Problemes d'inducció electromagnètica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 5
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 3
Subido por

Vista previa del texto

Fonaments F´ısics de l’Enginyeria Departament de F´ısica i Eng. Nuclear (EUETIT, UPC) ` Induccio´ electromagnetica y I1 5 cm B va 5cm S N vb x θ I2 z Figura 2: Problema 4.
Figura 1: Problema 1.
Flux del camp magn`etic 1. Un camp magn`etic uniforme de 2000 G e´ s paral·lel a l’eix x. Una bobina quadrada de 5 cm de costat i una sola volta, fa un angle θ amb l’eix z tal i com ho mostra la figura 1. Trobeu el flux magn`etic a trav´es de la bobina quan (a) θ = 0 (b) θ = 30◦ (c) θ = 60◦ (d) θ = 90◦ Sol.: 5×10−4 W b, 4.33×10−4 W b, 2.5×10−4 W b, 0 2. Una bobina circular de 3 cm de radi t´e 6 voltes.
Perpendicular a ella hi ha un camp magn`etic de 5000 G.
(a) Determineu el flux magn`etic a trav´es de la bobina.
(b) Determineu el flux magn`etic a trav´es de la bobina si l’angle que fa amb el camp val 20◦ .
Sol.: 8.48 × 10−3 W b, 7.97 × 10−3 W b 3. Una bobina circular de 3.0 cm de radi t´e el seu pla perpendicular a un camp magn`etic de 400 G.
(a) Quin e´ s el flux magn`etic a trav´es de la bobina si aquesta t´e 75 voltes.
(b) Quantes voltes hauria de tenir la bobina per tal que el flux fos 0.015 Wb.
Sol.: 8.48 × 10−3 W b, 133 voltes Inducci´o 4. Quan l’imant de la figura 2 avanc¸a cap a l’espira, quin sentit t´e el corrent indu¨ıt? I quan s’allunya? Justifica la teva resposta. Utilitza a l’explicacio´ la notaci´o de la figura 2.
5. Per la bobina a de la figura 3 hi circula una intensitat variable (la fletxa m´es gruixuda correspon a la banda m´es propera de l’espira) que cada vegada e´ s m´es intensa. Una segona bobina b e´ s coaxial a la bobina a. Quin e´ s el sentit de la intensitat indu¨ıda a la bobina b? 6. Una bobina t´e 100 voltes, 4.0 cm de radi i una resist`encia de 25 Ω. Quina ha de ser la variaci´o d’un camp magn`etic perpendicular per a produir un corrent de 4.0 A en la bobina? Sol.: 199 T /s 7. Una bobina cil´ındrica de 25cm de longitud i 0.8cm de radi, amb 400 voltes, est`a en un camp magn`etic extern de 600 G que fa un angle de 50◦ amb el seu eix.
(a) Trobeu el flux magn`etic a trav´es de la bobina.
(b) Determineu quant val la fem indu¨ıda en la bobina si el camp magn`etic es redueix a zero en 1.4 s.
ω b a B I Figura 4: Problema 11.
Figura 3: Problema 5.
Sol.: 3.1 × 10−3 W b, 2.21 × 10−3 V 8. Connectem una resist`encia de 20 Ω a una espira de 10 cm de radi i 50 voltes. Un camp magn`etic uniforme en l’espai per`o variable en el temps t´e direcci´o normal al pla de l’espira. Si el m`odul del camp magn`etic ve donat per la funci´o B(t) = 0.5 cos(20t) T , calcula (a) El flux magn`etic quan han passat 10 ms.
(b) La intensitat al circuit als 20 ms.
Ajuda: recorda que l’argument de les funcions trigonom`etriques en F´ısica sempre ve donat en radians.
9. Una bobina de 1000 espires, longitud 10 cm i radi 1 mm per la qual hi circula una intensitat de corrent de 1 A es troba dins un camp magn`etic de m`odul 1 T que forma un angle de 300 amb l’eix de la bobina. Trobeu: (a) El flux magn`etic a trav´es de la bobina.
(b) Suposant que per t > 0 el m`odul del camp magn`etic varia de forma que B(t) = t + 1, mantenint la direccio inicial, calcula la f.e.m.
indu¨ıda.
(c) En aquest sup`osit, calcula la intensitat del corrent indu¨ıt a la bobina si aquesta presenta una resistencia de π/2 Ω.
10. Una bobina cil´ındrica de longitud L, radi R i N voltes es troba a un camp magn`etic extern B que forma un angle α amb el seu eix. Calculeu (a) El flux magn`etic a trav´es de la bobina, si α = 60◦ .
(b) Determina la f.e.m indu¨ıda en la bobina a l’instant t = 3s si la direcci´o entre el camp magn`etic i l’eix de l’espira varia amb el temps segons α(t) = πt/6.
Dades num`eriques: N = 100, R = 2.0 × 10−3 m, L = 10 cm, B = 3.0 × 10−5 T .
11. Una espira conductora circular, de superf´ıcie S, gira al voltant d’un eix que passa per un dels seus di`ametres i que e´ s perpendicular a un camp magn`etic uniforme B, amb una velocitat angular ω (figura 4). A un cert instant de temps el camp magn`etic e´ s perpendicular al pla de l’espira. Quina e´ s la forc¸a electromotriu indu¨ıda a l’espira en aquest moment? Per a quina orientaci´o de l’espira la forc¸a electromotriu indu¨ıda ser`a m`axima? Autoinducci´o 12. Una bobina circular de 3cm de radi i 100 voltes t´e en el seu pla perpendicular un camp magn`etic constant de 400 G. Una altra bobina est`a situada al mateix camp i est`a orientada de la mateixa manera.
El seu radi i seva longitud e´ s igual al de la primera bobina. Si el seu flux magn`etic e´ s el doble, (a) Qu`antes voltes t´e la segona bobina? (b) C´om e´ s la seva autoinducci´o respecte de la primera? 13. Determineu el flux magn`etic a trav´es d’una bobina cil´ındrica molt llarga de 25 cm de longitud, 1 cm de radi i 400 voltes, per la qual passa un corrent de 3 A.
Sol.: 7.58 × 10−4 W b 14. Per una bobina amb una autoinduct`ancia de 8.0 H circula un corrent de 3 A que canvia a un ritme de 200 A/s. Trobeu (a) el flux magn`etic a trav´es de la bobina.
(b) la fem indu¨ıda en la bobina.
Sol.: 24 W b, 1600 V 15. Per dues bobines de longitud l amb N espires hi circula un corrent I. Si el flux magn`etic de la bobina A e´ s el doble que el de la bobina B, quina e´ s la relaci´o entre els seus radis? 16. Quant ha de variar el coeficient d’autoinduccio´ d’un circuit per tal que la ε indu¨ıda sigui quatre vegades m´es gran si el ritme de variaci´o del corrent e´ s constant i igual a 0.1 A/s.
v B Sol.: 4 17. Una bobina circular de radi 1mm i 100 voltes t´e una longitud de 25cm i una resist`encia de 1Ω, determineu, (a) Quina ha de ser la variaci´o d’un camp magn`etic perpendicular per tal que es produeixi un corrent indu¨ıt de 1A? (b) Quina e´ s la autoinducci´o de la bobina? 18. Una bobina amb una autoinduct`ancia de 2.0 H i una resist`encia de 12.0 Ω es connecta a una bateria de 24 V de resist`encia interna negligible.
(a) Quin e´ s el corrent final? (b) Quanta energia s’ha emmagatzemat en l’inductor quan s’ha assolit el valor final del corrent? Sol.: 2 A, 4 J 19. Un solenoide t´e una longitud de 10 cm, un radi de 2 cm i 400 voltes. Connectem el solenoide a una font d’alimentaci´o de manera que la intensitat total que circula pel solenoide ve donada per l’expressio´ I = 2[1 − exp(−0.1t)] A.
(a) Troba la forc¸a electromotriu indu¨ıda al solenoide a l’instant inicial.
(b) Troba el flux del camp magn`etic als 2 s.
´ Inducci´o mutua 20. Dues bobines cil´ındriques de 2 cm i 5 cm de radi respectivament s´on coaxials. Totes dues tenen 25 cm de longitud i 300 i 1000 voltes respectivament.
Trobeu la seva induct`ancia m´utua.
Sol.: 1.89 mH 21. Siguin dues bobines muntades amb el seu eix de simetria com´u, una completament a dins de l’altra, de N1 = 900 i N2 = 1800 espires. Totes dues tenen la mateixa longitud (20 cm) i els seus radis s´on aproximadament iguals a 6 cm. Hi fem passar uns corrents I1 (t) = 3t2 − 4t + 1 (A) per la bobina 1 i I2 (t) = 5t + 6 (A) per l’altre. Calculeu (a) El coeficient d’inducci´o m´utua i els dos coeficients d’autoinducci´o.
Figura 5: Problema 23.
(b) Les intensitats indu¨ıdes en les bobines al cap de t = 7 s si les resist`encies de cada bobina s´on R1 = 25 Ω i R2 = 40 Ω.
Sol.: 5.76×10−2 H, 2.30×10−1 H, 1.15×10−1 H, 0.110 A, 0.138 A 22. Siguin dues bobines coaxials, ambdues de 0.25 m de longitud. La m´es gran t´e 15 cm de radi i 1800 voltes. La m´es petita t´e 5 cm de radi i 300 voltes.
(a) Calcula el flux magn`etic a cada bobina si per la gran circulen 2 A i per la petita 0.5 A.
(b) La forc¸a electromotriu indu¨ıda per la gran a la petita quan la variaci´o d’intensitat a la gran e´ s de 10 A/s.
Geometria variable 23. Quin sentit tindran els corrents de Foucault al p`endol de la figura 5 quan entri i quan surti de la regio´ amb camp magn`etic.
24. Una barra de 30 cm de longitud es mou a 8 m/s en un pla perpendicular a un camp magn`etic de 500 G. La velocitat de la barra e´ s perpendicular a la seva llargada. Trobeu (a) la forc¸a magn`etica sobre un electr´o en la barra.
(b) el camp electrost`atic E en la barra.
(c) la difer`encia de potencial V entre els extrems de la barra.
Sol.: 6.4 × 10−20 N , 0.4 N/C, 0.12 V 25. Una espira rectangular de 10 × 5 cm amb una resist`encia de 2.5 Ω es portada cap a una regi´o on hi ha un camp magn`etic B = 1.7T (figura 6) amb una velocitat constant v = 2.4 cm/s. La part davantera de l’espira entra en la regi´o de camp magn`etic a l’instant t = 0.
20 cm B b B ε 10 cm v v 5 cm R a x Figura 7: Problema 27.
Figura 6: Problema 25.
(a) Trobeu i representeu gr`aficament el flux a trav´es de l’espira en funci´o del temps.
(b) Trobeu i representeu gr`aficament la fem indu¨ıda i el corrent en l’espira com a funcions del temps. Negligiu l’autoinduct`ancia de l’espira i feu la representaci´o gr`afica entre t = 0 i t = 16 s.
26. A una zona acotada de l’espai hi ha un camp magn`etic de 0.5 T . Col·loquem una espira met`al·lica quadrada de costat 0.3 m i resist`encia 2 Ω en el centre de la zona i la treiem a fora a una velocitat constant de 1 m/s. Trobeu el valor del corrent indu¨ıt en l’espira quan hagi sortit totalment del camp magn`etic.
Sol.: 75 mA 10 cm 2 cm I 5 cm Figura 8: Problema 28.
27. En la figura 7, una barra de longitud l t´e una resist`encia R. Els ra¨ıls sobre els que llisca tenen una resist`encia negligible. Una bateria de fem ε i resist`encia interna negligible est`a connectada entre els punts a i b, de forma que el corrent de la barra e´ s descendent. La barra est`a en rep`os a t = 0.
28. Per un fil recte molt llarg hi passa un corrent I.
Una bobina rectangular amb dos dels seus costats paral·lels al fil, t´e costats de longitud a i b i est`a situada a una dist`ancia d del fil, com mostra la figura 8.
(a) Trobeu la forc¸a sobre la barra en funcio´ de la velocitat v i escriviu la segona llei de Newton per a la barra quan la velocitat e´ s v.
(a) Calculeu el flux magn`etic a trav´es de la bobina rectangular. Indicaci´o: Calculeu el flux en una banda d’`area dA = b dx i integreu des de x = d fins a x = d + a.
(b) Demostreu que la barra ateny una velocitat l´ımit constant i trobeu la seva expressi´o.
(b) Avalueu la resposta per a a = 5 cm, b = 10 cm, d = 2 cm i I = 20 A.
(c) Quin e´ s el corrent quan la barra ateny la seva velocitat final.
Sol.: vlimit = /lB Camp magn`etic no uniforme Sol.: 8.06 × 10−7 W b 29. Una barra de longitud l est`a situada perpendicularment a un fil recte molt llarg pel qual passa un corrent I, com mostra la figura 9. L’extrem m´es proper de la barra est`a a una dist`ancia d del fil. La v d I l Figura 9: Problema 29.
barra es mou amb una velocitat v en la direccio´ del current I.
(a) Demostreu que la difer`encia de potencial entre els extrems de la barra e´ s V = d d+l µ0 I v ln 2π d (b) Fent servir la llei de Faraday, obtingueu aquest resultat a partir de considerar el flux a trav´es de l’`area rectangular A = lvt escombrada per la barra.
30. Una espira met`al·lica rectangular de costats c = 1 cm i d = 1 mm i amb una resist`encia de 2 Ω s’allunya a una velocitat de 1 m/s en direccio´ perpendicular d’un fil indefinit que es troba a una dist`ancia l = 1 m en el seu mateix pla (figura 10).
Aquest fil transporta un corrent de 0.8 A. Trobeu: (a) El flux magn`etic que travessa l’espira.
(b) La forc¸a electromotriu i la intensitat indu¨ıdes en l’espira.
(c) Repetiu els c`alculs, suposant que la dist`ancia d e´ s menyspreable respecte la dist`ancia l.
Sol.: 1.6 × 10−12 W b, 1.6 × 10−9 V c I v l Figura 10: Problema 30.
...