Fonaments matemàtics (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Diseño Industrial y Desarrollo del Producto - 1º curso
Asignatura Física
Año del apunte 2014
Páginas 25
Fecha de subida 18/05/2014
Descargas 4
Subido por

Vista previa del texto

MÒDUL 1. FONAMENTS MATEMÀTICS .
TEMA 1. Anàlisi vectorial Suma i resta de vectors Suma i resta de vectors Llei Commutativa Addició A+ B = B+ A Associativa A + ( B + C ) = ( A + B) + C Distributiva k ( A + B) = k A + k B Multiplicació k A = Ak k ( p A) = (kp ) A Multiplicació de vectors • Producte escalar • Propietats Commutativa A• B = B • A Distributiva ( A • B = AB cos θ A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz ) ( ) A• B + C = A+ B •C ( ) ( ) ( ) m A • B = m A • B = A • mB Multiplicació de vectors i ·i = j · j = k ·k = 1 i · j = j ·k = k ·i = 0 Multiplicació de vectors • Producte vectorial • Propietats Anticommutativa A ∧ B = −B ∧ A Distributiva ( ⌢ A ∧ B = AB sin θ an i A ∧ B = Ax Bx j Ay By ) ( A ∧ B + C = A ∧ B) + ( A ∧ C k Az Bz ( ) ( ) ( ) m A ∧ B = m A ∧ B = A ∧ mB ) Multiplicació de vectors i ∧ j =k j ∧k =i k ∧i = j Coordenades cartesianes −∞ < x < ∞ −∞ < y < ∞ −∞ < z < ∞ A = Ax i + Ay j + Az k Coordenades cilíndriques 0< ρ <∞ 0 < φ < 2π −∞ < z < ∞ ⌢ ⌢ ⌢ A = Aρ aρ + Aφ aφ + Az az Coordenades cilíndriques ρ = x2 + y2 φ = arctg y x z=z x = ρ cos φ y = ρ sin φ z=z Coordenades cilíndriques • Relacions entre les bases ⌢ ⌢ i = cos φ aρ − sin φ aφ ⌢ ⌢ j = sin φ aρ + cos φ aφ ⌢ k = az ⌢ aρ = cos φ i + sin φ j ⌢ aφ = − sin φ i + cos φ j ⌢ az = k Coordenades esfèriques 0<r <∞ 0 <θ <π 0 < φ < 2π ⌢ ⌢ ⌢ A = Ar ar + Aθ aθ + Aφ aφ Coordenades esfèriques r = x2 + y2 + z 2 x2 + y2 θ = arctg z y φ = arctg x x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ Coordenades esfèriques • Relacions entre les bases ⌢ ⌢ ⌢ i = sin θ cos φ ar + cos θ cos φ aθ − sin φ aφ ⌢ ⌢ ⌢ j = sin θ sin φ ar + cos θ sin φ aθ + cos φ aφ ⌢ ⌢ k = cos θ ar − sin θ aθz ⌢ ar = sin θ cos φ i + sin θ sin φ j + cos θ k ⌢ aθ = cos θ cos φ i + cos θ sin φ j − sin θ k ⌢ aφ = − sin φ i + cos φ j Longitud, àrea i volum diferencials • Coordenades cartesianes d ℓ = dxi + dy j + dzk dS = dydzi + dxdz j + dxdyk dV = dxdydz Longitud, àrea i volum diferencials • Coordenades cilíndriques ⌢ ⌢ ⌢ d ℓ = d ρ aρ + ρ dφ aφ + dzaz ⌢ ⌢ ⌢ dS = ρ dφ dzaρ + d ρ dzaφ + ρ d ρ dφ az dV = ρ d ρ dφ dz Longitud, àrea i volum diferencials • Coordenades esfèriques ⌢ ⌢ ⌢ d ℓ = dr aρ + rdθ aθ + r sin θ dφ aφ ⌢ ⌢ ⌢ dS = r 2 sin θ dθ dφ ar + r sin θ drdφ aθ + rdrdθ aφ dV = r 2 sin θ dr dθ dφ Integrals • De línia b A·d ℓ = ∫ A cos θ d ℓ ∫ L a circulació ∫ A·d ℓ • De superfície flux ⌢ A·dS = ∫ A·an dS ∫ A·dS ∫ b S a • De volum ∫ V ρV dV Operador nabla • En cartesianes • En cilíndriques • En esfèriques ∂ ∂ ∂ ∇= i + j+ k ∂x ∂y ∂z ∇= ∇= ∂ ⌢ 1 ∂ ⌢ ∂ ⌢ aρ + aφ + az ∂ρ ∂z ρ ∂φ ∂ ⌢ 1 ∂ ⌢ 1 ∂ ⌢ ar + aθ + aφ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ Gradient d’un escalar ∇V = gradV Divergència d’un vector div A = ∇· A • Teorema de Gauss-Ostrogradsky ∫ A·dS = ∫ V ∇· A dV Rotacional rot A = ∇ ∧ A • Teorema de Stokes ∫ A·d ℓ = ∫ ( ∇ ∧ A)·dS S Identitats nul·les ( ) • ∇ ∧ ∇V = 0 Si el rotacional d’un camp vectorial és nul (conservatiu), el camp es pot expressar com el gradient d’un camp escalar: E = −∇V • ∇·( ∇ ∧ A) = 0 Si la divergència d’un camp vectorial és nul·la (solenoïdal), el camp es pot expressar com el rotacional d’un altre camp vectorial: B = ∇ ∧ A Classificació de camps • Solenoïdal i conservatiu • Solenoïdal i rotacional Classificació de camps • Conservatiu i no solenoïdal • Rotacional i no solenoïdal ...