Examen Parcial Otoño 2012 (2012)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Circuitos Lineales
Año del apunte 2012
Páginas 4
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Circuits Lineals EXAMEN PARCIAL 21 de novembre de 2012 a les 17h.
DEPARTAMENT DE TSC P1.
Grups 60 i 70 En el circuit de la Fig. 1 es demana: Fig. 1 a) Demostreu que la funció de xarxa del circuit ve donada per l'expressió: H (s ) = − R2 ⋅ 2 R1 s+ s ( 21R + R1 )⋅C1 1 = − R2 ⋅ 2 R1 2 s 2 R1+ R 2 s+ 2 R 1 R2 C ( ) La manera més òbvia d'arribar a la solució demanada és aplicar l'anàlisi nodal al circuit. Cal plantejar únicament 2 equacions, una d'elles al node on conflueixen els resistors R1 i R2 (Node 1), i l'altra al node on hi ha connectada l'entrada inversora de l'amplificador operacional (Node 2).
Les equacions són: Node 1: Node 2: G 1 (V 1−V g )+G 2 V 1+G 2 (V 1−V o)+C s (V 1 −0)=0 C s (0−V 1 )+ G 2 (0−V o)=0 les quals si les desenvolupem permeten obtenir el següent: ( )( ) ( ) G1 + 2G 2 +C s −G 2 V 1 G V ⋅ = 1 g −C s −G 2 V o 0 que resolt per Cramer, dóna: V o (s) G1C s R s = = − 2⋅ 2 R1 V g (s ) −G 2 (2 C s +2 G 2+G 1) 2 R1 + R2 s+ 2 R1 R 2 C H (s ) = ( ) Alternativament, si es té l'entrenament suficient també es pot plantejar directament el sistema d'equacions en forma matricial: ( −G1 0 Vg G 1 +2G 2+C s −C s −G 2 V1 ⋅ =0 0 −Cs G2 +C s −G 2 V 2=0 Vo ) ( ) () Després d'algunes manipulacions algèbriques (la columna de color blau juntament amb la tensió Vg passa a la banda dreta de la igualtat i la columna de color vermell s'elimina perquè està multiplicada per una tensió V2 que és zero), s'arriba al mateix sistema d'equacions que abans i, per tant, a la mateixa expressió de H(s).
b) Dibuixeu amb el màxim de detall possible el diagrama de pols/zeros de la funció de xarxa H(s).
Clarament la funció de xarxa obtinguda té un zero a l'origen i un pol real simple situat a - 2 R1 + R2 . Per tant, el seu diagrama de pols/zeros és el següent: 2 R1 R 2 C c) Deduïu la forma de la resposta lliure del circuit.
La forma de la resposta lliure l'obtenim a partir de l'anàlisi dels pols que introdueix el circuit, els quals es troben representats a la funció de xarxa. Com que en aquest cas la funció de xarxa té un únic pol real i negatiu, podem concloure que la resposta lliure del circuit serà una funció exponencial decreixent amb una constant de temps igual a la inversa del pol (en valor absolut), o sigui τ= 2 R1 R2 C 2 R1 + R2 per tant la forma de la resposta lliure que es demana és: ( A⋅e - 2 R 1+ R 2 t 2 R1 R 2 C ) ⋅u (t ) d) Trobeu la durada del règim transitori en funció dels paràmetres del circuit.
La durada del transitori ve marcada pel temps que triga la resposta lliure a desaparèixer. Com que en aquest cas la funció de xarxa té un sol pol, aquest és el pol dominant i és el que marca la durada demanada, la qual serà (per conveni) unes 5 vegades la constant de temps d'aquesta exponencial, o sigui: durada: 5 τ = 10 R1 R 2 C 2 R1 + R2 e) Determineu la resposta en règim permanent a una excitació de tipus graó unitari.
Si l'excitació és de tipus graó, la resposta en règim permanent (que és resposta forçada) serà constant.
El valor exacte d'aquesta constant es pot aconseguir per diverses vies: En una d'elles els càlculs teòrics ens permeten afirmar que el seu valor val 1·H(0), essent '1' l'amplitud del graó d'entrada en aquest cas.
L'altra via és raonant directament sobre el circuit, tot aplicant el fet que, si la resposta en règim permanent ha de ser constant, en aquelles condicions els capacitors es comportaran com a circuits oberts i fent les corresponents substitucions al circuit es dedueix que no pot circular corrent pel resistor R2 més proper a l'AO, per tant la tensió en els seus 2 terminals és la mateixa, i d'aquí es dedueix v o (t )=v- (t )=v + (t )=0 .
En ambdós casos s'obté que la resposta al graó en règim permanent val zero.
Suposant ara que C=22nF i que R2=10R1 i Vcc=15V es demana: f) Calculeu quins valors haurien de tenir R1 i R2 per tal que la durada del règim transitori fos de 500µs.
Per tal que la durada del transitori sigui la que es demana cal que la constant de temps del pol de H(s) sigui de 100µs. Això equival a tenir un pol amb un valor (absolut) de 10 4, cosa que s'aconsegueix amb: 104 = 2R 1 + R2 12R 1 6 = = 2 2 R 1 R2 C 10R 1 C 10 R1 C 6 ·10 4 =2,7273 k Ω 22 R2=27,27 k Ω R 1= g) Determineu en aquest cas la resposta completa a un graó de 5V.
Amb els valors obtinguts, la funció de xarxa val: H (s ) = −5⋅ s s+10 4 La resposta transformada l'obtenim multiplicant la funció de xarxa per la transformada del graó, i operant el resultat s'obté: V o (s ) = −5⋅ s 5 −25 ⋅ = 4 4 s+10 s s +10 La funció resultant és molt simple: no cal ni tan sols desenvolupar-la en fraccions simples perquè té una transformada inversa immediata: v o (t ) = −25 e 4 −10 t u (t ) NOTA IMPORTANT: En dissenyar aquest problema vam considerar un graó inicial de 5V però més tard vam canviar-lo a 1V, però vam oblidar de rectificar l'enunciat. Amb un graó de 5V realment no s'obtindria el resultat anterior, perquè la tensió de sortida en els instants inicials intentaria ser més alta que la tensió de saturació de l'AO i, per tant, modificaria substancialment la forma de la sortida (uns càlculs que actualment no esteu en disposició de fer).
Com que és fàcil que aquest aspecte us passi per alt (i tampoc no era la nostra intenció avaluar-lo) aquest apartat es considerarà correctament resolt encara que no s'hagi tingut en compte la saturació.
h) Escriviu el fitxer .CIR que caldria utilitzar per tal d'obtenir via simulació la resposta temporal de l'apartat anterior.
Hi ha diverses possibilitats, segons s'utilitzi una simple font controlada per modelar l'AO o bé es faci servir el macromodel, que és més elaborat. Els dos casos es mostren a continuació: 'Model de l'AO amb font controlada Vg 1 0 DC 5V R1 1 2 2.72k R21 2 0 27.2k R22 2 4 27.2k C1 2 3 22nF IC=0 R23 3 4 27.2k E1 4 0 0 3 1E6 .PRINT TRAN V(4) .TRAN 0 500us 500ns UIC .END 'Circuit amb el macromodel .INCLUDE uA741.model Vcc 1 0 DC 15V Vdd 0 2 DC 15V Vg 3 0 DC 5V R1 3 4 2.72k R21 4 0 27.2k R22 4 6 27.2k C1 4 5 22nF IC=0 R23 5 6 27.2k X1 0 5 1 2 6 uA741 .PRINT TRAN V(6) .TRAN 0 500us 500ns UIC .END Cal tenir en compte, però, que la simulació amb el macromodel presentarà desviacions respecte els càlculs teòrics perquè el macromodel contempla efectes que no es tenen en compte en el model ideal de l'AO.
4 i) Calculeu la resposta en règim permanent a l'excitació v g (t )=1,414⋅sin (10 t ) .
En aquest cas l'excitació és sinusoïdal, i per tant podem trobar la resposta demanada a través de les tècniques de RPS: [ H ( j ω)= −5⋅ jω j ω+104 ] −j 5 5 =5⋅ = = 1+ j √ 2 <−90º −45º √ 2 < −135º ω =10 4 Per tant: v o (t )=5 ·sin (104 t−3 π/4)=−5 · sin(10 4 t +π /4) Hem posat la sortida en funció del sinus perquè l'entrada estava referida a aquesta funció. Si volem utilitzar la funció cosinus com a referència de fase ho podem fer tenint en compte les identitats trigonomètriques habituals (concretament sin(α)=cos (α−π/2) ). En aquest cas ens quedaria: v o (t )=−5 ·cos (10 4 t−π / 4)=5 ·cos (10 4 t +3 π /4) ̄ g i V̄ o i indiqueu si el fasor V̄ o j) En aquest últim cas, dibuixeu el diagrama fasorial dels fasors V ̄g .
està avançat o endarrerit respecte del fasor V El diagrama fasorial (agafant la funció cosinus com a referència de fase zero) es mostra a la figura, i ̄ o està retrassat respecte el fasor V̄ g , cosa lògica ja que en aquesta es pot apreciar que el fasor V H(jω) introdueix un desfasament negatiu.
Si voleu prendre com a referència de fase la funció sinus, el diagrama seria el mateix però girat 90º en sentit antihorari.
k) Suposant Vsat=Vcc, determineu quina serà la màxima amplitud d'un senyal sinusoïdal de polsació ω=10000 rad/seg aplicable a l'entrada del circuit sense que l'amplificador operacional arribi a saturar-se.
Tenint en compte que l'amplitud del senyal de sortida és l'amplitud del senyal d'entrada multiplicat per l'amplificació del circuit a la freqüència d'interès, cal determinar quina amplitud de l'entrada farà que la sortida estigui fregant la saturació. Així: 5 ∣V̄o∣max =15=∣H ( j 10 4)∣⋅∣V̄g∣max → ∣V̄g∣max = 15 /∣H ( j 104 )∣ = 15 / = 3⋅√ 2 √2 ∣V̄g∣max = 4,2426 l) Indiqueu raonadament quina de les gràfiques següents pot correspondre a la resposta temporal completa del circuit a l'excitació de l'apartat i) Com que l'excitació és de tipus sinusoïdal, la resposta en règim permanent també serà d'aquest tipus, cosa que permet descartar les gràfiques a) i c) perquè tendeixen a zero per t tendint a infinit (el règim permanent és nul).
Pel que fa a les 2 gràfiques restants, el valor inicial de la resposta permetrà decidir quina és vàlida. En efecte, com que l'excitació és un sinus i per tant té valor zero en t=0, la resposta no pot ser sinó zero a l'instant inicial. Per tant, només la gràfica d) pot correspondre amb la resposta temporal completa a l'excitació sinusoïdal de l'apartat i).
...