors de R2 [x] est` a format per vectors linealment independents Cap de les altres 9. Si B = {u1 , u2 , u3 } ´es base de R3 , B ′ = {u′ 1 = u1 , u′ 2 = u1 + u2 , u′ 3 = u1 + u2 + u3 } i v = (x, y, z) ´es un vector en la base B, llavors, (a) B ′ no ´es base (b) v = (x − y, y − z, z) en la base B ′ (a) (1, 0, 1) 1 0 0 (d) (u′ 1 , u′ 2 , u′ 3 ) = (b) (1, 1, 0) (c) (0, 1, 1) (d) (3, 1, 1) 3. Si A ´es una matriu quadrada d’ordre dos amb coeficients reals amb Ker(A + jI) = (1 − j, j) , aleshores A = P DP −1 on: (a) P = 1−j j 1+j −j (b) P = 1−j 1+j j −j (c) P = 1−j j 1+j −j (d) P = 1−j 1+j j −j ,D= 0 j −j 0 ,D= ,D= 0 −j j 0 ,D= −j 0 j 0 0 j 0 −j 4. Sigui f : R3 → R3 l’endomorfisme definit per f (x, y, z) = (−x+ 3y − 2z, −x+ y, −2y + 2z). Aleshores es compleix que: (a) dim ker f = 3 (b) Cap de les altres (c) dim Imf = 3 (d) dim ker f + dim Imf = 3 π 2 + 2kπi, k ∈ Z (b) 2kπi, k ∈ Z (c) ( π2 + 2kπ)i, k ∈ Z (d) π 2 + 2kπ, k ∈ Z 6. El polinomi m`onic real de grau m´ınim p ∈ R[x] que verifica p(2i) = p(1 + 2i) = 0 ´es: (a) (x2 + 4)(x2 + 2x + 5) (b) (x2 + 4)(x2 − 2x + 5) (c) (x2 − 4)(x2 − 2x + 5) (d) (x2 − 4)(x2 + 2x + 5) 7. Sigui A = (C1 , C2 , C3 ) una matriu 3 × 3, on C1 , C2 , C3 s´on les seves columnes. El determinant de la matriu B = (C1 + C2 − 4 C3 , C1 + C3 , 3 C1 + 2 C3 ) val: (a) det(A) (b) 0 (c) − det(A) (d) Cap de les altres 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 (u1 , u2 , u3 ) 10. Siguin F = {(x, y, z) ∈ R3 | x − y − z = 3x − y + z = 0} i G = (a, 0, 1), (b, −2, 2) , amb a, b ∈ R. Quan podem assegurar que la suma F + G ´es directa? (a) (b) (c) (d) Si a = b = 1 En cap cas Si a − b = 1 Si a − b = 1 11. Siguin f : R2 → R3 l’aplicaci´o lineal definida per f (1, 2) = (3, 4, 5) i f (6, 7) = (8, 9, 10), i g : R3 → R2 on g(x, y, z) = (x+2y +3z, x+4y +5z). Aleshores, en les bases can`oniques, la matriu de la composici´o g ◦ f es pot calcular fent: (a) (b)  3  4 5  1  2 3  8 9  10  1 4  5 1 2 1 6 6 7 2 7 −1 −1 1 1 2 4 3 8 3 5 4 9 5 10 (c) Cap de les altres (d) 5. Els nombres ω ∈ C soluci´o de eω = i s´on: (a) 1 0 0 (c) (u1 , u2 , u3 ) = (u′ 1 , u′ 2 , u′ 3 ) 1 1 2 4 3 5  3  4 5  8 9  10 1 2 6 7 −1 12. Una base ortogonal de F = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + 3z = 0} ´es: (a) (b) (c) (d) {(2, 1, 0), (1, −2, 1)} {(1, −2, 3), (2, 1, 0)} {(2, 1, 0), (−3, 6, 5)} {(−3, 6, 5), (1, −2, 3)} 13. Si F = {(x, y, z) ∈ R3 | x − 2y + z = 0}, llavors: (a) (b) (c) (d) F⊥ F⊥ F⊥ F⊥ = (2, 1, 0), (−1, 0, 1) = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y = 0; x − z = 0} = (−1, 0, 1) = (2, 1, 0) 14. Un vector ortogonal a (1, −2) ∈ R2 en la base {e1 , e2 } tal que e1 · e1 = 1, e1 · e2 = 2, e2 · e2 = 5 ´es: (a) (b) (c) (d) (8, −3) (2, 1) (1, −2) (3, 8) ...