Sem 7 (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2013
Páginas 3
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 10

Descripción

Soluciones

Vista previa del texto

Matemàtiques III Curs 2012-2013 Seminari 7. Equacions diferencials de primer ordre Problema 1: Resoleu les equacions diferencials següents: (a) tx  t 3  t , (b) (1 + t)dx − xdt = 0, dx (c) x t  t  t , (d)  dt ,  t  3  t  2  (e) e t x  t , (g) (f) t x  t 2 cos t  0 .
2 dx  sin tdt t2 (h) dx = ln t dt Solució Problema 1: Problema (a) Dividint l’equació per t obtenim x  t 2  1, llavors la solució s’obté calculant la integral: 1 x(t) =   t 2  1 dt  t 3  t  C, 3 C ∈ .
Problema (b) Aquesta equació és de variables separables. Tenim dx dt ,  x 1 t on considerem que x ≠ 0. Aleshores hem de resoldre dues integrals: dx  x  ln x  C1 dt  1  t  ln t  1  C2 Igualant les funcions obtenim ln |x| = ln |t + 1| + C3, on C3 = C2 − C1.
(1) Finalment, fent exponencials als dos costats de la igualtat (1) obtenim x(t) = C(t + 1), C ∈ .
D’altra banda, la funció x(t) ≡ 0 també és solució, ja que és un zero de la funció g(x) = x que ens apareix quan apliquem la fórmula per a resoldre una equació diferencial del cas de variables separables.
Problema (c) Primer dividim l’equació per t i obtenim x  t  1 Aleshores, com que aquesta integral pertany al ”cas senzill”, tenim que la solució és 2 x  t    t  1 dt  t 3 / 2  t  C.
3   1 Problema (d) Observeu que multiplicant als dos costats de l’equació per (t − 3)(t + 2) obtenim dx = (t − 3)(t + 2)dt que és equivalent a dx  (t − 3)(t + 2).
dt Llavors tornem a estar al ”cas senzill” i la solució és 1 1 x(t) =   t  3 t  2  dt   t 2  t  6dt  t 3  t 2  6t  C 3 2 Problema (e) Multiplicant als dos costats de l’equació per et obtenim x  tet.
Aleshores, com que estem una altra vegada al ”cas senzill”, per a obtenir la solució hem de calcular la integral x(t) =  tet dt Per a calcular aquesta integral fem integració per parts i obtenim t t t t t  te dt  te   e dt  te  e  C.
Llavors la solució de l’equació diferencial és x(t) = (t − 1)et + C.
Problema (f) Aquesta equació també pertany al ”cas senzill”. De fet, es pot escriure com x  t2 sint.
La solució s’obté integrant dues vegades per parts la funció t2 sint, és a dir, calculant 2  t sin tdt Integrant una vegada per parts obtenim 2 2  t sin tdt  t cos t  2 t cos tdt.
(2) Ara tornem a fer integració per parts per a calcular  t cos tdt  t sin t   sin tdt  t sin t  cos t  C1.
Substituint a l’última integral en (2) obtenim 2 2  t sin tdt  t cos t  2 t sin t  cos t  C1 .
Llavors la solució de l’equació diferencial és x(t) = (2 − t2) cost + 2t sint + C.
Problema (g) x obtenim Multiplicant per 2/t i aïllant & x = 2t cos t.
Observeu que aquesta equació diferencial pertany al ”cas senzill”. La solució s’obté calculant la integral 2 t cos tdt Aquesta integral es calcula fent integració per parts com al Problema (f).
Llavors, obtenim la solució x(t) = 2 t cos tdt  2 t sin t   sin tdt  2  t sin t  cos t   C.
  2 Problema (h) L’equació és equivalent a x = ln t.
Pertany al ”cas senzill”. Hem de calcular la integral x(t) =  ln tdt Aquest integral es resol fent integració per parts, considerant u = ln t, dv = 1dt, 1 x(t) = t ln t −  tdt  t ln t   dt  t ln t  t  C .
t 3 ...