SFE_1.4 (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 4º curso
Asignatura Sistemes Fora de l'Equilibri
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 04/08/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

1.4 Problema: Disc perfectament absorbent. Estudieu el problema anterior en un espai bidimensional i comproveu que no hi ha soluci´o estacion`aria. Feu l’hip`otesi (quaÔ siest`atica) que existeix una frontera donada per Dt tal que la densitat superficial Ô fl0 no s’altera quan r > Dt i, en canvi, la densitat ´es estacion`aria dins del cercle Ô r < Dt. Amb aquesta hip` otesi trobeu la soluci´o depenent del temps fl(r, t) i el flux de part´ıcules absorbides pel disc.
Soluci´ o: Tenim el mateix problema que l’anterior, ara en 2D. Donada la simetria del problema, utilitzarem coordenades polars. Buscam un perfil estacionari, ´es a dir, fl(r, t) ≥ fl(r).
Anant a l’equaci´ o de difusi´ o, trobam 0 ✓ ˆfl(r) = DÒ2 fl(r) =∆ Ò2 fl(r) = 0.
ˆt (0.33) En polars, d2 fl(r) 1 dfl(r) + = 0.
(0.34) dr2 r dr Per resoldre l’equaci´ o anterior, considerem el canvi y(r) = flÕ (r) =∆ y Õ (r) = flÕÕ (r).
Sota aquest canvi, l’equaci´ o (0.34) esdev´e 1 C y Õ (r) + y(r) = 0 =∆ y(r) = .
r r (0.35) Finalment, trobam la soluci´ o general flÕ (r) = y(r) = C =∆ fl(r) = C ln(r) + B.
r (0.36) Notar que la soluci´ o (0.36) no ´es compatible amb les condicions de contorn del problema anterior: fl(Œ) = fl0 , fl(R) = 0. Si imposam aquestes condicions de contorn, obtenim un sistema d’equacions per a determinar C i B que no t´e soluci´o: fl0 = CŒ + B, 0 = C ln(R) + B.
(0.37) La conclusi´ o ´es que en 2D, no existeix un perfil estacionari per a la densitat. El que passa, ´es que en 2D les part´ıcules que es difonen recorren tot l’espai bidimensional (si ´ a dir, en una bassa, totes les part´ıcules de sal es troben el s’espera suficientment). Es disc absorbent, de manera que aquest s’arriba a menjar tota la sal. En 3D aix`o no passa, hi ha part´ıcules que mai arriben a trobar-se l’esfera absorbent, en conseq¨ u`encia, en 3D s´ı es pot mantenir una certa densitat estacion`aria. Per resoldre aquest problema, feim Ô el truc que proposa l’enunciat. Les noves condicions de contorn seran, fl( Dt) = fl0 i fl(R) = 0. El sistema per determinar C i B, en aquest cas ´es: Ô fl0 = C ln( Dt) + B, 8 0 = C ln(R) + B.
(0.38) De les dues equacions anterior determinam que valen C i B, C= ln fl 1Ô 0 Dt/R 2, B= ≠fl0 ln(R) 1Ô 2.
ln Dt/R (0.39) Finalment, la soluci´ o depenent del temps resulta ser fl(r, t) = ln fl 1Ô 0 Dt/R 2 ln 3 r R 4 (0.40) ´ f`acil comprovar que la soluci´ Es o anterior satisf`a les condicions de contorn. A m´es, per t ≥ Œ, la densitat va a zero. O sigui que si s’espera molt de temps, el disc arriba a absorbir totes les part´ıcules que segueixen el proc´es de difusi´o.
ormula general: ⁄ Per a calcular el flux de part´ıcules absorbides no podem utilitzar la f´ S ˛ Ara ens trobam en 2D i el contorn que delimita el “volum” del disc ´es una ˛ä · dS.
“superf´ıcie” d’una dimensi´ o: el per´ımetre. Per tant, r (r = R) = jN (r = R)2fiR.
(0.41) Per trobar el corrent, utilitzam la llei de Fick: Se segueix que ˆfl ≠Dfl0 1 r ˛ 2 .
˛äN = ≠DÒfl =∆ jN = ≠D = 1Ô ˆr ln Dt/R r (r = R) = ≠2fiDfl0 1Ô 2 ln Dt/R (0.42) (0.43) Comentaris: podem veure que en fer t æ Œ =∆ æ 0. Aix`o ja t´e sentit. D’acord amb el que he argumentat abans, si esperem prou temps, el disc ha absorbit totes les part´ıcules. En conseq¨ u`encia, no hi pot haver cap flux de part´ıcules. A m´es, el flux ha sortit negatiu, la qual cosa ens diu que el disc ´es un embornal, com era d’esperar.
9 ...