Tema 1: Matrius i determinants (2013)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 1
Año del apunte 2013
Páginas 25
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 2
Subido por

Descripción

Concepte de matriu, Operacions amb matrius,Determinant d’una matriu. Propietats dels determinants,Rang d’una matriu

Vista previa del texto

Part i: Àlgebra lineal Tema 1: Matrius i determinants 1.1 Concepte de matriu. Operacions amb matrius Concepte de matriu Què és una matriu? S’anomena matriu d’ordre mxn, l’ordenació de m·n nombres reals disposats en m files i n columnes. La denotarem com a A = (aij)mxn.
En aquest cas, aij són nombres reals i s’anomenen elements d’A.
Els subíndexs dels elements, és a dir, la i i la j, representen la fila i la columna respectivament on es troba l’element.
Exemple: La matriu A és d’ordre 2x3, atès que té dues files i tres columnes. L’element a13=–4, ja que es troba a la fila 1 i a la columna 3.
11 Llúcia Mauri Masdeu Per a què serveix? Sovint hem de representar algun tipus de valor que depèn de més d’una variable. Per exemple: comprem un bitllet de tren; podem suposar que el preu depèn alhora de l’estació on volem baixar i del tipus de tarifa aplicada a cada client.
Exemple: Una cadena de magatzems té 4 centres: C1, C2, C3 i C4, on es venen 3 productes diferents: F1, F2 i F3. Per representar el benefici de les vendes en els diferents centres en funció dels diferents productes, utilitzarem una matriu.
Tipus de matrius Matriu quadrada: Anomenarem matriu quadrada, la matriu que té el mateix nombre de files que de columnes.
Exemples: Les matrius A i C són quadrades perquè tenen el mateix nombre de files que de columnes.
S’anomena diagonal principal d’una matriu quadrada, els elements a11, a22,..., ann.
Exemple: Matriu simètrica: Anomenarem matriu simètrica la matriu quadrada en què els elements que hi ha per sobre la diagonal principal són iguals als que hi ha per sota, és a dir, els elements aij = aji per i = l, ..., n i j = l, ..., n.
12 Matemàtiques I Exemples: Les matrius A i B són simètriques.
Matriu antisimètrica: Anomenarem matriu antisimètrica la matriu quadrada en què els elements que hi ha per sobre la diagonal principal són els oposats als que hi ha per sota, és a dir, els elements aij = –aji per i = l, ..., n i j = l, ..., n. A més a més, els elements de la diagonal principal són nuls, és a dir, aii = 0 per i = l, ..., n.
Exemples: Les matrius A i B són antisimètriques.
Matriu transposada: Anomenarem matriu transposada, i la denotarem per At, la matriu resultant d’intercanviar les files per les columnes o les columnes per les files, és a dir, si A=(aij)mxn és una matriu, la seva matriu transposada és At=(aji)nxm.
Exemples: 13 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, les matrius transposades corresponents són: Matriu inversa: Anomenarem matriu inversa d’una matriu quadrada A aquella matriu tal que A⋅A–1 = In, i la denotarem per A–1. Aquesta matriu s’obté a partir de les operacions següents: On, det A indica el determinant de la matriu A, i Ac és la matriu complementària.
Matriu diagonal: Anomenarem matriu diagonal la matriu en què tots els elements que no estan a la diagonal principal són nuls, és a dir, aij = 0 si i ≠ j per a tot i = l, ..., n i j = l, ..., n.
Exemples: Matriu escalar: Anomenarem matriu escalar la matriu diagonal en què tots els elements de la diagonal principal són el mateix nombre, és a dir, aij = 0 si i ≠ j i aii = k per a tot i = l, ..., n, j = l, ..., n i k un nombre real.
Exemples: 14 Matemàtiques I Matriu triangular (superior o inferior): Anomenarem matriu triangular superior la matriu quadrada en què els elements que hi ha per sota la diagonal principal són nuls, és a dir, aij = 0 si i > j per a tot i=l,..., n i j=l, ..., n.
Exemples: Anomenarem matriu triangular inferior la matriu quadrada en què els elements que hi ha per sobre la diagonal principal són nuls, és a dir, aij = 0 si i < j per a tot i = l, ..., n i j = l, ..., n.
Exemples: Matriu unitària o matriu identitat: Anomenarem matriu unitària o matriu identitat, i la denotarem per In (on n és l’ordre de la matriu), la matriu diagonal en què tots els elements de la diagonal principal són 1.
Aquesta matriu és un tipus de matriu escalar. És a dir, aij = 0 si i ≠ j i aii = l per a tot i = l, ..., n i j = l, ..., n.
Exemples: Matriu nul·la o matriu zero: Anomenarem matriu nul·la o matriu zero, i la denotarem per 0n (on n és l’ordre de la matriu), la matriu en què tots els elements són nuls, és a dir, aij=0 per a tot i=l, ..., n i j = l, ..., n.
15 Llúcia Mauri Masdeu Exemples: Matriu ortogonal: Anomenarem matriu ortogonal a tota matriu quadrada que compleix A–1=At. Aquest tipus de matrius té la propietat que .
Submatriu d’una matriu: Considerem la matriu A=(aij)mxn. Direm que A’ és submatriu de A si està formada per una selecció de k files i l columnes de A en què k<m i l<n.
Exemples: Les matrius A’ i B’ són submatrius de A i de B respectivament.
Vector (fila o columna): Anomenem vector fila la matriu que té una fila i n columnes, és a dir, és una matriu d’ordre 1xn.
Exemples: Anomenem vector columna la matriu que té m files i una columna, és a dir, és una matriu d’ordre mx1.
16 Matemàtiques I Exemples: Operacions amb matrius Suma i resta de matrius Considerem les matrius A=(aij)mxn i B=(bij)mxn d’ordre mxn.
= Les matrius suma i resta són matrius d’ordre mxn.
Exemple: Considerem la cadena de magatzems i les matrius dels beneficis generats al gener i al febrer. Volem saber el benefici total d’ambdós mesos; per tant, sumarem els beneficis de cada producte en els diferents centres.
Ara considerem la matriu dels preus dels productes al gener i la matriu amb els diferents descomptes que es faran; per tant, restarem i obtindrem la matriu dels preus dels productes després d’aplicar els descomptes.
17 Llúcia Mauri Masdeu Producte de matrius Considerem les matrius A=(aij)mxn i B=(bij)nxp.
= = Exemple: Important: El producte de matrius no és commutatiu. Si tenim dues matrius A i B Exemple: Considerem dues matrius A i B: Per tant, 18 Matemàtiques I Producte d’un escalar per una matriu Considerem la matriu A=(aij)mxn i un escalar k qualsevol.
Exemple: Potència d’una matriu Considerem la matriu quadrada d’ordre m A=(aij)mxn.
Definim: , , ..... , Exemple: Considerem la matriu A i busquem (n vegades) A2 .
llavors Propietats 1) (At)t=A 2) (A+ B)t= At + Bt 3) (k ⋅ A)t=k ⋅ At 4) (A ⋅ B)t= Bt ⋅ At 5) Direm que una matriu quadrada és simètrica si A = At 6) Direm que una matriu quadrada és antisimètrica si A = –At 7) Dues matrius A=(aij)mxn i B=(bij)mxn són iguals quan llurs elements són iguals un a un, és a dir, aij = bij per tot i = l, ..., m i j = l, ..., n.
19 Llúcia Mauri Masdeu 1.2 Determinant d’una matriu. Propietats dels determinants Determinant d’una matriu Què és? El determinant és una funció que associa a cada matriu quadrada A un únic nombre real, i el denotarem per det A o |A|.
Molt important!: Per poder calcular el determinant d’una matriu, la matriu ha de ser quadrada.
Determinants de matrius d’ordre 1: Si A és una matriu d’ordre 1, és a dir, del tipus A=(a11), llavors el determinant d’A serà l’element en qüestió: |A|=a11 Exemple: Sigui A=(2) llavors |A|=2 Determinant de matrius d’ordre 2 i 3: Determinat de matrius d’ordre : Sigui llavors considerem i el determinant de la matriu serà Exemples: 1) Sigui 2) Sigui volem calcular el seu determinant: volem calcular el seu determinant: 20 Matemàtiques I Determinat de matrius d’ordre  (regla de Sarrus): Sigui llavors considerem: i + + - - - Exemple: 1) Sigui volem calcular el seu determinant: 2) Sigui volem calcular el seu determinant: Nocions prèvies • Menor d’una matriu: és el determinant de qualsevol submatriu quadrada A’ d’una matriu A.
• Menor complementari d’un element aij: és el determinant que s’obté després de suprimir la fila i-éssima i la columna j-éssima. El denotarem per Mij.
21 Llúcia Mauri Masdeu Exemple: Considerem: Volem calcular els menors complementaris de a11 i a22.
Calculem M11: Per tant, Calculem M32: Per tant, • Adjunt de aij: és el menor complementari Mij d’un element aij multiplicat per l’element (–1)i+j. El denotarem per Aij.
Aij=(–1)i+j Mij Exemple: Considerem la matriu A de l’exemple anterior i els menors complementaris M11 i M32 ja calculats. Volem calcular A11 i A32 .
Calculem A11: 22 Matemàtiques I Calculem A32: • Matriu adjunta: és la matriu formada pels adjunts de aij d’una matriu A donada. La denotarem per adj ( A) .
Exemple: Considerem la matriu A següent i en calcularem la matriu adjunta.
Com que és una matriu d’ordre 3, la matriu adjunta serà d’ordre 3: Per tant, calcularem aquests adjunts: 23 Llúcia Mauri Masdeu • Matriu complementària: és la matriu adjunta transposada i la denotarem per AC .
AC=(adj A)t Exemple: Considerem la matriu A de l’exemple anterior. Hem obtingut la matriu adjunta següent: adj(A) Per tant, la matriu complementària és: AC=(adj A)t Determinant de matrius d’orde n superior a 3 Sigui A una matriu d’ordre n. Per calcular el determinant d’aquesta matriu, procedirem de la següent manera: 24 Matemàtiques I 1) Escollirem una fila o columna de la matriu A (preferiblement la fila o columna que contingui més zeros).
Nota: Podem prendre qualsevol fila o columna.
2) Desenvoluparem el determinant de la matriu d’ordre n en suma de determinants d’ordre n–1. Aquest serà el producte dels elements de la fila o columna escollida pel adjunts corresponents.
3) Repetirem el procés successivament fins a obtenir determinants d’ordres que sapiguem calcular (d’ordre 3, 2 o 1).
Exemple: 1) Volem calcular el determinant de la matriu A d’ordre 4 següent. Fins ara sols sabem calcular determinants fins a ordre 3; per tant, reduirem el càlcul del determinant d’una matriu d’ordre 4 al càlcul de determinants d’ordre 3 de la manera següent: Considerem: Visualitzem la matriu: escollim una fila o una columna qualsevol. Per estalviarnos càlculs, prendrem la fila o la columna en què hi hagi el nombre de zeros més gran possible.
Per exemple, prendrem la quarta columna 25 Llúcia Mauri Masdeu Aplicarem la fórmula 2)Volem calcular el determinant d’una matriu d’ordre 3 utilitzant aquest mètode.
Després comprovarem que ens dóna el mateix resultat que amb el mètode de Sarrus.
Considerem la matriu A que hem emprat anteriorment amb Sarrus.
Visualitzem la matriu A i observem que hi ha un 0; per tant, per simplificar els càlculs, prendrem la tercera columna o la segona fila.
Prenem la tercera columna: Càlcul de la matriu inversa d’una matriu A Podrem calcular la matriu inversa d’una matriu A, si la matriu és invertible, és a dir, si existeix una matriu A–1, de manera que A⋅A–1= A–1⋅A=In.
Direm que una matriu A és regular si el determinant és diferent de zero (det A≠0) i que una matriu és singular si el determinant és zero (det A=0).
Una matriu A serà invertible si i només si és regular. Per tant, per calcular la inversa d’una matriu A serà una condició necessària que el seu determinant sigui diferent de 0.
26 Matemàtiques I Recordem la definició de la matriu inversa: en què AC és la matriu complementària de A i det A=|A| és el determinant de la matriu A.
La matriu inversa compleix la propietat següent: A⋅A–1= In.
Exemples: 1) Inversa d’una matriu d’ordre 2: Primer comprovem que existeix la inversa d’aquesta matriu tot calculant el determinant i verificant que és diferent de 0.
Per tant, existeix la matriu inversa de A. Llavors, apliquem la fórmula: (adj A)t Comprovem que hem fet bé els càlculs; si és així, la matriu A–1 ha de verificar A⋅ A–1 =I2 2) Inversa d’una matriu d’ordre 3: Primer comprovem que existeix la inversa d’aquesta matriu tot calculant el determinant i verificant que és diferent de 0.
27 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, existeix la matriu inversa de A. Llavors apliquem la fórmula: (adj A)t Comprovem que hem fet bé els càlculs. Si és així, la matriu A–1 ha de verificar A⋅ A–1 =I3.
3) Inversa d’una matriu d’ordre 4: Primer comprovem que existeix la inversa d’aquesta matriu tot calculant el determinant i verificant que és diferent de 0.
(Per un exemple anterior) Per tant, existeix la matriu inversa de A. Llavors apliquem la fórmula: 28 Matemàtiques I (adj A)t Comprovem que hem fet bé els càlculs. Si és així, la matriu A–1 ha de verificar A⋅ A–1 =I4.
Propietats dels determinants P.1) El determinant d’una matriu A i el determinant de la seva transposada és el mateix, és a dir, |A|=|At|.
Exemple: P.2) Si intercanviem dues files o dues columnes entre si, el determinant canvia de signe.
29 Llúcia Mauri Masdeu Exemple: Si fem el procés unes quantes vegades, el signe canviarà tantes vegades com ho fem.
P.3) Si una matriu té almenys una fila o columna amb tots els elements 0, llavors el seu determinant és 0.
Exemple: P.4) Si una matriu té almenys dues files o columnes amb els elements iguals, llavors el seu determinant és 0.
Exemple: P.5) Si tenim una matriu quadrada A d’ordre n i un escalar k, llavors es compleix la igualtat següent: 30 Matemàtiques I Exemple: k=2 Per tant: P.6) La suma dels determinats de dues matrius iguals menys una fila o columna és igual al determinant de la matriu resultant de sumar ambdues files o columnes diferents i la resta d'elements iguals.
Exemple: P.7) Si una fila o columna és combinació lineal d’altres files o columnes, llavors el determinat de la matriu és 0.
Exemple: Si observem la matriu, podem comprovar que la tercera fila és fruit de multiplicar per 2 la primera fila i restar-hi la segona fila.
P.8) Si a una fila o columna d’una matriu A hi sumem una combinació lineal d’altres files o columnes de la matriu A, llavors el determinant d’ambdues matrius és el mateix.
Exemple: Observem que la primera columna de la matriu B resulta de sumar a la primera columna de la matriu A les altres dues.
31 Llúcia Mauri Masdeu P.9) El producte dels determinants de dues matrius és el determinant del producte de dues matrius, és a dir, |A|⋅|B|=|A⋅B|.
Exemple: P.10) Si la matriu A és una matriu triangular (superior o inferior), llavors el determinat d’aquesta és el producte dels elements de la diagonal principal.
Exemple: 1.3 Rang d’una matriu Definició El rang d’una matriu A=(aij)mxn és l’ordre del menor no nul més gran de la matriu A. El denotarem per rg(A).
Hi ha molts mètodes per calcular el rang d’una matriu; nosaltres utilitzarem els menors de la matriu A.
32 Matemàtiques I Mètode per trobar el rang d’una matriu A per menors Considerem la matriu A=(aij)mxn.
Utilitzarem uns quants exemples per veure com funciona: Exemple: 1) Considerem la matriu A següent, busquem el seu rang.
Com que la matriu és de 3x4, el menor d’ordre més gran possible que podem escollir és de 3x3. Per tant, com a màxim, aquesta matriu tindrà rang 3.
Prenem un menor d’ordre 1 qualsevol; per exemple: (sovint aquest pas el donarem per suposat) |1| ≠ 0 Com que existeix algun menor d’ordre 1 diferent de 0, assegurem que la matriu té rang més gran o igual a 1.
Prenem un menor d’ordre 2 qualsevol tot afegint una fila i columna al menor anterior; per exemple: El seu valor és diferent de 0; per tant, assegurem que el rang de la matriu és igual o més gran que 2.
Finalment prenem un menor d’ordre 3 qualsevol tot afegint una fila i una columna al menor d’ordre 2 i vegem si el determinant és diferent de 0: Per tant, com que hem trobat almenys un menor d’ordre 3 diferent de 0, tenim rg(A)=3.
33 Llúcia Mauri Masdeu 2) Considerem la matriu A següent, busquem el seu rang.
Com que la matriu és de 3x4, el menor d’ordre més gran possible que podem escollir és de 3x3. Per tant com a màxim aquesta matriu tindrà rang 3.
Prenem un menor d’ordre 1 qualsevol; per exemple: Com que existeix algun menor d'ordre 1 diferent de 0, assegurem que la matriu té rang més rang o igual a 1.
Prenem un menor d’ordre 2 i vegem si el determinant és diferent de 0. Per exemple: Així assegurem que la matriu té rang més gran o igual a 2. Prenem un menor d’ordre 3 qualsevol tot afegint una fila i una columna; per exemple, el següent menor i vegem si el determinant és diferent de 0: Com que no és diferent de 0, escollim un altre menor d’ordre 3 i vegem si el determinant és diferent de 0: Així, com que tots els determinants d’ordre 3 són 0, llavors rg(A)=2.
34 Matemàtiques I 3) Considerem la matriu A següent, busquem el seu rang.
Com que la matriu és de 3x3, el menor d’ordre més gran possible que podem escollir és de 3x3. Per tant com a màxim, aquesta matriu tindrà rang 3.
Prenem un menor d’ordre 1; per exemple: Per tant, podem assegurar que el rang de la matriu és més gran o igual a 1.
Prenem un menor d’ordre 2 tot afegint una fila i una columna a l’anterior.
Escollim un altre menor d’ordre 2, i observem que tots els menors d’ordre 2 són d’aquesta forma; per tant, rg(A)=1.
35 ...