Colección Problemas (2013)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Calculo Avanzado
Año del apunte 2013
Páginas 54
Fecha de subida 17/09/2014
Descargas 5
Subido por

Vista previa del texto

1.
Topologia de Rn Problemes b` asics 1. Determineu el domini d’exist`encia i el recorregut (imatge) de les funcions seg¨ uents: a) f (x, y) = (cos(x2 + y 2 ))1/2 .
b) f (x, y) = ln(y − x).
c) f (x, y) = arcsin(x/y).
d ) f (x, y) = 1 − |x| − |y|.
cos(2πx) − 1.
1 1 .
f ) f (t) = cos , sin t t e) f (x, y) = 2. Descriviu les corbes de nivell de les funcions seg¨ uents: a) f (x, y) = x + 5y − 7.
b) f (x, y) = 3x2 + 2y 2 .
c) f (x, y) = xy.
d ) f (x, y) = (xy)1/2 .
e) f (x, y) = y/x1/2 f ) f (x, y) = 1 − |x| − |y|.
3. Descriviu les superf´ıcies de nivell de les funcions seg¨ uents: a) f (x, y, z) = x + 2y + 3z.
b) f (x, y, z) = −x2 − y 2 − z 2 .
c) f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 .
d ) f (x, y, z) = y 2 + z 2 .
e) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 .
f ) f (x, y, z) = z/(x2 + y 2 ).
g) f (x, y, z) = 1 − |x| − |y| − |z|.
4. Justifiqueu que els subconjunts del pla seg¨ uents s´on oberts: a) A = {(x, y) | −1 < x < 1, −1 < y < 1}.
b) B = {(x, y) | y < 10}.
c) C = {(x, y) | x = 0, y = 0}.
d ) D = {(x, y) | 2 < x2 + y 2 < 4}.
5. Obteniu l’interior, l’adher`encia, l’exterior, la frontera i el conjunt de punts d’acumulaci´o dels conjunts seg¨ uents: a) A = {(x, y) ∈ R2 | y = 2x}.
b) B = {(x, y) ∈ R2 | −1 < x < 1, 0 < y < x2 }.
c) C = {(x, y) ∈ R2 | xy ≥ 0, x + y = n on n ∈ Z}.
d ) D = {(x, y) ∈ R2 | 0 < x, y < 1, x ∈ Q}.
e) E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 < 1}.
f ) F = {(x, y, z) ∈ R3 | z 2 ≥ x2 + y 2 }.
Problemes del tema 1 2 6. Dels conjunts (dominis i recorreguts) obtinguts en el problema 1, digueu si s´on oberts, tancats, fitats o compactes.
7. Trobeu el l´ımit (si existeix) de les successions de punts seg¨ uents: a) (n2 + 1)1/n , (sin n)/n) .
b) (n!)1/n , e−n /n2 , n/n! .
c) 1 nlog n , √ .
log n n 2 Problemes addicionals 8. Descriviu precisament les corbes de nivell de la funci´o f (x, y) =   0 2xy  2 x + y2 si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0) 9. Donada la funci´o f (x, y) = x2 − y 2 , representeu gr`aficament les funcions seg¨ uents: f (x, 0), f (x, 1), f (x, x), f (x, x2 ), i relacioneu aquestes gr`afiques amb la de f .
10. Siguin A i B dos subconjunts de Rn . Si A ´es obert, proveu que A + B = {z | z = x + y, x ∈ A, y ∈ B} ´es obert.
11. Doneu un exemple d’una funci´o tal que el seu domini tingui un punt a¨ıllat.
12. Considereu els conjunts An = {(x, y) ∈ R2 | nx2 y < 1}, amb n ∈ N∗ .
a) Justifiqueu que cada An ´es obert.
b) Calculeu la intersecci´o de tots els An i justifiqueu que no ´es un conjunt obert.
c) Per qu`e aix`o no contradiu el fet que la intersecci´o de dos oberts ´es un obert? 13. De manera semblant, trobeu una col.lecci´o infinita de conjunts tancats del pla tals que la seva uni´o no sigui tancada.
14. Considereu les aplicacions pi : R2 → R seg¨ uents: p1 (x, y) = |x| + |y| p2 (x, y) = (|x|2 + |y|2 )1/2 p∞ (x, y) = m´ax(|x|, |y|) a) p2 ´es la norma euclidiana. Demostreu que tamb´e s´on normes p1 i p∞ . S’anomenen la norma-1 i la norma del suprem, respectivament. Normalment pi es representa per · i.
b) Dibuixeu les boles unitat Bi = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) tres normes.
i < 1} per a cada una de les √ c) Demostreu √ que (x, y) ∞ ≤ (x, y) 2 ≤ (x, y) 1 , i que (x, y) 1 ≤ 2 (x, y) 2 , (x, y) 2 ≤ 2 (x, y) ∞ . Relacioneu aquestes desigualtats amb els dibuixos anteriors.
d ) Proveu que p1/2 (x, y) = (|x|1/2 + |y|1/2 )2 no ´es una norma.
(Podeu comprovar que no se satisf`a la desigualtat triangular amb els punts (1/2, 0) i (0, 1/2).) Dibuixeu tamb´e la “bola” unitat B1/2 .
15.
a) Generalitzeu les definicions de les tres normes del problema anterior a Rn , i proveu que se satisfan desigualtats similars: √ x ∞ ≤ x 2, x 2 ≤ n x ∞.
Problemes del tema 1 3 b) En general, dues normes p i q en un espai vectorial es diuen equivalents si existeixen nombres estrictament positius M , N tals que, per a tot x, p(x) ≤ M q(x) i q(x) ≤ N p(x). Proveu que llavors els conceptes de successi´o convergent i de conjunt obert (i, de fet, molts d’altres) s´on els mateixos per a les dues normes.
Respostes 1. Dominis: a) (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x2 + y 2 ≤ b) (x, y) ∈ R2 | y > x c) (x, y) ∈ R2 | y = 0, −1 ≤ π ∪ (x, y) ∈ R2 | 2 4k−1 2 π ≤ x2 + y 2 ≤ 4k+1 2 π, on k ∈ N∗ x ≤1 y d ) R2 .
e) Z × R (rectes verticals amb abscissa entera).
f ) R − {0}.
Imatges: a) [0, 1].
b) R.
c) [−π/2, π/2].
d ) ]−∞, 1].
e) {0}.
f ) La circumfer`encia x2 + y 2 = 1.
2.
(a) k = x + 5y − 7, on k ∈ R (rectes).
(b) k = 3x2 + 2y 2 , on k ≥ 0 (el.lipses; si k = 0 ´es un un punt).
(c) k = xy, on k ∈ R (hip`erboles; si k = 0 ´es un parell de rectes).
(d) k = (xy)1/2 , on k ≥ 0 (hip`erboles; si k = 0 ´es n parell de rectes).
(e) k = y/x1/2 , on k ∈ R (mitges par`aboles; si k = 0 ´es la semirecta y = 0, x > 0).
(f) k = 1− | x | − | y |, on k ≤ 1 (quadrats centrats a l’origen; si k = 1 ´es un punt).
3.
(a) k = x + 2y + 3z, on k ∈ R (plans).
(b) k = −x2 − y 2 − z 2 , on k ≤ 0 (esferes; si k = 0 ´es un punt).
(c) k = x2 + 2y 2 + 3z 2 , on k ≥ 0 (el.lipsoides; si k = 0 ´es un punt).
(d) k = y 2 + z 2 , on k ≥ 0 (cilindres; si k = 0 ´es la recta y = z = 0).
(e) k = x2 + y 2 − z 2 , on k ∈ R (si k > 0 hiperboloide d’un full, si k = 0 con, si k < 0 hiperboloide de dos fulls).
(f) z = k(x2 + y 2 ) (paraboloides si k = 0, pla si k = 0; en ambd´os casos, sense el (0, 0, 0)).
(g) k = 1 − |x| − |y| − |z|, on k ≤ 1 (oct`aedres centrats a l’origen; si k = 1 ´es un punt).
5. En tots els casos, excepte el (c), tots els punts adherents s´on d’acumulaci´o.
(a) IntA = Ø; A¯ = A; FrA = A.
¯ = {(x, y) ∈ R2 | −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 }.
(b) IntB = B; B (c) IntC = Ø; C¯ = FrC = C. El punt (0, 0) ´es a¨ıllat.
¯ = FrD = [0, 1] × [0, 1].
(d) IntD = Ø; D ¯ = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1}; FrE = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1}.
(e) IntE = E; E (f) IntF = {(x, y, z) ∈ R3 | z 2 > x2 + y 2 }; F¯ = F ; FrF = {(x, y, z) ∈ R3 | z 2 = x2 + y 2 }; √ 7. (a) n n2 + 1, (sin n)/n → (1, 0).
Problemes del tema 1 (b) 4 2 (n!)1/n , e−n /n2 , n/n! → (1, 0, 0).
(c) La successi´ o no ´es convergent (la segona component no convergeix).
8. Si rm indica la recta de pendent m que passa per l’origen, de la qual excloem l’origen, la corba de 1 arc sin k . La corba de nivell zero ´es els nivell k (on |k| ≤ 1, k = 0) ´es rm ∪ r1/m , amb m = tg 2 eixos coordenats, i les altres s´ on buides.
11. Per exemple, f (x) = mateixa propietat.
12.
(b) La intersecci´ o ´es x2 (x2 − 1). F`acilment podeu obtenir una funci´o de dues variables amb la An = {(x, y) | y ≤ 0} ∪ {(x, y) | x = 0}.
(c) Perqu`e en aquest cas tenim infinits oberts.
14.
(b) B1 ´es un quadrat amb v`ertexs els punts (0, 1), (1, 0), (0, −1) i (−1, 0). B2 ´es un cercle de radi 1. B∞ ´es un quadrat amb v`ertexs els punts (1, 1), (−1, 1), (−1, −1) i (1, −1).
2.
L´ımits i continu¨ıtat Problemes b` asics 1. Calculeu els l´ımits seg¨ uents: 2 + 3x + 4y 2 x+1 (x,y)→(0,0) b) l´ım(cosh t, sinh t) a) l´ım t→0 c) d) e) l´ım ex(y−1)−x−1 , sin(x − y) x2 + y 2 l´ım x4 y 4 x2 + y 2 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x5 (x,y)→(0,0) x4 + y 2 l´ım x3 + z 5 (x,y,z)→(0,0,0) x2 + 2y 2 + 4z 2 3 sin xy g) l´ım xy (x,y)→(0,0) f) l´ım h) l´ım (x,y,z)→(0,0,0) e−1/(x 2 +y 2 +z 2 ) 2. Considereu la funci´o f (x, y) =   0 xy  2 x + y2 si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0) a) Trobeu el l´ımit de f (x, y) en (0, 0) respecte a les rectes y = mx.
b) Qu`e se’n dedueix respecte al l´ımit   0 3. Sigui la funci´o f (x, y) = x2 y  x4 + y 2 l´ım (x,y)→(0,0) f (x, y)? si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0) a) Trobeu el l´ımit de f (x, y) en (0, 0) respecte a les rectes y = mx i respecte a les par`aboles y = λx2 .
b) Qu`e se’n dedueix respecte a l´ım (x,y)→(0,0) f (x, y)? 4. Estudieu la continu¨ıtat de les funcions seg¨ uents: a) f (x, y) =   0 x2 y  4x2 + y 2 b) g(x, y) = c) h(x, y, z) = si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0) 0 x2 y 2 ln(x2 + y2) si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0) 1 si (x, y, z) = (0, 0, 0) sin r(x, y, z)/r(x, y, z) si (x, y, z) = (0, 0, 0), essent r(x, y, z) = 5. En quins punts existeix el l´ımit de la funci´o f (x, y) = y 2 sin 1 ? xy x2 + y 2 + z 2 Problemes del tema 2 6 6. Utilitzant funcions cont´ınues apropiades, raoneu si s´on oberts els subconjunts de R2 o R3 seg¨ uents: a) A = {(x, y) | cos(x + y) + sin(x − y) < 1}.
b) B = {(x, y) | xy ln(x − y) > 5}.
c) C = {(x, y, z) | 1 < x + y 2 + z 3 < 3, xyz < 0}.
x+y+z d ) D = (x, y, z) | 3 <1 .
x + y3 + z3 √ e) E = {(x, y) | x + y < 1}.
7. An`alogament, raoneu si s´on tancats els subconjunts de R2 o R3 seg¨ uents: a) A = {(x, y) | 2x − 3y = 6, x2 + y 3 ≤ 10}.
b) B = {(x, y) | 2x2 + 3y 2 ∈ N}.
1 c) C = {(x, y) | 2 ∈ N}.
x + y2 d ) D = {(x, y, z) | x + 2y + 3z = 1, x2 y 2 z ≥ 7}.
8. Considereu A ⊂ R3 , i f : A → R cont´ınua. En quins dels casos seg¨ uents podem assegurar que f t´e un m`axim? I que f (A) ´es un interval? a) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 > 1}.
b) A = {(x, y, z) ∈ R3 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 1}.
c) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 − y 2 ≥ 1, −1 ≤ z ≤ 1}.
d ) A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1, z ≥ 0}.
Problemes addicionals xα y β , on α, β ≥ 0. Estudieu per a quins valors de x2 + y 2 + xy α i β existeix el l´ımit de f (x, y) quan (x, y) → (0, 0).
9. Es considera la funci´o f (x, y) = 10. Estudieu la continu¨ıtat de la funci´o f : R2 → R definida per f (x, y) = 0 (x + y) cos πx cos πy si xy = 0 altrament 11. Estudieu els l´ımits reiterats l´ım l´ım f (x, y), l´ım l´ım f (x, y), i el l´ımit l´ım(x,y)→(0,0) f (x, y), x→0 y→0 y→0 x→0 per a les funcions definides en R2 seg¨ uents: xy si (x, y) = (0, 0), f (0, 0) = 0.
+ 2y 2 y2 b) f (x, y) = 2 si (x, y) = (0, 0), f (0, 0) = 0.
x + y2 1 1 c) f (x, y) = (x + y) sin sin si xy = 0, f (x, y) = 0 en cas contrari.
x y a) f (x, y) = 3x2 12. Considerem l’espai vectorial M2 (R) de les matrius 2 × 2 amb coeficients reals, que identix y fiquem amb R4 : ←→ (x, y, z, t).
z t Problemes del tema 2 7 a) Proveu que les funcions tra¸ca tr: M2 (R) → R i determinant det: M2 (R) → R son cont´ınues.
b) Estudieu si s´on oberts o tancats dins M2 (R) els conjunts de matrius seg¨ uents: 1) Les matrius invertibles.
2) Les matrius de determinant 1.
3) Les matrius de tra¸ca nul.la.
2 c) Generalitzeu les q¨ uestions anteriors a les matrius n × n, Mn (R) ∼ = Rn .
13. Siguin f : Rm → Rn cont´ınua, i A ⊂ Rm . Proveu que f (A) ⊂ f (A).
(Podeu usar la caracteritzaci´ o de la continu¨ıtat en termes de successions.) 14. Sigui A ⊂ Rn un subconjunt amb la propietat seg¨ uent: tota funci´o cont´ınua f : A → R ´es fitada. Proveu que A ´es compacte.
(Si A no ´es compacte, llavors no ´es tancat o no ´es fitat; en ambd´os casos podeu construir una funci´ o cont´ınua no fitada sobre A.) 15. Considereu les funcions R → R definides per f (x) = 0 per a tota x, i g(0) = 1, g(y) = 0 si y = 0. Comproveu que l´ımx→0 f (x) = 0, l´ımy→0 g(y) = 0, per`o l´ımx→0 (g ◦ f )(x) = 1 = 0.
Quina hip`otesi falla i no permet dir que el l´ımit de g ◦ f ´es el l´ımit de g? Respostes 1.
(a) 2.
(b) (1, 0).
(c) No t´e l´ımit.
(d) 0.
(e) 0.
(f) 0.
(g) 3.
(h) 0.
2.
(a) El l´ımit segons la recta y = mx ´es m/(1 + m2 ).
(b) No existeix.
3.
(a) El l´ımit segons la recta y = mx ´es 0.
El l´ımit segons la par` abola y = λx2 ´es λ/(1 + λ2 ).
(b) No existeix.
4. Les tres s´ on cont´ınues arreu. Fora de l’origen no hi ha problema. A l’origen, f i g tenen l´ımit 0, x2 i h t´e l´ımit 1. Per a f , tenim |f (x, y)| = |y| 2 ≤ |y|/4. Per a g, |g(x, y)| ≤ (x2 + y 2 )(x2 + 4x + y 2 y 2 )| ln(x2 + y 2 )|, i l´ımz→0+ z ln z = 0. Amb h passa quelcom semblant.
5. T´e l´ımit en tots els punts del pla excepte en aquells de la forma (0, a), a = 0.
6. Tots s´ on oberts, llevat de E, que no ´es un obert de R2 .
7. Els subconjunts A, B, D s´ on tancats. El subconjunt C no ´es tancat dins R2 .
8. Podem asegurar que hi ha m` axim quan A ´es compacte (nom´es el (b)), i que la imatge ´es un interval quan A ´es arc-connex (ho compleixen tots excepte el (c)).
9. α + β > 2.
´ cont´ınua en tot punt de fora dels eixos, i en els punts (0, 0), 10. Es 11.
(a) Els l´ımits reiterats valen 0, l´ım(x,y)→(0,0) f (x, y) no existeix.
1 k+ 21 , 0 i 0, k+1 1 2 (k ∈ Z).
Problemes del tema 2 (b) Els l´ımits reiterats valen 0 i 1, l´ım(x,y)→(0,0) f (x, y) no existeix.
(c) Els l´ımits reiterats no es poden calcular, l´ım(x,y)→(0,0) f (x, y) val 0.
12.
(a) S´ on funcions polin` omiques.
(b) El primer ´es obert, els altres dos s´on tancats.
15. g no ´es cont´ınua en 0.
8 3.
Derivaci´ o Problemes b` asics 1. Calculeu les derivades parcials i la matriu jacobiana de les funcions seg¨ uents en un punt arbitrari del seu domini: a) c(t) = (cos t, sin t).
b) f (x, y) = (x2 − y, 3x + y 3 , xy).
c) u(x, y) = x2 + y 2 .
x2 − y 2 √ d ) h(x, y, z) = ( 1 − y 2 − z 2 , 1 − z 2 − x2 , e) v(x1 , . . . , xn ) = n i=1 xi + 1 − x2 − y 2 ).
n 2 i=1 xi .
2. Per a les funcions seg¨ uents, estudieu la continu¨ıtat, les derivades direccionals en el (0, 0), i la diferenciabilitat en el (0, 0).
a) f (x, y) = 1 si x > 0 i 0 < y < x2 , f (x, y) = 0 en cas contrari.
b) f (x, y) = x1/3 y 1/3 .
c) f (x, y) = x2 y si (x, y) = (0, 0), f (0, 0) = 0.
x2 + y 2 3. Sigui f (x, y) = (x + a)(y + a) x2 + y 2 , on a ´es una constant. Discutiu, en funci´o de a: a) la continu¨ıtat de f b) l’exist`encia de les derivades parcials de f en (0, 0) c) la diferenciabilitat de f en (0, 0).
4. Obteniu l’aproximaci´o lineal de f (x, y) = (x sin y, y cos x) en els punts (0, 0) i (π/2, π).
5. Considereu la funci´o f (x, y) = log(x + y + 1) + 0x cos t2 dt.
Justifiqueu que ´es de classe C1 , calculeu Df (0, 0), i apliqueu-ho a calcular un valor aproximat de f (0,03, 0,02).
6. Calculeu les derivades direccionals Du f (a) seg¨ uents: a) f (x, y) = x2 − 3y 3 + 5xy, a = (1, −1), b) f (x, y, z) = x + xy + xyz, a = (1, 2, −1), u = (−4, 3).
u = (3, 2, −2).
7. Proveu que la funci´o definida per f (x, y) = (x2 + y 2 ) sin 1 si (x, y) = (0, 0), + y2 x2 f (0, 0) = 0, ´es diferenciable per`o no de classe C1 .
8. Calculeu les derivades parcials D1 F , D2 F de les funcions compostes indicades.
a) F = f ◦ g, amb f (x, y, z) = x2 y + y 2 z − xyz, g(u, v) = (u + v, u − v, u).
x+y , g(u, v) = (tg u, tg v).
b) F = f ◦ g, amb f (x, y) = 1 − xy 9. Sigui f : R3 → R3 diferenciable, i definim g(x, y, z) = f (3x − y + 2z, x + y − 2z, 2x + 5y − z).
Raoneu que g ´es diferenciable i calculeu la seva matriu jacobiana en el punt (1, 1, 3).
10. Sigui f : R → R diferenciable. Proveu que la funci´o ϕ(x, y) = f (2x + 3y), definida en R2 , ∂ϕ ∂ϕ satisf`a l’equaci´o en derivades parcials 3 −2 = 0.
∂x ∂y Problemes del tema 3 10 xy 2 2 2 11. Sigui f (x, y) =  x +y 0   si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0) a) Trobeu-ne les derivades parcials a l’origen.
b) Sigui γ(t) = (at, bt). Proveu que f ◦ γ ´es diferenciable a l’origen i que (f ◦ γ) (0) = ab2 , per`o que aquest resultat no es pot obtenir aplicant la regla de la cadena. Per a2 + b2 qu`e? 12. Calculeu les derivades parcials segones de les funcions seg¨ uents: a) f (x, y) = sin x + 1 .
y b) g(x, y) = xy .
c) h(x, y) = x sin xy + y cos xy.
d ) k(x, y) = x2 + y 2 .
13. Siguin f, g: R → R funcions dues vegades diferenciables, c > 0 una constant. Proveu que 1 ∂2ϕ ∂2ϕ = 0.
la funci´o ϕ(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct) satisf`a l’equaci´o de les ones, 2 2 − c ∂t ∂x2 x2 − y 2 si (x, y) = (0, 0) 14. Considereu la funci´o f (x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0) Comproveu que ´es de classe C1 , que les derivades parcials segones existeixen en tot punt, per`o que les derivades parcials creuades en (0, 0) s´on diferents. La funci´o ´es de classe C2 ´ de classe C∞ en R2 − {(0, 0)}? en R2 ? Es   xy ´ una funci´o C1 , C2 , . . . ? 15. Considereu la funci´o f (x, y) = xy x2 + y 2 . Es   xy 2 sin 1 16. Sigui la funci´o f (x, y) = y  si y = 0 0 si y = 0 Determineu el domini d’exist`encia i de continu¨ıtat de les funcions f , Di f , Di Dj f .
17. Considereu la funci´o f : R2 → R2 donada per f (x, y) = (ex cos y, ex sin y).
a) Proveu que f admet una inversa local en cada punt del seu domini.
b) Obteniu les imatges per f de les rectes x = constant i y = constant.
c) Proveu que la imatge de f ´es R2 − {(0, 0)}, que f : R × [0, 2π[ → R2 − {(0, 0)} ´es bijectiva, i que f : R × ]0, 2π[ → R2 − {(u, 0) | u ≥ 0} ´es un difeomorfisme.
(Recordeu que l’aplicaci´ o t → (cos t, sin t) ´es una bijecci´o entre [0, 2π[ i la circumfer`encia unitat.) d ) Calculeu Df −1 (0, 1).
18. Considereu la funci´o g(x, y, z) = (u, v, w) = (x + y + z 2 , x − y + z, 2x + y − z).
a) Demostreu que, en un ve¨ınat del punt (1, −1, 2), aquesta funci´o admet inversa local.
b) Aplicant el teorema de la funci´o inversa, calculeu Dg −1 (4, 4, −1), explicant com s’ha d’interpretar aquest enunciat.
c) Trobeu expl´ıcitament g −1 (u, v, w), i utilitzeu-ho per a calcular directament Dg −1 (4, 4, −1).
Problemes del tema 3 11 z 19. Per a cada valor de µ ∈ R considerem la funci´o fµ (x, y, z) = x2 − y 2 − z, y cos x − , µx .
2 Per a quins valors de µ es pot assegurar que fµ t´e inversa local diferenciable en un ve¨ınat de l’origen? 20. Sigui f : V → R de classe C2 , on V ⊂ R2 obert, una funci´o expressada en coordenades cartesianes. Sigui f¯ l’expressi´o de f en coordenades polars: f¯ = f ◦c, on c(r, φ) = (r cos φ, r sin φ).
a) Obteniu les relacions entre les derivades parcials primeres en els dos sistemes de coordenades: ∂ f¯ r = ∂r ∂f ∂x = ∂f ∂f x+ y ∂x ∂y ∂ f¯ = ∂φ ∂f ∂f x− y ∂y ∂x ∂ f¯ ∂ f¯ sin φ cos φ − ∂r ∂φ r ∂f ∂y ∂ f¯ ∂ f¯ cos φ sin φ + ∂r ∂φ r = b) An`alogament, expresseu les derivades parcials segones de f en termes de les derivades ∂2f ∂2f parcials de f¯, i expresseu el laplaci`a de f , ∆f = + , en coordenades polars: ∂x2 ∂y 2 ∂2f ∂ 2 f¯ 1 ∂ 2 f¯ 1 ∂ f¯ ∂2f + 2 = + 2 2+ .
2 2 ∂x ∂y ∂r r ∂φ r ∂r 21. Considereu el sistema x − 2y − z = 0 del qual observeu que (x, y, z, t) = (1, 1, −1, −1) x + yt = 0 ´es soluci´o. Es demana: a) Pot aplicar-se el teorema de la funci´o impl´ıcita per a afirmar que, en un ve¨ınat del punt donat, poden expressar-se z, t com a funcions de x, y? ∂z ∂z ∂t ∂t b) Calculeu , , , en el punt (1, 1): ∂x ∂y ∂x ∂y c) En aquest exemple ´es possible trobar z, t en forma expl´ıcita en termes de x, y. Feu-ho i comproveu (b).
22. Considereu l’equaci´o z + sin(z − 1) − x2 y 2 = 0. Proveu que, en un ve¨ınat del punt (1, 1, 1), defineix impl´ıcitament z com a funci´o z = Z(x, y), i calculeu les derivades parcials primeres i segones de Z en el punt (1, 1).
Problemes addicionals 23. Sigui µ: R × R → R donada per µ(x, y) = xy. Proveu que Dµ(a, b) · (h, k) = ak + hb directament a partir de la condici´o de tang`encia.
24. Considereu la funci´o definida per f (x, y) = ´ cont´ınua? a) Es x|y| si (x, y) = (0, 0), f (0, 0) = 0.
x2 + y 2 b) Calculeu-ne les derivades direccionals en (0, 0).
´ f diferenciable en (0, 0)? c) Es xy 2 /(x2 + y 4 ) si (x, y) = (0, 0) no ´es cont´ınua en 0 altrament el punt (0, 0), per`o hi existeixen totes les derivades direccionals. Calculeu-les.
25. Comproveu que la funci´o f (x, y) = Problemes del tema 3 12 26. Per a les funcions seg¨ uents, estudieu l’exist`encia i continu¨ıtat de les derivades parcials, aix´ı com la diferenciabilitat: 2xy si (x, y) = (0, 0); f (0, 0) = 0.
x2 + y 2 xy b) h(x, y) = si (x, y) = (0, 0); h(0, 0) = 0.
x2 + y 2 π si x + y = 0; u(x, y) = 0 si x + y = 0.
c) u(x, y) = (x2 + y 2 ) sin x+y a) f (x, y) = 27. Usant una funci´o adequada calculeu aproximadament 3 + e−0,1 cos 0,05 + 5 sin 0,05.
28. Calculeu les derivades direccionals Du f (a), on u ´es el normalitzat del vector v que indica la direcci´o, en els casos seg¨ uents: a) f (x, y) = ln x2 + y 2 , |xy| b) f (x, y, z) = x2 − yz , x+y+z a = (12, −5), a = (1, −1, 1), v = (7, −24).
v = (−3, 5, 1).
29. Considereu les funcions f (x, y, z) = xyz i g(t) = (2 + t, 1 − t, 1 + t). Calculeu (f ◦ g) (0) de dues maneres diferents.
30. Donades f (x, y) = (ex , x + y) i g(u, v) = (u − v, cos uv, u − v), calculeu la diferencial de g ◦ f en (0, 0) de dues formes diferents.
31. Trobeu les funcions de la forma f (x, y) = h(x)k(y) (es diu que f ´es de variables separades) tals que ∂ f /∂x = ∂ f /∂y.
32. Sigui U ⊂ Rn un obert “c`onic”, ´es a dir, que compleix la propietat seg¨ uent: si x ∈ U , llavors λx ∈ U , per a tota λ > 0. Una funci´o f : U → R es diu homog`enia de grau p ∈ R si, per a tot λ > 0 i tot x ∈ U , es compleix f (λx) = λp f (x). Proveu l’anomenat teorema d’Euler : una funci´o f de classe C1 ´es homog`enia de grau p sii satisf`a la igualtat Df (x) · x = p f (x).
(Indicaci´ o: Per a la implicaci´ o directa, fixada x les funcions (de λ) f (λx) i λp f (x) s´on id`entiques; derivant-les en λ = 1 obtenim la igualtat desitjada. Per a la implicaci´o rec´ıproca, fixada x proveu p que la funci´ o g(λ) = f (λx) − λp f (x) satisf`a l’equaci´o diferencial lineal g = g amb condici´o inicial λ g(1) = 0, i per tant ´es nul.la.) Comproveu aquest resultat per a les funcions seg¨ uents: a) f (x, y) = xy 2 − x3 + 2x2 y.
b) g(x, y, z) = c) h(x, y) = d ) k(x, y) = x3 + y 3 + z 3 .
x .
2 x + y2 y/x.
33. Donada una funci´o f : U → R (U ⊂ Rn obert) de classe C2 , es defineix el laplaci`a de f ∂2f ∂2f per ∆f = + . . . + 2 . Direm que f ´es harm` onica quan ∆f = 0 (equaci´ o de Laplace).
2 ∂xn ∂x1 Mireu si s´on harm`oniques les funcions: a) f (x, y) = ex (x cos y − y sin y).
b) g(x, y) = xy(x2 − y 2 ).
c) h(x, y, z) = −1/r, amb r = x2 + y 2 + z 2 .
Problemes del tema 3 13 34. Donades g i h funcions de classe C2 , comproveu que la funci´o f (x, y) = x g y −y +y h x x satisf`a l’equaci´o x2 fxx + 2xyfxy + y 2 fyy = 0.
35. Calculeu les derivades parcials segones a l’origen de la funci´o f (x, y) =   0 y x 2  x arc tg − y arc tg x y 2 si xy = 0 si xy = 0 36. Estudieu en quins punts tenen inversa local diferenciable les funcions seg¨ uents: a) f (x, y) = (x2 y, x − y 2 ).
b) g(x, y) = (ex + ey , e2x + e2y ).
√ √ √ c) h(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x).
d ) k(x, y, z) = (x + y + z, x2 + y 2 + z 2 , x3 + y 3 + z 3 ).
37. Donades les funcions f (x, y) = ln(1 + xy) i g(t) = (et , cosh t): a) Determineu el domini i la imatge d’aquestes dues funcions. Estudieu tamb´e si s´ on diferenciables amb continu¨ıtat en el seu domini.
b) Fent servir l’aproximaci´o lineal, calculeu un valor aproximat de f (0,07, 1,05).
c) Determineu si la funci´o f ◦ g ´es localment invertible al voltant de l’origen. En cas afirmatiu, calculeu, si existeix, la derivada de (f ◦ g)−1 en el punt imatge de l’origen per f ◦ g.
d ) Trobeu els punts (x, y) ∈ Domf tals que el jacobi`a de g ◦ f en (x, y) ´es zero.
38. Considereu l’aplicaci´o ϕ: W = ]0, ∞[ × ]0, ∞[ → R2 definida per (x, y) = ϕ(u, v) := (u1/2 v −1/2 , u1/2 v 1/2 ).
a) Proveu que defineix un difeomorfisme de W en W . Doneu el seu invers, (u, v) = ϕ−1 (x, y).
∂z ∂z b) Donada una funci´o z = f (x, y), transformeu l’expressi´o x +y en termes de u, v.
∂x ∂y ∂z ∂z c) Apliqueu-ho a trobar les funcions z(x, y) tals que x +y = 2.
∂x ∂y  2 2 2   y − 2z − u − v = 0 xy − u3 − v = 0 del qual (x, y, z, u, v) = (3, 3, 2, 2, 1) ´es z − uv = 0 soluci´o. Proveu que, en un ve¨ınat d’aquest punt, es poden a¨ıllar (x, y, z) com a funcions de (u, v), i calculeu la jacobiana d’aquestes en el punt (2, 1).
39. Considereu el sistema   40. Sigui F : R3 → R, de classe C1 , tal que en tot punt ∂F ∂F ∂F = 0, = 0, = 0.
∂x ∂y ∂z a) Raoneu que pot expressar-se x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y), en un ve¨ınat de qualsevol punt (x, y, z) tal que F (x, y, z) = 0.
∂y ∂z ∂x b) Proveu que, amb les notacions anteriors, = −1.
∂x ∂y ∂z Problemes del tema 3 14 Respostes 2.
(a) La derivada direccional val 0 en qualsevol direcci´o, per`o com que la funci´o no ´es cont´ınua en (0, 0) no hi ´es diferenciable.
´ cont´ınua arreu, la derivada direccional nom´es existeix en les direccions dels eixos (i val 0), (b) Es i per tant no ´es diferenciable.
2 ´ cont´ınua arreu, la derivada direccional segons el vector (h, k) ´es h k , i per tant no ´es (c) Es 2 h + k2 diferenciable.
´ cont´ınua per a tota a.
3. (a) Es (b) Nom´es existeixen si a = 0.
(c) Nom´es per a a = 0.
4.
x sin y y cos x = 0 y + o (x, y) , x sin y y cos x = −π(y − π)/2 −π(x − π/2) + o (x − π/2, y − π) .
5. Df (0, 0) = (2, 1). Valor aproximat 0,08 (valor real: 0,07879016 . . .).
6.
(a) 0.
(b) −1.
∂F ∂F = 3u2 + v 2 − 2uv, = −u2 − 3v 2 + 2uv.
8. (a) ∂u ∂v ∂F ∂F 1 (b) = = .
∂u ∂v cos2 (u + v) 9. Observeu que g = f ◦ ϕ,  amb ϕ lineal, per  tant g ´es diferenciable.
3 −1 2 1 −2 .
Jg(1, 1, 3) = Jf (8, −4, 4)  1 2 5 −1 11. (a) D1 f (0, 0) = 0, D2 f (0, 0) = 0.
(b) (f ◦ g)(t) = ab2 t. La regla de la cadena no es pot aplicar perqu`e f no ´es diferenciable en a2 + b2 (0, 0).
12.
(a) Dxx f = − sin x + 1 .
y 1 1 sin x + .
y2 y 2 1 1 1 − 4 sin x + .
Dyy f = 3 cos x + y y y y Dxy f = Dyx f = (b) Dxx g = y(y − 1)xy−2 .
Dxy g = Dyx g = xy−1 + yxy−1 log x.
Dyy g = xy log2 x.
(c) Dxx h = y(2 − y 2 ) cos xy − xy 2 sin xy.
Dxy h = Dyx h = x(2 − y 2 ) cos xy − y(x2 + 2) sin xy.
Dyy h = −x2 y cos xy − x(x2 + 2) sin xy.
(d) Dxx k = y 2 (x2 + y 2 )−3/2 .
Dxy k = Dyx k = −xy(x2 + y 2 )−3/2 .
Dyy k = x2 (x2 + y 2 )−3/2 .
14. D2 (D1 f )(0, 0) = −1, D1 (D2 f )(0, 0) = +1. La funci´o no ´es de classe C2 en R2 , ja que si ho fos tindria ´ de classe C∞ en R2 − {0} perqu`e ´es una funci´o racional.
les derivades parcials creuades iguals. Es ´ C2 per` 15. Es o no C3 .
16. f ´es cont´ınua en R2 . Les derivades parcials primeres estan definides en R2 , D1 f ´es cont´ınua arreu, i D2 f en tot punt excepte els (a, 0), a = 0. Quant a les derivades parcials segones, tenim D1 D1 f = 0; D1 D2 f = D2 D1 f , definides en R2 per`o no cont´ınues sobre l’eix d’abscisses; i D2 D2 f definida en R2 − {(a, 0) ∈ R2 | a = 0}, i cont´ınua en aquest domini excepte en el punt (0, 0).
Problemes del tema 3 17.
15 (a) Observeu que f ´es C∞ , i Jf (x, y) = e2x = 0 en tot punt.
(b) S´ on circumfer`encies i semirectes, respectivament.
0 1 .
−1 0 1 (a) g ´es C , i det Jg(1, −1, 2) = 15 = 0.
(d) Df −1 (0, 1) = 18.
(b) L’equaci´ o g(x, y, z) = (4, 4, −1) t´e dues solucions: (1, −1, 2) i (1, −6, −3). Al voltant d’aquests dos punts g admet inversa local diferenciable, i g −1 denota qualsevol de les respectives inverses (per` o cal especificar quina). Per a la primera Jg −1 (4, 4, −1) = Jg(1, −1, 2)−1 =   0 1/3 1/3  1/5 −3/5 1/5 , i an`alogament per a la segona.
1/5 1/15 −2/15 (c) Com en l’anterior cal especificar quina de les inverses considerem.
1 1 1 4 8 2 1 1 1 1 v + w, − ± 1 + 4u + v − w − v + w, − ± g −1 (u, v, w) = 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 4 8 1 + 4u + v − w .
3 3 19. Per a tot µ = 0.
21.
(a) S´ı.
∂z ∂t ∂z ∂z = 1, = −2, = −1, = 1, en el punt (1, 1).
(b) ∂x ∂y ∂x ∂y 22. D1 Z(1, 1) = D2 Z(1, 1) = 1, D21 Z(1, 1) = D22 Z(1, 1) = 1, D1 D2 Z(1, 1) = 2.
23. µ(a + h, b + k) = ab + ak + hb + hk = µ(a, b) + Dµ(a, b) · (h, k) + o( (h, k) ).
24.
(a) S´ı.
(b) La derivada direccional segons el vector (h, k) ´es √ h|k| .
h2 + k 2 (c) No.
25. D(a,b) f (0, 0) val b2 /a si a = 0, i 0 si a = 0.
26.
(a) Les derivades parcials de f a l’origen s´on 0 p`ero la funci´o no hi ´es diferenciable ja que no hi ´es cont´ınua. A la resta dels punts s´ı que ho ´es i ∂f 2y(y 2 − x2 ) = , ∂x (x2 + y 2 )2 ∂f 2x(x2 − y 2 ) = .
∂y (x2 + y 2 )2 (b) Les derivades parcials de h a l’origen s´on 0, p`ero la funci´o no hi ´es diferenciable (encara que s´ı cont´ınua) ja que no es compleix la condici´o de tang`encia. A la resta dels punts la funci´o ´es diferenciable, i tenim ∂h y3 = 2 , ∂x (x + y 2 )3/2 ∂h x3 = 2 .
∂y (x + y 2 )3/2 (c) Sobre la recta x + y = 0 les derivades parcials nom´es existeixen a l’origen, i la funci´o hi ´es diferenciable.
√ 27. Prenem, per exemple, f (x, y) = 3 + ex cos y + 5 sin y, el punt (0, 0), i el vector (−0,1, 0,05). Llavors f (0, 0) = 2, Df (0, 0) = (0,25, 1,25), i el valor aproximat ´es 2,0375 (valor real: 2,03803887 . . .).
28.
(a) −42347/253500 = −0 167 . . .
√ (b) −16/ 35.
29. (f ◦ g) (0) = 1.
  0 −1 30. D(g ◦ f )(0, 0) =  0 0 .
0 −1 Problemes del tema 3 16 31. f (x, y) = Aea(x+y) , on A i a s´ on constants.
33. S´on harm` oniques les tres.
y y y 2y 2 y3 y2 − g + h + h .
3 3 4 x x x x x x y y y y 2y y fxy = fyx = − 2 g − − 2 h − 3 h .
x x x x x x y 1 y 2 y y fyy = g − + h + 2 h .
x x x x x x 35. D1 D2 f (0, 0) = 1, D2 D1 f (0, 0) = −1, D1 D1 f (0, 0) = D2 D2 f (0, 0) = 0.
34. fxx = 36.
(a) On x(x + 4y 2 ) = 0.
(b) On x = y.
(c) En tot punt.
(d) En els punts on les tres coordenades s´on diferents.
37.
(a) Dom f = {(x, y) ∈ R2 | xy > −1}. Im f = R.
x2 + 1 Dom g = R. Im g = (x, y) | x > 0, y = .
2x (b) Prenent per exemple el punt (0, 1), llavors un valor aproximat ´es 0,07.
(c) S´ı que hi ´es localment invertible; D(f ◦ g)−1 (f ◦ g)(0) = 2.
(d) En tot (x, y) ∈ Dom f .
38.
(a) u = xy, v = y/x.
∂z (b) 2u .
∂u (c) S’obtenen les funcions f (x, y) = log(xy) + g y , amb g una funci´o diferenciable arbitr`aria.
x  3 −2/3 1  39.  1 1 2 ∂z ∂ F/∂y ∂ x ∂ F/∂z ∂ y ∂ F/∂x 40. (b) =− , =− , =− .
∂y ∂ F/∂z ∂z ∂ F/∂x ∂x ∂ F/∂y  4.
Aplicacions geom` etriques de la derivaci´ o Problemes b` asics 1. Calculeu els vectors tangents γ (to ) indicats.
a) Vector tangent de γ(t) = (t2 , t3 ) a to = 1.
b) Vectors tangents de γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), a to = 0 i a to = π.
c) Vector tangent de γ(t) = (et , e−t , cos t) a to = 0.
2. Sigui σ: R → R2 un cam´ı diferenciable tal que σ(0) = (0, 0) i σ(0) ˙ = (1, 0). Sigui f : R2 → R2 donada per f (x, y) = (x + y + 1, 2x − y). Calculeu el vector tangent al cam´ı f ◦ σ en l’instant 0.
3. Considereu f (x, y) = (ex+y , ex−y ) i sigui σ un cam´ı diferenciable en R2 tal que σ(0) = (0, 0) i σ (0) = (1, 1). Sigui γ el cam´ı transformat de σ per f (γ = f ◦σ). Trobeu el vector tangent a γ en t = 0 .
4. Sigui σ: I → Rn un cam´ı diferenciable tal que σ(t) ´es constant (´es a dir, ´es dins una superf´ıcie esf`erica amb centre l’origen). Proveu que els vectors posici´o σ(t) i velocitat σ (t) s´on ortogonals en cada instant. (Partiu de σ(t) · σ(t) = a2 (constant) i deriveu.) ´ cert el rec´ıproc? Es 5. Calculeu el gradient de f (x, y) = sin punts.
x2 + y 2 , i representeu-lo gr`aficament en diversos 6. Essent r(x) = x la norma euclidiana de x ∈ Rn , calculeu el gradient de les funcions r i rα (α ∈ R).
7. La temperatura d’un punt del pla ve donada per T (x, y) = 10 + 6 cos x cos y + 3 cos 2x + 4 cos 3y. Trobeu la direcci´o de m`axim increment de la temperatura, la de m`axima disminuci´o i la de no variaci´o, en el punt P = (π/3, π/3).
8. Siguin f, g: R3 → R funcions diferenciables i p ∈ R3 , tals que els gradients de f i g en p s´on ortogonals i que f (p) = 2 i g(p) = 3. Si les m`aximes derivades direccionals (segons un vector unitari) de f i g en p s´on, respectivament, 5 i 4, quina ´es la m`axima derivada direccional del producte f g en p? 9. Trobeu l’equaci´o del pla tangent a les superf´ıcies definides per les funcions seg¨ uents, en els punts que s’indiquen.
a) z = x2 + 2y 2 , b) z = xy, c) z = p = (1, 2, 9).
p = (3, −1, −3).
a2 − x2 − y 2 , p = (r cos φ, r sin φ, a2 − r2 ) (0 < r < a).
10. En els enunciats seg¨ uents, digueu si l’equaci´o donada defineix una superf´ıcie regular, i obtingueu-ne l’equaci´o del pla tangent en el punt indicat.
a) x2 + y 2 − z 2 = 18, 3 b) 2y − z − 3xz = 0, 2/3 c) x +y 2/3 +z 2/3 p = (3, 5, −4).
p = (1, 7, 2).
= 6, p = (−1, 8, 1).
11. En els enunciats seg¨ uents, doneu els vectors tangents de la parametritzaci´o, estudieu si aquesta ´es regular, i calculeu el pla tangent de la superf´ıcie que defineix en el punt indicat.
Problemes del tema 4 18 a) g(u, v) = (u2 − v, u + v, uv), p = g(1, 2).
b) g(φ, θ) = (R cos φ cos θ, R sin φ cos θ, R sin θ), c) g(r, φ) = (r cos φ, r sin φ, r), d ) g(u, v) = p = g(φo , θo ).
p = g(ro , π/4).
(u cosh v, u sinh v, u2 ), p = g(1, 0).
12. En els enunciats seg¨ uents, digueu si l’equaci´o donada defineix una corba regular en el pla, i obtingueu-ne l’equaci´o de les rectes tangent i normal en el punt indicat.
a) xy + 2 log x + 3 log y = 1, punt (1, 1).
b) x3 − yx2 + y 2 − xy = 0, punt (2, 2).
13. En els enunciats seg¨ uents, estudieu si la parametritzaci´o donada ´es regular, i calculeu la recta tangent de la corba que defineix en el punt indicat.
a) γ: ]0, +∞[ → R2 , γ(t) = (t cos 2πt, t sin 2πt), punt γ(1).
b) Γ: ]0, +∞[ → R3 , Γ(t) = (t, t cos 2πt, t sin 2πt), punt Γ(2).
c) γ: R → R3 , γ(t) = (a sin2 t, a sin t cos t, a cos t) (a > 0 constant), punt γ(to ).
Proveu tamb´e que tots els seus plans normals passen per l’origen.
14. En els enunciats seg¨ uents, digueu si el parell d’equacions donat defineix una corba regular en l’espai, i obtingueu-ne l’equaci´o de la recta tangent en el punt indicat.
a) b) c) x+y+z =3 x2 − y 2 + 2z 2 = 2 punt p = (1, 1, 1).
x2 − y 2 − z = 0 z punt (0, 0, 0).
y cos x − = 0 2 x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1 punt (0, 0, 0).
(x − 1)2 + y 2 + z 2 = 1 15. Sigui C ⊂ R2 la corba plana definida per F (x, y) = x2 /4 − y 2 + y 4 = 0.
a) Proveu que ´es una corba regular en tot punt excepte, potser, el (0, 0).
b) Considereu el cam´ı γ: R → R2 , γ(t) = (sin 2t, sin t). Proveu que est`a contingut dins C.
c) Calculeu els vectors tangents de γ a t = 0 i a t = π, i representeu-los gr`aficament.
d ) Conclogueu que C no ´es una corba regular en el (0, 0).
e) Proveu que tanmateix γ|]0,2π[ ´es una parametritzaci´o injectiva i regular de C.
(Heu de comprovar tres coses: primer, γ (t) = 0 sempre; segon, γ ´es injectiva sobre ]0, 2π[; i tercer (m´es dif´ıcil), donat (x, y) ∈ C cal trobar una t ∈ ]0, 2π[ tal que γ(t) = (x, y).) 16. En cadascun dels apartats seg¨ uents es donen dues expressions de corbes o superf´ıcies en forma param`etrica, impl´ıcita o expl´ıcita. Esbrineu quina relaci´o hi ha entre elles.
a) γ(t) = (1 + cos 2t, sin 2t), G(x, y) = x2 + y 2 − 2x = 0.
b) α(u) = (sin2 u, 2 cos u), u ∈ [0, π/2], β(v) = (1 − v 2 , 2v), v ∈ [0, 1].
c) c(t) = (t, t2 ), F (x, y) = x3 − yx2 + y 2 − xy = 0.
d ) g(ρ, φ) = (ρ cos φ, ρ sin φ, ρ), F (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 = 0.
Problemes del tema 4 19 e) g(u, v) = (u cosh v, u sinh v, u2 ), z = f (x, y) = x2 − y 2 .
17. Sigui C una corba continguda en el semipl`a H = {(x, y, z) ∈ R3 | x > 0, y = 0}. S’anomena superf´ıcie de revoluci´ o el conjunt obtingut fent girar C al voltant de l’eix OZ.
De manera m´es precisa, si denotem per Rφ : R3 → R3 la rotaci´o d’eix OZ i angle φ, Rφ (x, y, z) = (x cos φ−y sin φ, x sin φ+y cos φ, z), la superf´ıcie descrita ´es S = ∪φ∈[0,2π[ Rφ (C).
La corba C s’anomena generatriu de S, els conjunts Rφ (C) (amb φ ∈ [0, 2π[) s’anomenen meridians, i les circumfer`encies ∪φ∈[0,2π[ Rφ (p) (amb p ∈ C) paral.lels.
a) Si C est`a descrita param`etricament per f (t) = (a(t), 0, c(t)), obtingueu una parametritzaci´ o g(φ, t) de S.
Proveu que si f ´es regular tamb´e ho ´es g.
b) Si C est`a descrita impl´ıcitament per F (x, z) = 0, obtingueu una descripci´o impl´ıcita G(x, y, z) = 0 de S.
Proveu que si JF no s’anul.la en C, llavors JG no s’anul.la en S.
c) Doneu exemples de superf´ıcies de revoluci´o.
d ) El tor ´es la superf´ıcie de revoluci´o obtinguda fent girar una circumfer`encia (x − R)2 + z 2 = r2 al voltant de l’eix OZ, essent R > r > 0 dues constants. Obteniu-ne una descripci´o impl´ıcita i, a partir de la parametritzaci´o habitual de la circumfer`encia mitjan¸cant l’angle, una descripci´o param`etrica.
e) Calculeu la recta normal a una superf´ıcie de revoluci´o S en un punt qualsevol (xo , yo , zo ), tant si S est`a descrita segons l’apartat (a) com el (b).
f ) Proveu que, en general, la recta normal passa per l’eix de revoluci´o.
Problemes addicionals 18. Siguin c: I → Rn un cam´ı de classe C2 .
a) Proveu que si c ´es contingut dins una recta, llavors c (t) i c (t) s´on linealment dependents per a cada t.
(Si c ´es dins la recta que passa per p amb vector director u, llavors c(t) = p + λ(t)u.) Proveu l’enunciat rec´ıproc suposant que el vector c no s’anul.la mai.
b) An`alogament, proveu que si c ´es contingut dins un pla, llavors c (t), c (t) i c (t) s´ on linealment dependents per a cada t.
19. Sigui h = h1 e1 + h2 e2 + h3 e3 = 0 un vector de l’espai ordinari R3 . Anomenem pendent de h el nombre h3 / h21 + h22 (±∞ si el vector ´es vertical).
Si γ ´es un cam´ı diferenciable tal que γ (t) = 0, anomenem pendent de γ el pendent del seu vector tangent.
a) Sigui f : U → R una funci´o diferenciable de dues variables, p ∈ U un punt, i u = (u1 , u2 ) ∈ R2 un vector unitari. Proveu que el pendent del cam´ı γ(t) = (tu1 , tu2 , f (p+ tu)) a l’instant t = 0 ´es f (p; u).
b) Proveu que l’h`elix γ(t) = (cos ωt, sin ωt, at) t´e pendent constant.
20. Sigui R(t) una matriu 3 × 3 ortogonal (o sigui, R R = I), i suposem que R(0) = I.
a) Proveu que el seu vector tangent A = R (0) ´es una matriu antisim`etrica.
  cos ωt − sin ωt 0   cos ωt 0  b) Comproveu-ho en el cas de R(t) =  sin ωt 0 0 1 Problemes del tema 4 20 21. Sigui A ∈ Mn (R) una matriu sim`etrica, i f : Rn → R la forma quadr`atica corresponent, f (x) = i,j Aij xi xj . Calculeu el gradient de f .
22. Essent c > 0 una constant fixada, proveu que els plans tangents a la superf´ıcie xyz = c determinen amb els plans coordenats tetr`aedres de volum constant.
23. Suposeu que l’equaci´o F (x, y, z) = 0 determina una funci´o y = f (x, z), la qual defineix una superf´ıcie de R3 que podem parametritzar amb les variables (x, z). Expresseu el producte vectorial fonamental d’aquesta parametritzaci´o en termes de F .
24. Determineu f (u) per tal que la superf´ıcie parametritzada r(u, v) = (f (u), v, p−u−v) tingui com a producte vectorial fonamental el vector (1, 1, 1). De quina superf´ıcie es tracta? 25. Sigui la funci´o f (x, y) = 2ax + 2bxy + 4cy 2 amb a, b, c ∈ R. Determineu els valors dels coeficients a, b, c de manera que se satisfacin simult`aniament les dues condicions seg¨ uents: a) La gr`afica de f en el punt (1, 1, f (1, 1)) t´e el pla tangent normal al vector (1, 0, −1).
b) La derivada direccional de f en (1, −1) ´es nul.la en la direcci´o del vector (1, 0).
26. Trobeu, sobre la superf´ıcie d’equaci´o z = a2 x2 + b2 y 2 , la corba de m`axim pendent que passa per (1/a, 1/b, 2).
(Indicaci´ o: la projecci´ o (x(t), y(t)) de la corba ha d’´esser tangent al gradient en cada punt.)  −1/t2 , e−1/t2 ) t < 0   (−e (0, 0) t=0 2 2 −1/t −1/t (e ,e ) t>0 i injectiu, per`o que la seva imatge (dibuixeu-la!) no ´es una corba regular.
27. Considereu el cam´ı γ(t) =   Proveu que ´es C∞ 28. Considereu la funci´o f : R2 → R2 donada per f (x, y) = (ex cos y, ex sin y).
a) Sigui g: R2 → R una funci´o diferenciable. Si el pla tangent a la gr`afica de g en el punt (1, 0, 1) t´e equaci´o 2x + y − z = 1, trobeu l’equaci´o del pla tangent a la gr` afica de g ◦ f en el punt (0, 0, 1).
b) Siguin f1 , f2 les funcions components de f . Proveu que les corbes de nivell f1 (x, y) = 1, f2 (x, y) = 0 es tallen formant un angle recte.
29. Considereu les corbes planes definides per les parametritzacions α(t) = (−t, t2 ) i β(t) = (t2 , t). Trobeu els punts en qu`e es tallen, i amb quin angle ho fan.
30. Sigui a > 0 una constant, i C ⊂ R2 la corba definida per x3 + y 3 = 3axy.
3at 3at2 Sigui γ: R − {−1} → R2 la corba parametritzada definida per γ(t) = .
, 1 + t3 1 + t3 a) Estudieu si C ´es una corba regular del pla.
b) Estudieu si γ ´es una corba parametritzada regular.
c) Calculeu el vector tangent de γ a t = 0.
d ) Calculeu l´ım γ(t), i demostreu que el pendent del vector tangent γ (t), quan t → t→+∞ +∞, tendeix a ∞.
e) Comproveu que γ pren valors dins C, i que de fet γ: R − {−1} → C ´es bijectiva.
(Indicaci´ o: la inversa de γ ´es π(x, y) = y/x si (x, y) = (0, 0), π(0, 0) = 0.) f ) Combinant els resultats anteriors en un dibuix, justifiqueu que C no ´es una corba regular.
Problemes del tema 4 21 31. D’acord amb el problema 17, si la generatriu d’una superf´ıcie de revoluci´o S al voltant de l’eix OZ ´es parametritzada per γ(t) = (a(t), 0, c(t)), S ´es parametritzada per g(t, φ) = (a(t) cos φ, a(t) sin φ, c(t)). Sigui L ⊂ S una corba descrita, en l’espai de par`ametres, per φ = f (t). Trobeu l’angle α que formen, en un punt g(to , φo ), la corba L i el meridi`a φ = φo .
32. Sigui U ⊂ Rn un obert. Un camp vectorial en U definit per una aplicaci´o f : U → Rn es diu tangent a una corba, superf´ıcie, . . . , M ⊂ U si en cada punt p ∈ M el vector f (p) ´es tangent a M en p.
Estudieu si els camps vectorials de R3 definits per f (x, y, z) = (−y, x, 0) g(x, y, z) = (x, y, z) h(x, y, z) = (y, x, z) s´on tangents en algun punt a l’esfera x2 + y 2 + z 2 = 1.
Respostes 1.
(a) Vector (2, 3) sobre el punt (1, 1).
(b) Vector (0, 0) sobre el punt (0, 0); vector (2, 0) sobre el punt (π, 2); (c) Vector (1, −1, 0) sobre el punt (1, 1, 1).
2. Vector (1, 2) sobre el punt (1, 0).
3. Vector (2, 0) sobre el punt (1, 1).
6. Si r(x) = (x), grad r = r/r i grad rα = αrα−2 r.
7. M`axim augment en la direcci´ o indicada per (−3, −1), m`axima disminuci´o en la direci´o oposada, i no variaci´ o en la direcci´ o indicada per ±(1, −3).
8. 17.
9.
(a) 2x + 8y − z = 9.
(b) x − 3y + z = 3.
√ (c) xr cos φ + yr sin φ + z a2 − r2 = a2 .
10.
(a) Regular en tot punt. Pla tangent 3x + 5y + 4z = 18.
(b) Regular en tot punt. Pla tangent 6x − 2y + 15z = 22.
(c) Regular en tot punt, excepte en la intersecci´o amb els plans coordenats. Pla tangent −2x + y + 2z = 12.
11.
(a) Parametritzaci´ o regular excepte en (−1/2, −1/2). Pla tangent x + 4y − 3z = 5.
(b) Parametritzaci´ o regular excepte on cos θ = 0. Pla tangent cos φo cos θo x + sin φo cos θo y + sin θo z = R.
√ (c) Parametritzaci´ o regular excepte on r = 0. Pla tangent x + y − 2z = 0.
(d) Parametritzaci´ o regular excepte on u = 0. Pla tangent 2x − z − 1 = 0.
12.
(a) Regular en tot punt. Recta tangent: (1, 1) + λ (−4, 3). Recta normal: (1, 1) + λ (3, 4).
(b) Regular en tot punt excepte potser (0, 0) i (1, 1). Recta tangent: (2, 2)+λ (1, 1). Recta normal: (2, 2) + λ (1, −1) 13.
(a) Regular en tot punt. Recta tangent: (1, 0) + λ (1, 2π).
(b) Regular en tot punt. Recta tangent: (2, 2, 0) + λ (1, 1, 4π).
(c) Regular en tot punt. Recta tangent: γ(to ) + λ (sin 2to , cos 2to , − sin to ).
Pla normal: x sin 2to + y cos 2to − z sin to = 0. (Observeu que γ est`a sobre una esfera de centre l’origen.) x−1 y−1 z−1 14. (a) Regular en tot punt. Recta tangent: = = .
−3 1 2 (b) Regular en tot punt. Recta tangent: l’eix OX.
Problemes del tema 4 22 (c) Regular en tot punt. Recta tangent: l’eix OY .
15.
(c) A t = 0: vector (2, 1) en el punt (0, 0).
A t = π: vector (2, −1) en el punt (0, 0).
(d) Si fos una corba regular en (0, 0) llavors l’espai dels vectors tangents a C en aquest punt tindria dimensi´ o 1, per` o l’apartat anterior ens ha donat dos d’aquests vectors linealment independents.
(e) γ ´es C∞ , i γ (t) = (2 cos 2t, cos t), mai nul.
Posant γ(t1 ) = γ(t2 ) i mirant el segon component tenim sin t1 = sin t2 ; si s’anul.la cal t1 = π = t2 , i si no el primer component queda cos t1 = cos t2 , i nom´es resta recordar que c(t) = (cos t, sin t) ´es injectiva sobre ]0, 2π[.
Finalment, observem que, si γ(t) = (x, y), llavors γ(t + π) = (x, −y), γ(2π − t) = (−x, −y), i γ(π − t) = (−x, y), de manera que ´es suficient estudiar els punts (x, y) ∈ C pertanyents al primer quadrant. Donat un punt d’aquests, ´es clar que (x, y) = γ(t) amb t = arcsin y (ja que γ(t) ´es del primer quadrant obert nom´es quan 0 < t < π/2). Tenint en compte que x = 2y 1 − y 2 , es comprova f`acilment que γ(arcsin y) = (x, y).
Aquest problema mostra, doncs, que la imatge d’una parametritzaci´o injectiva i regular pot no ser una corba regular (en aquest cas, t´e la forma d’un 8, ja que l´ımt→0+ γ(t) = l´ımt→2π− γ(t) = (0, 0) = γ(π)).
16.
(a) Com que G(x, y) = (x − 1)2 + y 2 − 1, l’equaci´o impl´ıcita ´es la d’una circumfer`encia de centre (1, 0) i radi 1, i aix` o ho parametritza γ, injectivament sobre l’interval [0, π[ (per exemple).
(b) Les dues parametrizacions recorren (en sentit contrari) el mateix conjunt, ja que α(u) = β(ϕ(u)), amb el canvi de variable φ: [0, π/2] → [0, 1], v = ϕ(u) = cos u.
(c) F (c(t)) = 0, de manera que la parametritzaci´o corre dins el conjunt F −1 (0). A¨ıllant y dins l’equaci´ o impl´ıcita obtenim F (x, y) = (y − x)(y − x2 ), de manera que ´es la uni´o d’una recta i ´ clar que la parametritzaci´o c(t) (t ∈ R) recorre tota la par`abola.
una par` abola. Es (d) La parametritzaci´ o recorre tot el con. Si prenem φ ∈ [0, 2π[ (per exemple), llavors ´es injectiva, excepte que tots els punts amb ρ = 0 s’apliquen al (0, 0, 0).
(e) Com que u2 = (u cosh v)2 − (u sinh v)2 , la parametritzaci´o corre dins del graf de f , que ´es un paraboloide hiperb` olic. Per` o d’aquest nom´es cobreix la regi´o on z > 0 (quan u = 0) i el punt (0, 0, 0) = g(0, v).
17.
(a) g(φ, t) = (a(t) cos φ, a(t) sin φ, c(t)).
(b) G(x, y, z) = F ( x2 + y 2 , z).
x2 + y 2 z 2 (c) El cilindre x2 + y 2 = a2 , el con p2 (x2 + y 2 ) = z 2 , l’el.lipsoide + 2 = 1, el paraboloide a2 c 2 2 2 2 2 x +y x +y z circular z = , els hiperboloides − 2 = ±1, . . .
a a2 c 2 2 2 2 2 (d) ( x + y − R) + z = r , (θ, φ) → ((R + r cos θ) cos φ, (R + r cos θ) sin φ, r sin θ).
        xo c (to ) cos φo xo D1 F (ρo , zo ) xo 1 (e) Equacions en forma param`etrica:  yo +λ a(to )  c (to ) sin φo  i  yo +λ  yo D1 F (ρo , zo ) , ρo ρo D2 F (ρo , zo ) zo −a (to ) zo 2 2 on ρo = xo + yo .
(f) Es pot usar l’apartat anterior, per`o tamb´e es pot observar que la recta normal a S en (xo , yo , zo ) ´es tamb´e normal al paral.lel corresponent, al qual ´es normal el semipl`a Rφ (H).
Per tant, si la recta normal no ´es vertical, tallar`a l’eix OZ.
18.
´ clar que c (t), c (t) ∈ u .
(a) Es Pel que fa al rec´ıproc, d’acord amb la hip`otesi tenim que c (t) = µ(t)c (t). La funci´o µ ´es de classe C0 , ja que, de fet, µ(t) = c (t) · c (t)/c (t) · c (t). Conegudes c(0) = co i c (0) = vo , el cam´ı c(t) ´es l’´ unica soluci´ o d’una equaci´o diferencial de segon ordre lineal amb condicions inicials c(0) = co i c (0) = vo ; concretament, c(t) = co + λ(t)vo , on λ(t) = t 0 s ds e 0 du µ(u) 19.
(b) γ (t) = (−ω sin ωt, ω cos ωt, a) t´e pendent a/ω.
20.
(a) Derivant R (t) R(t) = I obtenim R (0) R(0) + R (0) R (0) = 0, ´es a dir, A + A = 0.
.
Problemes del tema 4 23   0 −ω 0 0 0  (b) R (0) =  ω 0 0 0 21. grad f (x) = 2Ax.
22. El volum ´es 9c/2.
23. − grad F .
∂F/∂y 24. f (u) = u + C; la superf´ıcie ´es un pla.
25. a = 1/4, b = 1/4, c = −1/16.
26. Una parametritzaci´ o de la corba ´es t → 2 1 a2 t 1 b2 t 2a2 t e , e ,e + e2b t .
a b 27. La imatge ´es y = |x|, −1 < x < 1, 28.
(a) z = 1 + 2x + y.
29. Es tallen en (0, 0) ortogonalment, i en (1, 1) amb angle arc cos(4/5).
30.
(a) S´ı, excepte potser en el punt (0, 0).
(b) S´ı.
(c) (3a, 0).
(d) l´ım γ(t) = (0, 0).
t→+∞ 31. L ´es parametritzada per γ(t) = (a(t) cos f (t), a(t) sin f (t), c(t)), i el meridi`a per µ(t) = (a(t) cos φo , a(t) sin φo , c(t)) 2 a(t) 2 Calculant-ne els vectors tangents podem obtenir cos α, o, millor, tg2 α = 2 2 f (t) .
a (t) + c (t) 32. f hi ´es tangent arreu, g no hi ´es tangent enlloc, i h hi ´es tangent sobre dues circumfer`encies, les obtingudes tallant l’esfera amb els plans verticals x − y = ±1.
5.
Estudi local de funcions Problemes b` asics 1. Per a cadascuna d’aquestes funcions, calculeu el polinomi de Taylor de grau ≤ 2 en el punt p indicat.
sin x , p = (0, 0).
1+x+y b) sin xy 2 , p = (1, 0).
a) c) xy , d) p = (1, 1).
y 2 /x3 , p = (1, −1).
e) esin x/ cos y , p = (0, 0).
2. Utilitzant els polinomis de Taylor de les funcions elementals, calculeu el polinomi de Taylor en l’origen, de grau ≤ 3, per a les funcions seg¨ uents: a) sin xy + cos xy b) log(2 + xy) c) ex+y 2 +z 3 d ) 1/(1 + x + y + z) e) ex 2 +sin y 3. Estudieu els punts cr´ıtics de les funcions seg¨ uents: 2 −y 2 a) f (x, y) = e1−x .
b) f (x, y) = 3x2 + 2xy + 2x + y 2 + y + 4.
c) f (x, y) = x4 + y 4 − 2y 2 + 4xy − 2x2 .
d ) f (x, y, z) = x2 − yz − sin(xz).
e) f (x, y, z) = 3 log x + 2 log y + 5 log z + log(22 − x − y − z).
2 f ) f (x, y, z) = x2 z + y 2 z + z 3 − 4x − 4y − 10z + 1.
3 g) f (x, y, z) = cos 2x sin y + z 2 .
1 4. Estudieu, en funci´o de k, el car`acter dels punts cr´ıtics de f (x, y) = (x2 + y 2 ) + kxy.
2 5. Considereu la funci´o f (x, y) = (y − 3x2 )(y − x2 ).
a) Proveu que l’origen n’´es l’´ unic punt cr´ıtic, i estudieu-ne el car`acter mitjan¸cant la hessiana.
b) Sigui ϕ(t) = f (at, bt) la funci´o f avaluada al llarg d’una recta que passa per l’origen.
Proveu que t´e un m´ınim a t = 0, independentment de la recta triada.
c) Proveu que f no t´e m´ınim en l’origen.
(Veieu que f (0, 0) = 0 per` o que en tot ve¨ınat de (0, 0) f pren valors < 0 i valors > 0.) 2 6. Considereu la funci´o f (x, y) = −y 4 − e−x + 2y 2 ex + e−x2 .
a) Quin ´es el seu domini? Hi ´es de classe C∞ ? b) Proveu que el seu u ´nic punt cr´ıtic ´es el (0, 0).
Problemes del tema 5 25 c) Calculeu el polinomi de Taylor de f de grau ≤ 2 en (0, 0).
(Podeu utilitzar que (1 + z)p = 1 + pz + p(p − 1)z 2 /2 + . . . i ez = 1 + z + z 2 /2 + . . .) d ) Determineu el car`acter del punt cr´ıtic de f .
e) Proveu que f no t´e m´ınim absolut. (Podeu considerar f (0, y).) 7. Trobeu els extrems de les funcions f quan les variables estan sotmeses als lligams que s’indiquen: a) f (x, y) = x; b) f (x, y) = x2 y; x2 + 2y 2 = 3.
xy = 1.
c) f (x, y, z) = x − y + z; x2 + y 2 + z 2 = 2.
d ) f (x, y, z) = x + y + z; x2 − y 2 = 1, 2x + z = 1.
8. Considereu la funci´o f (x, y) = (x + 1)2 + y 2 i el subconjunt C ⊂ R2 definit per x3 = y 2 .
Obteniu el m´ınim de f |C . Per qu`e no es pot obtenir mitjan¸cant el m`etode dels multiplicadors de Lagrange? 9. Trobeu els extrems locals de les funcions y(x) definides, aplicant el teorema de la funci´o impl´ıcita, per les equacions seg¨ uents: a) x3 + y 3 − 3xy = 0.
b) x2 + y 2 + kxy = 0.
10. Trobeu els extrems absoluts de la funci´o f (x, y) = 2x2 + 2y 2 − x4 sobre la bola definida per x2 + y 2 ≤ 3.
11. Trobeu els extrems absoluts de la funci´o f (x, y) = x4 + 2x2 y − x3 + 3y 2 definida sobre el conjunt Q = {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.
12. Trobeu els extrems absoluts de la funci´o f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 + x + y + z definida sobre el conjunt A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≤ 1}.
x y z 13. Essent a, b, c > 0 constants, trobeu els extrems absoluts de f (x, y, z) = + + sobre a b c la regi´o x2 y 2 z 2 H = (x, y, z) | 2 + 2 + 2 = 1, z ≥ 0 .
a b c 14. Trobeu la m´ınima dist`ancia entre els punts de les corbes d’equacions x+y = 4 i x2 +4y 2 = 4.
15. Calculeu el m`axim volum d’un paral.lelep´ıpede de cares paral.leles als eixos, inscrit dins x2 y 2 z 2 l’el.lipsoide d’equaci´o 2 + 2 + 2 = 1.
a b c 1 16. Trobeu els v`ertexs i semieixos de l’el.lipse obtinguda intersecant l’el.lipsoide x2 +y 2 +z 2 = 1 4 amb el pla d’equaci´o x + y + z = 0.
Problemes addicionals 17. Fent servir una funci´o adient i el seu polinomi de Taylor de grau 2, calculeu aproximadament 0,971,07 .
Problemes del tema 5 26 18. Sigui g: R2 → R una funci´o de classe C2 amb g(0, 1) = 0, Jg(0, 1) = (2 − 3) i Hg(0, 1) = 3/4 5/4 .
5/4 5/4 Sigui f : R → R una funci´o de classe C 1 amb f (0) = 1 i f (0) = −1/8.
Calculeu el polinomi de Taylor de grau ≤ 2, en el punt (0, 1), de la funci´o g(x,y) F (x, y) = log(1 + x2 + xy + y 2 ) + f (t) dt.
0 19. L’equaci´o z + 1 + sin z − (x + 1)2 (y + 1)2 = 0 defineix impl´ıcitament z = Z(x, y) en un ve¨ınat del punt (0, 0, 0). Calculeu raonadament el polinomi de Taylor de grau ≤ 2 de Z en el (0, 0) escrivint Z(x, y) = c + ax + by + Ax2 + By 2 + Cxy + o( (x, y) 2 ) i substituint-ho dins l’equaci´o.
20. Si f : U → R ´es una funci´o de classe Ck+1 , i [a, a + u] ⊂ U , obteniu l’expressi´o del residu de la f´ormula de Taylor f (a + u) = Pk (f, a; u) + Rk (f, a; u) en forma integral.
(Considereu la funci´ o d’una variable ϕ(t) = f (a + tu) i escriviu-ne la f´ormula de Taylor amb el residu en forma integral.) 21. Estudieu els punts cr´ıtics de les funcions seg¨ uents: a) f (x, y) = x5 y + y 5 x + xy.
b) f (x, y) = sin x + sin y + cos(x + y), per a (x, y) ∈ ]0, 2π[ × ]0, 2π[.
c) f (x, y, z) = xy + yz + zx.
d ) f (x, y, z) = x2 + y 2 + 2z 2 + xyz.
22. Sigui f : U → R una funci´o de classe C2 definida en un obert U ⊂ Rn .
a) Proveu que, si f t´e un m´ınim en un punt p ∈ U , llavors la hessiana Hf (p) ´es semidefinida positiva.
(Fixat u, considereu la funci´o d’una variable ϕ(t) = f (p + tu), i recordeu que ϕ (0) = f (p; u).) Doneu un enunciat an`aleg quan el punt ´es un m`axim en lloc d’un m´ınim.
b) L’enunciat rec´ıproc ´es fals: doneu dos exemples de funcions f : R2 → R per als quals (0, 0) sigui un punt cr´ıtic amb hessiana semidefinida positiva, per`o que en un cas el punt sigui m´ınim i en l’altre coll.
23. Siguin A ⊂ R2 un conjunt compacte, i f : A → R una funci´o cont´ınua, de classe C2 en ◦ l’interior A.
Denotem per ∆ el laplaci`a (∆ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 ).
◦ ◦ a) Si ∆f > 0 en tot punt de A proveu que el m`axim de f no s’assoleix en A, sin´o en la frontera.
(Si el m` axim s’assoleix en un punt interior (xo , yo ), podeu utilitzar el problema anterior per a provar que ∆f (xo , yo ) ≤ 0, fet que contradiu la hip`otesi.) ◦ b) Doneu un enunciat similar suposant que ∆f < 0 en A.
Canvia alguna cosa si treballem en Rn en lloc de R2 ? 24. Trobeu els extrems de les funcions f quan les variables estan sotmeses als lligams que s’indiquen: a) f (x, y) = x2 + y 2 ; x2 + y 2 = 1.
b) f (x, y) = x2 + y 2 + 1; 2x + 3y = 0.
Problemes del tema 5 27 x y ↔ (x, y, z, t). Dins M2 (R), sigui z t M el subconjunt format per les matrius amb determinant 1.
Considerem f : M2 (R) → R, f (A) = tra¸ca(A), i sigui fo = f |M .
25. Identifiquem l’espai vectorial M2 (R) amb R4 , a) Proveu que M ´es una hipersuperf´ıcie regular dins M2 (R).
b) Trobeu els punts cr´ıtics de fo utilitzant el m`etode dels multiplicadors de Lagrange.
c) Proveu que l’aplicaci´o g(x, y, z) = x z y 1+yz x ´es una parametritzaci´o regular de M al voltant del punt 10 01 .
d ) Utilitzeu f¯ = f ◦ g per a estudiar el car`acter d’un dels punts cr´ıtics de fo obtinguts en el segon apartat.
´ M compacte? Es ´ fo fitada? (Podeu considerar a 0−1 .) e) Es 0 a 26. Sigui A ∈ Mn (R) una matriu sim`etrica, f : Rn → R la forma quadr`atica corresponent, f (x) = Aij xi xj , i S l’esfera unitat de Rn , S = {x ∈ Rn | x · x = 1}.
i,j a) Proveu que f |S assoleix extrems absoluts.
b) Proveu que, si x ´es un extrem de f |S , llavors x ´es un vector propi de A.
(Podeu usar que grad f (x) = 2Ax.) c) Si x ´es un vector propi de A unitari, quant val f (x)? d ) Identifiqueu el subconjunt f (S) ⊂ R.
27. Sigui (a, b, c) ∈ R3 un punt, i g(x, y, z) = Ax + By + Cz + D = 0 un pla. Considereu la fun1 ci´o f (x, y, z) = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 . Apliqueu el m`etode dels multiplicadors 2 de Lagrange per a trobar el valor m´ınim de f sobre el pla.
(Escriviu Jf = λ Jg. D’entrada, aquesta equaci´o diu que el punt cr´ıtic es troba en la recta per (a, b, c) amb vector director (A, B, C). Multiplicant les tres equacions per A, B i C, respectivament, podeu determinar λ. I elevant les tres equacions al quadrat podeu calcular f en el punt cr´ıtic.) Dedu¨ıu-ne que la dist`ancia entre el punt i el pla val |Aa + Bb + Cc + D| / √ A2 + B 2 + C 2 .
28. Trobeu el m`axim absolut de la funci´o f (x, y, z) = x2 +2y 2 −z amb la condici´o x2 +y 2 +z 2 = 1.
x2 29. Donada f (x, y) = a2 x2 + b2 y 2 , calculeu el m`axim valor de f sobre l’el.lipse d’equaci´o 2 + a y2 = 1, on a > b.
b2 30. Trobeu els extrems absoluts de f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 sobre el conjunt {(x, y, z) ∈ R3 | x, y, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}.
31. Trobeu els extrems absoluts de f (x, y) = x2 + y 2 − xy + y + x sobre el conjunt {(x, y) ∈ R2 | x + y ≥ −3, x ≤ y, y ≤ 0}.
32. Trobeu els extrems absoluts de f (x, y) = x + 3xy − 2y 2 sobre el conjunt {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.
Problemes del tema 5 33. Considereu la funci´o f (x, y) = (x2 + 3y 2 )e1−(x 28 2 +y 2 ) .
a) Determineu i classifiqueu els punts cr´ıtics de f .
b) Determineu els extrems absoluts de f sobre el disc {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1}.
34. Considereu la funci´o f : R2 → R definida per f (x, y) = sin(x + y) + cos(x − y).
a) Trobeu i classifiqueu tots els seus punts cr´ıtics.
b) Calculeu els extrems absoluts de f en el quadrat [π/2, π] × [π/2, π].
35. Considereu el conjunt T = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 2}. Siguin r1 , r2 , r3 les rectes segons els costats del triangle frontera de T . Considereu la funci´o f : T → R que assigna a cada punt p ∈ T la suma dels quadrats de las dist`ancies de p a r1 , r2 , r3 .
Justifiqueu que f t´e m`axim i m´ınim absoluts i calculeu-los (La dist` ancia entre el punt (a, b) i la recta Ax + By + C = 0 val |Aa + Bb + C| √ .) A2 + B 2 36. Trobeu els punts de la corba 5x2 + 6xy + 5y 2 = 16 que estan a dist`ancia m´ınima i m`axima de l’origen.
37. Dissenyeu un contenidor cil´ındric que contingui 1 m3 de l´ıquid fent servir la m´ınima quantitat de material.
38. Calculeu els punts cr´ıtics de la restricci´o de U (x, y, z) = mgz a l’esfera x2 + y 2 + z 2 = R2 , i estudieu-ne el car`acter. Interpreteu f´ısicament el resultat.
Respostes 1.
(a) P2 (x, y) = x − x2 − xy.
(b) P2 (u, v) = v 2 .
(c) P2 (u, v) = 1 + u + uv.
(d) P2 (u, v) = 1 − 3u − 2v + 6u2 + 6uv + v 2 .
(e) P2 (x, y) = 1 + x + x2 /2.
2.
(a) 1 + xy.
(b) log 2 + xy/2.
(c) 1 + x + x2 /2 + y 2 + x3 /6 + xy 2 + z 3 .
(d) 1 − (x + y + z) + (x + y + z)2 − (x + y + z)3 .
(e) 1 + y + x2 + y 2 /2 + x2 y.
3.
(a) (0, 0) ´es un m` axim local.
(b) (−1/4, −1/4) ´es un m´ınim local.
√ √ √ √ (c) (0, 0) ´es un coll (o punt de sella); ( 2, − 2), (− 2, 2) s´on m´ınims locals.
(d) (0, 0, 0) ´es un coll.
(e) (6, 4, 10) ´es un m` axim local.
(f) (2, 2, 1) i (−2, −2, −1) s´ on colls; (1, 1, 2) ´es un m´ınim i (−1, −1, −2) un m`axim.
π π (g) Els punts k, + π , 0 , amb k, ∈ Z, s´on colls quan k + ´es parell, i m´ınims quan k + 2 2 π π + k, π , 0 , amb k, ∈ Z, s´on colls.
´es imparell. Els punts 4 2 4. Si |k| = 1, l’´ unic punt cr´ıtic ´es (0, 0), que ´es un m´ınim local quan |k| < 1 i un coll quan |k| > 1.
Si k = 1 els punts cr´ıtics s´ on els de la recta x + y = 0, i si k = −1 s´on els de la recta x − y = 0; en ambd´ os casos s´ on m´ınims locals.
Problemes del tema 5 5.
29 (b) ϕ(t) = b2 t2 − 4a2 bt3 + 3a4 t4 ; ϕ (0) = 0 ; ϕ (0) = 2b2 , que ´es > 0 si b = 0.
Si b = 0, ϕ(t) = 3a4 t4 , tamb´e m´ınim a t = 0.
(c) Per als punts de les par` aboles y = x2 , y = 3x2 la funci´o es nul.la, per als que estan entre ambdues par` aboles la funci´ o ´es negativa, i per als altres ´es positiva.
√ 6. (c) f (x, y) = −1 + x2 + 2 2y 2 + o2 .
(d) M´ınim local.
√ √ 7. (a) ( 3, 0), (− 3, 0) s´ on m` axim i m´ınim respectivament.
(b) No t´e extrems.
(c) 2 ,− 3 2 , 3 2 , 3 − 2 , 3 2 ,− 3 2 3 s´on m`axim i m´ınim respectivament.
(d) No t´e extrems.
8. El m´ınim s’asoleix en el punt (0, 0). No es pot obtenir pel m`etode dels multiplicadors perqu`e C no ´es una corba regular en aquest punt.
√ 9. (a) y t´e un m` axim local per a x = 3 2.
(b) y no t´e cap extrem local.
√ √ √ 10. El valor √ m´ınim ´es-3, i s’assoleix en ( 3, 0) i (− 3, 0); el valor m`axim ´es 6, i s’assoleix en (0, 3 i (0, − 3).
11. El m´ınim ´es f (1, −1/3) = −1/3 i el m`axim ´es f (−1, 1) = 7.
12. El m´ınim ´es f (−1/2, −1/2, −1/2) = −3/4 i el m`axim ´es f ( 3/2, 3/2, 1) = 5 + √ √ 1 1 13. M`axim en √ (a, b, c), amb valor 3. M´ıxim en − √ (a, b, 0), amb valor − 2.
3 2 √ 6.
14. Si anomenem (x, y) els punts de la primera corba i (u, v) els punts de la segona, la funci´o a extremar ´es (x − u)2 + (y − v)2 , amb les √ condicions donades per les equacions de les corbes.
4− 5 3 3 La dist` ancia m´ınima ´es √ , i s’assoleix entre els punts (x, y) = 2 + 2√ , 2 − 2√ i (u, v) = 5 5 2 √4 , √1 .
5 5 15.
8abc √ .
3 3 √ √ √ √ √ √ 16. V`ertexs: ±(0, 1/ 2, −1/ 2) i ±(2/ 3, −1/ 3, −1/ 3). Semieixos: 1 i 2.
17. Podeu usar, per exemple, f (x, y) = xy , al voltant de (1, 1). S’obt´e 0 9679 . . ..
5 1 1 18. P2 (x, y) = ln 2 + x − 2(y − 1) + x2 + 2x(y − 1) + (y − 1)2 .
2 2 16 1 19. Z(x, y) = x + y + (x2 + y 2 + 4xy) + o( (x, y) 2 ). (Compareu amb el problema 22 del tema 3.) 2 1 (1 − t)k (k+1) f (a + tu; u) dt.
k! 0 (a) (0, 0) ´es un coll.
20. Rk (f, a; u) = 21.
(b) (π/2, π/2), (3π/2, 3π/2), (π/6, π/6), (5π/6, 5π/6), (3π/2, π/2), (π/2, 3π/2) s´on coll, m´ınim, m` axim, m` axim, coll, coll, respectivament.
(c) (0, 0, 0) ´es un coll.
√ √ √ √ √ √ √ √ (d) (0, 0, 0) ´es un m´ınim; (2 2, −2 2, 2), (−2 2, 2 2, 2), (2 2, 2 2, −2), (−2 2, −2 2, −2) s´on colls.
22.
(a) Si el punt ´es un m` axim llavors la hessiana ´es semidefinida negativa.
(b) Per exemple f (x, y) = x2 + y 4 i f (x, y) = x2 − y 4 .
Problemes del tema 5 30 ◦ ◦ 23.
(b) Si ∆f < 0 en A llavors el m´ınim de f no s’assoleix en A.
24.
(a) Tots els punts de C = {(x, y) | x2 + y 2 = 1} s´on extrems condicionats (de fet, f ´es constant sobre C).
(b) (0, 0) ´es un m´ınim (de fet, ja ho ´es per a la funci´o f abans de sotmetre-la al lligam).
25.
(a) La jacobiana de F (x, y, z, t) = xt − yz nom´es s’anul.la en la matriu 0, que no ´es de M .
(b) S´ on ±I, on I ´es la matriu unitat.
(c) De fet, g correspon a expressar M en forma expl´ıcita com a t = funci´o(x, y, z).
(d) Tenim f¯(1, 0, 0) = I. En aquest punt la hessiana de f¯ ´es indefinida, i doncs ´es un coll.
An` alogament estudiar´ıem f al voltant del punt −I.
(e) No. No.
26.
(d) L’interval [λ, µ], on λ i µ s´ on el m´es petit i el m´es gran dels valors propis de A.
28. 17/8.
29. a4 .
30. Assoleix el m´ınim en el punt (0, 0, 0) i val 0.
Assoleix el m` axim en els punts (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) i val 1.
31. El m` axim s’assoleix en (−3, 0) i el m´ınim en (−1, −1).
32. El m` axim absolut s’assoleix en (1, 3/4) i val 17/8. El m´ınim absolut s’assoleix en (−1, 1) i val −6.
33.
(a) f t´e un m´ınim local en (0, 0).
f t´e colls en els punts (±1, 0).
f t´e m` axims locals en els punts (0, ±1).
(b) El m` axim absolut ´es 3 i s’obt´e en els punts (0, ±1).
El m´ınim absolut ´es 0 i s’obt´e en (0, 0).
34.
(a) S´ on els punts de la fam´ılia π4 , π4 + h π2 , π2 + k π2 , − π2 | h, k ∈ Z .
Si h i k s´ on parells la funci´ o hi assoleix un m`axim.
Si h i k s´ on imparells la funci´o hi assoleix un m´ınim.
Si un ´es parell i l’altre imparell la funci´o hi t´e un coll.
(b) El m` axim absolut ´es 1 i s’obt´e en (π/2, π/2) i en (π, π).
El m´ınim absolut ´es −1 i s’obt´e en (π, π/2) i en (π/2, π).
35. En el punt (2/5, 1/5) s’assoleix el valor m´ınim, 2/5. En el punt (0, 2) s’assoleix el valor m`axim, 4.
36. A dist` ancia m´ınima: (1, 1) i (−1, −1). A dist`ancia m`axima: (2, −2) i (−2, 2).
37. r = 1 , (2π)1/3 h= 2 .
(2π)1/3 38. Els punts cr´ıtics s´ on (0, 0, −R) (m´ınim) i (0, 0, R) (m`axim). S´on els punts d’equilibri (estable i inestable, respectivament) d’una part´ıcula de massa m obligada a moure’s sobre l’esfera i sotmesa a la for¸ca de la gravetat.
6.
Integraci´ o Problemes b` asics 1. Calculeu les integrals de les funcions seg¨ uents sobre els rectangles indicats: a) f (x, y) = y 2 ; |x| ≤ 1, |y| ≤ 2.
0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 3.
b) f (x, y) = x|y|; c) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2; −1 ≤ x, y, z ≤ 1.
0 ≤ x, y, z ≤ 1.
d ) f (x, y, z) = xyz; 2. Calculeu les integrals de les funcions seg¨ uents sobre les regions indicades: a) f (x, y) = x − y; b) f (x, y) = x2 y 2 ; {(x, y) | x + y < 1, x > 0, y > 0}.
{(x, y) | x ≥ 0, |x| + |y| ≤ 1}.
c) f (x, y) = 1; {(x, y) | x2 ≤ y ≤ x}.
d ) f (x, y) = 1; {(x, y) | x + y ≥ 1, x2 + y 2 ≤ 1}.
{(x, y, z) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2 − x2 − y 2 }.
e) f (x, y, z) = z; f ) f (x, y, z) = (1 + x + y + z)−3 ; x + y + z = 1.
g) f (x, y, z) = xy 2 z 3 ; z = 0.
regi´o limitada pels tres plans coordenats i el pla regi´o limitada per la superf´ıcie z = xy i els plans y = x, x = 1, 3. Reexpresseu les integrals dobles seg¨ uents canviant l’ordre d’integraci´o: 12x 4 dy f (x, y).
dx a) 3x2 1−y 0 1 dy b) 0 − √ dx f (x, y).
1−y 2 4. Si A = {(x, y, z) | x2 +y 2 ≤ z 2 , 0 ≤ z ≤ 3} i f ´es cont´ınua en A, rescriviu A f (x, y, z) dxdydz integrant primer respecte a x, despr´es respecte a y, i despr´es respecte a z.
   1 si y < sin x 0 si y = sin x 5. Considereu la funci´o definida en D = [0, π/2] × [0, π/2] per f (x, y) =   3 si y > sin x ´ f integrable? Calculeu la integral Quin ´es el conjunt de punts de discontinu¨ıtat de f ? Es D dxdy f (x, y).
6. Calculeu x ≤ 2.
T (x+y) dxdy, essent T la regi´o definida per y ≤ 2x+2, x+y +1 ≥ 0, x2 +y ≤ 5, 7. Sigui R el rectangle de v`ertexs (1, 2), (1, 5), (3, 2) i (3, 5). Sigui T l’aplicaci´o lineal representada per la matriu 2 −1 1 . Obteniu l’`area de T (R).
3 8. Sigui U el conjunt definit per v 2 + u2 < 1, u > 0, v > 0, i considereu l’aplicaci´o ϕ(u, v) = 1 (u2 − v 2 , 2uv). Calculeu la integral sobre ϕ(U ) de la funci´o f (x, y) = .
x2 + y 2 9. Calculeu les integrals Af indicades: a) f (x, y) = xy 2 ; A = {(x, y) | x2 + y 2 < 1, x > 0, y > 0}.
Problemes del tema 6 32 b) f (x, y) = x2 + y 2 ; A = {(x, y) | x2 + y 2 − 2ax ≤ 0}.
c) f (x, y) = x2 + y 2 ; A = {(x, y) | ax ≤ x2 + y 2 ≤ a2 }.
d ) f (x, y, z) = 7yz; A = {(x, y, z) | y > 0, 0 < z < a, x2 + y 2 < b2 }, amb a, b > 0 constants.
e) f (x, y, z) = z 2 ; A la regi´o comuna a les esferes x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 i x2 + y 2 + z 2 ≤ 2Rz.
f ) f (x, y, z) = xyz; A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 < 1, x > 0, y > 0, z > 0}.
g) f (x, y, z) = x2 + y 2 ; A = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 < 1, x2 + y 2 < z 2 , z > 0}.
10. Sigui D ⊂ R2 un conjunt mesurable Jordan, sim`etric respecte a l’eix OX (´es a dir, si (x, y) ∈ D, tamb´e (x, −y) ∈ D).
a) Raoneu que podeu escriure D = D1 ∪ D2 , on D1 ´es dins el semipl`a superior i D2 = ϕ(D1 ), essent ϕ(x, y) = (x, −y) la simetria respecte a l’eix OX. S´on disjunts D1 i D2 ? b) Sigui f : D → R integrable Riemann. Proveu que si f ´es parella respecte a y (´es a dir, f (x, −y) = f (x, y)) llavors D f = 2 D1 f , i si f ´es imparella respecte a y (f (x, −y) = −f (x, y)) llavors D f = 0.
(Apliqueu el teorema del canvi de variables amb ϕ per a calcular 11. Calculeu les integrals Af D2 f .) indicades. (Utilitzeu canvis de variables apropiats.) a) f (x, y) = 1; A el conjunt definit per (x + y)2 + (2x − y + 1)2 ≤ 1.
b) f (x, y) = x2 +y 2 ; A la regi´o definida per les desigualtats α ≤ x2 −y 2 ≤ β, γ ≤ xy ≤ δ, on 0 < α < β, 0 < γ < δ s´on constants donades.
c) f (x, y) = e(x−y)/(x+y) ; A = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0, 1 < x + y < 2}.
12. Calculeu: a) L’`area tancada per l’el.lipse de semieixos a, b.
b) El volum tancat per l’el.lipsoide de semieixos a, b, c.
13. Sigui A la regi´o plana definida en coordenades polars per φ1 < φ < φ2 , r < R(φ), on R ´es una funci´o positiva.
φ2 a) Proveu que la seva `area es pot calcular amb la integral φ1 1 dφ R(φ)2 .
2 b) Calculeu l’`area tancada per la cardioide: r = a(1 + cos φ).
c) Calculeu l’`area tancada per la lemniscata: r2 = a2 cos 2φ.
14. Sigui A un s`olid de revoluci´o obtingut fent girar la regi´o B ⊂ {(x, y, z) | x > 0, y = 0} al voltant de l’eix OZ.
a) Proveu que el seu volum es pot calcular amb la integral 2π B dxdz x.
b) Suposem que B ´es la regi´o simple descrita per z1 < z < z2 , f (z) < x < g(z). Proveu que el volum de revoluci´o ´es π zz12 dz g(z)2 − f (z)2 .
c) Calculeu el volum d’un con circular recte de radi a i al¸cada h.
d ) Calculeu el volum tancat pel tor de generatriu (x − a)2 + z 2 = b2 (vegeu tema 4, problema 17).
15. Sigui D el recinte determinat per x2 + y 2 ≤ 8, y ≥ 0, y ≤ 2, i sigui I = y dxdy.
D a) Expresseu I aplicant el teorema de Fubini, en els dos ordres possibles, en coordenades cartesianes.
Problemes del tema 6 33 b) Expresseu I en coordenades polars.
c) Calculeu el valor de I.
d ) Sense fer m´es c`alculs, raoneu quins s´on els valors de les integrals x dxdy, (x + y) dxdy, D xy dxdy.
D x D ∂f ∂f i usant la f´ormula de Leibniz.
∂x ∂y y Comproveu el resultat calculant primer la integral i derivant despr´es.
16. Considereu la funci´o f (x, y) = exyt dt. Calculeu x f (ξ) sin(x−ξ) dξ satisf`a l’equaci´o diferencial ϕ +ϕ = 17. Comproveu que la funci´o ϕ(x) = 0 f.
18. Calculeu les integrals impr`opies A f: a) f (x, y) = xe−y ; A = {(x, y) | 0 ≤ x < 1, y ≥ 0}.
1 b) f (x, y) = ; A = {(x, y) | −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2 }.
2 x −y e−(x 19. Calculeu la integral J = 2 +y 2 ) +∞ dxdy i dedu¨ıu-ne el valor de I = R2 2 e−x dx.
−∞ (Useu coordenades polars.) x2 + y 2 + z 2 i B = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 }, determineu per a quins dV valors de α > 0 existeix la integral impr`opia i calculeu-la.
α B r 20. Si r = (Integreu fora d’una esfera de radi ε centrada en l’origen.) 21. Es consideren una esfera i un con circular tals que el centre de l’esfera est`a situat sobre l’eix del con i el v`ertex del con sobre la superf´ıcie de l’esfera. Determineu la semiobertura α del con per tal que els volums de les parts de l’esfera interior i exterior al con siguin iguals.
22. Considereu el paraboloide d’equaci´o z = a − x2 − y 2 i el pla z = λa, on 0 < λ < 1. Sigui V(A) el volum del paraboloide compr`es entre el seu v`ertex i el pla, i V(B) el volum compr`es entre el pla donat i el pla XY . Determineu λ per tal que se satisfaci que V(A) = k V(B).
Problemes addicionals 23. Calculeu la integral de la funci´o seg¨ uent sobre la regi´o definida per les desigualtats indicades: f (x, y) = x2 + y 2 ; |x| ≤ |y| ≤ 2.
24. Calculeu l’`area de les regions definides per les desigualtats indicades: y y a) a ≤ ≤ b, α ≤ 2 ≤ β, amb 0 < a < b, 0 < α < β.
x x b) x2/3 + y 2/3 ≤ a2/3 (astroide).
25. Expresseu en coordenades polars la integral rectes y = x, y = −x i y = 1.
A f (x, y) dxdy sobre el domini limitat per les 26. Considereu el recinte S = S1 ∪ S2 , on S1 ´es el recinte limitat per les rectes y = 0, y = x, x = 1, x = 2, i S2 ´es el recinte limitat, en el primer quadrant, per les rectes y = x, y = 3x (x2 + y 2 ) dxdy.
i les circumfer`encies x2 + y 2 = 2, x2 + y 2 = 8. Calculeu S Problemes del tema 6 34 x 2 dx 27. Invertiu l’ordre d’integraci´o per a calcular 1 √ dy sin x πx + 2y 2 4 dx 2 √ dy sin x πx .
2y 28. Calculeu les derivades totals o parcials de les funcions seg¨ uents: x3 a) F (x) = x2 sin tx dt.
t x cos(ty)dt.
b) F (x, y) = 0 c) F (x, y) = x ey−t dt.
1 29. Calculeu la integral de la funci´o f (x, y) = | cos(x + y)| sobre el quadrat [0, π] × [0, π].
(Apliqueu el teorema de Fubini.) 30. Considereu la funci´o f : [0, 1]×[0, 1] → R definida per f (x, y) = l’exist`encia de les integrals [0,1]×[0,1] f , 1 1 0 dx 0 dy f (x, y), 1 si x ∈ Q . Estudieu 2y si x ∈ Q 1 1 0 dy 0 dx f (x, y).
31. Sigui A ⊂ R3 un conjunt mesurable Jordan, tal que les seccions horitzontals Ac = A ∩ {z = c} s´on mesurables Jordan (en els plans z = c).
a) Suposem que A ⊂ R × [z1 , z2 ], amb R ⊂ R2 un cert rectangle compacte. Proveu que vol(A) = zz12 dz `area(Az ).
(Usant el teorema de Fubini, ter´ıstica de A.) A z2 z1 1 = dz R dxdy χA (x, y, z), on χA ´es la funci´o carac- b) Proveu el principi de Cavalieri : si A i B tenen les seccions horitzontals amb mateixes `arees, llavors vol(A) = vol(B).
c) Sense fer cap c`alcul, proveu que el cilindre recte {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h} i el cilindre oblic {(x, y, z) | x2 + (y − z)2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h} tenen mateix volum.
32. Obteniu la probabilitat que l’equaci´o ax2 + bx + c = 0, els coeficients de la qual s’escullen a l’atzar en l’interval [0, 1], tingui arrels reals.
33. Considereu el s`olid pla (de densitat uniforme) limitat per la cardioide d’equaci´o r = a(1 + cos φ) en coordenades polars. Calculeu-ne el centre de massa.
34. Considereu el s`olid pla de massa m limitat per la lemniscata d’equaci´o r2 = a2 cos 2φ en coordenades polars. Calculeu-ne el moment d’in`ercia respecte a un eix perpendicular al pla i que passa per l’origen.
35. Un disc circular de radi R est`a carregat amb una densitat de c`arrega σ = br. Calculeu el camp el`ectric en un punt de l’eix del disc a dist`ancia d del pla del disc.
36. Demostreu que la for¸ca d’atracci´o gravitat`oria d’una bola homog`enia sobre un punt exterior a la bola ´es la mateixa que si es considera tota la massa concentrada en el centre de la bola.
37. Calculeu la for¸ca d’atracci´o gravitat`oria que exerceix un tronc de con circular i homogeni sobre un punt situat en el v`ertex del con complet, expressant el resultat en funci´o de la densitat δ, l’angle de semiobertura del con, α, i l’al¸cada del tronc de con, h.
(Situeu l’origen de coordenades en el v`ertex del con, i useu coordenades esf`eriques.) ∞ 38. Un m`etode per a calcular la integral de Gauss I = x funcions f (x) = −t2 e 0 2 dt 1 i g(x) = 0 2 2 e−x (1+t ) dt.
1 + t2 √ −x2 e 0 dx = π : considereu les 2 Problemes del tema 6 35 a) Comproveu que f (x) + g(x) ´es constant i calculeu-ne el valor.
b) Calculeu l´ım g(x) i dedu¨ıu-ne el valor de la integral de Gauss.
x→∞ ∞ 39. Un m`etode de c`alcul de la integral de Dirichlet I = 0 ∞ a) Considereu la funci´o F (λ) = e−λt 0 sin t dt.
t sin t dt. Deriveu-la i obteniu que l´ım F (λ) = 0.
λ→∞ t b) Comproveu que I = l´ım F (λ).
λ→0 (Observaci´ o La integral I ´es impr`opia. Els resultats estudiats en aquest tema sobre continu¨ıtat i derivaci´ o d’integrals depenendents de par`ametres no s´on sempre v`alids per a integrals impr`opies, encara que s´ı que ho s´ on en aquest cas.) x p y q + ≤ 1 i la funa b (a, b, p, q, α, β > 0). Demostreu la f´ ormula de Dirichlet bidimen- 40. Considereu el recinte A = ci´o f (x, y) = xα−1 y β−1 sional: (x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0, aα bβ Γ pq Γ f = A α p α p + Γ β q β q +1 .
(Feu el canvi u = (x/a)p , v = (y/b)q , apliqueu la definici´o de la funci´o B, i la seva expressi´o en termes de la funci´ o Γ.) (Observaci´ o Per a α o β menors que 1 la f´ormula de Dirichlet calcula una integral impr`opia.) 41. Calculeu l’`area Sn del recinte limitat, en el primer quadrant, pels eixos coordenats i la corba x2/n + y 2/n = a2/n .
(Observaci´ o Expresseu el resultat segons la paritat de n.) Respostes 1.
(a) 32/3.
(b) 10.
(c) 8.
(d) 1/8.
2.
(a) 0.
(b) 1/90.
(c) 1/6.
π−2 (d) .
4 (e) 176/45.
√ (f) log 2 − 5/16.
(g) 1/364.
√ y/3 48 3.
(a) dx f (x, y).
dy y/12 √ 1−x2 0 0 (b) dx −1 0 4.
z dz 0 dy −z z 2 −y 2 √ − dx f (x, y, z).
z 2 −y 2 1−x dx 0 √ 3 1 dy f (x, y) + dy f (x, y).
0 Problemes del tema 6 36 5. El conjunt de punts de discontinu¨ıtat ´es {(x, sin x) | x ∈ [0, π/2]}. f ´es integrable, at`es que aquest 3π 2 conjunt ´es de mesura nul.la. La integral val − 2.
4 6. 287/20.
7. 42.
8. π.
9.
(a) 1/15.
(b) (c) (d) (e) (f) 3πa4 .
2 13 4 πa .
32 7 2 3 a b .
3 59πR5 .
3 · 5 · 25 1/48.
(g) π 2 /16 − π/8.
f (x, y) dxdy = 10.
(b) 11.
(a) π/3.
D2 D1 f (x, −y) dxdy = ± D1 f (x, y) dxdy segons la hip`otesi.
(b) (β − α)(δ − γ).
3 (c) sinh1.
2 12. (a) πab.
(b) 13.
4 3 πabc.
(b) 3πa2 /2.
(c) a2 .
14.
(c) 1 2 3 πa h.
2 2 (d) 2π ab .
(8−y 2 )1/2 2 15.
(a) dy y 2 dx = −(8−y 2 )1/2 √ 8 π/4 0 (b) 2 −2 dy y + 0 π/2 dr r2 sin θ + dθ 0 dx 0 dx dy y + 0 2 dr r2 sin θ .
0 16 √ 2 2−1 .
(c) 3 (d) 0, I, 0.
2 16. f (x, y) = 18.
ex y 2 − exy ∂ f .
= xy ∂x (a) 1/2.
(b) 2.
19. J = π, I = √ π.
4π 3−α a , per a α < 3.
3−α 1 21. α = arc cos √ .
4 2 20. I = 22. λ = 1 − k .
1+k x 2 ytetxy dt + ex y .
y ∂f = ∂y x 2 xtetxy dt − exy .
y (8−y 2 )1/2 8 dx 2/ sin θ dθ π/4 √ − 8 √ (8−x2 )1/2 −2 2 dy y.
0 Problemes del tema 6 37 23. 64/3.
24.
1 3 (b − a3 ) 6 3 (b) πa2 .
8 (a) 1/ sin θ 3π/4 dr rf (r cos θ, r sin θ).
dθ 25.
1 1 − 2 .
α2 β 0 π/4 26. 5 + 15(arc tg 3 − (π/4)) = 5 + 15 arc tg 12 .
27. 4(π + 2)/π 3 .
28.
4 sin x4 − 3 sin x3 x sin xy ∂ F ∂F (b) F (x, y) = ; = cos xy, = y ∂x ∂y (a) F (x) = x −t sin ty dt.
0 (c) F (x, y) = −ey−x + ey−1 ; ∂ F/∂x = ey−x , ∂ F/∂y = x y−t e dt.
1 29. 2π.
30. Nom´es existeix la segona, i val 1.
5 + 6 ln 2 ≈ 25 4 %.
36 5 a, 0 .
33. (xcm , ycm ) = 6 π 34. ma2 .
8 32.
35. Ez = bd 2 0 ln R R + (R2 + d2 )1/2 .
− 2 d (R + d2 )1/2 37. Fz = mG 2πδh (1 − cos α), on m ´es la massa del punt.
38.
(a) f (x) + g (x) = 0 i f (0) + g(0) = π/4 impliquen f (x) + g(x) = π/4.
1 2 2 e−x (1+t ) (b) dt ≤ 2 0 √1 + t π .
val 2 39. F (λ) = 41. Sn = 1 2 +∞ 2 e−x dt = e−x → 0 quan x → ∞. La integral de Gauss 0 0 −1 , d’on F (λ) = − arc tg λ + π/2. A m´es, l´ım F (λ) = π/2, d’on I = π/2.
λ→0 1 + λ2 1 n!! a2 ξn , essent ξn = n 2 (n − 1)!! 1 n parell π/2 n imparell 2 e−t dt 7.
Integrals de l´ınia i de superf´ıcie Problemes b` asics 1. Calculeu la llargada de les corbes seg¨ uents: a) c(t) = (a cos t, a sin t, bt), 0 < t < 4π (h`elix).
b) x = R(t − sin t), y = R(1 − cos t), 0 < t < 2π (cicloide).
c) γ(t) = (a cos3 t, a sin3 t), 0 ≤ t < 2π (astroide o hipocicloide de quatre puntes).
d ) x2 /a2 + y 2 /b2 = 1 (el.lipse de semieixos a > b).
2. Obteniu les f´ormules que permeten calcular la llargada d’una corba plana en els sup` osits indicats: a) Corba en forma expl´ıcita y = f (x), x1 < x < x2 .
b) Corba en coordenades polars r = f (φ), φ1 < φ < φ2 .
3. Calculeu la llargada de les corbes expressades en coordenades polars seg¨ uents: a) r = a(1 + cos φ), 0 < φ < 2π (cardioide).
b) r = e−φ , 0 < φ < +∞ (espiral logar´ıtmica).
4. Calculeu les integrals de l´ınia seg¨ uents: a2 − y 2 dl, on C ´es la corba x2 + y 2 = a2 , y > 0.
a) C x2 dl, on C ´es la de la intersecci´o de l’esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 i el pla x + y + z = 0.
b) C 5. Calculeu les integrals de l´ınia (−R,0) a) C F · dl indicades: x dy al llarg de la corba x2 + y 2 = R2 , y > 0.
(R,0) (1,1) b) (x2 − 2xy)dx + (y 2 − 2xy)dy, al llarg de la par`abola y = x2 .
(−1,1) c) F(x, y) = (x + y, y − x); C ´es l’arc de l’el.lipse x2 + y 2 /4 = 1 orientat des del punt (1, 0) fins al (0, 2).
d ) F(x, y) = (2x + y 2 , 3y − 4x); C ´es la frontera de R = {(x, y) | y 2 ≤ x, y ≥ x2 } recorreguda en sentit positiu.
(2,1,2) 1 1 e) F·dl al llarg del segment que uneix ambd´os punts, on F(x, y, z) = , ,z .
x−y y−x (1,0,0) f ) F(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x); C ´es l’arc de la par`abola x = z 2 , y = 0, des de (1, 0, −1) fins (1, 0, 1).
g) F(x, y, z) = (x3 + y, y 2 + z, x + y + z); C ´es la circumfer`encia x2 + y 2 = 3, z = 0, orientada en el pla XY en sentit positiu.
ydx + zdy + xdz, on C ´es la corba intersecci´o de z = xy amb x2 + y 2 = 1, orientada h) C de manera que la seva projecci´o sobre el pla XY sigui positiva.
6. Calculeu l’`area de les superf´ıcies seg¨ uents: a) Con x2 + y 2 z2 = 2 , 0 < z < h.
2 a h Problemes del tema 7 39 b) Esfera de radi a.
c) Casquet esf`eric d’al¸cada h en l’esfera de radi a.
7. Integreu les funcions seg¨ uents sobre les superf´ıcies indicades: a) f (x, y, z) = (x2 + y 2 )z, sobre l’hemisferi superior de l’esfera de radi a centrada en l’origen.
b) f (x, y, z) = z, sobre z = 1 − x2 − y 2 , z > 0.
c) f (x, y, z) = x, sobre el cilindre definit per x2 + y 2 = a2 , amb 0 < z < 1.
d ) f (x, y, z) = 1, sobre la superf´ıcie de R3 parametritzada per g(u, v) = (u−v, u+v, uv), u2 + v 2 < 1.
8. Calculeu l’`area de les superf´ıcies seg¨ uents: a) La porci´o de l’esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 interior al cilindre x2 + y 2 = ay, essent a > 0.
b) El tros de l’esfera x2 + y 2 + z 2 − 2az = 0 (on a ≥ 0) contingut dins el paraboloide 2z = x2 + y 2 .
c) El fragment del con d’equaci´o x2 + y 2 = z 2 limitat pels plans z = 0 i y + 2z = 1.
9. Sigui S una superf´ıcie de revoluci´o obtinguda fent girar la generatriu C ⊂ {(x, y, z) | x > 0, y = 0} al voltant de l’eix OZ.
a) Si x = a(t), z = c(t) (t1 < t < t2 ) ´es una parametritzaci´o injectiva i regular de C, t2 proveu que l’`area de S ´es 2π dt a(t) a (t)2 + c (t)2 .
t1 b) Apliqueu-ho a calcular l’`area del tor de generatriu (x − R)2 + z 2 = r2 .
10. Calculeu les integrals de superf´ıcie S F · dS indicades: a) F(x, y, z) = (y, −x, 1), sobre la superf´ıcie definida per g(t, θ) = (t cos θ, t sin θ, θ), amb 0 < t < 1 i 0 < θ < 2π.
b) F(x, y, z) = (x + y + z, y + z, z), a trav´es de la frontera del cub 0 ≤ x, y, z ≤ 2, orientada vers l’exterior.
c) F(x, y, z) = (x+y, y−x, z), a trav´es de la superf´ıcie S = {(x, y, z) | z = 4−x2 −y 2 , z ≥ 0}, orientada amb la normal cap amunt.
d ) F(x, y, z) = (x3 , x2 y, x2 z), a trav´es de la frontera del conjunt definit per x2 + y 2 ≤ a2 , 0 ≤ z ≤ b, orientada cap a l’exterior.
e) F(x, y, z) = (0, 0, z 2 ), a trav´es de la superf´ıcie c`onica (z − 1)2 = x2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1, tancada amb el pla z = 0, orientada cap a l’exterior f ) F(x, y, z) = (x, y, 1/3), a trav´es de la superf´ıcie S = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0}, orientada amb la normal cap amunt.
x2 y 2 g) F(x, y, z) = (x, y, z), a trav´es de la superf´ıcie + + z 2 = 1, z > 0, orientada amb 4 9 la normal en sentit radial positiu.
h) F(x, y, z) = (x, 0, 0), sobre la part de l’esfera unitat continguda dins el con x2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0, orientada amb la normal cap amunt.
i ) F(x, y, z) = (x, y 2 , z), sobre la frontera de la regi´o tancada pel pla x + y + z = 1 i els plans coordenats, orientada vers l’exterior.
j ) F(x, y, z) = xi + zj + yk, a trav´es de la frontera de V = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ R2 , z ≥ 0, x ≥ z}, orientada cap a l’exterior.
Problemes del tema 7 40 k ) F(x, y, z) = (x+ey , z −y, x+y +z), a trav´es de la superf´ıcie formada per x2 +y 2 +z 2 = 10z (0 ≤ z ≤ 2) i x2 + y 2 = (z − 6)2 (2 ≤ z ≤ 6), orientada cap a l’exterior.
11. La imatge M de la parametritzaci´o σ: [0, 2π] × ]−1, 1[ → R3 σ(φ, v) = ((R + v sin(φ/2)) cos φ, (R + v sin(φ/2)) sin φ, v cos(φ/2)) , on R > 1 ´es una constant, ´es una banda de M¨obius (sense vora).
a) Justifiqueu que σ ´es injectiva, excepte que σ(0, v) = σ(2π, −v).
b) Calculeu els vectors tangents Tφ , Tv dedu¨ıts de la parametritzaci´o.
c) Calculeu el producte vectorial d’aquests vectors sobre un punt qualsevol de l’‘equador’ de la banda, Tφ × Tv (φ, 0), i el corresponent vector normal n(φ, 0).
d ) Vegeu que M no ´es orientable tot comparant n(0, 0) i n(2π, 0).
e) T´e sentit calcular el flux d’un camp vectorial a trav´es de M ? Podr´ıem integrar la funci´o constant igual a 1 sobre M a fi de calcular-ne l’`area? Problemes addicionals 12. Calculeu les integrals de l´ınia seg¨ uents: (x2 + y 2 ) dl, on C ´es la circumfer`encia de centre (0, 0) i radi R.
a) C (xy + z 2 ) dl, on C ´es l’arc d’h`elix x = cos t, y = sin t, z = t compr`es entre (1, 0, 0) b) C i (−1, 0, π).
13. Calculeu les integrals de l´ınia dels camps vectorials donats al llarg de les corbes orientades indicades: a) F(x, y, z) = (2xy, 3z, 5zy) al llarg de la corba parametritzada γ(t) = (t + 1, t3 − 1, t2 ) des de (0, −2, 1) fins (2, 0, 1).
b) F(x, y, z) = (x, y, xz − y), sobre el segment que va des de (0, 0, 0) fins (1, 2, 4).
y−x x+y c) F(x, y) = , 2 , al llarg de la circumfer`encia x2 + y 2 = a2 recorreguda 2 2 x + y x + y2 positivament.
d ) F(x, y, z) = (3xy, −y 2 , ez ), al llarg de la corba d’equacions z = 0, y = 2x2 , des de (0, 0, 0) fins (1, 2, 0).
e) ydx + zdy + xdz, on C ´es la circumfer`encia de radi 2 centrada en (1/3, 1/3, 1/3) C i situada en el pla x + y + z = 1, recorreguda en el sentit de les busques del rellotge vista des de l’origen.
(2,1,π) f) sin2 zdx + x sin 2zdz, al llarg de la recta que uneix ambd´os punts.
(2,1,π/2) dx dy dz + + al llarg de qualsevol corba situada sobre xz xy C yz un octant d’una esfera centrada a l’origen i de radi arbitrari val zero.
14. Proveu que la integral de l´ınia 15. Una tanca circular, centrada a l’origen i de radi 1, t´e al¸cada h(x, y) = |x| + |y|. Calculeu-ne l’`area.
16. Considereu el s`olid pla (de densitat uniforme) S = {(x, y, z) | x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. Calculeu-ne el centre de massa.
Problemes del tema 7 41 17. Calculeu el centre de massa de la regi´o de l’esfera x2 + y 2 + z 2 = r2 compresa entre els plans z = a i z = b, amb |a|, |b| ≤ r.
18. Calculeu el flux dels camps vectorials seg¨ uents a trav´es de les superf´ıcies orientades indicades: a) F(x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ), sobre la superf´ıcie definida per g(t, u) = (t + u, t − u, t), amb 0 < t < 2 i 1 < u < 3.
1 b) F(x, y, z) = (y, −y, 1) sobre el paraboloide z = 1 − x2 − y 2 , 0 < z < 1, x2 + y 2 orientat amb la normal cap amunt.
1 c) F(x, y, z) = (y, −y, 1) sobre la meitat inferior de l’esfera de radio 1 centrada 2 x + y2 a l’origen i orientada amb la normal cap avall.
d ) F(x, y, z) = yi + zj + xk, a trav´es de la superf´ıcie de la pir`amide limitada pels plans x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = a.
e) F(x, y, z) = (4xz, −y 2 , yz), a trav´es de la frontera del cub 0 ≤ x, y, z ≤ 1.
f ) F(x, y, z) = (x − y, x − y, 5z 3 ), a trav´es de la superf´ıcie esf`erica x2 + y 2 + z 2 = 1, orientada cap a fora.
x2 y2 z2 g) F(x, y, z) = (y, −y 2 z, yz 2 − x2 ), a trav´es de la superf´ıcie 2 + 2 + 2 = 1, z > 0, a b c orientada cap a fora.
h) F(x, y, z) = (z − y, x − z, z − x), a trav´es de la superf´ıcie x2 + y 2 + z 2 = 9, 1 < z < 2, orientada en sentit radial positiu.
x2 y 2 i ) F(x, y, z) = (x + z, z − y, 1), a trav´es de la porci´o de superf´ıcie c`onica + = z2, 2 3 compresa entre els plans z = 0 i z = 1, orientada en direcci´o z positiva.
19. Siguin F = (2, −3, 1), i S un cercle de radi a, situat en un pla P . Doneu l’equaci´o dels plans P per als quals el flux de F a trav´es de S es m`axim.
Respostes √ 1.
(a) 4π a2 + b2 .
(b) 8R.
(c) 6a.
(d) 4a 2.
3.
π/2 0 dt x2 x1 dx 1 + f (x)2 .
(b) φ2 φ1 dφ f (φ)2 + f (φ)2 .
(a) 8a.
√ 2.
(a) 2a2 .
(b) 2π/3.
5.
1 − k 2 cos2 t, amb k = (a) (b) 4.
√ (a) R2 π/2.
(b) −14/15.
(c) 3/2 − π.
(d) −49/30.
(e) 2.
(f) 2/3.
√ a2 − b2 /a (excentricitat).
Problemes del tema 7 42 (g) −3π.
(h) −π.
√ 6. (a) πa a2 + h2 .
(b) 4πa2 .
(c) 2πah.
7.
(a) πa5 .
2 (b) π √ 5 5 11 .
− 12 60 (c) 0.
π √ (d) (6 6 − 8).
3 8. (a) (−4 + 2π)a2 .
(b) 4πa2 , si a ≤ 1; 4πa, si a > 1.
√ (c) 2π 6/9.
9.
10.
(b) 4π 2 rR.
(a) 2π.
(b) 24.
(c) 24π.
(d) 5πa4 b/4.
(e) π/6.
(f) 5π/3.
(g) 12π.
√ 8−5 2 (h) π.
12 (i) 5/12.
(j) 2R3 /3.
(k) 116π/3.
 cos φ cos φ2 11. (c) n(φ, 0) =  sin φ cos φ2  − sin φ2 (e) No. S´ı.
 12.
(a) 2πR3 .
√ (b) 2π 3 /3.
13.
(a) 114/35.
(b) 23/6.
(c) −2π.
(d) −7/6.
√ (e) −12π/ 3.
(f) −2.
14. Observeu que F(x, y, z) = 1 (x, y, z) ´es ortogonal a l’esfera.
xyz 15. 8.
16. (xcm , ycm , zcm ) = (1/3, 1/3, 1/3).
Problemes del tema 7 17. (xcm , ycm , zcm ) = 18.
(a) 104/3.
(b) 4π/3.
π(π + 8) .
(c) − 4 (d) 0.
(e) 3/2.
(f) 4π.
(g) −πa3 b/4.
(h) 14π/3.
√ (i) 6π.
19. 2x − 3y + z = C.
43 0, 0, a+b .
2 8.
Teoremes integrals de l’an` alisi vectorial Problemes b` asics 1. Designem per r el camp radial de Rn , i per r la seva norma euclidiana, que ´es un camp escalar C∞ en Rn − {0}. Obteniu les relacions seg¨ uents: a) grad r = r/r.
h (r) b) grad h(r) = r, on h: ]0, +∞[ → R ´es C1 .
r c) grad rα = αrα−2 r.
d ) div r = n.
e) div(h(r)r) = nh(r) + rh (r). Quan val 0? I quan val h(r)? f ) div(rα r) = (n + α)rα .
g) ∆h(r) = h (r) + (n − 1)h (r)/r.
h) ∆rα = α(n + α − 2)rα−2 .
i ) En dimensi´o n = 3, calculeu rot(h(r)r).
j ) Doneu un camp vectorial en R3 − {0} amb rotacional i diverg`encia nuls.
2. Calculeu el rotacional dels camps a × r, (a · r)b, on a, b s´on vectors constants.
3. Calculeu la circulaci´o dels camps vectorials seg¨ uents al llarg de les corbes orientades indicades, utilitzant el teorema de Stokes: a) F = (x2 y 3 , 1, z), C, circumfer`encia x2 + y 2 = R2 , z = 0, recorreguda en el sentit positiu.
b) F(x, y, z) = (y, −2z, x), C, el.lipse intersecci´o del cilindre x2 + y 2 = R2 i el pla x = z, recorreguda de manera que la seva projecci´o sobre el pla XY sigui positiva.
c) F(x, y, z) = (yexy , xexy , xyz), C, corba reuni´o de les tres corbes obtingudes tallant el con x2 + y 2 = (z − 1)2 amb els plans x = 0, y = 0 i z = 0 i dins el primer octant; recorreguda de manera que, des de l’origen, es vegi en el sentit de les busques del rellotge.
d ) F = (y − z, z − x, x − y), C, corba tancada intersecci´o de l’esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 i el pla x + y + z = 1, recorreguda en el sentit (1, 0, 0) → (0, 1, 0) → (0, 0, 1).
e) F = (yz, −x, 2y), C, el triangle de v`ertexs (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1), orientat en aquest sentit.
f ) F = (y, z, x), C, la interseci´o de z = xy amb x2 + y 2 = 1, recorreguda de forma que la seva projecci´o sobre el pla XY sigui positiva.
4. Verifiqueu el teorema de Stokes per a la superf´ıcie helico¨ıdal definida per la parametritzaci´ o r(u, v) = (u cos v, u sin v, v), (u, v) ∈ [0, 1] × [0, π/2], i el camp vectorial donat per F(x, y, z) = (xz, yx, zy).
5. Calculeu el flux del rotacional del camp vectorial F = (y, zx, yzx) a trav´es de la superf´ıcie x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0, orientada amb la normal “cap amunt”.
6. Calculeu els fluxos dels camps vectorials seg¨ uents a trav´es de les superf´ıcies orientades donades, utilizant el teorema de Gauss: Problemes del tema 8 45 a) F(x, y, z) = (xy, y 2 , z 2 ), S, la vora del cub 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1.
b) f (x, y, z) = (x2 y, xy 2 , xyz), S, la vora de la regi´o V = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z < a2 , x > 0, y > 0, z > 0}, on a > 0 ´es una constant.
c) f (x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ), S, la vora de la regi´o V = (x, y, z) | x2 y 2 z2 + 2 ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ b , on a, b > 0 s´on dues 2 a a b constants.
d ) p(x, y, z) = xi − (2x + y)j + zk S, l’hemisferi x2 + y 2 + z 2 = 1, z > 0, orientat segons la normal exterior de l’esfera.
x2 y 2 z 2 7. Siguin a, b, c > 0 constants. Considereu les funcions ϕ(x, y, z) = 2 + 2 + 2 i g(x, y, z) = a b c x y z + + . Aplicant el teorema de Gauss, calculeu el flux del camp grad ϕ a trav´es de la a b c superf´ıcie S = {(x, y, z) | g(x, y, z) = 1, x > 0, y > 0, z > 0} orientada amb la normal “cap avall”.
8. Un camp escalar f (x, y, z) satisf`a ∇f 2 = 4f , ∇ · (f ∇f ) = 10f . Calculeu S ∂f dS ∂n ∂f la derivada direccional de f segons el essent S l’esfera unitat centrada a l’origen i ∂n vector normal unitari exterior a S.
9. Determineu h(x, y, z) a fi que el camp f = (h, 2x − 3zy 2 , −y 3 + 2xz) sigui conservatiu.
Obteniu-ne aleshores un potencial.
10. Sigui f un camp vectorial de la forma f = φ(r)r.
a) Demostreu que f ´es conservatiu.
b) Determineu φ(r) per tal que el flux de f a trav´es de qualsevol superf´ıcie tancada que no contingui l’origen sigui nul.
c) En aquest darrer cas, calculeu la circulaci´o de f entre els punts (1, 0, 0) i (0, 1, π/2) mitjan¸cant la funci´o potencial.
11. Comproveu que la integral de l´ınia dep`en del cam´ı, i calculeu-la.
(1,1,1) 2 (0,0,0) (3x + yz)dx + (3y 2 + xz)dy + (3z 2 + xy)dz no 12. Donada la relaci´o ∇ × F = (xy 2 + xz 2 , yx2 + yz 2 , −x2 z − y 2 z − az 3 ), determineu a.
13. Sigui el camp vectorial g(x, y, z) = (−x, −y, 2z).
a) Existeix algun camp q tal que rot q = g? En cas afirmatiu, determineu-ne algun.
b) Calculeu S g ·dS, essent S la semiesfera S = {(x, y, z) | (x−a)2 +(y −b)2 +(z −c)2 = R2 , z > c} orientada en la direcci´o radial. (Useu el resultat anterior.) 14. Calculeu les integrals de l´ınia seg¨ uents, aplicant el teorema de Green: x2 ydx − xy 2 dy sobre la circumfer`encia x2 + y 2 = R2 (orientada positivament).
a) b) C (x + 2y)dx + ydy , on C ´es la circumfer`encia centrada en (2, 0) i de radi 1.
(x + y)2 2 2 −2xye−x dx + (e−x + 3x)dy, essent C la corba x2 + y 2 − 2x − 4y = 0.
c) C Problemes del tema 8 46 y 2 dx + xdy, al llarg del quadrat de v`ertexs (0, 0), (2, 0), (2, 2) i (0, 2).
d) C (x3 − 3y)dx + (x + sin y)dy, on C ´es el triangle de v`ertexs (0, 0), (1, 0) i (0, 2).
e) C −x2 ydx + xy 2 dy, essent C la corba definida per x2 + y 2 = 1, y > 0, orientada des f) C de (1, 0) fins a (−1, 0).
f · dr, essent f = (ex cos y − y, −ex sin y), C1 la corba x2 + y 2 = 4 i C2 f · dr − g) C1 C2 la corba x2 − 2x + y 2 = 0, ambdues orientades positivament.
15. Sigui C ⊂ R2 una corba de Jordan i R la regi´o que tanca.
a) Com ha de ser f = (P, Q) per tal que C f · dl sigui l’`area de R? 1 b) Comproveu que f = (−y, x) ho satisf`a.
2 x2 y 2 c) Apliqueu-ho a calcular l’`area tancada per l’el.lipse 2 + 2 = 1.
a b 16. Comproveu que les integrals de l´ınia seg¨ uents s´on independents del cam´ı, i calculeu-les.
2 2 f · dl, amb f = (ey cos x, 2yey sin x), i C = {(x, y) | y = sin x} des de (0, 0) fins a) C (π, 0).
b) 2 2 xdx + ydy .lipse x + y = 1 situat en el primer quadrant, i , on C ´ e s el quart d’el a2 b2 x2 + y 2 C orientat des de (a, 0) fins (0, b).
17. Sigui el camp vectorial f (x, y) = x −y , 2 .
2 + y x + y2 x2 a) Calculeu la integral de f al llarg de la circumfer`encia x2 + y 2 = r2 , orientada positivament.
b) Sigui C una corba tancada simple que no deixa l’origen en el seu interior. Proveu que C f · dl = 0.
c) Sigui C una corba tancada simple (orientada positivament) que cont´e l’origen en el seu interior. Proveu que el valor de C f · dl ´es independent de la corba considerada.
Quin ´es aquest valor? ∂ f1 ∂ f2 d ) Verifiqueu que el camp vectorial f compleix = . Admet funci´o potencial en ∂y ∂x el seu domini de definici´o? Per qu`e? e) Sigui U = ]0, 1[ × ]0, 1[. Comproveu que la integral mitjan¸cant la f´ormula de Green. Per qu`e? ∂U f · dl no es pot calcular 18. Siguin D = {(x, y) | x2 + y 2 < 16, (x + 2)2 + y 2 > 1, (x − 1)2 + y 2 > 1}, f = (f1 , f2 ) un camp vectorial de classe C1 amb domini D, i C ⊂ D una corba tancada simple, orientada positivament. Quants valors diferents pot valdre C f · dr (segons l’elecci´o de C) en els casos seg¨ uents? a) Si f ´es el gradient d’un camp escalar en D.
∂ f1 ∂ f2 b) Si = .
∂y ∂x Problemes del tema 8 47 Problemes addicionals 19. Comproveu les propietats seg¨ uents, on F i G s´on camps vectorials C2 en R3 : a) div(F × G) = G · rot F − F · rot G.
b) rot(rot F ) = grad(div F ) − ∆F .
20. Si f i g s´on camps escalars C2 en R3 , qu`e val div(grad f × grad g)? 21. Un fluid gira al voltant de l’eix OZ amb velocitat angular ω(t, x, y, z).
a) Proveu que el seu camp de velocitats ´es de la forma v(t, x, y, z) = ω (−y, x, 0), i calculeu-ne el rotacional.
b) En el cas que ω nom´es depengui de la dist`ancia a l’eix OZ, ρ, esbrineu quan v ´es irrotacional.
22. Calculeu la circulaci´o dels camps vectorials seg¨ uents al llarg de les corbes indicades, utilitzant el teorema de Stokes: a) F(x, y, z) = (3xz + yz, 3xz − 3zy, 2xy), C, corba tancada obtinguda intersecant el pla 2x + 2y − z = 2 amb la frontera del cub Q = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}, recorreguda en el sentit que va de (1, 0, 0) a (0, 1, 0).
b) f = (x + y, y + z, z + x), C, el.lipse intersecci´o del cilindre x2 + y 2 = 3 amb el pla 2x + 2y + z = 0, recorreguda de manera que la seva projecci´o al pla XY es recorri positivament.
c) f = (y, z, x), C, corba intersecci´o de les dues superf´ıcies x + y = 2, x2 + y 2 + z 2 = 2(x + y), recorreguda de manera que, vista des de l’origen, el sentit ´es el de les busques del rellotge.
d ) F = (x − y + z, y − z + x, z − x + y), corba intersecci´o de x2 + y 2 + z 2 = 1 amb 2x + 2y + z = 0, orientada de manera que la seva projecci´o sobre el pla XY sigui recorreguda en sentit positiu.
23. Siguin F = (yexy , xexy + a(x − z), −ax) i C la corba intersecci´o de x + y + z = 1 amb x2 + y 2 = 1. Calculeu a per tal que la circulaci´o de F al llarg de C valgui π.
24. Obteniu S rot F·n dS, essent F = (x−z, x3 +yz, −3xy 2 ) i S la superf´ıcie z = 2− x2 + y 2 , 0 < z < 2 orientada amb la normal “cap amunt”.
25. Siguin F un camp amb rotacional (1, 2, 3) i C la intersecci´o de x2 +y 2 = 1 amb x+y +z = 1 recorreguda de manera que, en projectar sobre el pla XY , doni sentit positiu. Determineu C F · dl.
26. Sigui f un camp vectorial de classe C1 normal a una superf´ıcie regular S. Proveu que rot f ´es tangent a S. (Apliqueu el teorema de Stokes.) 27. Calculeu els fluxos dels camps vectorials a trav´es de les superf´ıcies orientades donades, utilizant el teorema de Gauss: a) F(x, y, z) = (yz, xz, xy), S, la vora del cub |x| < 1, |y| < 1, |z| < 1.
b) F(x, y, z) = (x2 , y 2 , z 2 ) , S, la mateixa.
Problemes del tema 8 48 c) F(x, y, z) = (x − y, y − z, x − y), S, la mateixa.
28. Calculeu S (rot F)·dS, on F ´es el camp vectorial F(x, y, z) = (−y, x2 , z 3 ) i S ´es la superf´ıcie que limita la regi´o x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, 1/2 ≤ z ≤ 1.
29. Siguin F = (ye, x cos z, x cos y − b) i S la superf´ıcie x2 + y 2 + z 2 − 2az = 1, z > 0, on a > 0.
Determineu b per tal que el flux radial positiu a trav´es de S sigui π, independentment de a.
√ 30. Donat el camp vectorial F = (y + z 2 − x, z 2 + y − x, a 2z/3) i les superf´ıcies S1 : (z − 2)2 = x2 + y 2 , 0 < z < 2, S2 : x2 + y 2 < 4, z = 0, trobeu el valor de a per tal que els fluxos “cap amunt” de F a trav´es d’ambdues superf´ıcies coincideixin.
31. Proveu que el flux d’un camp constant a trav´es d’una superf´ıcie tancada S ´es nul. Proveu tamb´e que si a ´es un vector fixat, llavors S cos(n, a) dS = 0.
32. Sigui U una regi´o de R3 que no contingui l’origen, i sigui S la vora de U . Expresseu α o U . Qu`e s’obt´e si α = 0? S r r · dS com una integral en la regi´ 33. De la mateixa manera que en el pla dues semirectes que parteixen d’un punt defineixen un angle, en l’espai podem definir angle s` olid com una regi´o Ω formada per semirectes que parteixen d’un origen O. La mesura d’aquest angle ´es l’`area de la superf´ıcie obtinguda tallant Ω amb l’esfera S de centre O i radi 1.
a) Vist des de l’origen, quant val l’angle s`olid de tot l’espai? I el d’un octant? b) Sigui M una superf´ıcie regular que no cont´e O i tal que cada semirecta amb origen O talla M com a molt en un sol punt. Sigui Ω(M ) el conjunt d’aquestes semirectes que tallen M ; s’anomena angle s` olid de v`ertex O subtendit per M .
r Proveu que la seva mesura es pot calcular amb la integral de superf´ıcie · dS.
3 r M (Sigui Ma la projecci´ o de M sobre l’esfera de centre O i radi a, amb a prou petit, i sigui U la regi´ o “c` onica” compresa entre Ma i M . Utilitzeu el teorema de Gauss en U per a provar que 1 la integral de superf´ıcie anterior coincideix amb 2 Ma dS, i noteu que aquesta quantitat no a dep`en del radi a triat.) c) Calculeu la mesura de l’angle s`olid, amb v`ertex a l’origen, subtendit per la superf´ıcie esf`erica x2 + y 2 + z 2 = a2 , z > a cos α.
34. Suposem que els camps escalars f i g satisfan ∇2 g = 0, g∇2 f = x+y, ∇·(g∇f ) = x+y +z.
∂g x2 y 2 z 2 Calculeu la integral de superf´ıcie f dS, essent S l’el.lipsoide d’equaci´o 2 + 2 + 2 = a b c S ∂n ∂g la derivada direccional segons la normal exterior a S.
1, i ∂n 35. Sigui V una regi´o de l’espai, i S la seva vora.
φ∇φ · dS obteniu l’expressi´o: a) Aplicant el teorema de la Gauss a S ∇φ V 2 φ∇2 φ dV + dV = − V φ S ∂φ dS ∂n Problemes del tema 8 49 ∂ la derivada segons la normal exterior a S.
∂n b) Demostreu que si φ1 i φ2 s´on dues solucions del problema essent ∇2 φ = h en V , ∂φ = g en S, ∂n cal φ1 − φ2 = const. (Considereu ψ = φ1 − φ2 .) c) Demostreu que un camp vectorial f definit en una regi´o V queda determinat pel seu rotacional i la seva diverg`encia en V , i el seu component normal en S = ∂V .
(Considereu g = f1 − f2 amb f1 i f2 dos camps amb mateixa diverg`encia i rotacional en V , i mateix component normal en S.) 36. Demostreu que el problema de Neuman per a l’equaci´o del potencial, ∆u = f en Ω, en Γ = ∂Ω, no pot tenir soluci´o si (Apliqueu el teorema de Gauss a Ω f dV = Γ gdS.
∂u =g ∂n ∇u · n dS, essent u soluci´o del problema.) Γ 37. Es consideren coordenades esf`eriques (r, θ, φ) (r2 = x2 + y 2 + z 2 , z = r cos θ). Sigui u una ∂u soluci´o del problema ∇2 u = u si r < 1, i = sin θ si r = 1. Obteniu r≤1 u dV .
∂r 38. Siguin u i v camps escalars C1 en un obert D, i C ⊂ D una corba tancada orientada.
Obteniu C (u∇v + v∇u) · dr.
39. Sigui φ una funci´o de classe C1 en un obert simplement connex D, i f un camp vectorial conservatiu de classe C1 en D. Proveu que el camp vectorial φ f ´es conservatiu sii grad φ i f s´on en cada punt proporcionals.
40. Comproveu que els camps vectorials seg¨ uents s´on conservatius, i calculeu-ne potencials escalars.
a) f = r/r.
r b) f = 2 .
r c) f = rα r, (α = −2).
d ) f (x, y, z) = (2xy + z 3 , x2 , 3xz 2 ).
e) f (x, y, z) = (y 2 z, 2xyz, xy 2 − 1).
41. Trobeu P (x, y, z) per tal que rot(P, (x − z)y, 0) = (y, z, x).
42. Demostreu que el camp vectorial f (x, y, z) = (y − z)i + (z − x)j + (x − y)k ´es soleno¨ıdal, i obteniu un camp vectorial g tal que f = rot g.
43. Calculeu les integrals de l´ınia seg¨ uents, aplicant el teorema de Green: (y 2 cos x − 2ey )dx + (2y sin x − 2xey )dy, on C ´es la corba d’equaci´o x2 + y 2 = π a) C (orientada positivament).
(2xex b) 2 −y 2 −4y)dx−(2yex 2 −y 2 −4x)dy, on C ´es la circumfer`encia 2x2 +2y 2 −3x+5y = C 0.
c) f · dl, on f = (y − cos x cos y, −x + sin x sin y), al llarg de la circumfer`encia x2 + y 2 − 2x + 2y = 0.
d) 1 f · dl, on f = (xy + x2 y, x2 + ey sin y), al llarg de la circumfer`encia x2 + y 2 = 1.
2 Problemes del tema 8 50 (x2 +y 2 )dx+x(1+2y)dy, essent C la corba orientada definida per la parametritzaci´ ox= e) C a(t − sin t), y = a(1 − cos t), 0 < t < 2π (cicloide).
44. Considereu el camp vectorial f (x, y) = x2 + y 2 , y xy + log(x + x2 + y 2 ) .
a) Raoneu si s’hi pot aplicar el teorema de Green en el rectangle R = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2}.
b) Calculeu la circulaci´o de f al llarg de la vora de R.
45. Determineu l’`area del domini compr`es entre l’eix OX i l’arc de cicloide definit per x = R(t − sin t), y = R(1 − cos t), amb 0 ≤ t ≤ 2π.
46. Sigui U ⊂ R2 un obert del pla, i F un camp vectorial de classe C1 en U . Sigui D ⊂ U una regi´o amb vora ∂D = C. Proveu el teorema de la diverg`encia en el pla: F · n dr = C div F dxdy D on n ´es el vector unitari normal exterior a D.
(Si F = (P, Q), considereu el camp vectorial G = (−Q, P ), i apliqueu-hi el teorema de Green.) (El primer membre s’anomena flux de F a trav´es de C.) 47. Siguin f (x, y) un camp escalar de classe C2 en un obert U ⊂ R2 , R ⊂ U una regi´ o, i C = ∂R la vora de R, amb normal exterior unit`aria n.
a) Aplicant el teorema de la diverg`encia, proveu la f´ormula: R ∂2f ∂2f + ∂x2 ∂y 2 dxdy = C ∂f dl, ∂n ∂f ´es la derivada direccional de f en la direcci´o de la normal.
∂n ∂u b) Calculeu dl, on u = x2 + 3y 2 i n ´es la normal exterior unit`aria a la corba C ∂n x2 + y 2 = 4, directament i com a aplicaci´o de l’apartat anterior.
on 48. Estudieu si els camps vectorials seg¨ uents admeten funci´o potencial. En cas afirmatiu, calculeu-la.
a) f (x, y) = (xy, 1).
b) f (x, y) = (y, x).
c) f (x, y) = (x2 − 3xy, x2 − x3 + y).
d ) f (x, y) = (ex−y (1 + x + y), ex−y (1 − x − y)).
2x 1 e) f (x, y) = , .
2 y + x y + x2 49. Comproveu que les integrals de l´ınia seg¨ uents s´on independents del cam´ı, i calculeu-les.
a) b) xdx + ydy, al llarg de la corba y = ϕ(x) des de x = 0 fins x = 2π.
C (x2 ,y2 ) (x1 ,y1 ) ϕ(x)dx (2,2) c) (1,0) + ψ(y)dy.
4x(y 2 + 1)dx − 4x2 ydy .
(x2 + y 2 + 1)2 Problemes del tema 8 51 50. Siguin P i Q funcions R2 → R de clase C1 , tals que ∂P ∂Q = . Definim ∂y ∂x 1 (xP (tx, ty) + yQ(tx, ty)) dt f (x, y) = 0 a) Proveu que f ´es potencial del camp F = (P, Q).
b) Apliqueu-ho a les funcions P = x + 2y, Q = 2x + y 3 .
51. Obteniu els valors de b per als quals les equacions diferencials seg¨ uents s´on exactes, i resoleu-les.
a) (bx2 y + y 3 )dx + (x3 + bxy 2 )dy = 0.
b) (3x − 5y + 7)dx + (bx − 6y + 10)dy = 0.
52. Per a les equacions diferencials seg¨ uents, obteniu un factor integrant µ del tipus indicat i useu-lo per a resoldre-les.
a) y 2 dx + (1 + xy)dy = 0; µ(xy).
b) (3xy − 2y 2 )dx + (2x2 − 3xy)dy = 0; µ(xy).
c) (x2 y 3 − y)dx + (x3 y 2 + x)dy = 0; µ(xy).
d ) (3x2 y + 3xy 2 )dx + (x3 + x2 y)dy = 0; µ y .
x e) y(1 + xy)dx − xdy = 0; µ = φ(y).
f ) (y 4 − 2y 2 )dx + (3xy 3 − 4xy + y)dy = 0; µ = φ(xy 2 ).
g) (xy 2 − x3 + x)dy + (x2 y − y 3 + y)dx = 0; µ = φ(xy).
1 h) ydx + x(x2 y − 1)dy = 0; µ = 2 φ(y/x).
x i ) (y 2 − xy)dx + x2 dy = 0; µ(x, y) = φ(xy 2 ).
53. Quina condici´o han de complir P i Q per tal que l’equaci´o P dx + Qdy = 0 admeti un factor integrant funci´o de ax + by? Respostes 1.
(e) h(r) = C/rn , h(r) = C/rn−1 .
(i) 0.
(j) F = r/r3 .
2. 2a, a × b.
3.
(a) −πR6 /8.
(b) −3πR2 .
(c) 0.
√ (d) −4π/ 3.
(e) 1/2.
(f) −π.
4. La circulaci´ o de f al llarg de la vora orientada en un sentit val 4/3 − π/8.
5. −π.
6.
(a) 5/2.
(b) 5a6 /24.
Problemes del tema 8 52 (c) πa2 b2 /2.
(d) 2π/3.
1 7. − abc 3 1 1 1 + 2+ 2 .
2 a b c 8. 8π.
9. h = 2y + z 2 + g(x). Un potencial ´es φ = 2xy + xz 2 − y 3 z + g(x) dx.
10.
(b) φ(r) = k/r3 .
k (c) k − .
1 + (π/2)2 11. 4.
12. a = 2/3.
13.
(a) S´ı, per exemple (0, 2zx, yx).
(b) 2πcR2 .
14.
(a) −πR4 /2.
(b) 0.
(c) 15π.
(d) −4.
(e) 4.
(f) π/4.
(g) 3π.
15.
(a) Cal 16.
(a) 0.
∂Q ∂P − = 1.
∂x ∂y (b) b − a.
17.
(a) 2π.
(c) 2π.
(d) No.
(e) La integral de l´ınia d´ ona π/2, mentre que que no ´es del domini del camp vectorial.
U ¯ inclou el punt (0, 0), . . . val 0. La ra´o ´es que U 18. Un i quatre, respectivament.
20. 0.
21.
(a) Utilitzem que r˙ = ω × r, amb ω = (0, 0, ω). v = (b) ω = A/ρ2 .
22.
(a) 3/2.
(b) −15π.
√ (c) −2 2π.
(d) 10π/3.
23. a = 1/3.
24. 12π.
25. 6π.
27.
(a) 0 −x ∂ω ∂ω ∂ω ∂ω , −y , 2ω + x +y .
∂z ∂z ∂x ∂y Problemes del tema 8 53 (b) 0.
(c) 16.
28. 0.
29. −1.
30. 0.
32. (3 + α) 33.
T rα dV .
(a) 4π; π/2.
(c) 2π(1 − cos α).
34. 0.
38. 0.
40.
(a) r + k.
(b) log r + k.
rα+2 + k.
α+2 (d) x2 y + xz 3 + k.
(c) (e) z(xy 2 − 1) + k.
41.
1 (−2xy + y 2 + z 2 ) + ϕ(x).
2 42. g(x, y, z) = (x2 /2 − xy − yz + z 2 /2)j + (x2 /2 − xz)k.
43.
(a) 0.
(b) 17π.
(c) −4π.
(d) −π/4.
8π 3 a3 − 3πa2 .
3 (a) S´ı.
(e) 44.
(b) 8.
45. 3πR2 .
47.
(b) 32π.
48.
(a) No.
(b) S´ı, xy + C.
(c) No.
(d) S´ı, ex−y (x + y) + C.
49.
(e) S´ı, log |x2 + y| + C.
1 (a) 2π 2 + (ϕ2 (2π) − ϕ2 (0)).
2 x2 (b) y2 ϕ(x) dx + x1 ψ(y) dy.
y1 (c) −1/9.
50.
51.
1 2 1 4 x + y + 2xy.
2 4 (a) b = 3; x3 y + xy 3 = C.
(b) f (x, y) = (b) b = −5; 23 x2 − 5xy − 3y 2 + 7x + 10y = C.
Problemes del tema 8 52.
(a) µ = exy ; yexy = C.
(b) µ = xy; x3 y 2 − x2 y 3 = C.
y x2 y 2 1 ; ln + = C.
xy x 2 x (d) µ = ; x3 y = C.
x+y (c) µ = (e) µ(x, y) = 1/y 2 ; x2 + 2x/y = C.
(f) µ(x, y) = 1 + xy 2 ; xy 2 (y 2 − 2)(xy 2 + 2) + y 2 = C.
1 (g) µ(x, y) = 2 2 ; x2 + y 2 − Cxy − 1 = 0.
x y (h) µ(x, y) = y/x3 ; 2y 3 − 3(y 2 /x2 ) = C.
1 x (i) µ(x, y) = 2 ; ln |x| − = C.
xy y 53.
Qx − Py = f (ax + by).
bP − aQ 54 ...