Examen Final Primavera 2013 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Probabilidad Procesos Estocasticos y Estadística
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Soluci´ o de l’Examen final 14 de juny de 2013 1. En un centre de c`alcul hi ha ordinadors connectats a una xarxa que t´e dues seccions. En la secci´ o S1 hi ha quatre ordinadors i en la secci´ o S2 n’hi ha cinc. Un virus infecta un ordinador de S1 i dos ordinadors de S2 . Quan un usuari utilitza un ordinador infectat hi ha una probabilitat 35 que els seus arxius s’infectin.
(a) Un procediment de verificaci´ o es basa en triar tres ordinadors a l’atzar dels nou disponibles. Calculeu la probabilitat que es tri¨ı com a m` axim un ordinador infectat.
Feu-ho pels dos esquemes seg¨ uents: quan es trien els tres ordinadors diferents, per un costat, i quan es trien els tres ordinadors de forma independent (amb possible repetici´ o, per tant), per l’altre. Indiqueu quina de les dues probabilitats ´es m´es alta i raoneu perqu`e.
(b) Als usuaris que accedeixen a un ordinador se’ls assigna primer una secci´ o, de manera que la probabilitat de triar S1 val 32 , i despr´es se’ls assigna a l’atzar un dels ordinadors de la secci´ o elegida. Calculeu la probabilitat que s’infectin els arxius d’un usuari que accedeix al sistema. Si un usuari veu que els seus arxius s’han infectat, quina ´es la probabilitat que se li hagu´es assignat la secci´ o S1 ? Compareu amb la probabilitat a priori i comenteu si la variaci´ o ´es raonable.
(c) Al sistema van accedint usuaris independents (seguint l’esquema de l’apartat (b)).
Sigui N la variable que compta quants usuaris han accedit en el moment en que es produeix la primera infecci´ o d’arxius. Trobeu el tipus de variable que ´es, la seva esperan¸ca i la probabilitat que 3 ≤ N ≤ 7.
Soluci´ o: (a) Si X ´es la variable que d´ ona el nombre d’ordinadors infectats dins dels tres triats, ens demanen P (X ≤ 1).
Quan en triem 3 diferents, en un conjunt de 9 ordinadors (3 infectats, 6 no infectats): P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 6 3 9 3 + 3 1 6 2 = 9 3 65 = 0,7738.
84 Quan els triem de manera independent, X ´es binomial amb n = 3 i p = 31 .
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 3 0 1 3 0 2 3 3 + 3 1 1 3 1 2 3 2 8 12 20 + = = 0,7407.
27 27 27 (o, m´es directament, hi ha 93 maneres de triar els tres ordinadors, 63 de triarne zero infectats i 3 · 3 · 62 de triar-ne un infectat. Llavors la probabilitat val (216 + 324)/729 = 20/27.) Triar un nombre gran d’ordinadors infectats ´es m´es probable quan els triem independents ja que triant-los diferents l’elecci´ o d’un ordinador infectat disminueix la probabilitat que els altres triats ho siguin. Aix´ı, els valors petits de X s´ on menys probables en la tria independent.
= 1 (b) Denotem OI = “Ordinador infectat”, AI = “Arxius infectats”.
P (S2 ) = 31 . P (OI |S1 ) = 14 , P (OI |S2 ) = 25 . P (AI |OI ) = 35 . Llavors: P (S1 ) = 2 3, P (AI ) = P (AI |OI )P (OI ) = P (AI |OI )(P (OI |S1 )P (S1 ) + P (OI |S2 )P (S2 )) = 3 5 1 2 2 1 · + · 4 3 5 3 = 9 = 0,18.
50 Per Bayes: P (S1 |AI ) = P (AI |S1 )P (S1 ) P (AI |OI )P (OI |S1 )P (S1 ) = P (AI ) P (AI ) = 3 5 · 1 2 4 · 3 9 50 = 5 = 0,55.
9 A priori P (S1 ) = 0,66. La probabilitat ha disminuit ja que la infecci´ o ´es m´es probable en S2 .
(c) N ´es geom`etrica de par` ametre p = P (AI ) = 0,18. La seva esperan¸ca val E[N ] = 1 o de distribuci´ o de N ´es FN (n) = 1 − q n on q = 1 − p = 0,82.
p = 5,5. La funci´ P (3 ≤ N ≤ 7) = P (2 < N ≤ 7) = FN (7) − FN (2) = 0,822 − 0,827 = 0,4231.
2 2. Donada la variable aleat`oria bidimensional (X, Y ) amb funci´o de densitat fXY (x, y) = e−(x+y) , x, y > 0 0, altrament, es consideren les variables aleat` ories S = X + Y, Y .
X Q= Es demana: (a) Les funcions de distribuci´ o marginals de S i Q.
(b) La funci´ o de densitat conjunta de (S, Q).
(c) Les funcions de densitat marginals de S i Q. Obtingueu aquestes densitats tant a partir de (a) com de (b). S´ on S i Q independents? Soluci´ o: Les variables aleat` ories X, Y s´ on exponencials de par` ametre 1. En efecte,  x<0   0, ∞ ∞ fX (x) = fXY (x, y) dy = .
 −∞  e−x e−y dy = e−x , x > 0 0 An` alogament, fY (y) = e−y si y > 0 i fY (y) = 0 altrament. Com que fXY (x, y) = fX (x)fY (y) tenim que X, Y s´ on independents (a) Sabem que FS (s) = P(S ≤ s) = P(X + Y ≤ s). Si s < 0 aquesta probabilitat val 0.
Sigui s > 0 i considerem la regi´ o D = {(x, y) ∈ R2 : x + y ≤ s}. Tenim s P(X + Y ≤ s) = D e−y dy e−x dx 0 s 0 s 1 − e−(s−x) e−x dx = = s−x fXY (x, y) dxdy = e−x − e−s dx = 1 − e−s − se−s .
0 0 D’altra banda, FQ (q) = P(Q ≤ q) = P(Y /X ≤ q). Si q < 0 aquesta probabilitat val 0 ja que X i Y prenen valors positius. Sigui q > 0 i considerem la regi´ o T = {(x, y) ∈ R2 : y/x ≤ q}. Tenim qx ∞ P(Y /X ≤ q) = T 0 ∞ 0 ∞ 1 − e−qx e−x dx = = e−y dy e−x dx fXY (x, y) dxdy = 0 e−x − e−(1+q)x dx = 1 − 0 q 1 = .
1+q 1+q (b) Aplicarem el teorema del canvi de variable. Podem comprovar que la transformaci´ o definida pel sistema s = x + y, q = y/x, aplica bijectivament l’interior del primer quadrant del pla (x, y) en l’interior del primer quadrant del pla (s, q). Donats s > 0, q > 0, la u ´nica soluci´ o del sistema ´es x= s , 1+q 3 y= sq .
1+q El jacobi` a de la transformaci´ o val J(x, y) = 1 1 −y/x 2 = 1/x x+y .
x2 Per tant, fSQ (s, q) = fXY (x, y) |J(x, y)| = x=s/(1+q),y=sq/(1+q) se−s , (1 + q)2 s, q > 0.
(c) Les densitats marginals de S i Q valen ∞ fS (s) = ∞ fSQ (s, q) dq = 0 −∞ ∞ fQ (q) = ∞ fSQ (s, q) ds = −∞ 0 se−s dq = se−s , (1 + q)2 s > 0; se−s 1 ds = , 2 (1 + q) (1 + q)2 q > 0.
Tamb´e podem obtenir aquests resultats derivant les funcions de distribuci´ o obtingudes a l’apartat (a): fS (s) = FS (s) = 1 − e−s − se−s fQ (q) = FQ (q) = q 1+q = = se−s , 1 , (1 + q)2 s > 0; q > 0.
Les variables S i Q s´ on independents ja que es compleix fSQ (s, q) = fS (s)fQ(q).
4 3. El nombre de viatgers que arriba a una terminal d’un aeroport segueix un proc´es de Poisson X(t) amb par` ametre λ = 15 viatgers per minut.
(a) Trobeu la probabilitat que en 1 minut, en els primers 20 segons arribin 3 viatgers i en els u ´ltims 16 segons n’arribin 2.
(b) Trobeu l’esperan¸ca i la vari` ancia del temps fins que arriba el des´e viatger.
(c) Trobeu la millor estimaci´ o lineal no homog`enia de X(t) en funci´ o de X(t − 10) (temps expressat en segons). Calculeu l’error quadr` atic mitj` a que es comet amb aquesta estimaci´ o.
Soluci´ o: El promig d’arribades en segons ´es λ = 15/60 = 1/4.
(a) Com que les arribades de viatgers segueixen un proc´es de Poisson, P [X(20) = 3, X(60) − X(44) = 2] = P [X(10) = 3]P [X(60 − 44)] = 2 = P [X(20) = 3]P [X(16)] = 2 500 53 e−5 42 e−4 = 9.
= 3! 2! 3e (b) Sigui Xi la variable aleatoria que compta el temps en segons entre la arribada del i−1 i del i-`esim viatger. Aleshores, les variables Xi s´ on exponencials independents i per tant el temps d’arribada del des`e viatger ´es, T10 = X1 + X2 + · · · + X10 . Per tant, E[T10] = 10E[Xi] = 10/λ = 40, V ar[T10] = 10V ar[Xi] = 10/λ2 = 160.
(c) Estimem X(t) per N (t) = aX(t − 10) + b. Calculem a, b segons el Principi d’ortogonalitat, E[(N (t) − X(t))X(t − 10)] = 0 E[(N (t) − X(t)) · 1] = 0 D’on, aE[X(t − 10)X(t − 10)] + bE[X(t − 10)] = E[X(t)X(t − 10)] aE[X(t − 10)] + b = E[X(t)] Fent servir del valor mitj` a i l’autocorrelaci´ o d’un proc´es de Poisson, E[X(t)] = λt, RX (t1 , t2 ) = λ2 t1 t2 + λ min{t1 , t2 }, tenim, a(λ2 (t − 10)2 + λ(t − 10)) + bλ(t − 10) = λ2 t(t − 10) + λ(t − 10) aλ(t − 10) + b = λt De forma equivalent, aλ(t − 10) + a + b = λt + 1 aλ(t − 10) + b = λt Per tant, a = 1 i b = 5/2.
5 Calculem l’error quadr` atic mitj` a d’aquesta estimaci´ o lineal, ¯ = E[(N (t) − N (t))2 ] = E[(N (t) − N (t))N (t)] = E[(N 2(t) − N (t − 10)N (t) − 5N (t)/2] = RN (t, t) − RN (t − 10, t) − 5E[N (t)]/2 = λ2 t2 + λt − λ2 t(t − 10) − λ(t − 10) − 5λt/2 = 10λ(λt + 1 − t/4) = 5/2.
6 ...