SFE_2.3 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

2.3 Angle de deflexi´ o. Per a col·lisions d’esferes dures, calculeu l’angle de deflexi´o ‰(b, u) en funci´ o del par` ametre d’impacte i de la velocitat relativa u.
Soluci´ o: En un xoc entre dues part´ıcules, de la conservaci´o de l’energia i del moment angular, s’arriba al seg¨ uent sistema d’equacions: Z 2 1 2 1 1 2 µur = µ r˙ + r2 ◊˙2 + V (r)^ 2 2 \ µbur = µr2 ◊˙ (0.212) Resolent-lo, podem trobar r(t): Û3 dr r˙ = =± dt 4 b2 2 1 ≠ 2 u2r ≠ V (r), r µ (0.213) i un cop determinat r(t), ◊(t) ´es: d◊ bur ◊˙ = = 2 .
dt r (0.214) ´ a dir, per determinar Varem veure que l’angle de deflexi´o era ‰ = fi ≠ 2◊m´ın . Es ‰ cal trobar primer quin ´es l’angle de “m`axim acostament”: ◊m´ın = ◊(rm´ın ), essent rm´ın la dist` ancia de m` axim acostament; Aquesta la podem determinar imposant que dr/d◊ = 0. De (0.216) obtenim rm´ın = Ò b 1≠ 2 V µu2r (rm´ın ) (0.215) .
˙ Dividint les expressions que hem trobat per r˙ i ◊, dr r2 =± d◊ b Û 1≠ b2 2 ≠ V (r).
2 r µu2r (0.216) De la darrera expressi´ o es t´e, ◊m´ın = ⁄ ◊m´ın 0 d◊ = ≠ ⁄ rm´ın Œ r2 b Ò dr 1≠ b2 r2 ≠ 2 V µu2r (r) , (0.217) En conseq¨ u`encia, per un potencial central gen`eric V (r), trobam que l’angle de deflexi´o v´e donat per la seg¨ uent expressi´o: ‰ = fi ≠ 2b ⁄ Œ rm´ın dr Ò r2 1 ≠ Pel model d’esferes dures (ho indicar´e amb [•] ) V[•] (r) = ”(r ≠ ‡) = 43 b2 r2 ≠ 2 V µu2r (r) .
(0.218) el potencial ´es I Œ per r = ‡ 0 per r > ‡ (0.219) ´ clar que per aquest model rm´ın = ‡ (en aquest on ‡ ´es el di` ametre de les esferes. Es cas, l’expressi´ o (0.215) no ens serveix donat que la teoria de forces centrals pressuposa que les part´ıcules s´ on puntuals). Com que un punt constitueix un conjunt de mesura nul·la, podem fer la integral (0.218) entre ‡ i infinit sense tenir que preocupar-nos de que V (‡) = Œ. Dit aix` o, ‰[•] = fi ≠ 2b ⁄ Œ ‡ dr Ò r2 1 ≠ b2 r2 .
(0.220) La integral anterior la podem calcular fent el canvi v = b/r æ dv = ≠(b/r2 )dr, els l´ımits passen a ser b/‡ æ 0. Se segueix ‰[•] = fi + 2 ⁄ 0 b/‡ Ô dv .
1 ≠ v2 (0.221) La integral que queda ´es immediata i val ≠ arccos u. Considerant que arccos 0 = fi/2, finalment s’arriba a: 3 4 b ‰[•] = 2 arccos .
(0.222) ‡ Notar, que el resultat anterior sols ´es v`alid si ‡ Ø b (´es a dir, si hi ha col·lisi´o). En el cas que ‡ < b, la part´ıcula incident no xoca i per tant la seva traject`oria no es veu modificada, o sigui que si ‡ < b, ‰[•] = 0. Una manera compacta d’escriure el resultat ´es 3 4 b ‰[•] = ◊(‡ ≠ b)2 arccos (0.223) ‡ on ◊(‡ ≠ b) ´es la theta de Heaviside.
44 ...