Examen Final Tardor 2010 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Probabilidad Procesos Estocasticos y Estadística
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Soluci´ o de l’examen final 24 de gener de 2011 1 Un sistema transmet missatges independents, cadascun dels quals va acompanyat d’una paraula de 8 bits que permet descodificar-lo. En la transmissi´ o, cada bit de la paraula, de manera independent dels altres, pot arribar canviat amb probabilitat 0,2. Si el nombre N de bits canviats ´es menor o igual que 2, el missatge es pot descodificar amb seguretat. Si N val 3 o 4, el missatge es pot descodificar amb probabilitat 12 . Si N val 5 o m´es, el missatge no es pot descodificar.
(a) Quina ´es la probabilitat que un missatge es pugui descodificar? Quin percentatge dels missatges que es descodifiquen tenen la paraula sense cap error? Un missatge ´es irrecuperable nom´es si N ≥ 5. Quina ´es la probabilitat que un missatge que no s’ha pogut descodificar es pugui recuperar? (b) Sigui T el nombre de missatges transmesos fins que un no es pot descodificar. Doneu la seva funci´ o de probabilitat i el seu valor mitj` a.
(c) La paraula d’un missatge ha arribat amb 3 bits canviats. Quina ´es la probabilitat que els 2 primers bits siguin correctes? Soluci´ o: (a) N ´es binomial amb n = 8, p = 0,2. P (N = k) = k8 0,2k 0,88−k .
P (N = 0) = 0,16777, P (N = 1) = 0,33554, P (N = 2) = 0,29360, P (N = 3) = 0,14680, P (N = 4) = 0,04587, P (N ≥ 5) = 0,01040.
Si D = “el missatge es pot descodificar”: 1 P (D) = P (N = 0) + P (N = 1) + P (N = 2) + (P (N = 3) + P (N = 4)) = 0,89325.
2 P (D|N = 0)P (N = 0) 1 · 0,16777 P (N = 0|D) = = = 0,1878. Aix´ı, un 18,8% dels missatP (D) 0,89325 ges descodificats tenen la paraula correcta.
1 · 0,19267 P (D|N = 3 o 4)P (N = 3 o 4) ´ la probaP (N = 3 o 4|D) = = 2 = 0,9025. Es 1 − 0,89325 P (D) bilitat de poder recuperar un missatge que no s’ha descodificat.
(b) T ´es una variable geom`etrica amb p = P (D) = 0,1067.
1 PT (k) = 0,1067 · 0,89325k−1, k = 1, 2, . . .. E[T ] = = 9,4.
p (c) Els casos possibles s´ on les maneres de situar els 3 errors en els 8 bits. Els casos favorables s´ on les maneres de de situar els 3 errors en els u ´ ltims 6 bits.
6 5 P = 83 = = 0,3571.
14 3 1 2 Els instants en que s’inicia i finalitza el processat d’un senyal de comunicaci´o venen donats per les variables aleat` ories X i Y , respectivament. La densitat de la variable bidimensional (X, Y ) ´es   Ke−(x+y) , si 0 ≤ x ≤ y < ∞ f(x, y) =  0, altrament.
on K ´es una constant.
(a) Calculeu el valor de K, aix´ı com la densitat de Y condicionada a X = x. Dibuixeu aquesta densitat. Si sabem que X = 1, quina ´es la millor estimaci´o en mitjana quadr` atica del valor de Y ? (b) El temps de processat ve donat per la variable Z = Y − X. Trobeu la seva densitat aix´ı com la seva esperan¸ca i vari` ancia.
(c) Calculeu la probabilitat Pt que en l’instant t (t > 0) s’estigui processant el missatge.
Representeu Pt en funci´ o de t gr` aficament, indicant el seu valor m`axim i l’instant en que aquest es d´ ona.
∞ (Indicaci´ o: ∞ e−z dz = e−a , a ze−z dz = (a + 1)e−a .) a Soluci´ o: ∞ ∞ (a) 1 = ∞ Ke−x e−y dy dx = K 0 e−2x dx = 0 x K . Aix´ı, K = 2.
2 ∞ Densitat marginal de X: f(x) = 2e−x e−y dy = 2e−2x, per x > 0.
x f(x, y) 2e−x e−y = = e−(y−x) , per y > x.
f(x) 2e−2x La millor estimaci´o ´es la no lineal, c(X) = E[Y |X]: Densitat de Y condicionada a X = x: f(y|x) = ∞ el valor 2.
∞ ye−(y−x) dy = ex E[Y |x] = x ye−y dy = x + 1. Si X = 1 la millor estimaci´o de Y ´es x ∞ ∞ (b) FZ (z) = P (Y − X ≤ z) = 1 − P (Y > X + z) = 1 − 2e−x e−y dy dx = 1 − e−z .
0 x+z fZ (z) = e−z , per z > 0. Aix´ı, Z ´es exponencial de par` ametre λ = 1. La seva esperan¸ca i la seva vari` ancia valen 1.
t ∞ (c) Pt = P (X < t i Y > t) = 2e−x e−y dy dx = 2(e−t − e−2t ).
0 t Derivant i igualant a zero trobem el m`axim en t = ln 2 on Pt = 12 .
2 3 L’arribada de missatges a un servidor de correu ve donada per un proc´es de poisson X(t) de par` ametre λ = 2 missatges per segon.
(a) Calculeu la probabilitat que durant els 2 primers segons no arribi cap missatge. Calculeu la probabilitat que durant el primer segon n’arribin 4 o m´es. Calculeu el valor mitj` a i la desviaci´ o t´ıpica del nombre de missatges que arriben durant els 10 primers segons. Si durant els primers 10 segons arriben 35 missatges, podem sospitar que hi ha alguna anomalia? (b) Trobeu la millor estimaci´o lineal no homog`enia de X(t) donada X(t − T ) on T ´es una constant positiva. Interpreteu el resultat.
(c) Calculeu l’error quadr` atic mitj` a de l’anterior estimaci´o. Representeu-lo gr` aficament en funci´ o de T . Interpreteu el seu comportament.
(Indicaci´ o: Observeu que es pot escriure R(t1 , t2 ) = λ min(t1 , t2 )(1 + λ max(t1 , t2 ).) Soluci´ o: (a) Fixat t, X(t) ´es una variable de Poisson amb par` ametre α = 2t.
P (X(2) = 0) = e−4 = 0,0183.
2 3 P (X(1) ≥ 4) = 1 − P (X(1) ≤ 3) = 1 − e−2 (1 + 2 + 22! + 23! ) = 0,1428.
E[X(10)] = 20, V [X(10)] = 20, d’on σ = 4,47. Un valor de 35 difereix del valor mitj` a 20 en m´es de 3 vegades la desviaci´ o. Per tant, hem de sospitar que hi ha alguna anomalia.
(b) Estimem X(t) amb l’estimador C = aX(t−T )+b. Les equacions del principi d’ortogonalitat s´ on:   E[(aX(t − T ) + b)X(t − T )] = E[X(t)X(t − T )] E[(aX(t − T ) + b) · 1] =  ´ a dir: Es E[X(t) · 1].
  aR(t − T, t − T ) + bm(t − T ) = R(t, t − T ) am(t − T ) + b = m(t).
  a2(t − T )(1 + 2(t − T )) + b2(t − T ) = 2(t − T )(1 + 2t)   a2(t − T ) + b = 2t.
Simplificant la primera per 2(t − T ) i restant-li la segona, trobem a = 1 i despr´es b = 2T .
La millor estimaci´o ´es C = X(t − T ) + 2T . Aix´ı, l’obtenim sumant-li al valor conegut X(t − T ) el nombre mitj` a de missatges arribats entre els instants t − T i t.
(c) = E[(X(t) − C)2 ] = E[X(t)(X(t) − X(t − T ) − 2T )] = R(t, t) − R(t, t − T ) − 2T m(t) = 2t(1 + 2t) − 2(t − T )(1 + 2t) − 2T 2t = 2T . L’error va augmentant a mesura que el punt a estimar es fa m´es lluny` a.
3 ...