Examen de Estadistica (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Química - 2º curso
Asignatura Estadistica
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 16/06/2014
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EUETIB ESTAD´ISTICA QP1314- Grupo T2 TEMA 5: Problemas de Muestreo y Estimadores Problema 1 Si la vida media de operaci´ on de una pila de linterna es de 24 horas y est´a distribuida normalmente con una desviaci´ on de 3 horas. ¿Cu´al es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 pilas tenga una media que se desv´ıe por m´as de 30 minutos del promedio? Soluci´ on: Me piden que calcule la p(X > 24,5), si tenemos en cuenta p que la distribuci´ on de la v.a. “vida de la pila” es normal X ; N (24, 3), entonces X n ; N (30, 3/ 100) y ✓ ◆ X 24 24,5 24 p(X > 24,5) = p > = p(Z > 1,67) = 0,0475.
0,3 0,3 Problema 2 Se toman 36 observaciones de una m´aquina de acu˜ nar monedas conmemorativas, el espesor promedio de las monedas es de 0,20 cm y una desviaci´on de 0,01cm. ¿Cu´al es la probabilidad de que el promedio del espesor de las 36 monedas supere los 0,21 cm? Soluci´ on: Aunque no conocemos la distribuci´on de la v.a. X “espesor de las monedas”, como n = 36 > 30 podemos utilizar on, y p el teorema central del l´ımite para aproximar su distribuci´ entonces X 36 ; N (0,2, 0,01/ 36) y entonces ✓ ◆ X 0,2 0,21 0,2 p(X > 0,21cm) = p > = p(Z > 6) ' 0.
0,01/6 0,1/6 Problema 3 En un estudio para comparar los pesos promedios de ni˜ nos y ni˜ nas de sexto grado en una escuela primaria se usa una muestra aleatoria de 20 ni˜ nos y otra de 25 ni˜ nas. Se sabe que tanto para ni˜ nos como para ni˜ nas los pesos siguen una distribuci´on normal. El promedio de los pesos de todos los ni˜ nos de sexto grado de esa escuela es de 45,3 Kg y su desviaci´on est´andar es de 6,41 Kg, mientras que el promedio de los pesos de todas las ni˜ nas de sexto grado de esa escuela es de 38,55 Kg y su desviaci´ on est´ andar es de 5,55 Kg. ¿Cu´al es la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 ni˜ nos sea al menos 9 kg m´as grande que el de las 25 ni˜ nas?.
ESTAD´ISTICA EUETIB QP1314- Grupo T2 Soluci´ on: Tenemos dos muestras independientes de taman˜ nos n1 = 20 y n2 = 25 de una poblaci´on que sigue una distribuci´ on normal. Las medias poblacionales son µ1 = 45,3 y µ2 = 38,55 y las desviaciones t´ıpicas respectivas son 1 = 6,41 y 2 = 5,55. Nos piden que calculemos p(X n1 > X n2 + 9) = p(X n1 X n2 > 9) Sabemos que X n1 X q n22 1 n1 luego 0 X n2 > 9) = p @ p(X n1 (X n1 (µ1 + µ2 ) 2 2 n2 X ) qn2 ; N (0, 1), (45,3 6,412 20 + 38,55) 5,552 > 9 (45,3 q 6,412 25 20 = p(Z > 1,24) = 0,1075.
+ 1 38,55) A 5,552 25 = Problema 4 Un fabricante de focos afirma que su producto durar´a un promedio de 500 horas de trabajo.
Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae en el intervalo ( 1,711, 1,711), ´el se encuentra satisfecho con esta afirmaci´on. ¿Qu´e conclusi´ on deber´a sacar de una muestra de 25 focos cuya duraci´on fue: 520 496 521 488 511 500 513 502 510 512 513 510 522 510 500 475 521 505 495 521 487 506 493 503 500 Soluci´ on: Con los datos podemos calcular X 25 = 505,36 y S24 = 12,07. Como desconocemos la varianza poblacional, y el tama˜ no de la muestra no es mayor que 30, sabemos que p Xn µ n ; tn Sn 1 1 Luego y= p 25 · 505,36 500 = 2,220381110 2 / ( 1,711, 1,711) ) la media no puede ser de 500 horas.
12,07 EUETIB ESTAD´ISTICA QP1314- Grupo T2 Problema 5 Un fabricante de bater´ıas para autos garantiza que sus bater´ıas durar´an, en promedio, tres a˜ nos con una desviaci´ on est´ andar de un a˜ no. Si cinco de estas bater´ıas tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 a˜ nos, ¿el fabricante a´ un est´a convencido de que sus bater´ıas tienen una desviaci´on est´ andar de un a˜ no?.
Soluci´ on: Supongamos que la duraci´on de las bater´ıas sigue una distribuci´on normal . Primero calculamos la cuasi-varianza muestral Sn2 1 = 0,815, y entonces (n 1) Sn2 1 2 ; 2 n 1 es un valor de una distribuci´ on chi cuadrado con 4 grados de libertad. Como 95 % de los valores 2 caen entre 0,484 y 11,143 (ver Tabla de la distribuci´ on chi cuadrado), el valor calculado con 4 2 = 1 es razonable y por lo tanto el fabricante no tiene raz´ on para sospechar que la desviaci´ on est´andar es diferente a un a˜ no.
Problema 6 La media de la vida de los individuos de una especie A es de 6,5 a˜ nos, y su desviaci´on t´ıpica de 0,9 a˜ nos, mientras que en la especie B la media es de 6 y la desviaci´on t´ıpica de 0.8 a˜ nos.
¿Cu´al es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 individuos de la especie A tenga una vida media mayor al menos un a˜ no que la vida media de una m.a.s. de 49 individuos de la especie B? Soluci´ on: Para la muestra de la especie A, aplicando el TCL sabemos que el estad´ıstico media muestral X A ; N (6,5, 0,9/6). De la misma forma, para la muestra de la poblaci´ on B, X B ; N (6, 0,8/7). Por lo tanto, la diferencia s✓ ◆ ✓ ◆2 0,9 2 0,8 X A X B ; N (0,5, + = N (0,5, 0,19) 6 7 Por lo tanto, la probabilidad que nos piden calcular es ✓ ◆ X A X B 0,5 1 0,5 p(X A X B 1) = p = p(Z > 2,63) = 0,0043.
0,19 0,19 Problema 7 Una m´ aquina produce bombillas de tal forma que la duraci´on de cada bombilla tiene una media µ = 1200 horas y una desviaci´on t´ıpica = 10 horas.
a) Calcular el tama˜ no m´ınimo de una muestra de bombillas, producidas por la m´aquina, para que la media muestral no difiera del verdadero valor de la media en m´as de 0,5 horas con una probabilidad del 97,5 %.
ESTAD´ISTICA EUETIB QP1314- Grupo T2 b) Se desea que la duraci´ on media de una muestra de n bombillas sea mayor que 1190 horas el 97 % de las veces, ¿Cu´ al es el mayor tama˜ no muestral que verifica esto? Soluci´ on: a) Nos piden calcular el valor de n m´ınimo que hace que p(|X 1200|  0,5) 0,975. Como no sabemos el tama˜ no de la muestra no podemos aplicar el teorema central del l´ımite, pero conocemos la desigualdad de Chebyshev 2 p(|X n Luego si ✏ = 0,5 obtenemos que 1 µ|  ✏) 102 0,52 n 1 ✏2 n = 0,975 ) n = 16000.
b) Se trata de encontrar el menor valor de n que hace que p(X n > 1190) = 0,97. Considerando otra vez la desigualdad de Chebyshev 2 p(|X n µ|  ✏) 1 ✏2 n Por lo que 1 ) p(|1190 1200|  ✏) 1 100 ) p(10  ✏) ✏2 n 1 100 ✏2 n 100 100 10000 = 0,97 ) ✏2 n = )n= 2 ✏ n 0,03 3✏2 Asi que tomando el m´ınimo ✏ = 10 la n es m´axima y obtenemos que n = 33,3.
Problema 8 La efectividad en d´ıas de un determinado antibi´otico sigue una distribuci´on normal de media 14 d´ıas y desviaci´ on t´ıpica desconocida. El antibi´otico fue administrado a 16 enfermos obteni´endose una cuasi desviaci´ on t´ıpica muestral de 1,4 d´ıas.
a) Determinar la probabilidad de que la efectividad media en la muestra no supere los 13 d´ıas, que es el tiempo m´ınimo de efectividad requerido.
b) Preocupados por una posible subestimaci´on de la varianza poblacional, que podr´ıa llevar a subestimar la probabilidad de que no se alcance la efectividad m´ınima, se desea determinar la probabilidad de que con una muestra de 16 enfermos se subestime la varianza en m´ as de un 20 %. Si la muestra es de 61 pacientes, esta probabilidad ¿aumenta o disminuye? c) Determinar el tama˜ no de muestra necesario para que la probabilidad anterior sea 0,05.
Soluci´ on: a) Como no conocemos la varianza poblacional utilizamos su aproximaci´on por la varianza muestral.
✓ ◆ X µp 13 14 p p(X  13) = p n 16 = p(t15  2,857) = 0,0063.
S 1,4 ESTAD´ISTICA EUETIB b) Como (n 1) 2 Sn2 1 2 p(S < 0,8 =n 2 Sn2 2 )=p 2 n 1, ; ✓ S2 2 QP1314- Grupo T2 la probabilidad de subestimar < 0,8 ◆ ✓ = p 15 S2 2 < 15 · 0,8 ◆ 2 = p( en m´as de un 20 % es 2 15 < 12) = 0,3 Para una muestra de 61 individuos, si utilizamos la aproximaci´on de la distribuci´ on veremos que la probabilidad disminuye.
✓ ◆ S2 2 2 p(S < 0,8 ) = p 60 2 < 60 · 0,8 = p( 260 < 48) = 0,0226.
c) Para conseguir que p(S 2 < 0,8 2 ) = 0,05 ✓ 2 ◆ ✓ 2 ◆ S S 2 2 p(S < 0,8 ) = p < 0,8 = p n 2 < 0,8n = p( 2 2 n 1 2 n < 0,8n) = 0,05 Considerando el m´ınimo valor de n = 2 de la tabla, comprobamos que se cumple la igualdad p( 21 = 9,82 · 10 4 < 1,6) = 0,05.
Problema 9 Un granjero dispone de dos explotaciones diferentes A y B con varias granjas cada una para la cr´ıa de pollos. Con el objetivo de estudiar la mortalidad de los pollos en las dos explotaciones observa el n´ umero de pollos muertos tomando una muestra en cuatro granjas de la explotaci´ on A y otras cuatro de la B, obteniendo los siguientes resultados: N´ umero pollos muertos en la explotaci´on A: 16 14 13 17 N´ umero pollos muertos en la explotaci´on B: 18 21 18 19 Suponiendo normalidad en las explotaciones, verificar si se puede asegurar con un 95 % de probabilidad que la mortalidad de los pollos en las dos explotaciones son diferentes, primero suponiendo que las varianzas de las explotaciones son diferentes, y luego suponiendo que son iguales.
Soluci´ on: Este problema se hace mejor con intervalos de confianza, asi que lo dejamos para la siguiente entrega.
Problema 10 Dadas X1 , . . . , Xn , Xn+1 , n + 1 v.a. independientes igualmente distribuidas Xi ; N (µ, ), calcular la distribuci´ on de la v.a.
r Xn+1 X n n Y = .
Sn 1 n+1 Soluci´ on: Por una parte calculamos la distribuci´on del numerador: E(Xn+1 ) = µ, E(X n ) = µ ) E(Xn+1 X n ) = 0.
ESTAD´ISTICA EUETIB 2 2 (n + 1) 2 E(X n ) = ) V ar(Xn+1 X n ) = 2 + = .
n n n ✓ q ◆ (n+1) Xn X n ; N 0, , lo que implica que Xqn+1 ; N (0, 1).
n (n+1) V ar(Xn+1 ) = Por lo tanto Xn+1 QP1314- Grupo T2 2 , n Por otra parte, el cuadrado del denominador sabemos que verifica que (n 1) Sn2 1 2 ; 2 n 1 Al dividir el numerador entre el denominador obtenemos una tn X n+1 X n q p (n (n+1) n 1) Sn 1 (n 1) ; tn 1 Xn+1 ) Sn Xn 1 r 1 n ; tn n+1 1 ...