P_2 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Física Nuclear i de Partícules
Año del apunte 2014
Páginas 10
Fecha de subida 21/06/2014
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

n 2. En aquest exercici justificarem l’aproximaci´o de Born per a determinar l’amplada de col·lisi´ o el` astica d’un feix de part´ıcules amb moment inicial p˛ sobre un centre dispersor corresponent a un potencial central situat a r = 0. Considera un estat lliure, propi del moment ~2 p˛ 2 H0 |„p Í = E|„p Í, E= 2m i considera un estacionari en pres`encia del centre dispersor amb exactament la mateixa energia E (at`es que estem considerant una col·lisi´o el`astica) (H0 + V )|ÂÍ = E|ÂÍ.
a) Demostra que formalment |ÂÍ = Per qu`e diem “formalment”? 1 V |ÂÍ + |„p Í.
E ≠ H0 b) Substitueix ara la part esquerra de l’equaci´o anterior dins la part dreta i escriu el terme general que s’obt´e. Interpreta els diferents termes successivament obtinguts.
Quan t´e sentit quedar-se amb el primer terme no trivial? c) Introdueix una base d’estats propis de la posici´o i demostra que, en aquestes condicions, ⁄ 2m eip|x≠y| Â(x) ƒ „(x) ≠ 2 d3 y Èy|V |„p Í.
~ 4fi|x ≠ y| Interpretem el primer terme com la ona incident i el segon com l’ona reflectida pel centre dispersor. Hem utilitzat que ~2 1 1 eip|x≠y| Èx| |yÍ = ≠ .
2m E ≠ H0 4fi |x ≠ y| No es demana demostrar aquesta darrera expressi´o, per`o com ho fariem? d) Ens situem ara molt lluny del centre dispersor; ´es a dir per a valors de |x| = r molt grans i suposem que V ´es un potencial de curt abast. Demostra que en aquest cas l’ona reflectida pren la forma Âr (x) = ≠ 2m 1 ikr e ~2 4fir ⁄ d3 ye≠i˛p Õ ·˛ y V (y)„(y), que ´es l’expressi´ o per a l’aproximaci´o de Born. El potencial electrost`atic cau dintre de les hip` otesis assumides per a obtenir aquest resultat? e) Finalment, utilitza l’aproximaci´o de Born i el material de classe de teoria per a determinar el factor de forma corresponent a una distribuci´o de c`arrega de la forma 2 fl(r) = ae≠br .
Normalitza la distribuci´ o per tal de que correspongui a una c`arrega total Z i determina el factor de forma corresponent.
7 Soluci´ o: a) A¨ıllant |ÂÍ de l’equaci´ o (H0 + V ) |ÂÍ = E|ÂÍ, es t´e |ÂÍ = 1 V |ÂÍ.
E ≠ H0 (0.24) A l’expressi´ o anterior podem afegir un estat |„p Í, propi d’H0 amb valor propi E, ja que (E ≠ H0 )|„p Í = 0. Dit aix` o, podem escriure formalment la soluci´o general com |ÂÍ = |„p Í + 1 V |ÂÍ.
E ≠ H0 (0.25) A grans trets, l’expressi´ o anterior no ´es m´es que la suma d’una soluci´o a l’equaci´o homog`enia (sense potencial V ) m´es una soluci´o particular amb V ”= 0. Incloure l’estat |„p Í “by hand” pot resultar una mica inc`omode o artificial. Podem arribar al mateix resultat escrivint l’estat |ÂÍ, com la suma d’un estat lliure i un estat “scattered”: |ÂÍ = |„p Í + |Âs Í. Aleshores, (H0 + V )|ÂÍ = E|ÂÍ =∆ (E ≠ H0 )|ÂÍ = V |ÂÍ; substituint |ÂÍ = |„p Í + |Âs Í al costat esquerra, atesos a que (E ≠ H0 )|„p Í = 0, es t´e (E ≠ H0 )|Âs Í = V |ÂÍ =∆ |Âs Í = Ara b´e, |Âs Í = |ÂÍ ≠ |„p Í, i per tant |ÂÍ ≠ |„p Í = 1 V |ÂÍ.
E ≠ H0 1 1 V |ÂÍ =∆ |ÂÍ = |„p Í + V |ÂÍ.
E ≠ H0 E ≠ H0 (0.26) (0.27) L’inconvenient de la soluci´ o anterior, ´es que la mateixa s’autocont´e =∆ cal resoldre mitjan¸cant iteracions. L’aproximaci´o de Born consisteix en quedar-se a la primera iteraci´ o (pr` oxim apartat).
Diem formalment perqu`e ens servim de la validesa formal que t´e l’equaci´o en q¨ uesti´o (mitjan¸cant la notaci´ o amb ket’s), m´es enll`a del significat f´ısic que el hi d´ona la Mec`anica Qu` antica; l’expressi´ o obtinguda ens planteja la seg¨ uent q¨ uesti´o: quin sentit ≠1 t´e, o com trobem (E ≠ H0 ) , quan E ´es un valor propi de l’operador H0 ? De totes maneres, sense donar-hi voltes, podem escriure l’expressi´o formalment. Un tractament menys formal per` o potser m´es visual, menys abstracte, seria treballar directament amb funcions d’ona que representin les part´ıcules en l’espai, al cap i a la fi, aix`o no ´es m´es que projectar els ket’s en la representaci´o de posicions (apartat c)).
b) Si substitu¨ım, se segueix que 3 4 1 1 |ÂÍ = |„p Í + V |„p Í + V |ÂÍ E ≠ H0 E ≠ H0 1 1 1 = |„p Í + V |„p Í + V V |ÂÍ.
E ≠ H0 E ≠ H0 E ≠ H0 (0.28) El primer terme ´es l’ona incident (quan encara no s’ha donat la col·lisi´o), el segon terme ´es l’ona reflectida, i el tercer s´on correccions d’ordre V 2 . Si ens quedem a primer ordre, 1 |ÂÍ ƒ |„p Í + V |„p Í.
(0.29) E ≠ H0 8 Aquesta, ´es una bona aproximaci´o quan el potencial de scattering (l’associat al centre dispersor) ´es feble, o quan l’energia de la part´ıcula incident ´es alta. Intu¨ıtivament, si el potencial ´es feble, l’estat dispersat ´es lleugerament pertorbat i el podem prendre igual a l’estat inicial; si l’energia de la part´ıcula incident ´es alta, aquesta passa r`apidament i sent molt poc la interacci´ o V . En els pr`oxims apartats es veu de manera m´es rigorosa.
c) Introdu¨ım una base ortonormal i completa d’estats propis de la posici´o, {|xÍ}. La ortonormalitat ve a dir que Èx|xÕ Í = ”(x ≠ xÕ ), i la completesa es reflexa en la resoluci´o de la identitat, ⁄ = dx|xÍÈx|, (0.30) on dx = d3 x = dx1 dx2 dx3 . Projectem l’estat (0.28) en la representaci´o de posicions (s’omet el sub´ındex p): Èx|ÂÍ ƒ Èx|„Í + Èx| 1 1 V |„Í =∆ Â(x) ƒ „(x) + Èx| V |„Í.
E ≠ H0 E ≠ H0 (0.31) Posant-hi la resoluci´ o de la identitat, es t´e Â(x) ƒ „(x) + Èx| 1 V |„Í = „(x) + E ≠ H0 ⁄ dyÈx| 1 |yÍÈy|V |„Í.
E ≠ H0 (0.32) Utilitzant el resultat que ens d´ona el mateix enunciat, s’arriba al resultat desitjat (p © |p|): ⁄ 2m eip|x≠y|/~ Â(x) ƒ „(x) ≠ 2 dy Èy|V |„Í.
(0.33) ~ 4fi|x ≠ y| Anem a demostrar que ~2 1 1 eip|x≠y|/~ Èx| |yÍ = ≠ .
2m E ≠ H0 4fi |x ≠ y| (0.34) Com que H0 ´es diagonal en la representaci´o de moments (H0 = p2 /2m), introdu¨ım una base (ortonormal i completa) d’estats propis del moment, {|pÍ}. La projecci´o d’un d’aquests estats en la representaci´o de posicions ´es (la funci´o de transformaci´o), Èx|pÍ = 1/ (2fi~)3/2 eip·x/~ . Se segueix, Èx| 1 1 |yÍ = Èx| |yÍ = E ≠ H0 E ≠ p2 /2m = = ⁄ dp ⁄ dpÈx|pÍ 1 Èp|yÍ E ≠ p2 /2m 1 e≠ip·y/~ (2fi~)3/2 E ≠ p2 /2m (2fi~)3/2 eip·x/~ 1 (2fi~)3 ⁄ dp (0.35) eip·(x≠y)/~ .
E ≠ p2 /2m Anomenem rÕ © x ≠ y, i feim servir coordenades esf`eriques en l’espai de moments, 9 definint l’angle polar respecte el vector rÕ , ´es a dir p · rÕ = prÕ cos ◊. Llavors, Èx| 1 1 |yÍ = E ≠ H0 (2fi~)3 2fi = (2fi~)3 2fi = (2fi~)3 ⁄ Œ 0 ⁄ Œ 0 ⁄ Œ 0 p2 dp 2 p dp ⁄ +1 ≠1 ⁄ +1 ≠1 d (cos ◊) ⁄ 2fi 0 dÏ eipr cos ◊/~ E ≠ p2 /2m Õ eipr cos ◊/~ d (cos ◊) E ≠ p2 /2m Õ (0.36) 1 eipr /~ ≠ e≠ipr /~ p dp Õ .
ipr /~ E ≠ p2 /2m Õ 2 Õ Separem la integral anterior en dues, una per la primera exponencial i una per la segona. En la segona, reanomenem p æ ≠p. El producte pdp roman inalterat, per`o els l´ımits s´ on de 0 a ≠Œ; aprofitant el signe negatiu de davant, podem invertir-los.
Arreglant-ho, Õ ⁄ ~2 1 1 i +Œ peipr /~ Èx| |yÍ = dp 2 .
(0.37) 2m E ≠ H0 p ≠ 2mE (2fi)2 rÕ ≠Œ La integral que queda la podem calcular mitjan¸cant el teorema dels residus. Per fer-ho, jo he optat per fixar el contorn d’integraci´o i adaptar la prescripci´o “i‘”, de manera que el resultat tingui sentit f´ısic. En el pla complex de p, la integral en q¨ uesti´o t´e dos pols Ô de primer ordre sobre l’eix Re(p) a p = ± 2mE. Ens interessa pujar el pol positiu per sobre de l’eix real i baixar el negatiu, tot agafant una semicircumfer`encia que tanqui per dalt com a circuit d’integraci´o (figura (1), prescripci´o de l’esquerra). Reescrivim l’integrant: j Õ peipr /~ dp 2 = p ≠ 2mE C j Õ peipr /~ Ô Ô dp (p ≠ 2mE)(p + 2mE) C = lim j ‘æ0 C j dp (p ≠ Ô Õ peipr /~ Ô 2mE ≠ i‘)(p + 2mE + i‘) (0.38) Õ peipr /~ , ‘æ0 C (p ≠ –+ )(p ≠ –≠ ) Ô Ô on –+ = 2mE + i‘ = ~k + i‘ i –≠ = ≠ 2mE ≠ i‘ = ≠~k ≠ i‘. Pel teorema dels residus, C D Õ Õ j peipr /~ peipr /~ dp 2 = lim 2fii Res , –+ .
(0.39) ‘æ0 p ≠ 2mE (p ≠ –+ )(p ≠ –≠ ) C © lim dp Recordem que per pols de primer ordre els residus els calcul`avem com segueix Res[f (z), zi ] = lim (z ≠ zi )f (z).
zæzi (0.40) En el nostre cas C D peipr /~ peipr /~ 1 Õ = ei(~k+i‘)r /~ .
Res , –+ = lim pæ–+ (p ≠ –≠ ) (p ≠ –+ )(p ≠ –≠ ) 2 Per tant, Õ j C dp Õ peipr /~ 1 Õ Õ = lim 2fii ei(~k+i‘)r /~ = ifieikr .
2 ‘æ0 p ≠ 2mE 2 Õ 10 (0.41) (0.42) Im(p) C Im(p) C R R ↵ + ↵+ Re(p) Re(p) Figura 1: Camins d’integraci´ o en el pla complex de p, juntament amb els pols despla¸cats.
La prescripci´ o de la dreta d´ ona com a resultat una ona esf`erica entrant, la qual, pel que fa a n’aquest problema, manca de sentit f´ısic. De manera equivalent, per calcular la integral podr´ıem alterar el contorn d’integraci´o i deixar els pols sobre l’eix real.
Aix`o per una banda, per` o el que volem ´es relacionar la integral que acabam de calcular amb la integral (0.37). Si parametritzem el circuit d’integraci´o: per fer de ≠R æ +R, p = x, i per integrar la part angular de 0 æ fi, p = Rei◊ ; llavors, j C dp Õ peipr /~ = 2 p ≠ 2mE ⁄ +R ≠R dx Õ xeixr /~ + 2 x ≠ 2mE ⁄ fi 0 iRei◊ d◊ Rei◊ ≠ 2mE) (R2 e2i◊ iR cos ◊(r Õ /~) ≠R sin ◊(rÕ /~) ◊e e (0.43) .
En prendre R æ Œ, recuperem la integral que ens interessa, ⁄ +Œ ≠Œ Õ peipr /~ dp 2 = p ≠ 2mE j Õ peipr /~ Õ dp 2 = ifieikr .
p ≠ 2mE C (0.44) Insertant (0.44) en (0.37), s’arriba al resultat que vol´ıem comprovar ~2 1 1 i 1 eikr 1 eip|x≠y|/~ ikr Èx| |yÍ = ifie = ≠ = ≠ .
2m E ≠ H0 4fi rÕ 4fi |x ≠ y| (2fi)2 rÕ Õ (0.45) Mirem d’entendre el que hem fet fins ara. Si considerem l’equaci´o de Schr¨odinger en pres`encia d’un potencial V (x) (l’associat al centre dispersor per exemple), ≠ ~2 2 Ò Â(x) + V (x)Â(x) = EÂ(x), 2m (0.46) aquesta la podem escriure de la seg¨ uent manera: (Ò2 + k 2 )Â(x) = f (x), on hem definit k 2 = 2mE/~2 , U (x) = (2m/~2 )V (x) i f (x) = U (x)Â(x). Podem identificar l’equaci´ o de Helmholtz, la qual, entenent f (x) com una font distribu¨ıda en l’espai, podem resoldre mitjan¸cant el m`etode de la funci´o de Green. La funci´o de Green queda definida per ser soluci´ o a l’equaci´o original amb una font puntual a x = xÕ : (Ò2 + k 2 )G(x, xÕ ) = ”(x ≠ xÕ ), 11 (0.47) (per resoldre l’equaci´ o anterior anem a l’espai de Fourier) de manera que la soluci´o estesa ´es ⁄ ⁄ 2m Õ Õ Õ Â(x) = dx G(x, x )f (x ) = 2 dxÕ G(x, xÕ )V (xÕ )Â(xÕ ).
(0.48) ~ La soluci´ o general ser` a la suma d’una soluci´o a l’equaci´o homog`enia (amb f (x) = 0), m´es una soluci´ o a l’equaci´ o inhomog`enia (f (x) ”= 0), 2m Â(x) = „(x) + 2 ~ ⁄ dxÕ G(x, xÕ )V (xÕ )Â(xÕ ).
(0.49) Comparant amb l’equaci´ o (0.25) projectada en la representaci´o de posicions, identifiquem la funci´ o de Green (o propagador, ja que d’alguna manera propaga la informaci´o del centre dispersor), 2m 1 G(x, xÕ ) = Èx| |xÕ Í.
(0.50) ~2 E ≠ H0 Des del punt de vista de la funci´o de Green, podem entendre perqu`e hem agafat tal prescripci´ o alhora d’integrar al pla complex. Quan es resol l’equaci´o d’ones mitjan¸cant el m`etode de la funci´ o de Green, l’equaci´o admet dues solucions independents en funci´o de les condicions de contorn. F´ısicament s’accepta la que respecta la condici´o causal: G(t ≠ tÕ , x ≠ xÕ ) = 0 per t < tÕ . An`alogament, l’equaci´o (0.47) admet dues solucions independents: una que representa una ona esf`erica entrant i una que representa una ona esf`erica sortint. Abans, nosaltres ja hem agafat les condicions de contorn de manera que no hi hagi ona esf`erica entrant (ho hem imposat alhora d’integrar al pla complex: hem pujat/baixat els pols i hem pres un circuit d’integraci´o adient), pel que fa a n’aquest problema, ´es el que t´e sentit f´ısic. D’acord amb el que hem obtingut abans, el resultat ´es: G(x, xÕ ) = ≠ i per tant, 1 eik|x≠x | 4fi |x ≠ xÕ | Õ =∆ Èx| 2m Â(x) = „(x) ≠ 2 ~ ⁄ 1 2m eik|x≠x | |xÕ Í = ≠ 2 , E ≠ H0 ~ 4fi|x ≠ xÕ | Õ Õ eik|x≠x | dx V (xÕ )Â(xÕ ).
4fi|x ≠ xÕ | Õ (0.51) (0.52) A difer`encia de (0.33), notem que (0.52) ´es una equaci´o integral. Aix`o ´es degut al fet que en aquesta manera de procedir no hem considerat cap desenvolupament en s`erie de pot`encies de V . En problemes de scattering, t´ıpicament es tenen situacions en qu`e V ´es feble i negligible fora d’alguna regi´o finita, µ R3 . Aleshores, la integral ⁄ dxÕ G(x, xÕ )V (xÕ )Â(xÕ ) (0.53) sols dep`en de la funci´ o Â(xÕ ) a dins d’aquesta regi´o on V ´es feble per`o apreciable. Si d’alguna manera podem trobar una soluci´o al problema pertorbat en la regi´o , l’expressi´ o (0.52) ens permet trobar la soluci´o a tot l’espai. En efecte, tal i com suggereix l’enunciat, l’expressi´ o (0.52) la podem interpretar com la funci´o d’ona que lliga el comportament de la part´ıcula lluny del camp V (primer terme „(x)) amb el comportament aprop de V a trav´es de la funci´o de Green (2n terme).
12 L’aproximaci´ o de Born fa refer`encia al cas l´ımit en qu`e el potencial V no modifica apreciablement la funci´ o d’ona incident; podem prendre la funci´o Â(xÕ ) on V ”= 0, igual Õ a l’ona incident: Â(xÕ ) ≥ „(xÕ ) ≥ eik·x (1a aproximaci´o de Born), Â(x) ≥ eik·x ≠ m 2fi~2 ⁄ dxÕ Õ eik|x≠x | Õ V (xÕ )eik· x .
Õ |x ≠ x | (0.54) Si ara agaf´essim l’expressi´ o anterior i l’introdu´ıssim en (0.52), obtindr´ıem la funci´o d’ona a segon ordre, i aix´ı anar fent de manera iterativa, podr´ıem calcular l’ordre n-`essim (expansi´ o en s`erie de Born).
L’expressi´ o (0.54) ens permet estudiar la validesa de l’aproximaci´o de Born. Hem suposat que la funci´ o Â(x) difereix poc de l’ona plana incident, per tant - m ⁄ ik|x≠xÕ | Õe Õ ik·xÕ dx V (x )e - π |eik·x | = 1.
- 2fi~2 |x ≠ xÕ | (0.55) Atesos a que considerem una col·lisi´o el`astica (|k| = k), si assumim que el potencial ´es central i major al voltant d’x = 0, podem escriure |x ≠ xÕ | ƒ |xÕ | = rÕ . Prenent els eixos de manera que ◊ sigui l’angle entre els vectors k i xÕ , l’expressi´o anterior es redueix a: ⁄ 1 2 - k Õ 2ikrÕ Õ dr e ≠ 1 V (r )- π 1, (0.56) - 2E essent E = ~2 k 2 /2m. La desigualtat (0.56) reafirma el que ja havia comentat abans: l’aproximaci´ o de Born sols ´es v`alida quan el potencial V ´es feble o l’energia de la part´ıcula incident ´es alta.
En el l´ımit x ∫ y (apartat d)) i definint q = k ≠ kÕ (´es el moment transferit), es t´e ik·x Â(x) ≥ e eikr + r 3 m ≠ 2fi~2 4⁄ dxÕ eiq·x V (xÕ ) © eik·x + Õ eikr f (k, kÕ ).
r (0.57) La funci´ o f (k, kÕ ) ja la vam introduir a classe de teoria (ara veiem d’on surt), i s’anomena amplitud de scattering. Aquesta t´e dimensions de longitud i el seu m`odul al quadrat ´es directament la secci´ o efica¸c diferencial per unitat d’angle s`olid: d‡ = |f (k, kÕ )|2 = d 3 m 2fi~2 -2 42 - ⁄ - dxÕ eiq·xÕ V (xÕ )- .
- (0.58) ´ f`acil veure que si la col·lisi´o ´es el`astica i el potencial ´es central, l’amplitud de Es scattering sols dep`en de l’angle polar ◊.
d) En els experiments de scattering, el detector se sol situar lluny d’on es produeix la col·lisi´ o. Lluny del centre dispersor x ∫ y, podem fer la seg¨ uent aproximaci´o (r © |x|): |x ≠ y| = Ò r2 + y2 ≠ 2x · y ƒ Fent servir el desenvolupament de Taylor, 3 |x ≠ y| ƒ r 1 ≠ 13 Ò Ô r2 Ú ≠ 2x · y = r 1 ≠ 2x · y .
r2 (0.59) 1 ≠ x ƒ 1 ≠ x/2 ≠ . . . , tenim x·y r2 4 =r≠ x·y .
r (0.60) En aquestes condicions i fent servir la relaci´o p = ~k, eip|x≠y|/~ = eik|x≠y| ƒ eikr≠ik(x·y)/r .
(0.61) ˆ ; definint kÕ © kˆ Notem que x/r = x/|x| = x x, resulta que (0.62) Õ eip|x≠y|/~ ƒ eikr≠ik ·y .
Dit aix` o, l’ona reflectida es redueix a: Âr (x) = ≠ 2m ~2 ⁄ dy eip|x≠y|/~ 2m 1 ikr Èy|V |„Í ƒ ≠ 2 e 4fi|x ≠ y| ~ 4fir ⁄ dye≠ik ·y Èy|V |„Í.
Õ (0.63) Si V ´es un potencial local ordinari, diagonal en la representaci´o de posicions, Èy|V |„Í = Èy|V |„Í = = V (y) ⁄ ⁄ dy Èy|V |y ÍÈy |„Í = Õ Õ Õ ⁄ dyÕ V (y)”(y ≠ yÕ )„(yÕ ) dyÕ ”(y ≠ yÕ )„(yÕ ) = V (y)„(y).
(0.64) Finalment, arribem al resultat desitjat: Âr (x) ƒ ≠ 2m 1 ikr e ~2 4fir ⁄ dye≠ik ·y V (y)„(y).
(0.65) Õ El potencial de Coulomb no cau dintre de les hip`otesis, ja que es tracta d’un potencial de llarg abast, infinit de fet. Quan un calcula l’amplitud de scattering per un potencial coulombi` a, la integral que surt divergeix, posant de manifest que el potencial de Coulomb no compleix les hip`otesis assumides. El que es fa ´es partir d’un potencial de curt abast, com ho ´es el de Yukawa ≥ e≠ar /r, i al final prendre el l´ımit a æ 0.
e) Primer de tot, normalitzem la distribuci´o. Donada la simetria esf`erica d’aquesta, utilitzem coordenades esf`eriques: Z= ⁄ R3 3 fl(r)d x = a ⁄ Œ 0 2 ≠br2 r e dr ⁄ d = 4fia ⁄ Œ 0 2 r2 e≠br dr.
(0.66) Utilitzant la integral 2.60 del Schaum (2a ed.), resulta que Z=a 3 43/2 fi b =∆ a = Z 3 43/2 b fi .
(0.67) Aleshores, la distribuci´ o normalitzada a una c`arrega total Z (i a partir d’ara, treballarem amb aquesta), ´es 3 43/2 b 2 fl(r) = Z e≠br .
(0.68) fi Notem que b t´e unitats de L≠2 , i per tant, fl(r) t´e unitats de densitat (L≠3 ).
El factor de forma ´es la transformada de Fourier de la distribuci´o de c`arrega. En general, ⁄ 1 F (q) = dxfl(x)eiq·x .
(0.69) Z 14 Per distribucions de c` arrega esf`ericament sim`etriques, feim servir coordenades esf`eriques.
Aix´ı mateix, prenem els eixos de tal manera que q · x = qr cos ◊, on q © |q| i r © |x|, ⁄ ⁄ ⁄ +1 2fi 1 Œ 2 F (q) = r drfl(r) d(cos ◊)eiqr cos ◊ dÏ Z 0 ≠1 0 ⁄ Œ ⁄ 2 1 1 1 iqr 1 4fi Œ 2 ≠iqr r drfl(r) e ≠e = rdrfl(r) sin(qr) = 2fi Z iqr Z q 0 0 = = 1 4fi Z q ⁄ Œ rdrZ 0 3 4 ⁄ 4fi b 3/2 Œ q fi 0 3 43/2 b fi 2 e≠br sin(qr) (0.70) 2 re≠br sin(qr)dr.
Per calcular la integral que queda, escrivim el desenvolupament de Taylor de sin(qr) al voltant del zero: Œ ÿ (≠1)k sin(qr) = (qr)1+2k .
(0.71) (1 + 2k)! k=0 ´ clar que aquesta expressi´ Es o sols ´es v`alida al voltant de l’origen. Ara b´e, si la utilitzem en la integral que volem calcular, ja ens va b´e, donat que el sin(qr) va pesat per una 2 exponencial e≠br que domina per r ≥ gran. Aleshores, ⁄ Œ 0 ≠br2 re (≠1)k 1+2k sin(qr)dr = q (1 + 2k)! k=0 Œ ÿ ⁄ Œ 0 2 r2+2k e≠br dr.
(0.72) Aprofitant novament la integral 2.60 del Schaum (2a ed.), tenim que ⁄ Œ 0 ≠br2 re sin(qr)dr = (≠1)k 1+2k [(3 + 2k)/2] q (1 + 2k)! 2b(3+2k)/2 k=0 Œ ÿ Œ q ÿ (≠q 2 /b)k = 3/2 (3/2 + k).
2b k=0 (1 + 2k)! Finalment, calculem (3/2+k) utilitzant la f´ormula de duplicaci´o, aquesta ´es: Ô 1/2) = 21≠2x fi (2x). En el nostre cas podem escriure Ô (1 + k) (1 + k + 1/2) = 21≠2(1+k) fi (2(1 + k)), d’on resulta, (3/2 + k) = Ô fi 21+2k Ô (2 + 2k) fi (1 + 2k)! = 1+2k .
(1 + k) 2 k! Utilitzant aquest resultat en (0.73), es t´e el seg¨ uent: Ô ⁄ Œ Œ q ÿ (≠q 2 /b)k fi (1 + 2k)! ≠br2 re sin(qr)dr = 3/2 1+2k k! 2b k=0 (1 + 2k)! 2 0 A Bk Ô Œ 3 4 q fi ÿ 1 q2 q fi 3/2 ≠q2 /4b = 3/2 ≠ = e .
4b 4fi b 4b k=0 k! (0.73) (x) (x+ (0.74) (0.75) (0.76) De (0.70), veiem que el factor de forma ´es: F (q) = 4fi q 3 43/2 b fi q 4fi 15 3 43/2 fi b e≠q 2 /4b = e≠q 2 /4b .
(0.77) A teoria hem vist que en el l´ımit de baix moment transferit, 1 F (q ≥ 0) ƒ 1 ≠ Èr2 Íq 2 + . . .
6 (0.78) Desenvolupant (0.77), F (q ≥ 0) ƒ 1 ≠ 1 6 2 6 q + . . . ≈∆ Èr2 Í = .
6 4b 4b (0.79)   Veiem que el par` ametre b est` a relacionat amb el radi de c`arrega: rc ƒ Èr2 Í = 6/4b.
2 Aix`o ja ens ho pod´ıem esperar. La distribuci´o de c`arrega en q¨ uesti´o ´es: fl(r) = ae≠br =∆ el par` ametre b d´ ona una idea de quina ´es l’extensi´o de la c`arrega en l’espai, Ô  rc ≥ 1/ b; el que no pod´ıem esbrinar a cop d’ull ´es el factor 6/4 ƒ 1.22.
16 ...