Colección de Problemas (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura ALED
Año del apunte 2014
Páginas 38
Fecha de subida 16/09/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

1 Nombres complexos. Factoritzaci´ o de polinomis 1. Expresseu els seg¨ uents nombres complexos en forma bin`omica: 1 1 (a) (1 + j)2 (b) (2 + 3j)(3 − 4j) (c) (d) j 1+j 1+j (1 + j)4 (1 − j)4 (f) (g) + (h) j 5 + j 16 (i) 1 + j + j 2 + j 3 1 − 2j (1 − j)3 (1 + j)3 1 1 + 1+j 1−j 1 (j) (1 + j)(1 + j −8 ) 2 (e) 2. Calculeu el m`odul dels seg¨ uents nombres complexos: 1+j (a) 1 + j (b) 3 + 4j (c) 1−j (d) 1 + j + j 2 (e) j 7 + j 10 (f) 2(1 − j) + 3(2 + j) 3. Calculeu el m`odul i l’argument dels nombres complexos seg¨ uents: (a) 2j 1+j (f) √ 2 (b) −3j (c) −1 (d) 1 (g) (−1 + j)3 (h) (−1 − j)3 (i) 1 1+j √ (e) −3 + 3 j 1 (j) (1 + j)2 4. Expresseu els seg¨ uents nombres complexos en forma bin`omica: (a) eπj/2 (b) 2e−πj/2 (f) eπj/4 (g) eπj/4 − e−πj/4 (c) 3eπj 1 − eπj/2 (h) 1 + eπj/2 (d) −e−πj (e) j + e2πj (i) e5πj/6 + e−πj/6 (j) e2πj/3 5. Sigui z el nombre complex donat per z = (1, −1).
(a) Expresseu z i z −1 en forma bin`omica, polar, trigonom`etrica, i exponencial complexa.
(b) Determineu per a quins nombres naturals n el complex z n ´es un nombre real.
6. Sigui z un complex no nul, i sigui z el complex que resulta de multiplicar z per j. Determineu la difer`encia entre els arguments de z i z .
7. Sigui z1 ∈ C un nombre complex no nul. Sigui z2 = (1 − j)n z1 , on n ´es un nombre natural.
Determineu la difer`encia entre els arguments de z1 i de z2 en funci´o de n.
8. Determineu els nombres complexos que coincideixen amb la cinquena pot`encia del seu conjugat.
9. Trobeu els nombres complexos no nuls tals que el seu cub ´es igual al quadrat del seu conjugat.
10. Calculeu les arrels que s’indiquen: (a) Les arrels c´ ubiques de j.
(c) Les arrels c´ ubiques de −2 + 2j.
(b) Les arrels quartes de −1.
(d) Les arrels sisenes de −8.
11. Sigui z un nombre complex. Suposem que existeix una arrel quarta w de z de manera que el complex (1 + j)w ´es un nombre real. Determineu l’argument de z.
2 Tema 1 - Nombres complexos. Factoritzaci´o de polinomis 12. Trobeu els nombres complexos w ∈ C soluci´o de l’equaci´o ew = z on: √ (a) z = 1 (b) z = j (c) z = − 3 − j 13. Calculeu el determinant de les seg¨ uents matrius:   2 1 z z (a)  z 1 z 2 , on z ∈ C ´es una arrel c´ ubica de la unitat.
z2 z 1   z 1 z π π (b)  1 z 1 , on z = cos + j sin .
4 4 2 1 1 z 14. Descomponeu els seg¨ uents polinomis en factors irreductibles en en R[x] i en C[x]: (a) x3 + 2x2 − 3x − 6 (c) x6 + 6x4 + 9x2 + 4 (b) x6 − 8 (d) x4 − x2 + 1 15. Determineu quantes arrels comunes sobre R i sobre C tenen els polinomis p i q, on: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) p = x3 − 2, q = x2 + x + 2.
p = x4 − 1, q = x3 − 3x − 2.
p = x4 − 2x2 + 1, q = x4 + 3x2 + 2.
p = x4 − 5x3 + 4x2 + 3x + 9, q = x6 − 5x5 + x4 + 5x3 + 23x2 + 17x + 12.
p = x3 + 7x + 6, q = x2 − 1.
p = x5 − 6x3 + 6x2 + 7x + 6, q = x2 + 3x + 2.
p = x3 + x, q = x3 + ix2 + x + i.
p = x4 + 2, q = x8 − 4.
16. Trobeu el polinomi real m`onic de grau m´ınim p ∈ R[x] verificant p(2j) = p(3) = p(1 + 2j) = 0.
17. Determineu a, b ∈ R nombres reals de manera que el polinomi x4 + ax2 + b tingui com arrel el nombre complex 1 + j.
18. Determineu a, b ∈ R nombres reals no nuls de manera que el polinomi x2 − (ja)x + b tingui una arrel doble de m`odul 1.
19. Sigui n ≥ 1 un natural. Determineu per a quins nombres complexos w ∈ C el polinomi xn + w t´e 1 + j com arrel.
20. Determineu per a quins naturals n alguna de les arrels del polinomi xn − 1 t´e el mateix argument que el complex j.
21. Sigui a > 0 un real. Determineu per a quins naturals n alguna de les arrels del polinomi xn − a t´e el mateix argument que el nombre complex −ja.
uents matrius: 22. Calculeu les arrels dels polinomis que s’obtenen al calcular els determinants de les seg¨ 1−x 1 5 − x 4 + 3j (a) (b) 1−x  4   4 − 3j 5 + x  x+4 2j 0 x −1 x+1 x 0  (c)  2j (d)  1 x + 1 −x  3 + j x + 1 x 1 2     1 x+4 3 x+5 1 x 0 0 1  −3  x+4 0 x2 + 1  x 0 0   (f)  −1  (e)   0   0 −1 0 1 x x 0  0 0 x 1 0 0 −1 x Tema 1 - Nombres complexos. Factoritzaci´o de polinomis 3 Solucions 1. La forma bin` omica ´es: (a) 2j (f) −1/5 + (3/5)j (b) 18 + j (g) 2 oduls s´ on: 2. Els seus √ m` (a) 2 (b) 5 (c) 1 (d) 1 (c) −j (h) 1 + j (e) √ 2 (d) 1/2 − (1/2)j (i) 0 (f) √ (e) 1 (j) 1 + j 65 3. (a) El m` odul de 2j ´es 2, i el seu argument ´es π/2.
(b) El m` odul de −3j ´es 3, i el seu argument ´es −π/2.
(c) El m` odul de −1 ´es 1, i el seu argument ´es π.
(d) El m` odul de 1 ´es 1, i el seu argument ´es 0.
√ √ (e) El m` odul de −3 + 3 j ´es 2 3, i el seu argument ´es (5π)/6.
√ (f) El m` odul de (1 + j)/ 2 ´es 1, i el seu argument ´es π/4.
√ (g) El m` odul de (−1 + j)3 ´es 2 2, i el seu argument ´es π/4.
√ (h) El m` odul de (−1 − j)3 ´es 2 2, i el seu argument ´es −π/4.
√ (i) El m` odul de 1/(1 + j) ´es 2/2, i el seu argument ´es −π/4.
(j) El m` odul de 1/(1 + j)2 ´es 1/2, i el seu argument ´es −π/2.
4. La seva forma bin` omica ´es: (a) j (b) √ −2j √ (f) (1 + j)/ 2 (g) 2 j 5. Les resposetes s´ on: (c) −3 (h) −j (d) 1 (i) 0 (e) 1 + j √ (j) −1/2 + 3 j/2 √ √ √ (a) z = (1, −1) = 1 − j = ( 2)7π/4 = 2(cos(7π/4) + j sin(7π/4)) = 2e7πj/4 .
√ √ √ z −1 = (1/2, 1/2) = 1/2 + j/2 = (1/ 2)π/4 = (1/ 2)(cos(π/4) + j sin(π/4)) = (1/ 2)eπj/4 .
(b) Per a n m´ ultiple de 4.
6. π/2.
7. 7πn/4 m` odul 2π.
8. z = 0, i z = ekπj/3 on k = 0, 1, .., 5.
on les arrels cinquenes de la unitat.
9. S´ √ √ 10. (a) ( 3 + j)/2, (− 3 + j)/2, −j.
√ √ √ √ (b) (1 + j)/ 2, (−1 + j)/ 2, (−1 − j)/ 2, (1 − j)/ 2.
√ √ √ √ (c) 1 + j, (− 3 − 1)/2 + ( 3 − 1)j/2, ( 3 − 1)/2 − ( 3 + 1)j/2.
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ (d) ( 6 + 2j)/2, 2j,(− 6 + 2j)/2, (− 6 − 2j)/2, − 2j, ( 6 − 2j)/2.
11. π.
12. (a) 2kπj, on k ∈ Z.
(b) (π/2 + 2kπ)j, on k ∈ Z.
(c) ln(2) + (−5π/6 + 2kπ)j, on k ∈ Z.
13. (a) El determinant val 0.
(b) El determinant val −2j.
√ √ 14. (a) (x + 2)(x + 3)(x − 3) en R[x] i en C[x].
√ √ √ √ (b) (x − √2)(x + √2)(x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2) en R[x].
√ √ (x − 2)(x + 2)(x − α)(x − α)(x + α)(x + α) en C[x], on α = ( 2 + j 6)/2.
4 Tema 1 - Nombres complexos. Factoritzaci´o de polinomis (c) (x2 + 4)(x2 + 1)2 en en R[x].
(x − 2j)(x + 2j)(x − j)2 (x + j)2 en C[x].
√ √ (d) (x2 − √ 3x + 1)(x2 + √ 3x + 1) en R[x]. √ √ (x − ( 3 + j)/2)(x − ( 3 − j)/2)(x + ( 3 + j)/2)(x + ( 3 − j)/2) en C[x].
15. (a) No tenen arrels en com´ u ni en R ni en C.
(b) Tenen una arrel en com´ u en R i en C.
(c) No tenen arrels en com´ u ni en R ni en C.
(d) T´e una arrel en com´ u en R i tres en C.
(e) No tenen arrels en com´ u ni en R ni en C.
(f) No tenen arrels en com´ u ni en R ni en C.
(g) No tenen arrels en com´ u en R, per` o tenen dos arrels en com´ u en C.
(h) No tenen arrels en com´ u en R, per` o tenen quatre arrels en com´ u en C.
16. p = x5 − 5x4 + 15x3 − 35x2 + 44x − 60.
17. a = 0, b = 4.
18. a = ±2, b = −1.
√ 19. w = −( 2)n enπj/4 .
20. Per a n m´ ultiple de 4.
21. Per a n m´ ultiple de 4.
22. (a) Polinomi de grau 2. Arrels simples: -1, 3.
(b) Polinomi de grau 2. Arrels: 0 m´ ultiple de multiplicitat 2.
(c) Polinomi de grau 3. Arrels: 0 simple, -2 m´ ultiple de multiplicitat 2.
√ √ (d) Polinomi de grau 2. Arrels simples: −1/2 + 3j/2, −1/2 − 3j/2.
(e) Polinomi de grau 4. Arrels simples: 1, −1, −4 + 3j, −4 − 3j.
(f) Polinomi de grau 4. Arrels simples: les arrels quartes de -1.
2 Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals 1. Calculeu, en el cas en qu`e sigui possible, seg¨ uents matrius:    −1 1 0 −1 1 , B =  0 (a) A =  2 −1 −1 2 0 1    −1 1 0 −1 1 , B =  0 (b) A =  2 −1 1 −1 2 0    1 0 −1 1 2 (c) A =  −1 −1 , B =  0 2 0 1 −1    1 0 −1 1 2 (d) A =  −1 −1 , B =  0 2 0 1 −1 la matriu suma A + B i la matriu producte AB de les  1 1 2 1 .
−1 0  1 2 .
−1  .
 1 1 .
0 uents propietats s´on certes o no. En cas 2. Siguin A, B i C matrius quadrades. Digueu si les seg¨ afirmatiu, demostreu-ho. En cas contrari, doneu un contraexemple.
(a) AB = BA.
(b) Si AB = 0, aleshores A = 0 o B = 0.
(c) Si AB = AC, aleshores A = 0 o b´e B = C.
(d) A2 − B 2 = (A + B)(A − B).
(e) (A + B)2 = A2 + B 2 + 2AB.
(f) (AB)t = At B t .
(g) (AB)−1 = B −1 A−1 .
(h) rang(A + B) = rang(A) + rang(B).
(i) rang(AB) = rang(A) rang(B).
(j) rang(AB) = rang(BA).
(k) rang(λA) = λ rang(A), on λ ´es un escalar.
(l) det(A + B) = det(A) + det(B).
(m) det(λA) = λ det(A), on λ ´es un escalar.
3. Sigui J la matriu n × n que t´e tots els seus elements iguals a 1. Per a cada natural k ≥ 1 calculeu la matriu J k .
4. Calculeu el determinant de les seg¨ uents matrius: 6 Tema 2 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals     7 2 3 1 2 7 (a)  5 −3 2 ,  1 −3 5 .
3 1 1 1 1 3     1 0 2 7 0 1 0 −3 −4  3 2 −3 6 3   0 0 5   0    8 0  (b)  , 2 0 1  7 0 9 4    0 0 0 5 0  1 2 1 1 −8 0 8 −9 2     −5 1 −4 1 1 2 6 −1  1 4 −1  5  3    1 0 1 .
(c)   −4 1 −8 −1 ,  0 3 0 2  3 2 6 2 0 1 2 0     b+c a a 1 1 1 a+c b .
(d)  b + c a + c a + b ,  b c c a+b bc ac ab   1−n 1 ··· 1 1  1 1 − n ··· 1 1      .
..
.
.
.
..
..
..
..
(e)  , on la matriu ´es quadrada d’ordre n.
.
   1 1 ··· 1 − n 1  1 1 ··· 1 1−n 5. Donades les matrius A = 2 1 3 1 5 3 ,B = 2 −1 iC = −1 1 2 −1 , calculeu el determinant de C −1 ACBA−1 .
6. Sigui A = (aij ) la matriu 3 × 3 definida per aij = 2i·j . Calculeu el seu determinant.
7. Sigui A = (C1 , C2 , C3 ) una matriu 3 × 3, on C1 , C2 , C3 s´on les seves columnes. Sabent que el determinant de la matriu A val 2, calculeu el determinant de la matriu B donada per: (a) B = (C1 + 2C2 , C1 , C1 + C2 + C3 ).
(b) B = (C1 + C2 , C1 , C1 + C2 + 2C3 ).
(c) B = (C1 + C2 + C3 , C1 + C2 , C2 + C3 ).
8. Sigui A = (C1 , C2 , C3 ) una matriu 3 × 3, on C1 , C2 , C3 s´on les seves columnes. Si A ´es invertible demostreu que, aleshores, tamb´e ho ´es la matriu B donada per: (a) B = (C1 , C2 + 4C1 , C3 + 2C2 + 8C1 ).
(b) B = (C1 , C2 + 9C1 , C3 + 3C2 + 27C1 ).
matrius: 9. Calculeu el rang de les   1 −1 5 3 5 2  1 1  1 −3 −2 1 ,   5 7 3 −3 −1 2 1 2 −11 −3 −7 1 10. Calculeu les inverses de les matrius:   2 2 3 0  (a)  1 0 5 −1 −1 (b) 1 4 3 −5  8 9 2 5  .
4 21  −1 3 Tema 2 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals   2 1 1 (c)  1 1 1  0 7 −1   1 5 1 (d)  0 2 0  1 6 2   −2 −1 0 0 1  (e)  3 0 −1 1  1 1 1 1  1 2 3 −4 (f)   2 3 5 −5 3 −4 −5 8     11. Calculeu la inversa de la matriu:   1 1 + 2j 1  2+j .
2 0 −j 2 − j −1 + j 12. Resoleu els seg¨ uents sistemes per Gauss:   x +y −3z = 4 2x +y +z =5 (a)  3x +y +5z = 6  +z =7  2x −y x +2y −5z = 2 (b)  x −3y +6z = 9  x +2y −z +3t = 8    2x −y +z −2t = 0 (c) x +3y +2z +t =4    3x +5y −4z −t = −6   x +y +z +t +u = 1 x −y +z −t −u = 2 (d)  x +y −z +t −u = −1 13. Resoleu els seg¨ uents sistemes:  x +(1 + 2j)y +z =0  (2 + j)x +2y = 145 (a)  −jx +(2 − j)y +(−1 + j)z = 0   (−1 + 3j)x −(1 + 3j)y +3z = 2 − j 5x +5y +2z = j (b)  (2 − j)x +(2 + j)y =0 uents en funci´o dels valors del par`ametre real a: 14. Resoleu els sistemes d’equacions seg¨  ax + 2z = 0  ay − z = a (a)  x + 3y + z = 5  2x + y = 3  (b) −x + 2y = 1  3x + 4y = a 7 8 Tema 2 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals (c)  x + 2y + z = 0  2x + y + az = 0  x − 3y − 2z = 1 15. Discutiu el  2  a x x  x seg¨ uent sistema segons els valors del par`ametre a ∈ C: +y +a2 y +y +z +z +a2 z =3 =4−a = 2 + a2 16. Discutiu els seg¨ uents sistemes segons  2 +z =3  a x +y x +a2 y +z =4−a (a)  x +y +a2 z = 2 + a2  ax +y +z +t =1    x +ay +z +t =b (b) x +y +az +t = b2    x +y +z +at = b3  x −2y = 3(k + m)    x −y = 2(k + m) + 1 (c) mx +ky = m2 − k 2 − 6    kx +my = k 2 − m2 + 6  x +y +(1 − m)z  (1 + m)x −y +2z (d)  2x −my +3z els valors dels par`ametres reals a, b, k i m: =m+2 =0 =m+2 17. Resoleu les seg¨ uents equacions matricials A X = B, on: (a) A =  1 2 1 (b) A =  −1 2  1 (c) A =  −1 2  1 (d) A =  −1 2 Solucions 0 1 ,B=  1 3 2 1  .
 1 1 −5 0 , B =  −1 3 .
−3 2 0    1 1 −5 0 , B =  −1 3 .
−3 2 1    1 2 1 −5 0 −1 , B =  −1 3 .
−3 −1 2 0 Tema 2 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals  0 1. (a) A + B =  2 0 0 (c) A + B =  −1 3    0 −2 2 1 2 , AB =  −1 −1 1 .
0 1 3 1   −2 2 calcular, AB =  −1 −1 .
1 3  1 1 , AB no es pot calcular.
−1 1 1 1 (b) A + B no es pot  (d) No es pot calcular ni A + B ni AB.
1 0 2. (a) Fals. Per exemple: A= i B= 0 0 0 0 1 0 .
0 0 0 1 .
(b) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 0 (c) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 0 (d) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 0 i B= 0 0 1 0 .
(e) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 0 i B= 0 0 1 0 .
(f) Fals. Per exemple: A= 0 0 1 0 i B= (h) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 1 i B= −1 0 (i) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 0 i B= 0 0 0 1 .
(j) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 0 i B= 0 1 0 1 .
(k) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 1 i λ = 2.
(l) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 1 i B= (m) Fals. Per exemple: A= 1 0 0 1 i λ = 2.
i B= , B= 0 0 0 1 0 1 0 0 i C= .
´ cert. Val en tot grup.
(g) Es 3. J k = nk−1 J.
4. (a) 9, 18.
(b) 320,−60 (c) −264, 22.
(d) (a − b)(a − c)(b − c), 4abc.
(e) 0.
5. El determinant val -11.
6. det(A) = 210 3.
7. (a) det(B) = −4.
(b) det(B) = −4.
(c) det(B) = 2.
9 −1 0 0 −1 0 −1 .
.
0 1 0 0 .
10 Tema 2 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals 8. — 9. Ambdues tenen rang dos.
  0 1 0 17 −3  10. (a)  −1 1 −12 2 (b)  5 17 4 17 1 (c)  − 18 − 78  2 (d)  0 −1  1 (e)  −3 −3  (f) 1 18 3 17 1 − 17 −1 0 1 4 7 4 − 18 −2 1 2 − 12 1 −2 −2 2  22   −10 4 1 8    −1 0  1  −1 2  3 16 41 −44 −13 −6 −30 30 6  4 −1   −2  −1   2 + 34j 40 − 45j −16 + 18j 1  15 − 35j 10 + 25j 25 − 10j .
11.
145 58 − 29j 0 −29 − 58j 12. (a) Sistema compatible indeterminat. Soluci´ o: x = 1 − 4z, y = 3 + 7z.
(b) Sistema incompatible.
(c) Sistema compatible determinat. Soluci´ o: x = 2, y = −1, z = 1, t = 3.
(d) Sistema compatible indeterminat. Soluci´ o: x = 1/2 + u, y = −1/2 − u − t, z = 1 − u.
13. (a) Sistema compatible determinat. Soluci´ o: x = 40 − 45j, y = 10 + 25j, z = 0.
6 + 13j −14 − 3j (b) Sistema compatible determinat. Soluci´ o: x = ,y= , z = 2 − 2j.
10 10 14. (a) Per a = 0 ´es un sistema compatible indeterminat. Per a = −1 sistema incompatible. Per a = 0, 1 sistema compatible determinat.
(b) Per a = 7 ´es un sistema compatible determinat. Per a = 7 sistema incompatible.
(c) Per a = 1 5 ´es un sistema compatible determinat. Per a = 1 5 sistema incompatible.
√ 15. Si a = ±1, ± 2 j, aleshores el sistema ´es compatible determinat.
Si a = 1, aleshores el sistema ´es compatible indeterminat.
√ Si a = −1, ± 2 j, aleshores el sistema ´es incompatible.
16. (a) Si a = ±1, aleshores el sistema ´es compatible determinat.
Si a = 1, aleshores el sistema ´es compatible indeterminat.
Si a = −1, aleshores el sistema ´es incompatible.
(b) Si Si Si Si Si a = 1, −3, aleshores per a tot b el sistema ´es compatible determinat.
a = 1 i b = 1, aleshores el sistema ´es compatible indeterminat.
a = 1 i b = 1, aleshores el sistema ´es incompatible.
a = −3 i b = −1, aleshores el sistema ´es compatible indeterminat.
a = −3 i b = −1, aleshores el sistema ´es incompatible.
(c) Si k = 6 i m = −6, aleshores el sistema ´es compatible determinat.
En cas contrari, el sistema ´es incompatible.
(d) Si m = 0, ±2, aleshores el sistema ´es compatible determinat.
Si m = 0 o m = −2, aleshores el sistema ´es compatible indeterminat.
Si m = 2, aleshores el sistema ´es incompatible.
Tema 2 - Matrius. Determinants. Sistemes d’equacions lineals 17. (a) T´e soluci´ ou ´nica X = 1 0 3 −5 .
(b) T´e soluci´ ou ´nica X = 1 0 −3 −2 .
(c) No t´e soluci´ o.
 1−a o general ´es X =  −a (d) T´e infinites solucions. La soluci´ a 11  −3 − b −2 − b , on a, b ∈ R.
b 3 Espais vectorials 1. Digueu quines de les seg¨ uents proposicions s´on certes, (per K entenem R o C): (a) El conjunt {(x, y, z) ∈ K3 tals que x + y + z = 0} ´es subespai vectorial de K3 .
(b) El conjunt {(λ + µ, λ, µ) ∈ K3 amb λ, µ ∈ K} ´es subespai vectorial de K3 .
(c) El conjunt {(λ + 2, λ, µ) ∈ K3 amb λ, µ ∈ K} ´es subespai vectorial de K3 .
(d) El conjunt {(x1 , x2 , x1 , x2 ) ∈ R4 tals que x1 , x2 ∈ Z} ´es subespai vectorial de R4 .
(e) El conjunt {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ K4 tals que x3 + 2x4 = 7} ´es subespai vectorial de K4 .
(f) El conjunt {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tals que x1 < x2 } ´es subespai vectorial de Rn .
(g) El conjunt de les solucions d’un sistema compatible Ax = b de m equacions i n inc`ognites amb coeficients en K, ´es un subespai vectorial de Kn .
2. En R3 considerem el subespai vectorial U = (1, 2, 1), (3, 1, 5) i el subespai vectorial V generat pels vectors (1, 2, 1), (3, 1, 5) i (3, −4, 7). Defineixen U i V el mateix subespai de R3 ? 3. Considerem el subespai vectorial F = (2, 1, −1), (8, −5, 1), (1, −4, 2) de R3 . Trobeu una base d’aquest subespai i amplieu-la a una base de R3 .
4. En R4 considerem el subespai vectorial F generat pels vectors (1, 2, 1, 3) i (2, 0, 3, 2), i el subespai G generat per (−1, 6, −3, 5), (0, 4, −1, 4) i (3, 2, 1, −1). Comproveu que F ⊂ G, i amplieu una base de F fins a obtenir una base de G.
5. Doneu la dimensi´o i una base del subespai vectorial definit per F = {(x, y, z) ∈ R3 tals que x − y + z = x − 2y = y + z = 0}.
6. Sigui {u1 , u2 , u3 } una base de K3 . Considerem els vectors v1 = u1 , v2 = au2 +u3 i v3 = u1 +u2 +bu3 , on a, b ∈ K s´on escalars. Calculeu la base i la dimensi´o del subespai vectorial generat per v1 , v2 i v3 . Per a quins escalars a, b el conjunt de vectors {v1 , v2 , v3 } ´es tamb´e una base de l’espai K3 ? 7. Considerem, en R4 , els vectors v = (10, 1, 6, −2), u1 = (1, −3, −2, 5), u2 = (3, −2, −4, 9), u3 = ´ {u1 , u2 , u3 } una base d’aquest (4, −7, 2, 3). Pertany v al subespai generat per {u1 , u2 , u3 }? Es subespai? En cas afirmatiu, trobeu la relaci´o de depend`encia en {v, u1 , u2 , u3 }.
8. En C3 considerem els subespais F i G, on F = (0, j, 1), (0, 1, j) , i on G ´es el subespai generat per ´ cert que C3 = F ⊕ G? (1 − 2j, 1 + 2j, 1) i per (5, −3 + 4j, 1 + 2j). Es 9. Determineu per a quins valors del par`ametre a els subespais vectorials F = {(x, y, z) ∈ C3 tals que ix + (1 + j)y = (1 − j)x − jy + (1 + aj)z = 0} i G = {(x, y, z) ∈ C3 tals que x + ay + (a + j)z = 0} de C3 tenen intersecci´o nul.la.
10. Considerem els subespais F = (1, 1, −1, 2), (0, 1, 1, 1) i G = (1, 2, −3, 2), (1, −1, 0, 1) de R4 .
Trobeu les coordenades del vector v = (4, 2, 0, 8) en una base de F + G. Determineu quins vectors f ∈ F i g ∈ G compleixen f + g = v. Raoneu perqu`e f i g no s´on u ´nics.
Tema 3 - Espais vectorials 13 11. Sigui B1 = {u1 , u2 , u3 } una base de R3 . Comproveu que B2 = {u1 , u1 + u2 , u1 + u2 + u3 } tamb´e ´es una base de R3 . Si un vector t´e coordenades (a, b, c) en la base B1 , quines coordenades t´e en la base B2 ? 12. Demostreu que el conjunt de vectors {u1 , u2 , u3 } ´es una base de C3 , i trobeu les components del vector v en aquesta base, on u1 , u2 , u3 , v s´on: (a) u1 = (1, 2 + j, −j), u2 = (1 + 2j, 2, 2 − j), u3 = (1, 0, −1 + j), v = (−3 + 6j, 3 + 4j, 9 − 3j).
(b) u1 = (1, 2i, −j), u2 = (2, 1 + j, 1), u3 = (−1, 1, −i), v = (1, 2, 0).
13. En R3 considerem les bases B1 = {(2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)} i B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}.
Sigui v ∈ R3 un vector amb coordenades (x, y, z) en la base B1 , i amb coordenades (x , y , z ) en la base B2 . Expresseu x, y i z en funci´o de x , y i z .
14. Sigui u, v, w una base de R3 . Si les coordenades dels vectors (1, 1, 2), (2, 0, 3) i (1, 1, 0) en aquesta base s´on, respectivament, (2, 1, 0), (2, 0, 2) i (1, 1, −2), calculeu quins s´on els vectors u, v i w.
15. En R4 es consideren les fam´ılies de vectors B = {u1 , u2 , u3 , u4 } i B = {v1 , v2 , v3 , v4 }, on u1 = (0, 1, 1, 0), u2 = (−1, 0, 0, −1), u3 = (2, 0, 1, 0), u4 = (0, 0, 1, 1), v1 = 2u1 + u2 , v2 = −u1 + u3 + u4 , v3 = u2 − 2u3 , i v4 = 3u4 .
(a) Demostreu que B i B s´on bases de R4 .
(b) Sigui x ∈ R4 el vector que t´e components (−1, 0, 1, 0) en la base B. Trobeu les seves components en la base B i en la base can`onica de R4 .
(c) Sigui e1 el primer vector de la base can`onica de R4 . Trobeu les coordenades de e1 en la base B i en la base B .
16. Considerem les fam´ılies de vectors B1 = {(1, −1, 0), (2, 1, 3)} i B2 = {(1, 5, 6), (1, 2, 3)} de R3 .
(a) Demostreu que el subespai vectorial generat per la fam´ılia de vectors B1 coincideix amb el subespai vectorial que genera la fam´ılia B2 .
(b) Sigui F el subespai de l’apartat anterior. Trobeu, en l’espai vectorial F , la matriu de canvi de base de la base B1 a la base B2 .
(c) Trobeu les coordenades del vector v = (−5, −7, −12) ∈ F en la base B1 i en la base B2 .
17. El servei d’espionatge de Sild`avia ha aconseguit robar un pl`anol secret del govern de Bord´ uria.
En el pl`anol hi apareixen la seu del Ministeri d’Ind´ ustria de Bord´ uria, la muntanya m´es alta del pa´ıs (el pic de Montalt), i un petit poble anomenat Blackadder. Amb gran desesperaci´o els espies veuen, per`o, que no hi apareix el seu objectiu: la mundialment famosa f`abrica secreta.
Despr´es d’interceptar i desxifrar missatges per r`adio dels bordurs els espies sildaus saben que: en cert sistema de refer`encia que t´e com origen la seu del ministeri, les coordenades del pic de Montalt s´on (3.5,2.1), les coordenades de la pla¸ca gran de Blackadder s´on (1.9,0.7), i les coordenades de la f` abrica secreta s´on (5,-2.1). Amb aquestes dades, i desconeixent el sistema de refer`encia emprat pels bordurs, els espies sildaus poden localitzar la f`abrica en el pl`anol. Com? Solucions 14 Tema 3 - Espais vectorials 1. (a) Certa (b) Certa (c) Falsa (d) Falsa (e) Falsa (f) Falsa (g) Certa nom´es en el cas homogeni 2. U i V defineixen el mateix subespai vectorial de R3 .
3. Una base de F ´es {(2, 1, −1), (1, −4, 2)} i el vector (0, 0, 1) completa aquesta base a una de R3 .
4. G = (1, 2, 1, 3), (2, 0, 3, 2), (3, 2, 1, −1) .
´ un subespai de dimensi´ 5. Es o 1. Una base ´es (−2, −1, 1).
6. La dimensi´ o val 2 si a, b ∈ K s´ on tals que ab = 1 i, en aquest cas, els vectors v1 , v2 determinen una base del subespai. La dimensi´ o val 3 si a, b ∈ K s´ on tals que ab = 1 i, en aquest cas, els vectors v1 , v2 , v3 determinen una base del subespai. Per tant els vectors v1 , v2 , v3 determinen una base de l’espai E si, i nom´es si, ab = 1.
7. S´ı, v pertany a aquest subespai. S´ı, {u1 , u2 , u3 } ´es una base del subespai que generen aquests vectors. Les components de v en aquesta base s´ on (−7, 3, 2).
8. S´ı 9. F ∩ G = {0} si i nom´es si a = 1.
10. El vector v t´e coordenades (2, 2, 2) en la base {(1, 1, −1, 2), (0, 1, 1, 1), (1, −1, 0, 1)} de F + G. Es t´e que f = (2, 4, 0, 6) − λ(2, 1, −3, 3) i g = (2, −2, 0, 2) + λ(2, 1, −3, 3) per a tot λ ∈ R.
11. (a − b, b − c, c).
12. (a) Les components de v en la base u1 , u2 , u3 s´ on (j, 2 + j, −3).
(b) Les components de v en la base u1 , u2 , u3 s´ on ((−4 − 7j)/15, (12 + j)/15, (1 − j)/3).
13. x = (x − y + z )/2, y = (−x + y + z )/2, z = (x + y − z )/2.
14. u = (2, 0, 1), v = (−3, 1, 0), w = (−1, 0, 1/2).
15. (a) — (b) Les components de x en la base B s´ on (0, 1, 0, −1/3) i en la base can` onica x t´e components (2, −1, 0, 0).
(c) e1 = (0, −1/3, 1/3, −1/3)B = (−1/12, −1/6, −1/4, −1/18)B .
16. (a) — (b) −1 2 −1 3 .
(c) v = (3, −4)B1 = (1, −6)B2 .
algebra lineal i dominen perfectament els canvis de base. Les coordenades 17. Els espies sildaus han estudiat ` de la f` abrica s´ on (-4.86,11.59) en la base e1 = OA, e2 = OB, on O ´es el ministeri, A ´es el pic de Montalt, i B ´es la pla¸ca gran de Blackadder.
4 Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´ o 1. Digueu quines de les seg¨ uents aplicacions s´on lineals, (per K entenem R o C): (a) f : R2 → R, on f (x, y) = x + y.
(b) f : R2 → R, on f (x, y) = xy.
(c) f : R2 → R2 , on f (x, y) = (0, 0).
(d) f : R2 → R2 , on f (x, y) = (7, x + y).
(e) f : K3 → K2 , on f (x, y, z) = (x + 3y, x − y + z).
(f) f : K2 → K3 , on f (x, y) = (x + y, x − y, x + 2y).
(g) f : K2 → K2 , on f (x, y) = (x + y + 3, x − y + 3).
(h) f : K3 → K3 , on f (x, y, z) = (x + y, x + z, x − y + z 2 ).
(i) f : C2 → C2 , on f (x, y) = (jx, (1 + j)x + (2 + 3j)y).
(j) f : C3 → C3 , on f (x, y, z) = (jx, |y|, z).
2. Per a cada una de les seg¨ uents aplicacions K-lineals f de Kn en Km : doneu la matriu associada a f en les bases can`oniques; digueu si f ´es injectiva, exhaustiva o bijectiva; calculeu la dimensi´o i una base del nucli i de la imatge de f ; i determineu l’aplicaci´o inversa f −1 en cas que existeixi.
(a) f : R2 → R2 , on f (x, y) = (x + y, −y).
(b) f : R2 → R3 , on f (x, y) = (x − y, 2x + 3y, 3x + 2y).
(c) f : R3 → R3 , on f (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z).
(d) f : C2 → C2 , on f (x, y) = ((1 + j)x + 2y, x + (1 − j)y).
(e) f : C3 → C2 , on f (x, y, z) = (x + jy + (1 + j)z, jx − y − (1 − j)z).
(f) f : C3 → C3 , on f (x, y, z) = ((1 + 2j)x, −jy, (1 − 2j)z).
3. Per a les seg¨ uents aplicacions K-lineals f1 i f2 , digueu si l’aplicaci´o composici´o f = f2 ◦ f1 ´es injectiva, exhaustiva o bijectiva.
(a) f1 : R4 → R3 , f2 : R3 → R2 , on f1 (x, y, z, t) = (x + t, y + t, z + t), f2 (x, y, z) = (x + z, y + z).
(b) f1 : R3 → R3 , f2 : R3 → R2 , on f1 (x, y, z) = (x + y, z, x + y), f2 (x, y, z) = (x + z, y + z).
(c) f1 : R2 → R3 , f2 : R3 → R4 , on f1 (x, y) = (x, x+y, x−y), f2 (x, y, z) = (x, x−y, x+y+z, x−z).
(d) f1 : C2 → C3 , f2 : C3 → C3 , on f1 (x, y) = (jy, −jx, x + y), f2 (x, y, z) = (x + z, jy + jz, y + z).
(e) f1 : C2 → C3 , f2 : C3 → C2 , on f1 (x, y) = (x, jx + y, jy), f2 (x, y, z) = (x + jy, y + jz).
(f) f1 : C2 → C3 , f2 : C3 → C2 , on f1 (x, y) = (x + 3y, y, y), f2 (x, y, z) = (x − y − z, y − z).
4. Demostreu que f 2 = f , on f ´es l’endomorfisme de R2 definit per f (x, y) = (x/2 + y, x/4 + y/2).
16 Tema 4 - Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´o 5. Siguin f1 i f2 els endomorfismes de R3 definits per f1 (x, y, z) = (x + y + 2z, 2x + y + z, x + 2y + z) i f2 (x, y, z) = (2y + z, x + 3y + z, x + y). Donar bases del nucli i de la imatge de f1 − f2 . Existeixen vectors no nuls v ∈ R3 tals que f1 (v) = f2 (v)? En cas afirmatiu, determineu-los.
6. Considerem, per a cada valor del par`ametre real a ∈ R, l’endomorfisme fa de R3 definit per fa (x, y, z) = ((a − 2)x − y + 2z, 2x + (1 − a)y + (a + 1)z, ax − 3y + 2az). Per a quins valors del par`ametre a l’endomorfimsme fa ´es un epimorfisme, un monomorfisme o un isomorfisme? 7. Sigui a ∈ R. Considerem l’aplicaci´o lineal fa : R3 → R3 , on fa (x, y, z) = (ax − z, x + y + z, 2y).
(a) Trobeu la dimensi´o i una base del nucli i de la imatge de fa segons els valors de a. Per a quins valors a ∈ R l’endomorfisme fa ´es un monomorfisme, un epimorfisme o un isomorfisme? (b) Siguin S, S ⊂ R3 els subespais vectorials definits per S = {(x, y, z) ∈ R3 tals que 2x+y+z = 0} i S = (1, −1, 2), (−1, −1, 6) . Determineu els valors de a per als quals fa (S) = S .
8. Es considera, en R3 , l’endomorfisme fa definit per fa (x, y, z) = (x + az, ay + x, z + ay), on a ´es un par`ametre real.
(a) Trobeu la dimensi´o i una base del nucli i de la imatge de fa segons els valors de a. Per a quins valors a ∈ R l’endomorfisme fa ´es un monomorfisme, un epimorfisme o un isomorfisme? (b) Sigui F el subespai de R3 definit per F = {(x, y, z) ∈ R3 tals que x + y + z = 0}. Per a quins valors de a es t´e que dim fa (F ) = 1? Quan fa (F ) = F ? Quan fa (F ) + F = R3 ? Quan fa (F ) ⊕ F = R3 ? 9. Sigui f l’endomorfisme de R3 donat per f (x, y, z) = (x − y + z, 0, x − z). Demostreu que els vectors v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, −2, 3), v3 = (2, 0, −1) determinen una base de R3 , i trobeu la matriu associada a f en aquesta base. Determineu un vector w ∈ R3 tal que f (w) = 14v1 + 7v2 − 4v3 .
10. Sigui f l’endomorfisme de C3 donat per f (x, y, z) = (8x − 9y + 25z, 2y − 5z, −2x + 3y − 8z).
Demostreu que els vectors v1 = (−1 + 3j, 5, 2 − j), v2 = (−1 − 3j, 5, 2 + j), v3 = (3, 2, 0) determinen una base de C3 , i trobeu la matriu associada a f en aquesta base. Calculeu f (−jv1 + jv2 + 21 v3 ).
11. Sigui {u1 , u2 , u3 } una base de R3 . Sigui f l’endomorfisme de R3 donat per f (u1 ) = u1 + u2 + u3 , f (u2 ) = 2u1 − u3 , f (u3 ) = f (u1 − u2 ). Comproveu que els vectors v1 = u1 − u2 , v2 = u2 + u3 , v3 = 2u1 − u3 determinen una base de R3 , i doneu la matriu associada a f en aquesta base.
12. Sigui {u1 , u2 , u3 } una base de C3 . Sigui f un C-endomorfisme de C3 del qual sabem que f (u1 ) = u1 + u2 , que f (u3 ) = ju1 , i que Ker f = u1 + u2 . Comproveu que els vectors v1 = u1 + u3 , v2 = (1 + j)u1 + u2 , v3 = ju1 + ju2 determinen una base de C3 , i doneu la matriu associada a f en aquesta base.
13. Sigui {v1 , v2 , v3 } una base de K3 , i sigui {e1 , e2 , e3 , e4 } una base de K4 .
(a) Trobeu la dimensi´o i una base del nucli i de la imatge de l’aplicaci´o lineal f : K4 → K3 definida per f (e1 ) = v1 + 2v2 + v3 , f (e2 ) = v2 + v3 , f (e3 ) = v1 + v2 , f (e4 ) = v1 − v2 .
(b) Comproveu que els vectors u1 = e1 +e4 , u2 = e1 +e3 , u3 = e1 +e2 , u4 = e1 −e2 −e3 determinen una base de K4 , i que els vectors w1 = f (u1 ), w2 = f (u2 ), w3 = f (u3 ) determinen una base de K3 . Doneu la matriu associada a f en aquestes bases.
14. Trobeu la matriu en base can`onica d’un endomorfisme de R2 que a cada punt del pla li fa correspondre el seu sim`etric respecte la recta y = ax. Per fer-ho frobeu primer dos punts dels quals sigui f`acil trobar les seves imatges.
15. Trobeu els valors i vectors propis de les seg¨ uents matrius. Digueu quines d’elles s´on diagonalitzables i, si ho s´on, determineu una base on la matriu tingui forma diagonal.
Tema 4 - Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´o (a) 1 0 −1 2 (b) 1 1 −1 1  17  2 0 0 3  (c)  −3 −1 3 3 −1   −2 4 5 (d)  −3 5 5  0 0 1   −2 20 4 (e)  0 −3 0  −1 7 2   2 −2 1 3 1  (f)  1 0 1 2   0 2 0 0 1  (g)  −1 0 −2 0   −16 + j 35 −24  0 j 0 (h)  12 −26 18 + j   0 −4 0 −1  0 2 0 0   (i)   0 0 0 0  4 8 −12 4 16. Determineu els valors dels par`ametres per als quals les seg¨ uents matrius s´on diagonalitzables i, en aquest cas, doneu la seva forma diagonal.
(a)  cos a sin a − sin a cos a  0 0 1 0  c 2  0 0 −1 b  0 a  0 −1 4 a  0 5 1 (b)  a b  5 (c)  0 3  3 (d)  1 1  −2a + 3 0 (e)  −a + 1  −2a + 3 (f)  −2a + 2 0 −4a + 5 −1 −2a + 2 3a − 3 3a − 2 0  4a − 9  0 2a − 3  −8a − b + 10 −8a + 2b + 7  b 18 Tema 4 - Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´o 17. Trobeu una matriu A ∈ M3×3 (R) que tingui vectors propis (1, 2, −1), (1, 0, 1) i (0, 1, −2) amb valors propis −2, 1 i 2 respectivament.
  a 1 p 2 q , deter18. Sabent que (1, 1, 0), (−1, 0, 2) i (0, 1, −1) s´on vectors propis de la matriu  b c −1 r mineu a, b, c, p, q, r i els valors propis de la matriu.
19. Considerem l’endomorfisme fa,b de R3 definit per fa,b (x, y, z) = (x + ay + bz, 3y, bx + z). Determineu per a quins valors dels par`ametres reals a, b ∈ R l’endomorfisme fa,b ´es diagonalitzable i t´e, exactament, dos valors propis diferents.
20. Sigui a ∈ C, i sigui fa ∈ EndC (C3 ) l’endomorfisme definit per fa (x, y, z) = (2y, a2 x + az, −2ay).
Per a quins valors del par`ametre a el subespai vectorial F = {(x, y, z) ∈ C3 tals que x + z = 0} ´es un subespai invariant per fa ? 21. Sigui a ∈ R, i sigui fa l’endomorfisme de R3 definit per fa (x, y, z) = (x+ay +az, −x+y −z, x+2z).
(a) Determineu els valors de a per als quals l’endomorfisme fa ´es diagonalitzable. Per a aquests valors del par`ametre a doneu una base respecte de la qual la matriu tingui forma diagonal.
(b) Siguin f i g els endomorfismes de R3 definits per f (x, y, z) = (x+y +z, 2x+5y +2z, −2x−5y − 2z), i per g(x, y, z) = (−2y − 2z, 0, 2y + 2z). Determineu una base {v1 , v2 , v3 } de R3 respecte de la qual les matrius associades als endomorfismes f i g siguin diagonalitzables.
(c) Sigui F = {(x, y, z) ∈ R3 tals que x + 2y + 3z = 0}. Determineu els valors del par`ametre real a per als quals el subespai F ´es invariant per l’endomorfisme fa .
22. Aplicant el teorema de Cayley-Hamilton calculeu A−1 , A4 i p(A), on p = x3 − 4x2 + 3x, i on A ´es la matriu: (a) 2 1 (b) 1 2 −1 0  −2 (c)  −3 0  2 (d)  −3 3 1 2 4 5 0 0 −1 3 Solucions 1. (a) Lineal.
(b) No lineal.
 5 5  1  0 3  −1 Tema 4 - Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´o 19 (c) Lineal.
(d) No lineal.
(e) Lineal.
(f) Lineal.
(g) No lineal.
(h) No lineal.
(i) Lineal.
(j) No lineal.
2. (a) Matriu:  1 0 1 −1 ´ isomorfisme amb inversa f −1 (x, y) = (x + y, −y).
. Es  1 −1 ´ monomorfisme, per` 3 . Es (b) Matriu:  2 o no ´es epimorfisme. La imatge t´e dimensi´ o 2 i una base 3 2 ´es {(1, 2, 3), (−1, 3, 2)}.
  3 0 0 ´ isomorfisme amb inversa f −1 (x, y, z) = (x/3, x/3 − y, −x + y + z).
(c) Matriu:  1 −1 0 . Es 2 1 1 1+j 2 . No ´es monomorfisme, ni epimorfisme, ni isomorfisme. El nucli t´e dimensi´ o 1 1−j 1 i una base ´es {(−1 + j, 1)}. La imatge t´e dimensi´ o 1 i una base ´es {(1 + j, 1)}.
(d) Matriu: 1 j 1+j . No ´es monomorfisme, ni epimorfisme, ni isomorfisme. El nucli t´e j −1 −1 + j dimensi´ o 2 i una base ´es {(−j, 1, 0), (−1 − j, 0, 1)}. La imatge t´e dimensi´ o 1 i una base ´es {(1, j)}.
  1 + 2j 0 0 ´ isomorfisme i f −1 (x, y, z) = ((1 − 2j)x/5, jy, (1 + 2j)z/5).
. Es 0 −j 0 (f) Matriu:  0 0 1 − 2j ´ epimorfisme. No ´es isomorfisme.
3. (a) No ´es monomorfisme. Es ´ epimorfisme. No ´es isomorfisme.
(b) No ´es monomorfisme. Es ´ monomorfisme. No ´es epimorfisme. No ´es isomorfisme.
(c) Es (e) Matriu: ´ monomorfisme. No ´es epimorfisme. No ´es isomorfisme.
(d) Es ´ monomorfisme. Es ´ epimorfisme. Es ´ isomorfisme.
(e) Es (f) No ´es monomorfisme. No ´es epimorfisme. No ´es isomorfisme.
4. — 5. {v ∈ R3 tals que f1 (v) = f2 (v)} = (−2, −1, 1) .
6. L’endomorfisme fa ´es bijectiu si i nom´es si a = −1, 3. Si a = −1, 3, aleshores fa no ´es ni epimorfisme ni monomorfisme.
7. (a) Si a = −1, aleshores f ´es un automorfisme. Si a = −1, aleshores rang f−1 = 2. En aquest cas el nucli ´es el subespai generat pel vector (1, 0, −1), i la imatge ´es el subespai generat pels vectors (0, 1, 2) i (−1, 1, 0).
(b) fa (S) = S per a qualsevol valor de a.
8. (a) Si a = 0, aleshores dim Im fa = 2 i dim Ker fa = 1, amb {(0, 1, 0)} base del nucli i amb {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} base de la imatge. Si a = −1, aleshores dim Im fa = 2 i dim Ker fa = 1, amb {(1, 1, 1)} base del nucli i amb {(1, 1, 0), (0, −1, −1)} base de la imatge. En aquest cas no ´es monomorfisme, ni epimorfisme, ni isomorfisme. Si a = 0, −1, aleshores dim Im fa = 3 i dim Ker fa = 0. Per tant: Ker fa = {0} no t´e base; Im fa = R3 amb base la base can` onica de R3 ; i, en aquest cas, fa ´es automorfisme.
(b) Per a cap valor de a. Si i nom´es si a = 1. Si i nom´es si a = 1. Per a cap valor de a.
20 Tema 4 - Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´o   2 4 14 1  1 2 7 , w = (26, 0, −13).
9.
13 5 36 −4   j 0 0 10.  0 −j 0 , f (−jv1 + jv2 + 12 v3 ) = (1, 12, 4).
0 0 2   1 1 1 1 4 4 4 .
11.
3 −2 1 4   0 0 0 12.  1 0 0 .
0 1 0 13. (a) dim Im f = 3, Im f = E3 , dim Ker f = 1, Ker f = e1 − e2 − e3 .
  1 0 0 0 (b)  0 1 0 0 .
0 0 1 0 1 − a2 2a 2a a2 − 1 15. (a) Els valors propis s´ on 1 i 2. Els vectors propis de valor propi 1 s´ on (1, 0) , i els de valor propi 2 s´ on (−1, 1) . La matriu ´es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. T´e forma diagonal Diag(1, 2) respecte de la base {(1, 0), (−1, 1)}.
14.
1 1+a2 (b) No t´e valors propis reals. No t´e vectors propis reals. No ´es R-diagonalitzable.
Sobre C els valors propis s´ on 1 + j i 1 − j. Els vectors propis de valor propi 1 + j s´ on (1, −j) , i els de valor propi 1 − j s´ on (1, j) . La matriu ´es C-diagonalitzable. T´e forma diagonal Diag(1 + j, 1 − j) respecte de la base {(1, −j), (1, j)}.
(c) Els valors propis s´ on 2 i −4. Els vectors propis de valor propi 2 s´ on (1, 0, 1), (0, 1, 1) , i els de valor propi −4 s´ on (0, 1, −1) . La matriu ´es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. T´e forma diagonal Diag(2, 2, −4) respecte de la base {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 1, −1)}.
(d) Els valors propis s´ on 1 i 2. Els vectors propis de valor propi 1 s´ on (5, 0, 3), (0, 5, −4) , i els de valor propi 2 s´ on (1, 1, 0) . La matriu ´es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. T´e forma diagonal Diag(1, 1, 2) respecte de la base {(5, 0, 3), (0, 5, −4), (1, 1, 0)}.
(e) Els valors propis s´ on 0 i −3. Els vectors propis de valor propi 0 s´ on (2, 0, 1) , i els de valor propi −3 s´ on (−8, 1, −3) . La matriu no ´es ni R-diagonalitzable ni C-diagonalitzable.
(f) En R t´e un u ´ nic valor propi: 3. Els vectors propis de valor propi 3 s´ on (−1, 1, 1) . La matriu no ´es R-diagonalitzable.
En C els valors propis s´ on 3, 2 + j, 2 − j. Els vectors propis de valor propi 3 s´ on (−1, 1, 1) , els de valor propi 2 + j s´ on (−2 − j, j, 1) , i els de valor propi 2 − j s´ on (−2 + j, −j, 1) . La matriu ´es C-diagonalitzable i t´e forma diagonal Diag(3, 2 + j, 2 − j) respecte de la base {(−1, 1, 1), (−2 − j, j, 1), (−2 + j, −j, 1)}.
(g) En R t´e un u ´nic valor propi: 0. Els vectors propis de valor propi 0 s´ on (1, 0, 1) . La matriu no ´es R-diagonalitzable.
En C t´e valors propis 0, 2j, −2j. Els vectors propis de valor propi 0 s´ on (1, 0, 1) , els de valor propi 2j s´ on (1, j, −1) , i els de −2j s´ on (1, −j, −1) . La matriu ´es C-diagonalitzable i t´e forma diagonal Diag(0, 2j, −2j) respecte de la base {(1, 0, 1), (1, j, −1), (1, −j, −1)}.
(h) T´e dos valors propis i, 2 + j. Els vectors propis de valor propi i s´ on (−3, 0, 2) , i els de valor propi 2 + j s´ on (−4, 0, 3) . La matriu no ´es C-diagonalitzable.
on 0 i 2. Els vectors propis de valor propi 0 s´ on (3, 0, 1, 0) , i els de valor propi 2 (i) Els valors propis s´ s´ on (1, 0, 0, −2), (0, 1, 0, −4) . La matriu no ´es ni R-diagonalitzable ni C-diagonalitzable.
16. (a) En R diagonalitza si i nom´es si a = kπ amb k ∈ Z. En aquest cas, t´e forma diagonal Diag(±1, ±1).
En C diagonalitza per a tot valor del par` ametre a ∈ R. T´e forma diagonal Diag(cos a + j sin a, cos a − j sin a).
Tema 4 - Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´o 21 (b) Si a = 0, aleshores la matriu ´es diagonalitzable per a tot valor de b i c. La seva forma diagonal ´es Diag(1, 1, 2).
Si a = 0, aleshores la matriu no ´es diagonalitzable.
(c) Si a = −1, 5, aleshores la matriu ´es diagonalitzable per a tot valor de b. La seva forma diagonal ´es Diag(−1, 5, a).
Si a = 5, aleshores la matriu no ´es diagonalitzable.
Si a = −1 i b = 0, aleshores la matriu ´es diagonalitzable. La seva forma diagonal ´es Diag(−1, −1, 5).
Si a = −1 i b = 0, aleshores la matriu no ´es diagonalitzable.
(d) Mai ´es diagonalitzable.
(e) Si a > 0, aleshores ´es R-diagonalitzable i C-diagonalitzable. En aquest cas t´e forma diagonal √ √ Diag(−1, + a, − a).
Si a = 0, aleshores no ´es ni R-diagonalitzable ni C-diagonalitzable.
Si a < 0, aleshores ´e√ s C-diagonalitzable per´ o no ´es R-diagonalitzable. Sobre C t´e forma diagonal √ Diag(−1, +j −a, −j −a).
(f) Diagonalitza si i nom´es si a = b. En aquest cas, t´e forma diagonal Diag(1, a, b).
 5/2 ´ la matriu  4 17. Es −7/2 −3 −6 5  −3/2 −4 .
9/2 on 3, 0, 3/2 18. a = 2, b = c = 1, p = 1, q = r = 1/2, i els valors propis de (1, 1, 0), (−1, 0, 2), (0, 1, −1) s´ respectivament.
19. Per a b = 0 i a ∈ R arbitrari. Per a b = 2 i a = 0. Per a b = −2 i a = 0.
20. a = 1.
21. (a) L’endomorfisme ´es diagonalitzable si i nom´es si a = 0. En aquest cas els valors propis s´ on 1 i 2, els vectors propis de valor propi 1 s´ on (1, 0, −1), (0, 1, 0) , i els de valor propi 2 s´ on (0, 1, −1) .
L’endomorfisme t´e forma diagonal Diag(1, 1, 2) en la base (1, 0, −1), (0, 1, 0), (0, 1, −1).
(b) En la base v1 = (−1, 0, 1), v2 = (1, −1, 1), v3 = (0, −1, 1) els endomorfismes f i g s´ on diagonalitzables.
En aquesta base f t´e forma diagonal Diag(0, 1, 3) i g t´e forma diagonal Diag(2, 0, 0).
(c) a = 2.
22. (a) A−1 = − 13 (A − 4 Id) = A4 = 40A − 39 Id = 2/3 −1/3 −1/3 2/3 41 40 .
40 41 .
p(A) = 0.
0 −1 .
1/2 1/2 −1 −6 A4 = −3A + 2 Id = .
3 2 4 −4 p(A) = −2A + 6 Id = .
2 6   5/2 −2 −5/2 −1 2 1 (c) A = 2 (A − 4A + 5 Id) =  3/2 −1 −5/2 .
0 0 1   −44 60 75 A4 = 11A2 − 18A + 8 Id =  −45 61 75 .
0 0 1   6 −8 −10 p(A) = −2A + 2 Id =  6 −8 −10 .
0 0 0 (b) A−1 = 12 (−A + Id) = 22 Tema 4 - Matrius i transformacions lineals. Diagonalitzaci´o   1/2 0 0 1 (d) A−1 = 16 (−A2 + 12 Id) =  −3/8 1/8 3/8 .
3/8 3/8 1/8   16 0 0 136 −120 .
A4 = 12A2 − 16A =  120 −120 −120 136   −2 0 0 2 69 .
p(A) = −4A + 15A − 16 Id =  −69 −71 69 69 −71 5 Espais euclidians 1. Donats dos vectors x = (x1 , x2 ) i y = (y1 , y2 ), de R2 , determineu si defineix un producte escalar l’operaci´o x · y = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 4x2 y2 .
2. Si x = (x1 , x2 , . . . , xn ) i y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn , determineu quines de les seg¨ uents aplicacions f : Rn × Rn → R defineixen un producte escalar: n (a) f (x, y) = n xi i=1 n (c) f (x, y) = |xi yi | n yi i=1 n (xi + yi )2 − (b) f (x, y) = i=1 (d) f (x, y) = x1 y1 − x2 y2 n x2i − i=1 yi2 i=1 2 x, y ∈ R i=1 3. (a) Determineu quines de les seg¨ uents matrius s´on la matriu (respecte de la base can`onica) d’algun producte escalar de R3 :       3 1 2 1 −1 1 6 −3 5  1 0 1 ;  −1  −3 1 −1  ; 2 −2  .
2 1 2 1 −1 1 5 −2 6 (b) Determineu quines de les seg¨ uents matrius s´on la matriu (respecte de la base can`onica) d’algun producte escalar de C3 :       1 i −1 1 i i 1+i 1−i i  i  −i 2 1  ;  1 − i 1 + i 1 .
1 −1  ; −1 −1 i −i 1 2 i 1 1 4. (a) Calculeu la matriu del producte escalar habitual de R3 en la base {(1, 2, −1), (−2, 3, −2), (1, 1, 2)}.
(b) Calculeu la matriu del producte escalar habitual de C3 en la base {(1, i, −1), (i, 1, −i), (0, 1, i)}.
5. Considereu a R3 el producte escalar tal que la seva matriu en la base can`onica ´es   34 −12 5 41 5  .
G =  −12 5 5 2 Trobeu la matriu d’aquest producte escalar en la base {(2, −1, 1), (0, 1, 2), (3, 1, 0)}.
24 Tema 5 - Espais euclidians 6. Calculeu l’angle entre els vectors u = (2, −1, 0)  i v = (2, 0, 1)en l’espai euclidi`a R3 amb el producte 5 2 2 escalar que en la base can`onica t´e matriu G =  2 5 2 .
2 2 5 7. Sigui (E, ·) un espai euclidi`a, on · representa un producte escalar. Siguin u, v, w vectors de E tals que u = v = 1, w = 2, ang(u, w) = ang(v, w) = π/3 i ang(u, v) = π/2. Calculeu (u + v) · (v + w).
8. Sigui B = {(1, 1), (0, 1)} una base ortogonal de R2 i (1, 0) i (0, 2) vectors unitaris. Determineu la matriu de producte escalar en la base B i en la base can`onica. Calculeu l’angle entre (−1, 0) i (0, 2).
9. Trobeu una base ortonormal de l’espai euclidi`a can`onica t´e matriu  2 G= 1 1 R3 respecte del producte escalar que en la base  1 1 2 1 .
1 2 10. Considereu l’espai euclidi`a R4 amb el producte escalar habitual. Trobeu una base ortonormal del subespai F = (1, 2, −1, 0), (2, 3, 2, 1), (1, 0, 1, 0) .
11. Sigui {u1 , u2 , u3 } una base ortonormal d’un espai euclidi`a de dimensi´o 3. Trobeu els valors de α i β reals tals que els vectors v1 = αu2 + βu3 , v2 = αu3 + βu1 i v3 = αu1 + βu2 s´on unitaris i que dos a dos formen un angle de π/3.
12. (a) Existeix algun producte escalar a R3 tal que {(1, 2, 1), (−1, 0, 2), (0, 1, −1)} sigui una base ortonormal? (b) En cas afirmatiu, ´es u ´nic? ´ aquesta l’´ (c) Es unica base ortonormal d’aquest espai euclidi`a? (d) Trobeu la matriu d’aquest producte escalar en la base can`onica.
(e) Calculeu (0, 2, 3) · (0, 3, 2).
13. Considereu l’espai vectorial unitari C3 : (a) Trobeu una base ortonormal, respecte del producte escalar habitual de C3 , del subespai W = (1, i, 0), (1, 2, 1 − i) .
(b) Trobeu tamb´e la projecci´o i la component ortogonals del vector v = (i, i, i) respecte de W .
14. Donat el subespai vectorial de l’espai euclidi`a R5 , W = (1, 2, 3, −1, 2), (2, 4, 7, 2, −1) , trobeu una base del seu complement ortogonal.
15. A l’espai euclidi`a R4 , amb el producte escalar habitual: (a) Trobeu unes equacions que defineixin H ⊥ , on H el subespai definit per les equacions 2x1 3x1 +x2 +2x2 +3x3 −x4 −2x4 =0 =0 .
(b) Trobeu una base de F ⊥ , on F ´es el subespai generat pels vectors (1, 0, 2, 1) i (0, 1, −2, 1).
16. A l’espai euclidi`a R4 , amb el producte escalar habitual, trobeu la projecci´o ortogonal i la component ortogonal del vector x respecte del subespai H, si: (a) x = (4, −1, −3, 4) i H = (1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, −1), (1, 0, 0, 3) .
Tema 5 - Espais euclidians 25 (b) x = (7, −4, −1, 2) i H ´es el subespai definit per les equacions 2x1 2x1 x1 +x2 +2x2 +2x2 +x3 +2x3 +2x3 +3x4 +x4 −9x4  =0  =0 .
 =0 17. Donada l’aplicaci´o lineal de R4 en R4 que, en la base can`onica, t´e matriu   1 −1 0 1  1 0 1 0  , A=  −1 3 2 −3  2 2 −1 3 trobeu una base ortogonal del seu nucli i projecteu ortogonalment el vector v = (1, 1, 1, 1) sobre aquest nucli.
18. Sigui H = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ C4 | x1 − x2 + ix3 = 0}. Consideri’s el producte escalar habitual de C4 .
(a) Doneu una base ortogonal de H.
´ u (b) Determineu un suplementari ortogonal de H. Es ´nic? (c) Calculeu la projecci´o ortogonal de (i, 0, 0, 0) sobre H i sobre H ⊥ .
19. Donats u, v ∈ R3 es defineix el producte vectorial de u i v, u ∧ v, com l’´ unic vector de R3 que 3 verifica que (u ∧ v)·, x = det(u, v, x) per a tot x ∈ R . Proveu que: (a) u ∧ v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 ).
(b) u ∧ v = 0 ⇐⇒ u, v son linealment dependents.
(c) u ∧ v ∈ u, v ⊥ .
20. En un C–espai vectorial de dimensi´o 3, es considera certa base {e√ la matriu 1 , e2 , e3 }. Trobeu √ √ asssociada al producte escalar en aquesta base si es coneix que ||e1 || = 2, ||e2 || = 3, ||e3 || > 11, que U = {xe1 + ye2 + ze3 |x + y + iz = 0} ´es ortogonal a e1 i que la projecci´o ortogonal de e1 + e2 + ie3 sobre e2 ´es (1 + i)e2 21. Sigui E un espai euclidi`a i sigui B = {e1 , e2 , e3 } una base ortonormal. Trobeu la dist`ancia m´ınima de v = (6, 0, 4)B i F = (1, 1, 1)B , (1, 0, 3)B   5 2 0 22. Sigui l’espai euclidi`a R3 amb el producte escalar que a la base can`onica t´e matriu G =  2 1 0 , 0 0 1 F = (1, −1, 0) i v = (2, 1, 1). Trobeu el vector v1 ∈ F que fa m´ınima la dist`ancia d(v, F ). Doneu tamb´e aquesta dist`ancia.
23. Trobeu els valors de x, y, z que fan m´ınim l’error en el sistema sobredeterminat donat per: x 2x x x 4x + y + 3y + 2y + 5y − y + z + z + 2z + 2z − 2z = = = = = 10 5 1 6 −1 24. Les mesures preses en un laboratori d’una certa magnitud m al llarg del temps venen donades per la taula seg¨ uent: 26 Tema 5 - Espais euclidians temps 1 2 3 4 5 6 m -5 -3 1 10 25 40 Se sap que la magnitud m(t) segueix una llei quadr`atica, ´es a dir, m(t) = at2 + bt + c. Trobeu els valors de a, b, c que suposa el m´ınim error de mesura.
Solucions 1. S´ı, ´es un producte escalar.
´ producte escalar l’aplicaci´ 2. Es o de l’apartat (b).
3. (a) Nom´es la tercera matriu correspon a un producte escalar.
(b) Nom´es la segona matriu correspon a un producte escalar.
    6 6 1 3 −i 2i i 3 0  4. (a) (a)  6 17 −3  (b)  1 −3 6 −2i 0 2   237 −46 195 69 45  (b)  −46 195 45 275 5.
 237  −46 195 −46 69 45  195 45  .
275 6. L’angle entre u i v ´es aproximadament 0.707 radians.
7. 3 8. GB = 3/4 0 0 1/4 , GB0 = 9. Una base ortonormal ´es u1 = 10.
1 −1/4 −1/4 1/4 1 √ (1, 0, 0), u2 2 = on B0 representa la base can` onica. L’angle ´es π/3.
√1 (−1, 2, 0), u3 6 = √1 (−1, −1, 3).
12 1 √ (1, 2, −1, 0), √112 (1, 1, 3, 1), √16 (2, −1, 0, −1) 6 11. α = β = ± √12 12. (a) S´ı.
(b) S´ı, ´es u ´nic.
(c) No ´es l’´ unica base ortonormal per aquest producte.
 29 1  −13 onica ´es (d) La matriu del producte escalar en la base can´ 25 7 −13 11 −4  7 −4 .
6 Tema 5 - Espais euclidians 27 (e) 2 13. (a) 1 √ (1, i, 0), √118 (1 2 + 2i, 2 − i, 2 − 2i).
(b) La projecci´ o ortogonal ´es −1 2i −1 10i 4 2i + , + , + 9 3 3 9 9 3 14. (2, −1, 0, 0, 0), (13, 0, −4, 1, 0), (−17, 0, 5, 0, 1).
6x1 15. (a) Unes equacions que defineixen H ⊥ s´ on −9x2 x2 ; i la component ortogonal ´es −x3 +x4 =0 =0 1 i 1 i −4 i + , − , + .
9 3 3 9 9 3 .
(b) El vectors (−2, 2, 1, 0) i (−1, −1, 0, 1) s´ on una base de F ⊥ .
16. (a) La projecci´ o ortogonal de x sobre H ´es (1, −1, −1, 5), i la seva component ortogonal ´es (3, 0, −2, −1).
(b) La projecci´ o ortogonal de x sobre H ´es (0, −3/2, 3/2, 0), i la seva component ortogonal ´es (7, −5/2, −5/2, 2).
17. Una base del nucli ´es {(−1, 0, 1, 1)} i la projecci´ o d´ ona (1/3)(−1, 0, 1, 1).
18. (a) Per exemple {(1, 1, 0), (−i/2, i/2, 1, 0), (0, 0, 1)}.
(c) La projeci´ o ortogonal sobre H ´es 19. (a) — (b) — (c) —  2 2 3 20.  2 2i 3 + 2i  −2i 3 − 2i  a 1 (2i, i, −1, 0) 3 i la component ortogonal ´es 1 (i, −i, 1, 0).
3 6 Altres espais vectorials 1. Digueu quines de les seg¨ uents proposicions s´on certes, (per K entenem R o C): (a) El conjunt a b b c a+b b+2 amb a, b, c ∈ C ´es un subespai vectorial de M2×3 (C).
(b) El conjunt {A ∈ Mn×n (K) amb Tr(A) = 0} ´es un subespai vectorial de Mn×n (K).
(c) El conjunt {A ∈ Mn×n (K) amb det(A) = 0} ´es un subespai vectorial de Mn×n (K).
(d) El conjunt {A ∈ Mn×n (K) tals que AM = M A}, on M ∈ Mn×n (K) ´es una matriu fixada, ´es un subespai vectorial de Mn×n (K).
(e) El conjunt dels polinomis reals de grau m´es gran que 4 ´es un subespai vectorial de R[x].
(f) El conjunt {p ∈ C[x] tals que p(1 + j) = 0} ´es un subespai vectorial de C[x].
−3 2 ,B= −4 1 siguin linealment dependents. Trobeu la relaci´o de depend`encia.
2. Trobeu a, b ∈ R de manera que les matrius A = 2 1 3 5 iC = 9 −3 a b 3. Sigui E = M2×2 (R). Trobeu una base i la dimensi´o del subespai vectorial F de E definit per a −b F = amb a, b ∈ R , i determineu un subespai G ⊂ E de manera que E = F ⊕ G.
b a 4. Sigui E el R-espai vectorial de les funcions reals de variable real. Trobeu la dimensi´o i una base dels subespais vectorials de E generats per les funcions: (a) eax , xeax .
(b) ex , e−x , cosh x.
(c) 1, cos 2x, sin2 x.
(d) eax , xeax , x2 eax .
(e) cos x, sin x.
(f) ex cos x, e−x sin x.
5. Demostreu que {1 + x3 , 2x + 3x2 , 1 − x2 , x + 2x2 } ´es una base de R3 [x] i trobeu les coordenades de 1 + 5x + 10x2 + 2x3 en aquesta base.
6. Determineu si l’espai vectorial de les funcions reals cont´ınues a l’interval unitat admet estructura 1 d’espai euclidi`a amb el producte f · g = 0 et f (t)g(t)dt.
7. Considereu l’espai euclidi`a format per les funcions reals de variable real cont´ınues a l’interval [0, 1].
Sigui el producte escalar definit per 1 f (x) · g(x) = f (x)g(x) dx 0 Tema 6 - Altres espais vectorials 29 Si f1 i f2 venen donades per f1 (x) = a0 + a1 x + . . . + ar xr f2 (x) = b0 + b1 x + . . . + bs xs Proveu que r s f1 · f2 = i=0 j=0 ai bj i+j+1 8. (a) Trobeu una base ortonormal de R2 [x] respecte de la m`etrica f · g = 1 0 f (x)g(x)dx.
2 (b) Donats f (x) = x + 2 i g(x) = x − 2x − 3, calculeu f · g i la norma de f, respecte de la m`etrica anterior.
9. Sigui E un espai euclidi`a i siguin x, y ∈ E tals que d(x, y) = 3, d(x, 2y) = 5 i x = y . Trobeu x·y 10. Considereu l’espai vectorial de les matrius M2×2 (R), amb el producte escalar definit per A · B = Tra¸ca (B t A).
(a) Comproveu que B = 1 0 0 0 , 0 0 1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1 ´es una base ortonormal d’aquest espai.
(b) Si S ´es el subespai de les matrius sim`etriques, trobeu S ⊥ .
(c) Si D ´es el subespai de les matrius diagonals, trobeu tamb´e D⊥ .
11. Considerem a l’espai vectorial de matrius 2 × 2 el producte escalar definit per A · B = tr(At B).
Amb aquesta m`etrica, trobeu les matrius que equidisten dels v`ertexs del triangle format per p1 = 1 0 0 1 , p2 = 1 1 0 0 , p3 = 1 0 1 1 12. Considereu l’espai euclidi`a format per les funcions integrables a l’interval (−1, 1). Sigui el producte escalar definit per 1 f ·g = x2 f (x)g(x) dx −1 Es demana: (a) Tot aplicant el m`etode de Gramm-Schmidt al conjunt de polinomis {1, x, x2 }, trobeu una base ortonormal del subespai de polinomis de grau m´es petit o igual a 2.
(b) Sigui f (x) definida per: f (x) = 2 0≤x<1 1 −1 < x < 0 Aproximeu f (x) a l’interval (−1, 1) amb una combinaci´o lineal de la base trobada a l’apartat anterior.
13. A l’espai vectorial de funcions cont´ınues a l’interval [−1, 1] considerem el producte escalar definit 1 per f · g = −1 f (x)g(x) dx i el conjunt de funcions B = {sin πx, sin 2πx, sin 3πx}. Sigui F el subespai generat per B. Es demana: (a) Proveu que els elements de B son ortogonals respecte el producte escalar donat (b) Trobeu la funci´o de F que millor aproxima la funci´o f (x) = x respecte la m`etrica donada.
30 Tema 6 - Altres espais vectorials Solucions 1. (a) Falsa (b) Certa (c) Falsa (d) Certa (e) Falsa (f) Certa 2. A, B i C s´ on linealment dependents si i nom´es si a = 33 i b = 48. Aleshores: 3A + 9B − C = 0.
1 0 3. Els vectors 0 1 i 0 1 −1 0 formen una base de F que t´e, doncs, dimensi´ o 2. Podem considerar 0 0 0 0 , .
1 0 0 1 4. (a) La dimensi´ o ´es 2. El conjunt {eax , xeax } ´es una base.
G= (b) La dimensi´ o ´es 2. El conjunt {ex , e−x } ´es una base.
(c) La dimensi´ o ´es 2. El conjunt {1, cos 2x} ´es una base.
(d) La dimensi´ o ´es 3. El sistema de generadors donat ´es una base.
(e) La dimensi´ o ´es 2. El sistema de generadors donat ´es una base.
(f) La dimensi´ o ´es 2. El sistema de generadors donat ´es una base.
5. Les coordenades s´ on (2, 1, −1, 3).
6. S´ı, ´es un espai euclidi` a.
7. — 8. (a) {1, √ 3(−1 + 2x), (b) -37/4; 9.
√ 5(1 − 6x + 6x2 )} 19/3 5 2 10. (a) — (b) S ⊥ ´es el subespai generat per 0 1 −1 0 (c) D⊥ ´es el subespai generat per 0 0 1 0 12. (a) { 3 , 2 (b) f (x) 5 x, 2 1 2 + √ 14 (5x2 2 5 x 8 − 3)} .
, 0 1 0 0 .
7 Equacions diferencials lineals Equacions de primer ordre 1. Resoleu les seg¨ uents equacions diferencials: (a) y − y tan t = cos t.
dy 2 − y = (x + 1)3 .
dx x+1 dI (c) L + RI = E sin ωt.
dt (b) 2. Resoleu les seg¨ uents equacions mitjan¸cant el canvi dependent y = ux: (a) 2xy (x2 + x2 ) = y(y 2 + 2x2 ).
(b) (y − xy )2 = x2 + y 2 .
3. Resoleu l’equaci´o diferencial y + xy 2 − (2x2 + 1)y = 1 − x − x3 fent el canvi de variable dependent y = x + 1/v.
4. Proveu que l’equaci´o diferencial y = f (ax+by) es pot resoldre fent el canvi de variable z = ax+by.
5. Obteniu l’equaci´o diferencial de les seg¨ uents fam´ılies de corbes: (a) x2 + y 2 = R2 .
(b) xy = c.
(c) x2 y2 + 2 = 1.
2 a 4a 6. En la cova de Las Caus, a Occit`ania, hi trobem pintures de braus, cavalls, c´ervols i bisons amb un estil dels m´es perfectes del paleol´ıtic. El carb´o vegetal trobat dins la cova va donar l’any 1950 una mesura mitjana de 0, 97 desintegracions de carboni-14 per minut i gram. La fusta viva d´ona 6, 68 desintegracions. Sabent que el per´ıode de semidesintegraci´o del 14 C ´es T = 5568 anys, feu una estimaci´o de la data d’ocupaci´o i, per tant, de l’edat probable de les pintures. (Recordeu que la velocitat de desintegraci´o d’una subst`ancia radioactiva ´es proporcional a la quantitat d’aquesta subst` ancia.) 7. La poblaci´o d’un cert pa´ıs en un moment donat ´es de 10 milions d’habitants, i la seva velocitat de creixement ´es tal que, en la hip`otesi de ser sempre proporcional a la poblaci´o existent, la poblaci´o del pa´ıs es doblaria en 50 anys. Calculeu quants anys trigar`a a doblar-se la poblaci´o en el sup`osit m´es realista que aquesta velocitat de creixement ´es en cada moment proporcional al producte de la poblaci´o existent per la difer`encia entre una poblaci´o l´ımit de 30 milions de persones i la poblaci´o existent.
32 Tema 7 - Equacions diferencials lineals 8. En un ambient a 20◦ C, un cos es refreda de 100◦ C a 60◦ C en un quart d’hora. Calculeu quant de temps trigar`a a refredar-se fins als 25◦ C suposant que, d’acord amb la llei de Newton, la variaci´o de temperatura per unitat de temps ´es proporcional a la difer`encia de temperatura entre el cos i el medi.
9. Un objecte de massa m es llen¸ca verticalment i cap amunt amb una velocitat inicial v0 .A banda de la gravetat, el cos ´es sotm`es a una for¸ca de fregament proporcional a la seva velocitat. Calculeu l’al¸cada m`axima obtinguda i el temps en qu`e s’assoleix.
Equacions d’ordre superior 10. Resoleu les seg¨ uents equacions diferencials: (a) y + 2y − 3y = 0.
(b) y + 4y + 4y = 0.
(c) y + 4y = 0.
(d) y − 2y + 5y = 0.
11. Resoleu les seg¨ uents equacions diferencials: (a) y − 6y + 9y = ex .
(b) y − 8y + 7y = 14.
(c) y + y = cos x.
(d) y + 3y + 2y = 4x2 .
12. Resoleu les seg¨ uents equacions diferencials: (a) y + y = cos x.
(b) y − 2y + 5y = ex cos 2x.
(c) y − y + y − y = xex .
(d) y v + 2y + y = 2x.
13. Trobeu la soluci´o general de les equacions seg¨ uents: (a) y − 9y = ex + x + sin 2x.
(b) y + y = sin2 x.
(c) y − 3y + 2y = sinh x.
(d) y ıv + y = cos2 x.
14. Calculeu la soluci´o general de les seg¨ uents equacions: (a) y − 6y + 9y = e3x /x2 .
(b) y + y = tan x.
15. Trobeu la soluci´o dels seg¨ uents problemes de valors inicials: (a) y − y = x, amb y(0) = 1, y (0) = 0.
(b) y − y + y − y + 1 = 0, amb y(0) = 0, y (0) = y (0) = 1.
16. Trobeu la soluci´o del problema de valors inicials y + a2 y = cos ωt, y(0) = y (0) = 0, per als diferents valors de ω. Compareu la soluci´o en el cas ω = a i el l´ımit de les solucions quan ω tendeix a a.
Tema 7 - Equacions diferencials lineals 33 17. S’anomena equaci´ o d’Euler (homog`enia) una equaci´o de la forma tn y (n) + an−1 tn−1 y (n−1) + . . . + a1 ty + a0 y = 0, on an−1 , . . . , a0 s´on constants reals.
(a) Proveu que el canvi de variable independent t = es la converteix en una equaci´o lineal amb coeficients constants.
(b) Utilitzant l’apartat anterior, resoleu t2 y − ty + y = 0.
18. Un cos de densitat ρ > 1 i massa m es deixa caure des de la superf´ıcie de l’aigua (ρ0 = 1) d’una bassa. Sabent que l’aigua produeix una resist`encia al moviment del cos proporcional a la seva velocitat per un factor k, trobeu la velocitat l´ımit del cos i l’espai recorregut quan la velocitat ´es la meitat de la velocitat l´ımit.
(Utilitzeu el principi d’Arquimedes: F = mg − ρ0 V g) 19. Una corda de 12 m de llargada rellisca sobre una taula amb un fregament proporcional a la llargada de cadena que est`a en contacte amb la superf´ıcie de la taula. La cadena nom´es pot relliscar si la part que penja sobrepassa els 2 m de llargada. Si deixem comen¸car el moviment amb 4 m de cadena penjant, quant trigar`a a relliscar tota la cadena? Solucions 1. (a) y = k cos t 2t+sin 2t 4 cos t 1)2 + 21 (x + (b) y = k(x + R (c) I = ke− L t + √ 2. (a) y 2 = kte t2 y2 + 1)4 E R2 +(Lw)2 sin(wt − φ), on tan φ = Lw R (b) 4ky 2 = (kx2 − 1)2 , k > 0 3. y = x + 1 x−1+ke−x 4. — 5. (a) y = − xy (b) y = − xy (c) y = − 4x y 6. Fa 15500 anys.
7. t = 2/3102 66, 6 anys.
8. t = 60 9. • • h = vk0 − kg2 ln( kvg0 + 1) t = k1 ln( kvg0 + 1), on k := 10. (a) y = C1 e −3x x + C2 e (b) y = C1 e −2x + C2 e−2x K m per K constant de proporcionalitat del fregament.
34 Tema 7 - Equacions diferencials lineals (c) y = C1 cos 2x + C2 sin 2x (d) y = ex (C1 cos 2x + sin 2x) 11. (a) y = C1 e3x + C2 xe3x + 14 ex (b) y = C1 e7x + C2 ex + 2 (c) y = C1 + C2 e−x + −x (d) y = C1 e + C2 e 1 sin x − 21 2 −2x 2 cos x + 2x − 6x + 7 12. (a) y = A cos x + B sin x + x 2 sin x x (b) y = e (A cos 2x + B sin 2x) + x4 ex sin 2x (c) y = A cos x + B sin x + Cex + x x−2 ex 4 (d) y = x2 + A + B cos x + C sin x + x(D cos x + E sin x) 13. (a) y = Ae3x + Be−3x − 18 ex − 91 x − (b) y = A + Be−x + 12 x + x x (c) y = Ae + Bxe + Ce 1 10 −2x cos 2x + 1 sin 2x 13 1 − 20 sin 2x x2 ex 12 (d) y = Ax + B + C sin x + D cos x + 14. (a) y = Ae 3x + Bxe 3x − ln |x|e e−x 8 1 2 1 x + 24 4 − cos 2x 3x x | (b) y = A cos x + B sin x − cos x ln | 1+sin cos x 15. (a) y = ex − 12 x2 − x (b) y = − cos x + sin x + 1 16.
• cas ω = a : • altre cas : 1 t sin(at) 2a 1 (cos(ωt) a2 −ω 2 y(t) = y(t) = 17. (a) — (b) y = At + Bt ln t m 18. vlimit = g ρ−1 ρ K 2 m ∆y = g ρ−1 (ln 2 − 21 ) ρ K2 19.
10 g arccosh 5 2, 3 segons − cos(at)) 8 Sistemes d’equacions diferencials lineals 0 −2/t2 1. Considerem la matriu A(t) = (a) Comproveu que Φ(t) = t2 2t t 1 1 2/t .
´es una matriu fonamental del sistema x˙ = A(t)x.
(b) Resoleu el problema de valors inicials x˙ = A(t)x + b(t) amb condici´o inicial x(2) = essent b(t) = t4 t2 2. Considerem el sistema 1 4 , .
x˙ 1 x˙ 2 = = −x1 x1 sin t − x2 (a) Trobeu-ne una matriu fonamental Φ(t) tal que Φ(0) = I. (Podeu comen¸car resolent la primera equaci´o.) (b) Trobeu-ne la soluci´o que satisf`a la condici´o inicial x(0) = (2, −2).
3. Del sistema dx dt dy dt = a11 (t)x + a12 (t)y + b1 (t) = a21 (t)x + a22 (t)y + b2 (t) se’n coneixen tres solucions particulars: u1 (t) = et cos t , 0 u2 (t) = 0 , e sin t t u3 (t) = sin t + et cos t .
cos t Determineu-ne la soluci´o particular que satisf`a x(0) = 0, y(0) = 3.
  2e2t − et e2t − et et − e2t 2e2t − et et − e2t  una matriu fonamental del sistema x˙ = Ax.
4. Sigui U (t) =  e2t − et 2t t 2t t 3e − 3e 3e − 3e 3et − 2e2t Trobeu A sabent que ´es constant.
 t  e e−t et + 2e−t 5. Considereu la matriu V (t) =  et −e−t et − 2e−t  . Pot ser matriu fonamental d’algun 2et e−t 2(et + e−t ) sistema lineal? 6. Determineu la soluci´o general dels sistemes: 36 Tema 8 - Sistemes d’equacions diferencials lineals (a) x y = −x + y −y (b) x y = −x + 2y −2x − y .
.
uents, resoleu l’equaci´o x˙ = Ax: 7. Per a les matrius seg¨   1 −1 4 2 −1  .
(a)  3 2 1 −1   1 1 0 (b)  0 1 −1  .
0 1 1   3/2 1 −1/2 1 0 .
(c)  0 −1/2 1 3/2   −4 −12 0 3 0 .
(d)  −1 4 8 −1   0 1 0 0  0 0 1 0  .
(e)   0 0 0 1  −1 0 −2 0 8. Resoleu l’equaci´o x˙ = Ax amb la condici´o inicial x(0) = (1, 2, 1), on   2 1 3 A =  0 2 −1  .
0 0 2 9. Determineu la soluci´o particular del sistema   x = 3x − y + z y = −x + 5y − z  z = x − y + 3z que satisf`a x(0) = 1, y(0) = 3, z(0) = −1.
10. Trobeu la soluci´o general dels sistemes seg¨ uents: (a) x˙ y˙ = 2x + y − 5 x + 2y (b) x˙ y˙ = 2 3 1 −2 x y + e3t (c) x˙ y˙ = 1 1 −1 3 x y + .
1 1 −t2 2t .
.
uent sistema, amb la condici´o inicial x(0) = (0, 1, 1): 11. Resoleu el seg¨        x˙ 1 0 0 x 0  y˙  =  2 1 −2   y  +  .
0 t z˙ 3 2 1 z e cos 2t Tema 8 - Sistemes d’equacions diferencials lineals 37 12. El moviment d’una part´ıcula de massa m i c`arrega e en un cert camp electromagn`etic (E, B) en el buit ve donat per l’equaci´o diferencial mv˙ = e(E + v × B), on v = r˙ ´es la seva velocitat. Suposem que E = EE1 i B = BE3 , on E i B s´on constants.
(a) Escriviu les equacions del moviment en components.
(b) Determineu la traject`oria de la part´ıcula sabent que en l’instant inicial es troba en rep`os a l’origen.
13. Un punt material ´es atret cap a un centre O per una for¸ca proporcional a la dist`ancia. Determineu la traject`oria seguida pel punt si en l’instant inicial es troba en el punt A, a dist`ancia OA = r0 del centre i es mou amb velocitat v0 , perpendicular a OA.
Solucions 1. (a) — (b) x(t) = 2. (a) Φ(t) = (b) x(t) = t2 2t 29/12 t + −25/3 1 −t e 0 e−t (1 − cos t) e−t 2e−t , 1 5 t + 6 t4 −6 + −2e−t cos t x(t) = 3 sin t y(t) = 3 cos t + et sin t   3 1 −1 4. A = 1 3 −1 3 3 −1 3.
5. No.
6. (a) x(t) = e−t 1 0 t 1 c1 c2 c1 sin 2t cos 2t (b) x(t) = e−t 2t c2   tcos 2t −2t− sin3t −e −e e c1 e−2t 2e3t  c2  7. (a) x(t) =  4et et e−2t e3t c3    1 cos t sin t c1 (b) x(t) = et 0 − sin t cos t c2  0 cos t sin t c3  2t   t t −e e te c1 0 et  c2  (c) x(t) =  0 e2t et tet c3     3 4e−t 0 c1 −t 0  c2  (d) x(t) = −1 −e 4 8te−t e−t c3 t4 6 2 3 t 3 38 Tema 8 - Sistemes d’equacions diferencials lineals  cos t  − sin t  (e) x(t) =  − cos t sin t 8. x(t) = e2t sin t cos t − sin t − cos t 1 + 5t − 2t t2 , 2 6t √ 7t √ 2+ 7 3 x(t) = e + e − e ; x −et e3t 10. (a) = y et e3t 9.
2 − t, 3t (b) x y = c1 e (c) x y = e2t 1−t t 1 3t y(t) = e + 2e6t ; c1 10/3 + c2 −5/3 1 √ 7t + c2 e − −1 1   t sin t c1   sin t + t cos t   c 2  2 cos t − t sin t  c3  −3 sin t − t cos t c4 t cos t cos t − t sin t −2 sin t − t cos t −3 cos t + t sin t c1 c2 z(t) = −e2t + e3t − e6t √ 2− 7 3 + 3t2 4 2 − t4 e3t 2e3t + 1 + − 3t 4 3 16 + 3 16  t 11. x(t) = e (1 + 12. (a) — (b) x(t) = 1 t 2 + 1 8    0 0 t 1 sin(4t)) − sin(2t) + 8 e (9 − cos(4t)) cos(2t) cos(2t) sin(2t) Em (− cos( eB t) m eB 2 + 1; y(t) = −E t B + Em eB 2 sin( eB t); m z(t) = 0 13. La traject` oria ´es una el.lipse en el pla OA i v0 , d’eixos els propis vectors i de semieixos v0 i essent m la massa i k la constant de proporcionalitat.
v0 ω ; on ω 2 = k m ...