SFE_1.6 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

1.6 Problema: Barra amb perfil inicial esglaonat. Considereu una barra homog`enia de longitud L que es troba inicialment en un estat en que t´e un perfil de temperatures esglaonat: T (x, 0) = T1 per x < L/2 i T (x, 0) = T2 per x > L/2. Si la barra est`a en contacte amb dues fonts a temperatures constants T1 (a x = 0) i T2 (a x = 1), determineu (a) El perfil de temperatures final.
(b) El canvi d’entropia de la barra.
(c) La producci´ o d’entropia en el r`egim estacionari.
Si ara repet´ıssim el proc´es anterior, per`o a¨ıllant la barra en el seu estat inicial i deixantlo evolucionar cap a l’equilibri, determineu (d) El perfil de temperatures final.
(e) El canvi d’entropia de la barra.
Soluci´ o: (a) Si diposam la barra entre dos forns a temperatures T1 i T2 , passat un cert temps, el perfil de temperatures de la barra ser`a independent del temps (perfil estacionari).
Donat que la barra ´es homog`enia, l’equaci´o que cal estudiar ´es c(x) ˆT (x, t) ≠ ŸÒ2 T (x, t) = 0.
ˆt (0.64) En l’estat estacionari, T (x, t) ≥ T (x). L’equaci´o anterior es redueix a (en el cas unidimensional): d2 T (x) = 0 =∆ T (x) = Ax + B.
(0.65) dx2 Imposant les seg¨ uents condicions de contorn, determinam que valen les constants A i B J T (0) = T1 T2 ≠ T1 =∆ A = , B = T1 .
(0.66) L T (L) = T2 Susbstituint A i B es t´e T (x) = T2 ≠ T1 x + T1 L (0.67) (b) Per calcular el canvi d’entropia que experimenta la barra quan passa de l’estat inicial a l’estat estacionari, procedim exactement de la mateixa manera que en l’apartat (b) de l’exercici anterior; Per aquesta ra´o, ometo alguns detalls. Per calcular la variaci´o d’entropia tenim S= ⁄ Œ 0 dt ⁄ V ˆflS (x, t) 3 d x, ˆt amb 15 ˆflS (x, t) ˆ ln T (x, t) =c .
ˆt ˆt (0.68) Llavors, S = cA = cA = cA ⁄ dx ⁄ Œ ˆ ln T (x, t) ˆt 0 AL⁄ L 0 A⁄ L 0 ln T (x, Œ)dx ≠ 3 dt = cA ⁄ L/2 0 ⁄ L (ln T (x, Œ) ≠ ln T (x, 0)) dx ln T (x, 0)dx ≠ 4 ⁄ L L/2 B ln T (x, 0)dx B (0.69) T2 ≠ T1 L L ln x + T1 dx ≠ ln T1 ≠ ln T2 .
L 2 2 1 Fent el canvi u = T2 ≠T L x + T1 æ du = 0 æ L a T1 æ T2 , se segueix que A L S = cA T2 ≠ T1 A ⁄ T2 T1 T2 ≠T1 L dx, els l´ımits d’integraci´o canvien de L L ln udu ≠ ln T1 ≠ ln T2 2 2 - B (0.70) B -T2 1 1 1 = cAL u(ln u ≠ 1)-- ≠ ln T1 ≠ ln T2 .
T2 ≠ T1 2 2 T1 Manipulant una mica aquest u ´ltim resultat, finalment es troba que la variaci´o d’entropia ´es (amb cAL = C): S=C 3 3 T1 + T2 T2 ln 2(T2 ≠ T1 ) T1 4 ≠1 4 (0.71) (c) Per calcular la producci´ o d’entropia en l’estat estacionari tenim dues maneres de procedir. Una manera de fer-ho (la m´es general i acertada), ´es partir de l’equaci´o de continu¨ıtat per a l’entropia en l’estat estacionari, 0 > ⇢ ˆflS (x) ⇢ ˛ · ˛äS (x) = ‡S (x) =∆ ‡S (x) = Ò ˛ · ˛äS (x).
+Ò ⇢ ⇢ ˆt (0.72) De teoria sabem que el vector corrent d’entropia (estacionari) ´es: ˛äS (x) = ÿ i Yi (x)˛äi (x) =∆ ˛äS (x) = YE (x)˛äE (x) = 1 ˛äE (x).
T (x) (0.73) Llavors es dedueix que ˛ · ˛äS (x) = Ò ˛ · ‡S (x) = Ò 3 4 3 1 1 ˛ ˛äE (x) = ˛äE (x) · Ò T (x) T (x) 4 + :0 1 ˛ ⇠⇠⇠ Ò⇠ · jE (x), (0.74) ⇠ T (x) :0 ˛ ⇠ ⇠ on he considerat la condici´ o d’estacionari: ⇠ ˆt⇠ flE⇠ (x) + Ò · ˛äE (x) = 0. Utilitzant la llei de Fourier, podem escriure ‡S (x) = Ÿ T 2 (x) 3 dT (x) dx 42 (0.75) .
La segona opci´ o, la qual porta igualment a (0.75), ´es considerar l’expressi´o ‡S = ÿ ÿ –— ˆYi ˆYj Lij i,j –,— ˆx– ˆx— = LEE ˆYE ˆYE x ˆ = jE ˆx ˆx ˆx 16 3 1 T (x) 4 = Ÿ 2 T (x) 3 dT (x) dx 42 , (0.76) on tamb´e hem fet u ´s de la llei de Fourier. Tal i com he explicat en el problema 1.5, la f´ormula per a la producci´ o d’entropia que inclou els coeficients de transport, la (0.76), sols ´es v` alida en abs`encia de fonts i embornals (que ´es el cas que ens ocupa). Procedint d’una manera o altra, s’arriba al mateix resultat. La producci´o total ser`a ‡ST = ⁄ V ‡S (x)dV = S ⁄ L 0 ‡S (x)dx = S ⁄ L 0 Ÿ 2 T (x) 3 dT (x) dx 42 (0.77) dx.
Introduint el perfil estacionari de temperatures que hem trobat a l’apartat (a), ‡ST 3 T2 ≠ T1 = SŸ L 42 ⁄ L 0 1 dx T2 ≠T1 L x + T1 22 .
Aquesta u ´ltima integral la podem fer f`acilment fent el canvi u = T2 ≠T1 du = L dx, llavors els l´ımits passen a ser T1 æ T2 , ‡ST finalment 3 T2 ≠ T1 = SŸ L 42 L⇢⇢ T2⇢≠ T1 ⇢ ⁄ T2 du T1 ‡ST = SŸ 3 T2 ≠ T1 = SŸ u2 L 43 (0.78) T2 ≠T1 L x 4 1 1 ≠ , T1 T2 (T2 ≠ T1 )2 Ø0 LT1 T2 + T1 æ (0.79) (0.80) Un “check” que sempre podem fer quan calculam produccions totals d’entropia, ´es prendre T1 = T2 © T . En aquest cas, notar que ambd´os extrems de la barra es troben a la mateixa temperatura, en conseq¨ u`encia, haguem imposat el perfil inicial que sigui, ´ a en l’estat estacionari segur que la temperatura de la barra ser`a T (homog`enia). Es dir, a l’interior de la barra no existiran fluxos de calor. Al no haver-hi fluxos interns, de teoria sabem que la producci´o d’entropia punt a punt ha der ser zero, i per tant la producci´ o total tamb´e, que ´es just el que ens diu la ‡ST que acabam de trobar.
(d) Si ara repetim el proc´es havent a¨ıllat la barra, tenim el problema anterior. El perfil final de temperatures ´es constant, Tf = T1 + T2 2 (e) Aquest apartat es correspon amb l’apartat (b) de l’exercici anterior.
17 (0.81) ...