Examen Final Junio 2010 (2012)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura ALED
Año del apunte 2012
Páginas 2
Fecha de subida 16/09/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

` Algebra Lineal i Equacions Diferencials Departament de Matem`atica Aplicada IV 25 de juny 2010.
Publicaci´o notes provisionals: 29 de juny.
Periode d’al.legacions: Fins el 1 de juliol.
Notes definitives: 2 de juliol.
Professors: X.Mu˜ noz Instruccions addicionals: • Temps: 3 hores.
• Justifiqueu les respostes i detalleu-ne els c`alculs.
1. (3 punts) Considereu l’aplicaci´ o φ : R2 → R3 de la qual es coneix que φ(1, 1) = (1, 2, 3) i que φ(1, −1) = (0, 1, 1); i 3 l’aplicaci´ o ψ : R → R2 [X] definida per ψ(a, b, c) = (a + b) + (b + c)X + (c + a)X 2 . Es demana: (a) La matriu de φ en bases can` oniques de R2 i R3 .
(b) Dimensions i bases del nucli i de la imatge de φ i de ψ, i digueu si s´on injectives, exhaustives o bijectives.
(c) La matriu de ψ ◦ φ en bases can` onica de R2 i {1, X, X 2 }, i una base del seu nucli i de la imatge.
(d) Les anti-imatges de 3X + 1 per ψ ◦ φ si existeix alguna.
2. (3,5 punts) Donats a, b ∈ R considereu la matriu  1 A= 0 1  b a −1 0  0 1 Es demana: (a) Valors de a i b pels quals diagonalitza (a R i a C).
(b) El polinomi m´ınim de A en funci´ o de a i b.
(c) Per a = 0 i b = 1 resoleu el sistema x = Ax + v amb v = (1, 0, 0)     an+1 an (d) Per a = 1 i b = 0 resoleu el sistema  bn+1  = A  bn  amb a0 = 1, b0 = 0 i c0 = 1.
cn+1 cn 3. (1,5 punts) A les 11:00 a.m. es descobreix la v´ıctima d’un assassinat. El metge forense arriba a les 11:30 a.m. i constata que la temperatura del cad` aver ´es 34,8◦ C. La temperatura de l’habitaci´o ´es 21◦ C. Una hora despr´es, a la mateixa habitaci´ o, torna a mesurar la temperatura del cad`aver i resulta ser de 34,1◦ C. Estimeu l’hora de la mort assumint que la velocitat de refredament d’un cos ´es proporcional a la difer`encia de la seva temperatura amb la temperatura ambient.
4. (2 punts) Sigui L(y) = y − 3y + y + 5y .
(a) Determineu la soluci´ o general de la equaci´o L(y) = 0.
(b) Trobeu la soluci´ o del problema de valor inicial L(y) = et + t ; y(0) = 1, y (0) = y (0) = 0 .
+∞ f (t) F (s) = e−st f (t) d t 0 1 1 s tn n! sn+1 eat 1 s−a (s > a) tn eat n! (s − a)n+1 (s > a) cos bt s s2 + b2 sin bt b s2 + b2 eat cos bt s−a (s − a)2 + b2 (s > a) eat sin bt b (s − a)2 + b2 (s > a) (Heaviside) u(t) 1 s u(t − a) e−as s (delta de Dirac) δ(t) 1 δ(t − a) e−as +∞ f (t) F (s) = f (t)e−st dt 0 λf (t) + µg(t) λF (s) + µG(s) f (t) sF (s) − f (0) f (k) (t) sk F (s) − sk−1 f (0) − sk−2 f (0) − · · · − f (k−1) (0) t F (s) s f (τ ) d τ 0 f (αt) 1 F α (α > 0) s α eat f (t) F (s − a) tf (t) −F tk f (t) (−1)k F (k) +∞ f (t) t u(t − a)f (t − a) = F (s) d s s 0 f (t − a) 0≤t<a t≥a e−as F (s) t (convoluci´ o) (f f (u)g(t − u) du g)(t) = 0 L(f g) (s) = (F G)(s) ...