Problemas de Aplicaciones Lineales (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Álgebra lineal
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 17/05/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Aplicacions lineals P 1 Sigui f : R3 −→ R2 una aplicaci´ o definida per f (x, y, z) = (x + y − z, 3x + y + z) Demostreu que f ´es aplicaci´ o lineal i busqueu una base de N uc (f ) i una altra de Im (f ).
P 2 Sigui f : R4 −→ R2 def inida per f (x, y, z, t) = (x + y + z + t, x − y + 2z + t). Demostreu que f ´es aplicaci´ o lineal i busqueu una base de N uc (f ) i una altra de Im (f ).
P 3 Sigui f : R3 −→ R2 una aplicaci´ o lineal tal que (1, 1, 0) ∈ N uc (f ) , f (1, −1, 0) = (2, 4) i f (0, 1, 1) = (1, 3) .
Trobeu f (x, y, z), una base de N uc (f ) i una altra de Im (f ).
P 4 Sigui f : R3 −→ R3 un endomorfisme definit per f (x, y, z) = (x + y + 3z, −x + 5y + 9z, x − 3y − 5z) .
Trobeu bases de N uc (f ) , Im (f ) i N uc (f ) ∩ Im (f ). Trobeu la matriu en la base can` onica de R3 .
P 5 Sigui f : R3 −→ R4 una aplicaci´ o lineal definida per f (1, 0, 0) = (1, −1, 1, 0) , f (0, 1, −1) = (0, 2, 1, −1) i f (1, −2, 1) = (3, 1, 5, −2) .
Busqueu la matriu en les bases can` oniques de R3 i R4 . Busqueu f (x, y, z). Busqueu una base de N uc (f ) i una altra de Im (f ).
P 6 Sigui f : R3 −→ R4 una aplicaci´ o lineal verificant que N (f ) = {(x, y, z)|x = y − z}, (1, 1, 1) ∈ f −1 (2, 1, 0, −1) i (1, 1, 1) ∈ f −1 (2, 1, 0, −1) .
Busqueu la matriu associada a f en les bases can` oniques de R3 i R4 . Busqueu una base de N uc (f ) i una altra de Im (f ).
1 P 7 Sigui E un e.v. sobre R i e1 , e2 , e3 una base de E. Sigui f : E −→ E un endomorfisme verificant que −3e1 − 2e2 + e3 ∈ N uc(f ), e1 − e3 ∈ f −1 (−4e1 − 6e2 + 2e3 ) , f (e2 ) = −e1 + 2e2 . Busqueu la matriu associada a f en aquesta base.
Busqueu una base de N uc (f ) i una altra de Im (f ).
P 8 Sigui E l’espai vectorial dels polinomis de R [X] de grau m´es petit o igual a 3. Siguin p1 = X 3 + X 2 + 1, p2 = X + 1, p3 = X 2 − X i p4 = X 3 − 1 Demostreu que p1 , p2 , p3 i p4 s´ on una base de E.
P 9 Sigui f : R3 −→ R3 una aplicaci´ o lineal verificant que: (1, 0, 2) ∈ N uc (f ) , f (0, 1, −1) = (2, 2, 0) i f (1, −1, 0) = (3, 2, 2) .
Busqueu f (x, y, z).
Busqueu una base de N uc (f ) ∩ Im (f ) i una altra de N uc (f ) + Im (f ).
 1 1 1      P 10 Sigui f : R3 −→ R3 una aplicaci´ o lineal tal que A =  2 0 1  ´es la seva matriu associada   0 2 1 en les bases e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, −1, 0), e3 = (1, 0, −1) i u1 = (0, 1, 1), u2 = (1, 0, 1), u3 = (1, 0, 0).
Busqueu una base de N uc (f ) i una altra de Im (f ). Busqueu f (x, y, z).
P 11 Sigui f : R4 −→ R4 una aplicaci´ o lineal definida per f (x, y, z, t) = ( [1 + 2m] x + [2 + 2m] y + z + [1 + m] t, [1 + m] x + [m + 5] y + 3z + t, [2 − m] x + [6 − m] y + 3z + [2 − m] t, 3mx + [3m + 1] y + z + 2mt ) Busqueu m per que f no sigui BIJECTIVA. Per aquests valors busqueu N uc (f ).
P 12 Sigui f : 3 −2   A =  4 −3  2 −2 3 R3 −→ o lineal tal que en la base can` onica de R3 la matriu associada ´es  R una aplicaci´ 0   0 . Busqueu tots els m ∈ R | det (A − mI) = 0  1 Busqueu una base de H = {(x, y, z) | f (x, y, z) = (x, y, z) }.
Busqueu una base de G = {(x, y, z) | f (x, y, z) = (−x, −y, −z) }.
Demostreu que la uni´ o de les bases de H i de G s´ on una base de R3 i busqueu la matriu associada a f en aquesta base.
2 P 13 Sigui E un espai vectorial sobre un cos commutatiu K i siguin f, g : E −→ E, dos endomorfismes qualssevol. Demostreu que g ◦ f ´es un altre endomorfisme.
Demostreu que N uc (g ◦ f ) = f −1 [N uc (g) ∩ Im (f )].
P 14 Sigui p : E −→ E un endomorfisme que verifica que p2 = p. Demostreu que (I − p)2 = I − p i que E = N uc (p) ⊕ Im (p).
P 15 Sigui E un espai vectorial, de dimensi´ o finita n, sobre un cos commutatiu K i sigui f : E −→ E un endomorfisme. Demostreu que: Im (f ) = Im f 2 ⇔ E = Im (f ) + N uc (f ) N uc (f ) = N uc f 2 ⇔ N uc (f ) ∩ Im (f ) = 0 P 16 Sigui f : E −→ E un endomorfisme tal que f 2 = −I Demostreu que f ´es un automorfisme.
Sigui e1 = 0, demostreu que e1 , f (e1 ) s´ on vectors linealment independents.
Siguin e1 , f (e1 ) , e2 l.i.. Demostreu que e1 , f (e1 ) , e2 , f (e2 ) s´ on l.i.
Demostreu que si la dimensi´ o de E ´es finita, ´es parella.
P 17 Sigui f : R4 −→ R3 definida per f (x, y, z, t) = (x − t, y − t, z − t). Demostreu que f ´es aplicaci´ o lineal i busqueu unes bases de N uc f P 18 Sigui P3 = p ∈ R [X] i de Im f .
p = aX 2 + bX + c que sabem que ´es espai vectorial sobre R de di- mensi´ o 3. Sigui h : P3 −→ P3 tal que h aX 2 + bX + c = bX + c.
Demostreu que h ´es un endomorfisme idempotent, es a dir que h2 = h.
Demostreu que P3 = N uc h ⊕ Im h.
P 19 Sigui f : R3 −→ R3 definida per f (x, y, z) = (x − z, 2x + 4y, −2y + mz).
Demostreu que f ´es una aplicaci´ o lineal.
Estudieu la dimensi´ o de N uc f i Im f segons els valors de m.
Trobeu f −1 (a, 2, −1) pel valor de m que faci m´ınim el rang de f, segons els valors de a.
P 20 Determineu m per tal que l’aplicaci´ o f : R3 −→ R3 definida per f (x, y, z) = (mx + y + z, x + my + z, x + y + mz) tingui el nucli de dimensi´ o m` axima. Trobeu en aquest cas una base de N uc f .
3 P 21 Sigui f : R4 −→ R3 definida per f (x, y, z, t) = (x + z − t, 2x + y − z + 2t, 3x + y + mt) Demostreu que f ´es aplicaci´ o lineal Estudieu N uc f i Im f segons els valors de m.
Trobeu f −1 (a, 4, 5) pel valor de m que faci m´ınim el rang de f, segons els diferents valors de a.
P 22 Siguin E0 , E1 , E2 , · · · , En , n ≥ 2 espais vectorials sobre un cos commutatiu K. Direm que la successi´ o d’aplicacions lineals f0 f1 fn−2 f2 fn−1 E0 −→ E1 −→ E2 −→ · · · −→ En−1 −→ En ´es exacta quan Im fk = N uc fk+1 , 0 ≤ k ≤ n − 2. Demostreu que: f 0 0 −→ E −→ F ´es exacta ⇔ f ´es injectiva.
f 0 E −→ F −→ 0 ´es exacta ⇔ f ´es exhaustiva.
P 23 Sigui F un s.v. de E. Sigui i : F −→ E la injecci´ o can` onica i p : E −→ E/F la projecci´ o can` onica.
p 0 0 i Demostreu que 0 −→ F −→ E −→ E/F −→ 0 ´es exacta.
P 24 Sigui f : E −→ F una aplicaci´ o lineal entre dos espais vectorials sobre el mateix cos K.
Demostreu que f p 0 0 i 0 −→ N uc f −→ E −→ F −→ F/Im f −→ 0 ´es exacta.
P 25 Sigui f ∈ L (En , Em ) i g ∈ L (Em , Er ). Demostreu que 2 rang (g ◦ f ) ≤ rang (f ) + rang (g) ≤ m + rang (g ◦ f ) .
P 26 Siguin f, g ∈ L (En , Em ). Demostreu que rang (f + g) ≤ rang (f ) + rang (g).
P 27 Sigui fm : R3 −→ R3 un endomorfisme definit per fm (x, y, z) = (2x + y + 2z, x + y, x + 2y + mz) Trobeu m per tal que el rang de fm sigui m´ınim.
Fixat aquest m, trobeu una base de N uc fm i una altra de Im fm Determineu si existeix algun t pel qual (3, 2, t) ∈ N uc fm .
4 P 28 Sigui f ∈ End R3 , e1 = (1, 1, 0) , e2 = (2, 0, 1) , e3 = (0, 1, 0) tals que f (e1 ) = u, f (e2 ) = u, f (e3 ) = w essent u i w linealment independents. Trobeu: Les dimensions de N (f ) i de Im f , f (2, 2, 1), S = (x, y, z) ∈ R3 | f (x, y, z) = u .
P 29 Sigui {e1 , e2 } una base d’un espai vectorial i {f1 , f2 } la seva base dual. Trobeu la base dual de la base {v1 , v2 } definida per v1 = e1 + 2e2 , P 30 Proveu que les formes lineals de R3 v2 = 3e1 + 4e2 .
∗ definides per w1 (x, y, z) = x + y + z, w2 (x, y, z) = −x − z, w3 (x, y, z) = y w4 (x, y, z) = −2z, w5 (x, y, z) = x + 3y s´ on linealment dependents. Extreieu-ne uns base de R3 ∗ i trobeu la base de R3 de la qual ´es dual.
P 31 Sigui R3 [X] l’espai vectorial dels polinomis de grau ≤ 2. Siguin t1 , t2 , t3 tres nombres reals diferents. Per i = 1, 2, 3 definim les aplicacions fi : R3 [x] −→ R .
p (x) −→ p (ti ) Demostreu que {f1 , f2 , f3 } ´es una base de l’espai dual de R3 [x] i trobeu la base de la qual ´es dual.
P 32 Sigui f : 0 2   A =  −2 5  −4 8 3 R3 −→ o lineal que en la base can` onica de R3 t´e per matriu associada  R una aplicaci´ −1   −2  . Busqueu una base de N uc f i una altra de Im f .
 −3 Busqueu la matriu associada a f en la base u1 = (1, 2, 4) , u2 = (1, 0, −1) , u3 = (0, 1, 2) .
3 P 33 Sigui f : R3 −→ o lineal que en la base can` onica de R3 t´e per matriu associada  R una aplicaci´ 2 0 − 22 2   2   3 1 1 A =  2 − 2 − 2  . Busqueu una base de N uc f i una altra de Im f .
  1 1 1 −2 −2 2 Busqueu la matriu associada a f en la base u1 = 1 1 0, , 2 2 , u2 = 1 2 , 0, 1 2 , u3 = 1 1 , ,0 2 2 P 34 Siguif : R3 −→ R3 un endomorfisme, e1 , e2 , e3 una base de R3 verificant que f (e1 ) = e2 + e3 , f (e2 ) = e1 + e3 , f (e3 ) = e1 + e2 .
Busqueu una base de N uc f i una altra de Im f .
Busqueu la matriu associada a f en la base {u1 , u2 , u3 } tal que u1 = e1 , u2 = e1 + e2 , u3 = e1 + e2 + e3 .
5 P  35 1    1    1  1 Sigui f : R4  −→ R4 un endomorfisme que en la base can` onica t´e per matriu associada A = 1 1 1   m 1 1  . Trobeu una base de N uc f segons els valors de m ∈ R.
 1 m2 1   1 1 m3 P  36 Sigui f : −1 −2 0    0 1 0    1 1 0  1 1 1 R4−→ R4 un endomorfisme que en la base can` onica t´e per matriu associada A = 0   0  . Trobeu els vectors v = (x, y, z, t) ∈ R4 tals que v i f (v) s´ on l.d..
 1   0 P 37 Sigui M3 (C) l’espai vectorial de les matrius quadrades d’ordre 3 a coeficients al cos C. Sigui         a + b a − b + c a − c         H = A ∈ M3 (C) A =  a − b − c a a + b + c  , a, b, c ∈ C .
          a+c a+b−c a−b Demostreu que H ´es un s.v. i busqueu-ne una base.
P 38 Trobeu totes les matrius A ∈ M2 (R) tals que A2 = I.
P 39 Trobeu totes les matrius A ∈ M2 (R) tals que A2 = −I. Trobeu-ne dues amb tots els coefi- cients enters.
P 40 Trobeu totes les matrius A ∈ M2 (R) tals que A2 = A.
P 41 Siguin S = {matrius sim`etriques de Mn (K)}, A = {matrius antisim`etriques de Mn (K)}.
Trobeu les dimensions de S i de A. Demostreu que Mn (K) = S ⊕ A.
Estudieu primer els casos K = R, n = 2, 3 P 42 Siguin TS = {matrius triangulars superiors de Mn (K)}, TI = {matrius triangulars inf eriors de Mn (K)}. Demostreu que TS Trobeu-ne les dimensions i determineu TS ∩ TI Estudieu primer els casos K = R, i i TI s´ on isomorfs.
TS + TI .
n = 2, 3.
P 43 Sigui E un espai vectorial sobre R de dimensi´ o 3, e1 , e2 , e3 una base i f un endomorfisme verificant que f (e1 ) = e1 + e2 , f (e3 ) = e1 , N uc f = e1 + e2 . Estudieu Im f i , Es compleix E = N uc f + Im f ?.
6 N uc f i , i = 1, 2, 3.
P 44 Sigui E un espai vectorial de dimensi´ o n sobre un cos commutatiu K. Sigui f un endomorfisme i e1 , e2 , · · · , en una base. Sigui A = aji n Definim tr (f ) = k=1 la matriu associada a f en la base anterior.
akk . Demostreu que tr (f ) ´es independent de la base.
Demostreu que l’aplicaci´ o g : L (E) −→ R ´es lineal.
f −→ tr (f ) P 45 Sigui E l’espai vectorial de les matrius quadrades d’ordre 2 sobre un cos commutatiu K. Sigui B ∈ E una matriu fixa i sigui fB : E −→ E una aplicaci´ o definida per fB (X) = BX Demostreu que fB ´es una aplicaci´ o lineal Donada una base {e1 , e2 , · · · , en } de E, busqueu la matriu associada a fB en aquesta base.
    1 x z     P 46 Sigui K un cos commutatiu i sigui E = A =  0 1 y      0 0 1 ´es un subgrup de (GL (3, K) , ◦) ◦ = producte de matrius.
7         | x, y, z ∈ K . Demostreu que E       Trobeu el centre del grup.
...