enunciat Practiques (2014)

Trabajo Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Telemática - 2º curso
Asignatura P.I.E. Probabilitat i Estadistica
Año del apunte 2014
Páginas 17
Fecha de subida 23/11/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

1.
Pr` actica 1: Taules i c` alcul de probabilitats de les variables aleat` ories m´ es usuals En aquesta pr`actica utilitzarem el programa Minitab per a calcular probabilitats i trobar taules de les variables aleat`ories cont´ınues uniforme, exponencial i normal.
Generaci´ o de seq¨ u` encies num` eriques Cal que empreu les pestanyes Calc > Make Patterned Data > Simple set of Numbers....
A la primera finestra de di`aleg introdu¨ıu a quina columna (C1, C2, etc..) voleu emmagatzemar la seq¨ u`encia, a la segona finestreta el primer valor de la seq¨ u`encia, etc... Feu els quatre assajos seg¨ uents per comprovar que enteneu el qu`e fan les diferents finestretes. En cada assaig heu d’introduir els valors separats per comes a finestres diferents del mateix di`aleg: C1, 1, 15, 1, 1, 1 C2, 2, 20, 2, 1, 1 C3, 5, 6, 0,01, 2, 1 C4, 5, 6, 0,01, 1, 2 i observeu els resultats.
Constru¨ıu les seq¨ u`encies seg¨ uents: Els nombres naturals des del 23 fins el 122.
Els m´ ultiples de 3 entre 102 i 231.
Comenceu al 2 i amb un salt de 0,2 arribeu fins el 10, i repetiu cada d´ıgit dues vegades.
Escriviu dues vegades la seq¨ u`encia que comen¸ca al 2 acaba al 3 i t´e un salt d’una mil·l`esima.
Quin ´es el d´ıgit que est`a a la fila 25 de cadascuna de les seq¨ u`encies anteriors?.
C` alcul de probabilitats de variables aleat` ories cont´ınues Sigui X una variable aleat`oria uniforme a l’interval [0, 4], anem a calcular quant val la funci´o densitat per a x = 1, 32, quant val P [X ≤ 1] i quant val x tal que P [X ≤ x] = 0, 34.
1 Esborreu tot el full i introdu¨ıu 1, 32 a la primera fila de la columna C1. Activeu les pestanyes Calc > Probability distributions > Uniform. Per defecte surt la distribuci´o uniforme a [0, 1], deixeu el lower endpoint a 0 i canvieu l’upper endpoint per 4. Activeu l’opci´o Probability density, poseu C1 a Input column i C2 a Optional Storage, cliqueu OK i a la pantalla apareix 0, 25 a la primera cel.la de la columna C2, que ´es el valor de la funci´o densitat avaluada a x = 1, 32. (Recordeu que la funci´o de densitat de la uniforme ´es constant).
Esborreu la columna C1, col.loqueu 1 a la primera cel.la de C1, i procediu igual que abans, per`o activant l’opci´o Cumulative probability. Ara a la columna C2 apareix 0,25 que ´es la probabilitat que la variable prengui valors m´es petits o iguals que 1.
Activeu, finalment, l’opci´o Inverse cumulative probability amb un 0, 34 a la primera cel.la de C1 i cliqueu OK. Surt 1,36, veieu per qu`e?.
En lloc de les probabilitats de nom´es un valor podem calcular la probabilitat de tots els nombres que col.loquem a la Input column d’una sola vegada.
1. Constru¨ıu una taula de la distribuci´o X = N (0, 1). Esborreu totes cel.les, i a la columna C1 poseu-hi una seq¨ u`encia que vagi de -3 a 3 amb un salt d’una cent`esima.
A la columna C2 poseu-hi les probabilitats acumulades (P [X ≤ x]).
2. Sigui X = N (10, 3), trobeu: a) P (X ≤ 14).
b) P (X ≥ 11).
c) P (12 ≤ X ≤ 14).
d ) P (12 < X < 14).
e) a tal que P (X ≤ a) = 0, 75.
f ) a tal que P (X ≥ a) = 0, 05.
3. Sigui X una variable aleat`oria exponencial amb par`ametre 1/3 (recordeu que el valor mitj`a ´es l’invers del par`ametre), trobeu: a) P (X ≤ 4).
b) P (X ≥ 1).
c) P (2 ≤ X ≤ 4).
d ) a tal que P (X ≤ a) = 0, 85.
e) a tal que P (X ≥ a) = 0, 01.
4. Prenem un nombre real a l’atzar entre 0 i 6, (X ´es per tant uniform), trobeu: a) P (X ≤ 3, 25).
b) P (X ≥ 2, 54).
c) P (2 ≤ X ≤ 4).
2 d ) a tal que P (X ≤ a) = 0, 6.
e) a tal que P (X ≥ a) = 0, 25.
3 2.
Pr` actica 2: Simulaci´ o d’experi` encies aleat` ories En aquesta pr`actica utilitzarem el programa Minitab per simular una experi`encia aleat`oria: Distribuci´ o de la suma dels resultats obtinguts al llen¸car dos daus 1. Dos daus perfectes Un cop obert el Minitab, etiqueteu la columna C1 com Dau 1, la columna C2 com Dau 2 i la columna C3 com Suma de resultats. Activeu la finestra Session i activeu a la barra de men´ u la pestanya Editor/Enable Commands.
Per generar els 1000 resultats corresponents a llen¸car dos daus 1000 cops feu el seg¨ uent: Activeu la finestra Session i cliqueu Edit > Command line Editor. A la finestra que hi surt escriviu: random 1000 C1; integer 1 6.
random 1000 C2; integer 1 6.
let c3=c1+c2 Les dues primeres comandes generen 1000 files de valors enters entre el 1 i el 6 de forma aleat`oria i grava els resultats a C1. Fent aix`o estem suposant que el dau ´es perfecte i tots els resultats entre 1 i 6 tenen la mateixa probabilitat. Les dues comandes seg¨ uents corresponen a generar 1000 dades amb el segon dau. La u ´ltima comanda suma els resultats obtinguts a les columnes C1 i C2 i el posa a la columna C3.
Per executar les ordres que hem escrit, cliqueu Submit Commands.
Analitzarem ara tots els valors obtinguts. Una manera de fer-ho ´es a partir d’un gr`afic tipus ”Pie”(past´ıs), ja veurem que obtindrem els valors num`erics que ens interessen directament en el gr`afic. Cliqueu Graph > Pie Chart > Chart counts of unique values i introdu¨ıu C3 a Categorical variables; abans de pr´emer OK mireu qu`e fan les opcions Labels>Slice Labels. De moment ens interessa con`eixer el percentatge de cops que ha sortit cada resultat amb el primer dau. Si el nombre de cops que realitzem l’experi`encia ´es suficientment gran, esperem que la freq¨ u`encia relativa de cada resultat s’acosti al valor te`oric. Una forma alternativa de comptar les freq¨ u`encies sense passar per la gr`afica ´es amb les pestanyes Stat > Tables > Tally Individual Variables Contestar les seg¨ uents preguntes.
4 a) Escriu les freq¨ u`encies relatives de cada resultat del primer dau i compara aquests valors amb la probabilitat te`orica.
b) Fes el mateix per el segon dau.
c) Has trobat el qu`e esperaves? d ) Ara fes un gr`afic del mateix tipus per analitzar les freq¨ u`encies relatives de la suma dels resultats dels dos daus.
e) Escriu les freq¨ u`encies relatives corresponents a les sumes 2, 7 i 12.
f ) Pensa i escriu la probabilitat te`orica que els hi correspon a cada un d’aquests valors.
g) Has trobat el qu`e esperaves? 2. El dau 1 amb les cares 1,3,4,5,6,8 i el dau 2 amb les cares 1,2,2,3,3,4 Ara repetirem tot el que hem fet anteriorment amb aquests altres dos daus i comprovarem que la distribuci´o de la suma de resultats ´es la mateixa que abans.
Evidentment la numeraci´o que apareix a cada cara d’aquests dos daus no ´es qualsevol, si no que s’ha hagut de pensar adequadament per a que passi aix`o. Utilitzarem les columnes C5,C6 i C7.
Quan introdu¨ım els resultats corresponents al primer dau no podem obtenir el 2.
Una manera de fer-ho ´es simular a la columna C5 i C6 els resultats del 1 al 6 (com abans) per`o eliminant abans la u ´ltima comanda escrita a Command line Editor ja que encara no podem sumar els resultats. El que farem ´es canviar de forma adient aquests resultats. Un cop hagis generat dades del 1 al 6 a les columnes C5 i C6 fes el seg¨ uent: Marca tota la columna C5 i prem Editor Replace. Omple Find what amb 2 i Replace with amb 8. Prem Replace all. Amb aix`o hem aconseguit que hi surti el 8 ´ com si la cara del dau 1 perfecte que tenia pintada un 2, ara tingu´es en lloc del 2. Es pintada un 8. Evidentment estem pensant que el dau mostra totes les 6 cares amb la mateixa probabilitat. En el segon dau podem fer el mateix, canviant el 5 per un 2 i el 6 per un 3.
Tal com tenim ara els resultats ja els podem sumar. Per fer-ho nom´es cal que escrivim a la finestra de Session let C7=C5+C6 i return.
Ara fem una an`alisi com en el cas anterior a) Escriu les freq¨ u`encies relatives de cada resultat del primer dau i compara aquests valors amb la probabilitat te`orica.
b) Fes el mateix per el segon dau.
c) Has trobat el qu`e esperaves? d ) Ara fes un gr`afic del mateix tipus per analitzar les freq¨ u`encies relatives de la suma dels resultats dels dos daus.
e) Escriu les freq¨ u`encies relatives corresponents a les sumes 2, 7 i 12.
5 f ) Pensa i escriu la probabilitat te`orica que els hi correspon a cada un d’aquests valors.
g) Has trobat el qu`e esperaves? 3. Comparaci´ o dels dos casos Per acabar compara els gr`afics i les freq¨ u`encies corresponents a la suma de resultats en el primer cas i en el segon. Qu`e podr´ıem fer per obtenir uns resultats pr`actics m´es propers als te`orics? 4. M` etode alternatiu per obtenir una simulaci´o de 100 llan¸caments d’un dau En aquest apartat us comentem una altra manera d’obtenir el resultat de 100 llan¸caments del dau, per exemple, amb cares 1,2,2,3,3,4. Escriu aquests valors a la columna C8. Farem un petit programa (macro) que ens ho resoldr`a.
Obre un editor de text per (el millor ´es fer-ho amb el NotePad) i escriu les comandes: GMACRO daus do k1=1:100 sample 1 c8 c10 let c9(k1)=c10 enddo ENDMACRO Grava-ho a l’arrel; cal fer-ho amb format de text, per`o l’extensi´o ha de ser .mac, el millor ´es agafar dins la finestra de Tipus de Fitxer la opci´o Tots els fitxers i guardar-ho com daus.mac El que fem ´es agafar una mostra aleat`oria (sample) d’un element de la columna C8 i el posem a la columna c10. Copiem aquest valor a la columna c9 i repetim el proc´es 100 cops.
Per executar aquesta macro, activa la finestra Session i escriu: MTB> %C:\daus.mac i prem return. (Si no teniu daus.mac al directori arrel C :, canvieu el nom del directori).
Comprova mitjan¸cant un gr`afic ( o amb Stat > Tables > Tally Individual Variables) que surten unes freq¨ u`encies relatives com esper`avem.
6 3.
Pr` actica 3: La paradoxa de Bertrand L’objectiu de la pr`actica ´es fer les simulacions que s’indiquen a la p`agina 49 del llibre Introduction to Probability de Charles M. Grinstead (penjat a ATENEA).
Per la primera simulaci´o generem dues columnes, amb 1000 cadascuna, d’una distribuci´o uniforme a l’interval [−1, 1] i les posem a les columnes C1 i C2. Recordeu que aix`o es pot fer amb Calc > Random Data > Uniform i omplint number of rows: a 1000, Store in column: a C1 C2, Lower endpoint: a −1 i Upper endpoint: a 1 .
Calculem C12 + C22 i ho posem a la columna C3. Recordeu que aix`o es pot fer amb Edit > Command line editor i omplint el quadre de di`aleg amb let C3=C1ˆ 2+C2ˆ 2.
Ara mirem quants valors de C3 s´on m´es petits que 1. Aix`o ho farem omplint la columna C4 amb un 0 si no ´es aquest el cas i amb 1 si ho ´es. Per fer-ho feu Edit > Command line editor i let C4=(C3< 1). Aquesta ´es una instrucci´o de tipus boolean: si ´es certa es genera un 1 i si ´es falsa un 0.
Comptem el nombre de 1 a la columna C4 (Stat > Tables > Tally Individual...
amb la opci´o count). Aquest nombre d’uns seran els casos possibles.
√ ´ normal que us Omplim la columna C5 amb 2 · 1 − C3 (let C5=2*sqrt(1-C3)). Es doni error quan a la columna C3 hagi nombres m´es grans que 1, per`o no importar`a perqu`e nom´es els nombres m´es petits que 1 s´on els cassos possibles que volem analitzar.
√ Comptem ara quantes files de la columna C5 s´on m´es grans que 3 (omplim la columna C6 amb let C6=(C5> sqrt (3)) i comptem quants 1 hi ha, seran els casos favorables).
Fem la ra´o casos favorables dividits per casos possibles.
Per la segona simulaci´o tamb´e generem 1000 dades d’una distribuci´o uniforme de l’interval [0, 1], que anomeno r, i procedim de forma semblant.
√ √ Els casos favorables seran aquells que tenen 2 1 − r2 > 3 i els possibles 1000.
Per la tercera simulaci´o generem 1000 dades uniformement a l’interval [0, 2π], que anomeno α i√procedim de forma √ semblant, els casos possibles s´on 1000 i els favorables aquells que 2 − 2 cos α > 3 Comproveu que les freq¨ u`encies relatives obtingudes s’apropen a 7 1 1 1 , i respectivament.
4 2 3 4.
Pr` actica 4: Generaci´ o de dades aleat` ories.
Distribuci´ o binomial.
Simularem ara un proc´es aleatori. Imaginem l’experi`encia que llancem 10 cops una moneda i anotem el nombre de cares que surten. Vam veure que el nombre de cares segueix una distribuci´o binomial Bin(n, p), on n ´es 10 en aquest cas i p ´es la probabilitat que surti cara al llen¸car una moneda (si la moneda ´es perfecta p = 0, 5).
Si realitzem aquesta experi`encia 100 cops per p = 0,5, i anotem els resultats a la columna C1. Hem de fer: Calc > Random Data > Binomial Generate 100 rows of data Store in column(s) C1 Number of trials 10 Probability of...0,5 Veiem que a la columna C1 ens han aparegut nombres entre 0 i 10 i hem omplert 100 files. Cada una d’aquestes files representa el resultat d’una experi`encia, ´es a dir el nombre de cares que ha sortit despr´es d’haver llen¸cat la moneda 10 cops.
Per con`eixer la distribuci´o del nombre de cares podem fer: Stat > Tables > Cross Tabulation Seleccionem la variable C1 i a Display marquem Counts i Column percents.
A la finestra Session ens surten els resultats num`erics de les freq¨ u`encies absolutes i les relatives. Si per exemple obtenim que 4 cares ens surten en vint-i-una de les 100 21 experi`encies que realitzem, la freq¨ u`encia relativa ´es f (4) = 100 .
Quants m´es cops realitzem l’experi`encia, f (k) s’aproximar`a m´es a P (X = k).
Exercici 1. Repetir l’exemple anterior de llan¸car 10 cops una moneda, per`o ara amb p = 0, 4 i repetint l’experi`encia 500 cops en lloc de 100. Escriu en dues columnes, els resultats f (k) de la simulaci´o amb l’ordinador i els valors te`orics P (X = k), per k = 0 · · · 10.
(Els valors P (X = k) te`orics els pots obtenir directament a l’ordinador amb. Primer has d’omplir una columna amb els nombres del 0 al 10, que ser`a la teva columna Input Column. Despr´es has de fer Calc > Probability Distributions > Binomial i calcular la probability de la teva input column on has ficat pr`eviament els valors k = 0 · · · 10).
Comenta els resultats obtinguts.
8 Distribuci´ o de Poisson.
Segons dades recollides durant molts anys el nombre de avaries per any del sistema inform`atic d’una empresa, segueix una llei de Poisson de par`ametre λ = 2,5. Si X ´es la variable aleat`oria que ens d´ona el nombre d’avaries per any, la probabilitat que el sistema inform`atic tingui k avaries en un any ´es: 2,5k −2,5 e k! Trobarem una aproximaci´o d’aquests resultats generant 100 valors que segueixen aquesta distribuci´o. Calc > Random Data > Poisson P (X = k) = Generate 100 rows of data Store in column(s) C1 Mean 2,5 Per con`eixer la distribuci´o d’aquestes dades fem: Stat > Tables > Cross Tabulation Seleccionem la variable C1 i a Display marquem Counts i Column percents.
De la columna de percentatges podem obtenir la freq¨ u`encia relativa.
Exercici 2. Escriu els resultats de les freq¨ u`encies relatives pels casos k = 3, generant 100, 1000 i 10000 dades. Calcula el valor te`oric de P (X = 3) (ho pots fer amb l’ordinador de manera semblant a la binomial).
Comenta els anteriors resultats.
9 5.
Pr` actica 5: Aproximacions Binomial-Poisson i BinomialNormal Etiqueteu la columna C2 amb BINOMIAL i la columna C3 amb NORMAL.
A la columna C1 genereu els nombres del 0 al 100 amb Calc > Make Patterned Data > Simple Set of Numbers.
A la columna C2 poseu la probabilitat dels valors de la columna C1 per una binomial Bin(100, 1/4) (Calc > Probability Distribution > Binomial...) A la columna C3 poseu la imatge dels valors de la columna C1 per la funci´o de densitat d’una normal N (100 · 1/4, 100 · 1/4 · 3/4) (Calc > Probability Distribution > Normal... assenyalant la opci´o Probability density).
Compareu els valors de les columnes C2 i C3 sobre C1 fent la gr`afica amb Graph > Scatterplot > Simple.. i posant a la variable Y les columnes C2 i C3 i a la variable X C1. A la opci´o Multiple Graphs poseu Overlaid on the same graph. Comproveu que les gr`afiques resultants s´on semblants.
Repetiu el mateix proc´es generant a la columna C1 els nombres del 0 al 200, a la columna C2 les probabilitats d’una Bin(1000, 0, 1) i a la columna C3 les d’una P oiss(100).
Sigui X = Bin(500, 0, 1). Calculeu directament P [40 ≤ X ≤ 50] i calculeu-ho fent servir l’aproximaci´o d’X per una distribuci´o normal adequada i per una Poisson adequada.
10 6.
Pr` actica 6: Simulacions aplicades a determinar la probabilitat de funcionament d’un circuit quan es coneixen les probabilitats de bon funcionament de cadascun dels seus components.
Una funci´o booleana ´es una funci´o que pren u ´nicament els valors 0 o 1 depenent de la veritat o falsedat dels seus arguments; nomes ens caldran les funcions and (que val 1 si els seus dos arguments s´on certs) i or (que val 1 si algun dels seus arguments ´es cert) Exemple 1 Tenim un circuit en s`erie amb dos components, el primer funciona correctament amb probabilitat 0,9 i el segon amb probabilitat 0,8, amb quina probabilitat funciona correctament el circuit si els seus components s´on independents? A les columnes c1 i c2 genereu 1000 valors d’una variable aleat`oria uniformement distribu¨ıda a l’interval [0, 1] (Calc > Random data > Uniform i ompliu amb 1000, C1 (C2 la segona vegada),0,1 les finestres generate..., store..., lower endpoint i upper endpoint respectivament).
La probabilitat que un nombre de C1 sigui m´es petit que 0,9 ´es aproximadament 0,9 (per construcci´o!) i que un nombre de C2 sigui m´es petit que 0,8 ´es, aproximadament, 0,8.
Per tant la funci´o booleana (C1<0,9) and (C2<0,8) valdr`a 1 amb probabilitat aproximadament igual a 0,9·0,8 que ´es la probabilitat que el circuit funcioni correctament.
A la finestra de sessi´o (si fa falta cliqueu les pestanyes Editor > Enable Commands) poseu l’ordre let C3= (c1<0,9) and (C2<0,8) . Obtindreu una columna de zeros i uns i aquests u ´ltims han de tenir una freq¨ u`encia relativa a prop de 0,72, la probabilitat que el circuit funcioni correctament. (Comproveu-ho amb Stat > Table > Cross Tabulation i activant la casella Column percents) Exemple 2 Tenim un circuit en paral.lel amb dos components, el primer funciona correctament amb probabilitat 0,7 i el segon amb probabilitat 0,65, amb quina probabilitat funciona correctament el circuit si els seus components s´on independents? Cal fer un raonament semblant a l’anterior omplint la columna C3 amb l’ordre C3=(C1<0,7) or (C2<0,65) let Exemple 3 Amb quina probabilitat funcionar`a el circuit de la figura on dins de cada component hi ha la probabilitat que funcioni correctament? Cal que ompliu les columnes C1, C2, C3 i C4 amb valors aleatoris ( per exemple amb 1000) d’una distribuci´o uniforme a l’interval [0,1], i que executeu l’ordre let C5=(C1<0,8) and (C2<0,85) and ((C3<0,75) or (C4<0,95)) (compte amb els par`entesi). La freq¨ u`encia relativa d’1 a la columna C5 ´es una bona aproximaci´o al resultat.
11 0.75 0.8 0.85 0.95 1. Amb quina probabilitat funcionar`a el circuit de la figura seg¨ uent? 0.9 0.8 0.9 0.6 2. Amb quina probabilitat funcionar`a el circuit de la figura seg¨ uent? 0.8 0.8 0.9 0.9 3. Amb quina probabilitat funcionar`a el circuit del problema 13 del tema 2? 12 Contrasta els anteriors resultats amb els resultats que s’obtenen te`oricament utilitzant la distribuci´o geom`etrica (utilitza la calculadora).
13 7.
Pr` actica 7: Suma i producte de dues variables aleat` ories independents, (X, Y ), distribu¨ıdes uniformement a l’interval [0, 1] Sigui Z = X · Y i Zˆ = X + Y . Trobeu anal´ıticament P [Z > 21 ] i P [Zˆ < 1] i comproveu que el resultat s’aproxima a la simulaci´o seg¨ uent: Genereu 5000 dades a les columnes C1 (X) i C2 (Y ) amb una densitat uniforme a l’interval [0, 1]. Per a trobar la densitat uniforme de Z = X · Y poseu a la columna C3 el producte 1 C1*C2 i a la columna C4 poseu 1 si aquest producte ´es m´es gran que i 0 altrament (let 2 C4=(C3>0’5)) i compteu la freq¨ u`encia relativa dels 1 d’aquesta columna.
Actueu de forma similar per a tenir una estimaci´o de P [Zˆ < 1].
Quin error hi ha entre el valor real i l’estimaci´o? 14 8.
Pr` actica 8: Estimaci´ o i intervals de confian¸ca En aquesta pr`actica s’estudiar`a el concepte de mostra, observant el comportament de les diferents mostres segons la seva mida, i s’observar`a tamb´e la verificaci´o del teorema central del l´ımit comprovant la normalitat de la repetici´o d’una variable qualsevol. Es calcularan intervals de confian¸ca per la mitjana a nivell de 95 % i es comprovar`a la certesa d’aquest nivell.
Mostres d’una normal Un cop obert el Minitab, etiqueteu la columna C1 com Poblaci´o, i obriu el men´ u Calc > Random Data > Normal.... A la finestra de di`aleg poseu: Generate 1000 rows of data Store in columns C1 Mean 200 Standard deviation 15 i cliqueu OK. Observareu com a la primera columna us apareixen 1000 valors, que son la poblaci´o que voleu estudiar amb diferents mostres. Aquests valors corresponen a una distribuci´o normal amb mitjana 200 i desviaci´o t´ıpica 15. Feu un histograma (recordeu Graph > Histogram) per veure la normalitat de la variable, i calculeu les estad´ıstiques descriptives (Stat > Basic Statistics > Display Descriptive Statistics). Observeu si la mitjana s’aproxima a 200 i la desviaci´o t´ıpica a 15. Anoteu en el full d’entregar la mitjana i la desviaci´o t´ıpica que obtingueu a la mostra.
Imagineu que voleu estudiar aquesta poblaci´o prenent mostres d’un n´ umero raonable de persones. Obriu la macro mostra10.mac (que pr`eviament us heu d’haver baixat d’ATENEA) amb un editor de text (Notepad o Wordpad) per veure les seves instruccions. Observeu que la macro fa: sample 10 C1 C2 que treu una mostra de 10 valors de la columna C1 i els posa a la columna C2. La comanda let C3(k1)=mean(C2) emmagatzema a la columna C3 la mitjana de la mostra que teniu a la columna C2.
Aquesta macro repeteix aquest proc´es 100 vegades, la comanda replace serveix per anar posant cada vegada els 10 valors de la mostra a la columna C2.
15 Per executar la macro, en el prompt MTB> del Minitab heu d’entrar MTB > %C: \ nomdirectori \ mostra10.mac on C: \ nomdirectori representa el directori on heu guardat la macro. No us deixeu el %, que ´es el que indica que aneu a executar una macro.
Un cop heu fet aix`o, obtindreu 100 estimacions de la mitjana de la nostra poblaci´o a la columna C3. Aquestes √ estimacions han de seguir una distribuci´o normal amb mitjana 200 i desviaci´o t´ıpica σ/ 10. Comproveu aix`o fent un histograma i calculant les estad´ıstiques descriptives. En el full d’entregar anoteu la mitjana √ obtinguda i la desviaci´o t´ıpica obtinguda, i raoneu si la desviaci´o t´ıpica s’acosta a σ/ 10.
Obriu ara la macro amb el Notepad o el Wordpad i modifiqueu-la per obtenir mostres de 25 dades d’entre les vostres 1000. Nom´es cal canviar el 10 de la comanda sample per un 25. Repetiu tot el proc´es anterior amb aquesta macro, dibuixant un histograma i calculant √ les estad´ıstiques descriptives, per comprovar que la desviaci´o t´ıpica ´es propera a σ/ 25.
Repetiu aix`o amb mostres de 100 persones i de 400 persones. Quines s´on les desviacions t´ıpiques que obteniu? Quins s´on els valors te`orics que haur´ıeu d’obtenir? Intervals de confian¸ca Obriu amb File, New una nova Worksheet per estudiar intervals de confian¸ca. Seguint el mateix proc´es que abans obteniu un altre cop 1000 valors aleatoris sobre una normal amb mitjana 200 i desviaci´o t´ıpica 15.
Agafeu la macro intsigma.mac i obriu-la. Observeu qu`e fa aquesta macro. Agafa mostres de 10 valors d’entre la vostra poblaci´o i calcula: a la columna C3 la seva mitjana, i a les columnes C4 i C5 calcula els valors √ √ ¯ 10 − Z,95 σ/ n ¯ 10 + Z,95 σ/ n X i X que s´on els dos extrems d’un interval de confian¸ca per la mitjana amb nivell 95 %. Observeu que s’ha fet servir el valor Z,95 = 1,96 que ´es el que la taula de la normal d´ona per 0.475.
Executeu la macro i observeu detingudament els valors que obteniu a les columnes C4 i C5.
Com que l’interval de confian¸ca nom´es t´e un nivell del 95 %, aix`o vol dir que aproximadament el 5 % de les vegades la mitjana poblacional aut`entica (200) no ser`a dins l’interval de confian¸ca. Compteu quantes vegades passa aix`o en el vostre cas i anoteu-ho en el full d’entregar.
Ara volem repetir el mateix proc´es per`o volem obtenir intervals de confian¸ca del 99 %.
Modifiqueu la macro apropiadament canviant el valor 1.96 pel valor adequat. Executeu la macro i observeu els 100 intervals de confian¸ca que obteniu a les columnes C4 i C5.
Hi ha alguna vegada que la mitjana poblacional caigui fora de l’interval? Observeu que n’heu d’obtenir aproximadament 1, potser 2 o cap, perqu`e aix`o passa ara aproximadament nom´es en el 1 % dels casos.
16 Feu un resum de tota la feina realitzada i obtinguda al full d’entregar. Anoteu expl´ıcitament algun exemple d’interval de confian¸ca dels obtinguts amb la macro i tal que la mitjana poblacional caigui a dintre.
17 ...