Sem 2 Sol (2015)

Apunte Español
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Economía - 1º curso
Asignatura Matemáticas II
Año del apunte 2015
Páginas 3
Fecha de subida 16/01/2015
Descargas 3
Subido por

Descripción

Toda la teoría y práctica de la asignatura

Vista previa del texto

Matem` atiques II Problemes del Seminari 2 Heu de raonar breument totes les respostes i justificar els passos que feu.
Mat`eria: Sessions 4 i 5.
1. Trobeu les derivades parcials primeres i segones de: (a) z = y 2 − x2 .
x2 .
y (c) z = y x . (Indicaci´o : deriveu cada membre de la igualtat ln z = ln(y x ) tot aplicant les propietats dels logaritmes).
(b) z = En cada cas, tingueu cura d’expressar el domini de les derivades.
´ SOLUCIO: ′′ (a) zx′ = −x/ y 2 − x2 ; zy′ = y/ y 2 − x2 ; zxx = −y 2 /(y 2 − x2 )3/2 ; ′′ ′′ ′′ zyy = −x2 /(y 2 − x2 )3/2 ; zxy = zyx = xy/(y 2 − x2 )3/2 .
Domini: {(x, y) : y 2 > x2 } = {(x, y) : (y − x)(y + x) > 0} (b) zx′ = 2x ; y 2 2 ′′ ′′ ′′ ′′ zy′ = − xy2 ; zxx = y2 ; zyy = 2 xy3 ; zxy = zyx = − 2x .
y2 Domini: {(x, y) : y = 0} (c) ∂z ∂z ∂2z = y x ln y; ∂y = xy x−1 ; ∂x 2 = ∂x 2 2 ∂ z ∂ z = ∂x∂y = y x−1(x ln y + 1).
∂y∂x y x (ln y)2; ∂2z ∂y 2 = x(x − 1)y x−2; Domini: {(x, y) : y > 0} 2. Donada la funci´o f (x, y) = 2x4 − 3x2 y + y 2, trobeu l’equaci´o del pla tangent a la superf´ıcie de la seva gr`afica en el punt (1, 3, f (1, 3)).
´ SOLUCIO: z = −10x + 3y + 3.
3. Donada la funci´o f (x, y) = xey/x , es demana: (a) Demostreu que tots els seus plans tangents passen per l’origen de coordenades. (Indicaci´o : calculeu l’equaci´o del pla tangent en un punt (a, b) del domini).
(b) Com s´on els plans tangents en els punts del domini on y = x? ´ SOLUCIO: (a) Si (a, b) ´es del domini de f , (a = 0), el pla tangent a (a, b, aeb/a ) t´e per equaci´o z= eb/a ·(a − b) ·x + eb/a ·y a que, o`bviament, passa per (0, 0, 0).
(b) En tots els punts on a = b, el pla tangent ´es el mateix: z = e·y 4. Donada la funci´o z = f (x, y) = x2 + 6xy − 3y 2 − 4y, trobeu, si existeix, el punt de la seva gr`afica on el pla 6x − 2y + z − 3 = 0 ´es tangent. En cas de no existir, justifiqueu el perqu`e.
´ SOLUCIO: (0, −1, 1). Cal comprovar que el pla i la superf´ıcie tenen el punt de tang`encia en com´ u. En efecte, f (0, −1) = 1 i (0, −1, 1) pertany al pla: 6·0 − 2·(−1) + 1 − 3 = 0.
5. La seg¨ uent figura mostra les corbes de nivell d’una funci´o z = f (x, y): 10 9 z=8 z=6 r 8 P z = 10 7 z=4 6 z=2 5 Q 4 3 2 1 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 −1 (a) En base al gr`afic anterior, argumenteu quins s´on els signes (positiu, negatiu o zero) de fx′ (P ), fy′ (P ), fx′ (Q) i fy′ (Q); ´es a dir, quins s´on els signes de les derivades parcials en els punts P i Q? (b) En la mateixa figura, indiqueu quin ´es el punt del domini on es troba el valor m´ınim de f (x, y) si els punts (x, y) han de pert`anyer a la recta r Justifiqueu la vostra resposta.
´ SOLUCIO: (a) fx′ (P ) < 0, fy′ (P ) > 0, fx′ (Q) > 0, fy′ (Q) = 0. Aquesta u ´ ltima igualtat es justifica ′ perqu`e sobre z = 6, fy una mica sota de Q ´es negativa i una mica sobre Q ´es positiva.
(b) min f = 4 (si (x, y) ∈ r) en el punt on r ´es tangent a la corba de nivell z = 4.
6. Considereu la funci´o de producci´o de Cobb-Douglas Q(K, L) = 4K 3/4 L1/4 , que expressa la producci´o Q en termes de la quantitat de capital K i de la quantitat de treball L. Entenem que cada variable est`a expressada en les unitats adequades (que poden totes ser monet`aries).
Feu servir les aproximacions de les derivades parcials, f (x0 + h, y0 ) ≈ f (x0 , y0 ) + f (x0 , y0 + k) ≈ f (x0 , y0 ) + ∂f ∂x (x0 ,y0 ) ∂f ∂y (x0 ,y0 ) ·h ·k per trobar aproximadament (sense calculadora) quina ser`a la producci´o si: (a) El capital passa de K = 10.000 a K = 10.010 i la quantitat de treball es mant´e fixada a L = 625.
(b) El capital es mant´e fixat a K = 10.000 i el treball disminueix en dues unitat des de L = 625.
(Indicaci´o : Per calcular Q(10.000, 625) no cal calculadora. Penseu que 10.000 = 104 i 625 = 54 .) ´ SOLUCIO: (a) Q(10.010, 625) ≈ 20.015.
(b) Q(10.000, 623) ≈ 19.984.
...