Estadística T3 (2017)

Apunte Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Criminología - 1º curso
Asignatura Estadística
Año del apunte 2017
Páginas 12
Fecha de subida 19/09/2017
Descargas 1
Subido por

Descripción

Anàlisi de dades unidimensionals (freqüències, mesuresde posició, mesures de dispersió, gràfics...)

Vista previa del texto

3.#Anàlisi#de#dades#unidimensionals# 3.1.#Distribució#de#freqüències#unidimensional# Obtenim+una+resposta+de+cada+individu+en+el+qüestionari+i+es+fa+una+relació+(llista)+de+totes+les+respostes.+A+partir+ d’aquí+s’extreuen+diverses+dades+(freqüències).+ Les+ freqüències&absolutes+ (!! )+estableixen+quants+individus+han+donat+cada+resposta+concreta,+i+la+suma+de+tots+ aquests+ha+de+ser+n+(=+número+de+respostes+donades+en+total+=+mostra+del+qüestionari).+És+necessari+que+les+dades+ estiguin+ordenades.++ Exemple:+el+cas+del+qüestionari+fet,+en+que+!! +=+gènere+(pot+ser+qualsevol+variable),+H+són+homes+i+D+són+dones+ (respostes+que+es+donen+al+qüestionari).+ + Taula+1:+18+és+el+total+d’homes+que+ha+contestat+el+qüestionari+i+ !! + !! + !! + !! + 37+són+les+dones+que+ho+han+fet,+donant+un+total+de+55+individus.+ [2,3]+ 18+ H+ 18+ H+=+!! +i+D+=+!! + +(3,5]+ 34+ ++D+ 37+ 18+=+!! +;+37+=+!! ++;+i+55+=+n+ (5,7]+ 3+ + 55+ Això+també+es+pot+fer+amb+intervals.+Exemple:+taula+2.+Persones+ + + 55+ que+conviuen+a+la+llar+ + + Les+ freqüències& absolutes& acumulades+ (!! )indiquen+ quants+ individus+ han+ donat+ X+ resposta+ com+ a+ màxim;+ en+ aquest+cas+entren+tots+els+individus+fins+la+resposta+indicada.+Per#exemple,+els+individus+que+viuen+a+la+llar.+ + Es+sumen+les+variables+que+entren+dins+del+màxim+establert.+Per+ !! + !! + !! + exemple,+si+es+vol+saber+quants+casos+hi+ha+que+conviuen+fins+a+4+ 2+ 7+ 7+ individus+a+la+llar+s’ha+de+sumar+!! + ! !! + !! ,+és+a+dir,+7+18+28,+ +++3+ 11+ 18+ que+dóna+un+total+de+46+individus.+ 4+ 28+ 46+ 5+ 6+ 52+ 6+ 2+ 54+ 7+ 1+ 55+ + 55+ + + Les+ freqüències&relatives+(!! )+ són+el+percentatge+d’individus+que+ha+donat+una+resposta+determinada,+tenint+en+ !! compte+que+!! = ! ++ ,+és+a+dir,+es+divideix+cadascuna+de+les+freqüències+absolutes+pel+total+de+la+mostra.+També+ ! es+pot+fer+amb+intervals.+ Exemple:+classe+social+a+la+que+pertanyen+els+individus.+ + Els+resultats+indiquen+que:+un+25,5%+dels+individus+de+la+mostra+ !! + !! + !! + !" pertanyen+a+la+classe+mitja?baixa,+un+62,6%+a+la+classe+mitja+i+un+ MB+ 14+ =!0,255+ !! 10,9%+a+la+classe+mitja?alta.+ M+ 35+ 0,636+ El+total+de+!! +ha+de+donar+1,+tot+i+que+és+possible+que+per+tema+ MA+ 6+ 0,109+ d’arrodoniment+no+arribi.+ + 55+ 1+ + Les+ freqüències& relatives& acumulades+ (!! )+ són+ el+ percentatge+ d’individus+ que+ han+ donat+ una+ resposta+ com+ a+ màxim.+Per+obtenir?la+es+sumen+les+freqüències+relatives+fins+la+resposta+indicada+(!! = !! + ! !! + !! … ).+ Exemple:+classe+social+a+la+que+pertanyen+els+individus.+ + La+taula+indica,+per+exemple,+que+el+màxim+d’individus+que+ !! + !! + !! + pertany+a+la+classe+mitjana+és+del+89,1%+ MB+ 0,255+ 0,255+ + M+ 0,636+ 0,891+ MA+ 0,109+ 1+ + 1+ + + En?el?cas?de?respostes?nominals,?no?es?poden?acumular,?per?tant,?només?es?pot?indicar?la?freqüència?absoluta?(!! )?i? la?freqüència?relativa?(!! ).? EXEMPLE#GENERAL# !! !=+seguretat+al+barri++ + !! + !! + !! + 5+ 2+ 2+ 6+ 2+ 4+ +++7+ 2+ 6+ 8+ 1+ 7+ 9+ 2+ 9+ 10+ 1+ 10+ + 10+ + !! + 0,2+ 0,2+ 0,2+ 0,1+ 0,2+ 0,1+ 1+ !! + 0,2+ 0,4+ 0,6+ 0,7+ 0,9+ 1+ + + Suposem:+ ? Quants#individus#consideren#que#la#seguretat#és#de#8?+1+ ? Quin#percentatge#d’individus#indiquen#que#la#seguretat#és#de#8#com#a#màxim?+70%++(!! =0,7)+ ? Quin#percentatge#indica#que#la#seguretat#es#de#8#com#a#mínim?#40%.+Això+es+pot+calcular+de+dues+maneres:+ sumant+ els+ valors+ a+ partir+ del+ 8+ (!! + !! + !! = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4),+ o+ bé,+ el+ total+ menys+ la+ freqüència+ relativa+acumulada+anterior+al+8+(1?!! = 1 − 0,6 = 0,4)# ? Quants#individus# diuen# que# la#seguretat# és# entre# 7# i# 9?# 5+ individus.+ Això+ és+ pot+ calcular+ de+ dues+ maneres:+ sumant+els+valors+de+les+freqüències+absolutes+que+estan+en+aquest+interval+(!! + !! + !! =+2+1+2+=+5),+o+bé+ la+freqüència+absoluta+acumulada+màxima+indicada+(la+de+9+en+aquest+cas)+menys+la+freq.+absoluta+acumulada+ anterior+a+la+mínima+indicada+(en+aquest+cas+7,+per+tant,+s’agafaria+la+del+6),+seria:+!! − ! !! = 9 − 4 = 5# # 3.2.#Mesures#de#posició# Diuen+on+està+colXlocada+la+variable.+Poden+ser:+ De&tendència&central& ? La#moda#(!! ):+aquella+resposta+que+té+una+major+freqüència.+La+moda+es+pot+donar+tant+en+termes+absoluts+ (!! )+com+en+termes+relatius+(!! ),+i+es+pot+donar+en+intervals.+Exemple:+gènere+dels+individus+que+han+respost+el+ qüestionari.+Hi+una+un+total+de+18+homes+i+37+dones,+per+tant,+la+moda+és+dones.++ o Pot+ser+que+hi+hagi+varies+puntuacions+amb+la+mateixa+freqüència+i+aquesta+és+la+màxima,+per+tant,+ existeixen+ varies+ modes+ (distribució+ bimodal/multimodal).+ Exemple:+ en+ el+ conjunt+ de+ números+ següent+?>+1,+1,+1,+4,+4,+5,+5,+5,+7,+8,+9,+9,+9++apareixen+3+cops+els+nombres+1,+4+i+9,+per+tant,+!! +=+1,+5,+9+ o Quan+totes+les+puntuacions+del+grup+tenen+la+mateixa+freqüència+no+hi+ha+moda.+ ? Mediana+(!! ):+les+diferents+respostes+s’han+d’ordenar+i+el+valor+central+correspon+a+la+mediana.+Només+es+pot+ trobar+ per+ dades+ ordinals+ i+ per+ dades+ quantitatives.+ Exemple:+ amb+ els+ següents+ valors+ ?>+ 2,+ 5,+ 7,+ 10,+ 21;+ la+ mediana+és+el+valor+7.+ o En+ el+ cas+ que+ els+ valors+ siguin+ parells,+ s’agafa+ una+ solució+ de+ compromís,+ és+ a+ dir,+ s’agafen+ els+ dos+ nombres+centrals+i+es+fa+la+mitjana+entre+els+dos.+Exemple:+amb+els+valors+?>+2,+5,+7,+9,+10,+21;+es+fa+la+ mitjana+de+7+i+9,+resultant+en+8,+que+és+el+valor+de+la+mediana.+ o Trobar+!! +pot+ajudar+a+saber+la+mediana.+Aquesta+és+la+resposta+que+en+!! +superi+el+50%.+Exemple:+ notes+dels+alumnes+a+l’assignatura+d’estadística:+ + La+mediana,+en+aquest+cas,+és+de+N+?>+Aquest+és+el+valor+en+que++ !! + !! + !! + !!! supera+el+50%.+ S+ 28+ 0,308+ + A+ 16+ 0,484+ +++N+ 34+ 0,857+ E+ 13+ 1+ + 91+ + + + + + + !! + 2+ 5+ +++7+ 9+ 10+ 21+ + Pot+donar?se+que+un+dels+valors+de+!! +doni+50%+just.+En+aquest+cas,+el+que+s’ha+de+fer+és+la+mitjana+entre+ aquest+valor+i+el+següent.+Exemple:++ + !! + Es+fa+la+mitjana+entre+7+i+9,+resultant+en+8,+que+és+la+mediana.+ 0,16+ + 0,33+ 0,5+ 0,66+ 0,83+ 1+ ! + !! + [2,+3]+ (3,+5]+ (5,+7]+ + ? !! + 0,327+ 0,945+ 1+ Això+també+funciona+per+intervals.+Exemple:++ La+mediana+es+trobaria+en+l’interval+(3,+5]+ + Mitjana# aritmètica+ (!):+ mesura+ de+ posició+ més+ important.+ És+ la+ suma+ dels+ diferents+ valors+ i+ la+ divisió+ d’aquests+pel+nombre+total+de+valors.+Només+es+pot+fer+en+dades+quantitatives.+ + != !! !! + ! !! !! …!!! !! + ! + !! + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ + Exemple:+!! =!nombre+de+persones+que+conviuen+a+la+llar+ + !(!)!!!(!!)!!(!")!!(!)!!(!)!!(!) !"# !! + !̅ = +=+ +=3,78 + !! !! 7+ 11+ 28+ 6+ 2+ 1+ 55+ + o Si+no+es+disposa+de+!! ,+la+mitjana+aritmètica+es+pot+calcular+amb+!! :+ + ! = ! !! !! + ! !! !! …!!! !! + + o PROPIETATS:? 1) La+ suma+ de+ les+ desviacions+ de+ totes+ les+ puntuacions+ de+ la+ distribució+ respecte+ a+ la+ mitjana+ és+ 0.+ (!! − !) = 0! Exemple:+segons+la+distribució+següent:+8,+3,+5,+12,+10;+amb+mitjana+aritmètica+de+7.6:? (8?7.6)+(3?7.6)+(5?7.6)+(12?7.6)+(10?7.6)+=+0+ 2) La+ mitjana+ aritmètica+ dels+ quadrats+ de+ les+ desviacions+ dels+ valors+ de+ la+ variable+ en+ respecte+ a+ una+ constant+ es+ fa+ mínima+ quan+ aquesta+ constant+ coincideix+ amb+ la+ mitjana+ aritmètica+ (Teorema? de? Köring)+ (!! − !)! !! (!! − !)! !! = !!í!"#$+ ! ! ! = !"#$%&%!'ó!!"#$"%&"!!"#$%&'($!!"#$%!!"!!"!!"#$"%&'+ 3) Si+a+tots+els+valors+de+!! +es+suma+una+constant+(la+mateixa+quantitat),+la+mitjana+aritmètica+quedarà+ augmentada+en+aquesta+quantitat.+ !!! = !! + ! → ! ! ! = ! + !+ 4) Si+tots+els+valors+de+la+variable+es+multipliquen+per+una+mateixa+constant,+la+mitjana+aritmètica+queda+ multiplicada+per+aquesta+constant.+ !! ′′ = !! · ! → ! ! !! = ! · !+ Exemple:#X ! =+nº+d’hores+que+estudien+els+alumnes+ + !! + !! + !(!)!!!(!")!!(!) !" !̅ = +=+ +=+4,1+ !" !" 2+ 7+ La+mitjana+d’hores+d’estudi+és+de+4,1+ 5+ 10+ 6+ 3+ + 20+ Aleshores,+si+es+doblen+les+hores+d’estudi+(els+valors+de+la+variable+es+multipliquen+per+2):+ + !(!)!!!"(!")!!"(!) !"# !! + !! + !̅ = +=+ +=+8,2+ !" !" 4+ 7+ La+mitjana+d’hores+d’estudi+és+de+8,2+ 10+ 10+ 12+ 3+ + 20+ + 5) Si+en+el+conjunt+de+valors+es+poden+tenir+2+o+més+subconjunts,+la+mitjana+aritmètica+del+conjunt+total+ es+relaciona+amb+la+mitjana+aritmètica+de+cadascun+dels+subconjunts.+ !! !! + !! !! + ⋯ !!! !! ! ! =! + ! ! !! = !"#$%!! !"!!"#$%&'"&(! !! = !ú!"#$!! ! !"!#!$%&'!!!"#"!!"#$%&'"&(+ + Exemple:+en+els+subconjunts:+nois+i+noies+ !! = 18!!"#$! !! = 37!!"#$%! !! = 10ℎ!!! ! !"#$%&! !! = 5ℎ!!′!"#$%&+ + 10 · 18 + (37 · 5)! ! =! = 6.64!ℎ!"#$!! ! !"#$%&!!"!#$%+ 55 ? o AVANTATGES:? ! Considera+tots+els+valors+de+la+distribució+ ! És+calculable+ ! És+única+ ! És+el+centre+de+gravetat+de+la+distribució+ o INCONVENIENT:? ! Queda+arrossegada+per+valors+extrems+ o MITJANA? EN? INTERVALS:+ s’ha+ de+ considerar+ el+ punt+ mitjà+ de+ l’interval+ (que+ s’anomena+ marca? de? classe)+i,+a+partir+d’aquest,+es+calcula+la+mitjana+aritmètica.+Exemple:+ + + + !! ? 19,5? 22,5? 26,5? + + + + !! + [19,20]+ (20,25]+ (25,+28]+ + !! + 63+ 21+ 4+ 88+ S’agafen+els+dos+valors+de+l’interval+i+es+fa+la+seva+ mitjana+(així+es+troba+!! )+i+a+partir+d’aquests+es+ calcula+la+mitjana+total.+ De&tendència&no&central& Mesures+que+el+funcionament+de+les+quals+és+semblant+a+la+mediana.+ ? Quartils+ (Q):+ tres+ valors+ que+ divideixen+ la+ distribució+ en+ quatre+ parts+ iguals.+ El+ primer+ tall+ ha+ de+ superar+ el+ 25%,+el+segon+el+50%+i+el+tercer+el+75%.+Exemple:++ + + ? ? !! + 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ Q! = 3+ Q ! = 4+ Q ! = 4+ Els+valors+poden+coincidir.+ !! + 0,127+ 0,327+ 0,836+ 0,945+ 0,982+ 1+ Decils#(D):nou+valors+que+divideixen+la+distribució+en+10+parts+iguals.+Així+doncs,+per+exemple,+el+decil+4+haurà+ de+superar+el+40%+dels+valors,+el+decil+8,+el+80%+dels+valors...+Exemple#anterior:#el+D! = 2,+el+D! = 3,+el+!! = 4,+ el+!! = 4...+++ Percentils#(P):+els+99+valors+que+divideixen+la+distribució+en+100+parts+iguals.+Exemple#anterior:+el+ D!" = 2,+el+ D!" = 3,+el+!!" = 4,+el+!!" = 5...+ + S’estableix+que+!! = ! !! = !!" = !! + + 3.3.#Mesures#de#dispersió# Mesuren+ a+ dispersió+ de+ les+ dades+ respecte+ d’algun+ punt+ (el+ grau+ de+ separació+ de+ les+ dades+ de+ la+ sèrie+ estadística),+ normalment+d’una+mesura+com+la+mitjana+aritmètica.+ + Mesures&de&dispersió&absoluta& ? Rang#o#recorregut# (R):+diferència+que+hi+ha+entre+el+valor+més+gran+i+el+més+petit+de+la+sèrie+estadística.+Recull+ com+de+dispersa+és+una+distribució.+Es+calcula+amb+la+fórmula:+! = !! − !! +Exemple:++ + !! + 18+ 20+ 22+ 24+ + + + + + ? !! + 4+ 1+ 2+ 1+ 8+ + + + !! + 0,5+ 0,625+ 0,875+ 1+ + + + + + + + + + + + + + !! + 4+ 10+ 18+ 20+ 24+ 28+ 38+ + !! + 1+ 1+ 2+ 1+ 1+ 1+ 1+ 8+ !! + 0,125+ 0,25+ 0,5+ 0,625+ 0,75+ 0,875+ 1+ + + S’estableix+que+en+el+cas+de+la+taula+2+ les+dades+són+més+disperses+ compte+el+50%+dels+individus+centrals,+de+manera+que+si+hi+ha+casos+extrems+en+la+distribució+aquests+no+es+tenen+ en+compte.+Es+calcula+amb+la+fórmula+!" = !! − !! .+Exemple+(dades+anteriors):++ + Taula+1:+RI+=+22+–+18+=+4+ + Taula+2:+RI+=+26+–+14+=+12+ + + Variància#(S ! ):+s’usa+per+saber+quant+de+disperses+estan+les+dades+respecte+la+mitjana,+així+doncs,+es+compara+cada+ valor+ de+ !! + amb+ la+ mitjana+ (!! − ! !).+ És+ un+ paràmetre+ molt+ sensble+ a+ les+ puntuacions+ extremes.+ Una+ variància+ elevada+significa+que+les+dades+estan+més+disperses,+mentre+que+una+variància+baixa+indica+que+els+valors+estan,+en+ general,+més+propers+a+la+mitjana.+S’usa+la+fórmula+següent:+ + !! = ! # + Rang#o#recorregut#interquartílic#(RI):+diferència+entre+el+tercer+quartil+i+el+primer.+En+aquest+cas,+només+es+té+en+ + ? Taula+1:+R+=+24+–+18+=+6+ Taula+2:+R+=+38+–+4+=+34+ (!! − !)! !! + ! Exemple:++ + !! + !! + 18+ 4+ 20+ 1+ 22+ 2+ 24+ 1+ + 8+ La+mitjana+és+20+ !! − !+ ?2+ 0+ 2+ 4+ + + + + + + + + + (!! − !)! + 4+ 0+ 4+ 16+ + + (!! − !)! !! + 16+ 0+ 8+ 16+ 40+ + + + + + + El+numerador+=+40,+per+tant:+ 40 !! = = 5+ 8 Per+tant,+la+variància+és+de+5.+ + + + + 2 2 Hi+ ha+ una+ manera+ de+ fer+ aquest+ càlcul+ de+ manera+ més+ ràpida:+ primer+ es+ calcula+ el+ numerador+ (!! !! !! − !! !!)+ i+ després+aquest+es+divideix+entre+n.+Exemple#(dades+anteriors):+ + !! ! !! = 18! 4 + 20! 1 + 22! 2 + 24! 1 = 3240+ + 3240 − !!! ! = 3240 − ! 8 20 + !! = ! = 40!+ 40 = 5+ 8 # # • 1.
PROPIETATS? La+variància+és+un+valor+positiu,+mai+pot+ser+negativa+(això+és+perquè+està+elevat+al+quadrat).+? ! ! ≥ 0? La+igualtat+només+es+dóna+quan+totes+les+mostres+són+iguals+(les+dades+són+una+constant).+ ! ! = 0? 2.
La+ variància+ és+ la+ mitjana+ quadràtica+ de+ dispersió+ òptima.+ Això+ es+ refereix+ a+ que+ quan+ en+ la+ fórmula+ es+ canvia+el+valor+de+la+mitjana+per+qualsevol+altre,+el+resultat+sempre+serà+més+gran.+ (!! − !)! !! !! ≤ ? ! 3.
La+variància+es+pot+calcular+amb+dades+agrupades+(amb+!! )+a+partir+de+la+fórmula:+ ? ? !! = !! ! !! − ! ! + + 4.
La+suma+d’una+constant+no+canvia+la+variància+ !"!!!!!!!! = !! + !!!!!!!!"#$%&!!!!!(! ! )! = ! ! + 5.
Si+les+dades+es+multipliquen+per+una+constant,+la+variància+queda+multiplicada+pel+quadrat+de+la+constant+ + !"!!!!!!!! = !!!! !!!!!!"#$%&!!!! ! ! !! = !!! !? # b# Desviació#típica+ (S):+una+desviació+típica+elevada+significa+que+les+dades+estan+disperses,+mentre+que+un+valor+baix+ indica+que+els+valors+són+propers+els+uns+dels+altres+i,+per+tant,+de+la+mitjana.+Es+calcula+amb+la+fórmula+++! = ! ! + # • 1.
2.
PROPIETATS? La+ desviació+ típica+ és+ un+ valor+ positiu,+ la+ igualtat+ només+ es+ dóna+ en+ el+ cas+ que+ totes+ les+ mostres+ siguin+ iguals.+ ! ! ≥ 0? ? S+ és+ una+ mesura+ de+ dispersió+ òptima+ (quan+ en+ la+ fórmula+ es+ canvia+ el+ valor+ de+ la+ mitjana+ per+ qualsevol+ altre,+el+resultat+sempre+serà+més+gran.)+ + 3. ! = ! !! ! !! !!! ! ! + 4.
La+suma+d’una+constant+no+varia+la+desviació+típica+ !"!!!!!!!! = !! + !!!!!!!!"#$!"!!!!!! ! = !+ 5.
Si+les+dades+es+multipliquen+per+una+constant,+la+variància+queda+multiplicada+pel+quadrat+de+la+constant+ + !"!!!!!!! ′ = !!!! !!!!!!"#$%&!!!!!′′ = !"? + ? !! ! Quasibvariància+ (! ∗! ):+es+calcula+amb+la+fórmula+?>++! ∗! = !!!+++el+fet+de+restar+1+és+important+quan+la+n+és+petita+ ja+que+varia+molt+el+resultat.+ + + Mesures&de&dispersió&relativa& Es+necessiten+mesures+adimensionals+(no+tenen+unitats,+sense+dimensió)+ ? Coeficient#d’apertura+ (A):+ valor+ més+ gran+ de+ !! + dividit+ entre+ el+ més+ petit.+ S’estableix+ que+ el+ valor+ més+ gran+ és+ tantes+vegades+més+gran+que+el+valor+més+petit.+Si+!! = 0+no+es+pot+calcular+A.+ !! != + !! + ? Recorregut#relatiu# (!! ):+mesura+la+dispersió+relativa+d’una+distribució.+La+resposta+es+dóna:+el+recorregut+conté+a+ la+mitjana+tantes+vegades.+ ! !! = + ! + ? Coeficient#de#variació#de#Pearson# (CV+ o+ V):+ estableix+ que+ la+ desviació+ típica+ conté+ tantes+ vegades+ la+ mitjana.+ Com+més+gran+és+aquest+coeficient,+menys+representativa+és+la+mitjana+respecte+la+distribució.+Així+doncs,+quan+un+ colXlectiu+ té+ un+ coeficient+ de+ variació+ més+ gran+ que+ un+ altre,+ aquest+ és+ més+ heterogeni+ (perquè+ hi+ ha+ més+ dispersió),+en+canvi,+si+el+coeficient+de+variació+és+més+petit+que+el+de+l’altre+grup,+aquest+és+més+homogeni.# No+es+pot+calcular+si+! = 0+ La+quota+inferior+(lo+mínim+que+pot+valdre+és+0.+ La+resposta+es+dóna:+la+desviació+típica+conté+a+la+mitjana+tantes+vegades.+ ! !" = + ! + # # EXEMPLE#GENERAL# X ! =+la+crisi+pot+justificar+els+petits+delictes+ # !! + 0+ 3+ 4+ 7+ 10+ + !! + 3+ 1+ 3+ 2+ 1+ 10+ !! + 3+ 4+ 7+ 9+ 10+ + !! + 0,3+ 0,1+ 0,3+ 0,2+ 0,1+ 1+ !! + 0,3+ 0,4+ 0,7+ 0,9+ 1+ + # M! = 0!i!4+ M! = 4+ 0 3 + 3 1 + 4 3 + 7 2 + 10(1) 3 + 12 + 14 + 10! != = = 3,9+ 10 10 Q! = 0;!Q ! = 7;!D! = 7;!P!" = 3+ R = 10 − 0 = 10++ RI = 7 − 0 = 0# + + + Variància:+ + !! − !+ ?3,9+ ?0,9+ 0,1+ 3,1+ 6,1+ + (!! − !)! + 15,21+ 0,81+ 0,01+ 9,61+ 37,21+ + !! = 102,9 = 10,29+ 10 + != + 10,29 = 3,207+ != (!! − !)! !! + 45,63+ 0,81+ 0,03+ 19,22+ 37,21+ 102,9+ + + + + + + # # # # # # # 10 = !"!é!!!"#!$#"%#&+ 0 + !! = + !" = 10 = 2,56! → !"!!"#$!!"%&'!!"#$é!!!!"!!"#$%&%!2,56!!"#$%"&+ 3,9 3,207 = 0,822 → !"!!"#$%&'%ó!!í!"#$!!"#$é!!!!"!!"#$%&%!0,822!!"#$%"&+ 3,9 # # 3.4.#Tractament#gràfic#de#dades#unidimensionals# Dades+de+ni#o+fi# Dades&qualitatives&a&nivell&nominal& Diagrama&de&barres& Gràfic+ on+ totes+ les+ barres+ tenen+ la+ mateixa+ amplada+ i+ l‘alçària+ correspon+ al+ valor+ representat+ (pot+ ser+ o+ !! !o!!! ).+Exemple:++ !! + !! + !! + + H+ D+ + 80+ 60+ 40+ 20+ 0+ H+ 29+ 59+ 88+ 0,33+ 0,67+ + D+ Dades+de+Xi# # Gràfic&de&sectors& Per+realitzar?lo+s’han+de+trobar+els+graus+a+partir+de+la+fórmula:+!"#$% = 360 · !! + !! + H+ D+ H+ D+ 33%+ 67%+ + + # !! + 0,33+ 0,67+ graus+ 118,8+ 241,2+ Dades&qualitatives&a&nivell&ordinal& Es+poden+usar+els+dos+explicats+anteriorment.+ Diagrama#de#barres# !! + S+ A+ N+ E+ !! + 28+ 16+ 34+ 13+ !! + 28+ 44+ 78+ 91+ !! + 0,308+ 0,176+ 0,373+ 0,143+ graus+ 110,88+ 63,36+ 134,28+ 51,48+ + 91+ + 1+ + 40+ 30+ 20+ 10+ 0+ S+ A+ N+ E+ # Diagrama#de#barres#amb#freqüències# acumulades# Gràfic#de#sectors# Dades+de+Ni#o#Fi# S+ A+ N+ E+ 100+ 5%+ 20%+ 24%+ 51%+ 80+ 60+ 40+ 20+ 0+ S+ # # Dades&quantitatives& A+ N+ E+ # S’usen+els+tres+tipus+de+gràfics+anteriors+ !! =!la+crisi+pot+justificar+els+petits+delictes# !! + 0+ 3+ 4+ 7+ 10+ + !! + 3+ 1+ 3+ 2+ 1+ 10+ !! + 3+ 4+ 7+ 9+ 10+ + !! + 0,3+ 0,1+ 0,3+ 0,2+ 0,1+ 1+ graus+ 108+ 36+ 108+ 72+ 36+ + Diagrama#de#barres# 4+ 3+ 2+ 1+ 0+ 0+ 3+ 4+ 7+ 10+ # Gràfic#de#sectors# Diagrama#de#barres#de#freqüències# acumulades# 0+ 3+ 4+ 7+ 10+ 15+ 10%+ 20%+ # 10+ 30%+ 5+ 30%+ 10%+ 0+ 0+ 3+ 4+ 7+ 10+ # Dades&quantitatives&agrupades&en&intervals& S’ha+de+calcular,+a+més+de+les+variables+de+sempre:+ ? Amplitud#de#l’interval+(!! ):+es+resta+el+valor+major+de+l’interval+menys+el+menor+ ! ? Densitat#de#freqüència+(ℎ! ):+s’usa+la+fórmula+ℎ! = ! + !! Al+fer+la+taula+de+les+variables,+s’ha+de+buscar+la+marca+de+classe+(!! ),+que+és+el+valor+que+representa+a+l’interval.+ En+aquest+cas+no+es+pot+fer+diagrama+de+barres+perquè+no+es+té+un+resposta+concreta,+sinó++un+interval+de+respostes.+En+ comptes+ es+ fa+ un+ histograma.+ En+ aquest,+ l’amplitud+ és+ la+ base+ de+ cada+ rectangle+ i+ l’alçada+ d’aquests+ és+ la+ densitat+de+freqüència,+així+doncs,+l’àrea+de+cada+rectangle+correspon+amb+el+seu+valor+de+!! .+ Exemple:+ !! + (2,+4]+ (4,+6]+ (6,+8]+ (8,+10]+ + !! + 3+ 5+ 7+ 9+ + !! + 5+ 15+ 19+ 39+ 78+ !! + 5+ 20+ 39+ 78+ + !! + 0,064+ 0,192+ 0,244+ 0,5+ 1+ !! + 0,064+ 0,256+ 0,5+ 1+ + !! + 2+ 2+ 2+ 2+ + graus+ 23+ 69+ 88+ 180+ + ℎ! + 2,5+ 7,5+ 9,5+ 19,5+ + # # # # # # # Gràfic#de#sectors# Histograma# 25+ 6%+ 20+ (2,+4]+ 19%+ 15+ 10+ (6,+8]+ 50%+ 25%+ 5+ (4,+6]+ (8,+10]+ 0+ (2,+4]+ (4,+6]+ (6,+8]+ (8,+10]+ # 3.5.#Transformacions#lineals:#tipificació#d’una#variable#estadística+ 3.5.1&Transformacions&lineals? A+partir+de+les+propietats+de+suma+i+resta,+tenint+en+compte+les+fórmules+següents:+ !!! = ! + !! + !!!! = ! · !! + !!!!! = ! + !!! + Exemple:+ Partint+de:+ !! = 3,5+ !! + !! + ! ! = 8,75+ 0+ 1+ ! = 2,958+ 2+ 1+ a=+4+ 4+ 1+ b=2+ 8+ 1+ + + 4+ Obtenim:+ Cas+1:+ + !! ! = ! + !! = !7,5+ Cas+1:+ Cas+2:# Cas+3:+ (! ! )′ = 8,75 → !"!!"#$"+ !!! = ! + !! # !!! = !!! + !!! = ! + !!! + + !!! # !!! + !!! + Cas+2:+ 4+ 0+ 4+ !! ! ′ = !!! = !!7+ 6+ 4+ 8+ (! ! )′′ = ! ! ! ! = 35+ 8+ 8+ 12+ + Cas+3:+ 12+ 16+ 20+ !! !!! = ! + !!! = !11+ (! ! )′′′ = ! !! ! = 35+ + # + Variable#!! # !!! = ! + !! + Mitjana#!# !′ = ! + !+ TAULA#TRANSFORMACIONS#LINEALS# Desviació#típica#S # Coeficient#de#variació#! = ! # Variància#!! # ! ! (! ! )′ = ! ! + S’+=+S+ !! = ++?>+canvi+en+l’origen+ !!! ! !!!! = !!! + !′′ = !!+ (! ! )′′ = ! ! ! ! + S’’+=+bS+ ! !! = ++?>+canvi+d’escala+ !!!!! = ! + !!! + !′′′ = ! + !!+ (! ! )′′′ = ! ! ! ! + S’’’+=+bS+ ! !!! = ! !" !!!! ++ + + Problema#d’exemple:+ En?una?companyia?d’autobusos,?el?20%?dels?trajectes?no?presenta?retard?i?el?80%?sí,?que?tenen?la?següent?distribució:? + !! → !"#$!%!!"!!"#$%&+ !! → !"#$%&!!"!!"#$%&!%'++ + 5+ 1000+ + 10+ 1000+ + 15+ 500+ + 20+ 300+ + 30+ 200+ + + 3000+ + a)?Quin?és?el?retard?mitjà?dels?trajectes?amb?retard??I?del?total?dels?trajectes?? !(!) → !"#$!%!!"#$à!!"#$!!"#$%&!%'!!"#!!"#$!%+ + 5 1000 + 10 1000 + 15 500 + 20 300 + 30(200) !(!) = = 11.5+ 3000 + El+retard+mitjà+dels+trajectes+amb+retard+és+de+11.5+minuts+ + !(!) → !"#$!%!!"#$à!!"#$!!"#$%&!%'!!"!#$%+ + !(!) = 0.2! 0 + 0.8 11.5 = 9.2!!"#$%&++?>+el+0,2+és+el+percentatge+d’autobusos+sense+retard+i+el+0,8+amb+retard.+ + ! ∗! ∗!! ∗! ∗ Aquesta+última+operació+es+pot+fer:+ ! ! ! ! = !! ∗ !! ∗ +!! ∗ !! ∗++ ! + b)?Si?després?d’una?política?d’incentius,?el?retard?dels?trajectes?ha?tingut?una?reducció?del?5%,?quina?serà?la?nova?mitjana? dels?trajectes?amb?retard??I?la?seva?desviació?estàndard??I?la?mitjana?del?total?de?trajectes?? !!!! = 0,95!! + ! !!! = 0,95!(!) = 0,95 · 11,5 = 10,925!!"#$%&+ La+nova+mitjana+dels+trajectes+amb+retard+és+de+10,925+minuts.+ + 537500 − 396750 !! ! = = 46,92 → ! ! = 6,84957+ 3000 + ! !!! = 0,95 · 6.84957 = 6,507!!"#$%&+ La+desviació+estàndard+és+de+6,507+minuts+ + ! !!! = 0,2 0 + 0,8 10,925 = 8,74!!"#$%&+ La+mitjana+del+total+dels+trajectes+és+de+8,74+minuts+de+retard.+ + + + + + + + 3.5.1&Transformacions&lineals? Una+variables+està+tipificada/reduïda/estandarditzada+si+la+seva+mitjana+és+=+i+la+seva+variància+és+1.+ !! − ! !! = + !! + (!! · !! ) !! − ! · !! != = = 0+ ! ! · !! + (!! − !)! · !! !! ! · !! !! ! ! !! = = = ! = 1+ ! ! !! Problema+d’exemple:+ Un+individu+ha+de+triar+entre+una+oferta+laboral+a+Espanya+i+una+a+EEUU.+A+Espanya+li+ofereixen+un+sou+anual+brut+de+ 53.000€+i+a+EEUU+una+de+50.000€.+A+més+a+més,+se+sap+que+el+sou+mitjà+i+la+desviació+típica+dels+sous+són,+en+cada+cas?+ !"#$%&$ → ! ! = 40.000€!!!!!!!! = 3.500€! !!"" → ! = 36.500€!!!!!!!! = 1.725€!+ En+quina+de+les+dues+empreses+la+posició+relativa+és+millor+respecte+als+altres+treballadors?+ 53000 − 40000 !"#$%&$ → ! = 3,71+ 3500 ! 50000 − 36500 !!"" → = 7,82+ 1725 + El+salari+a+EEUU+és+millor+perquè+estaria+7,82+punts+per+sobre+de+la+mitjana+de+la+resta+de+sous+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ...

Comprar Previsualizar