Examen Final Primavera 2011 (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Probabilidad Procesos Estocasticos y Estadística
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 08/04/2015
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

´ de Barcelona ETS d’Enginyeria de Telecomunicacio ` PROBABILITAT, PROCESSOS ESTOCASTICS I ESTAD´ISTICA Soluci´ o de l’examen final 21 de juny de 2011 1 Les dades provinents de mesures astron`omiques arriben seq¨uencialment a un centre terrestre a trav´es de tres sat`el.lits que participen simult` aniament en l’emissi´ o de cada dada. Cada sat`el.lit, de forma 1 independents dels altres, pot fallar en la transmissi´ o amb probabilitat . A partir del senyal dels tres 2 sat`el.lits cada dada es reconstrueix amb una qualitat que pot ser alta o baixa. Si han fallat N sat`el.lits, 1 . El temps necessari (en mil.lisegons) per la probabilitat de tenir la dada amb qualitat alta val 2N + 2 4−N reconstruir la dada ´es una variable exponencial de par` ametre λ = .
10 (a) En 80 dades independents, qu`e valen el nombre mitj` a i la desviaci´ o del nombre de dades reconstru¨ıdes amb alta qualitat? Quina ´es la probabilitat de tenir m´es de 25 dades en alta qualitat? (b) S’ha rebut una dada en alta qualitat. Quina ´es la probabilitat que hagin fallat exactament dos sat`el.lits? Comenteu el canvi que hi ha hagut respecte la probabilitat a priori.
(c) Qu`e val el temps mitj` a per reconstruir una dada? Podem reconstruir-les a temps real si arriben 230 dades per segon? Soluci´ o: Denotem A l’esdeveniment “missatge recostru¨ıt amb qualitat alta”. El nombre N de sat`el.lits que fallen ´es una variable binomial amb n = 3 i p = 12 . Llavors, per 0 ≤ k ≤ 3: 3 k 1 2 k 1 2 3−k 1 3 1 3 3 1 . Per tant, PN (0) = , PN (1) = , PN (2) = , PN (3) = .
8 k 8 8 8 8 1 Tamb´e tenim: P (A|N = k) = .
2k + 2 PN (k) = = (a) El nombre X de dades en alta qualitat ´es una variable binomial amb n = 80 i 3 p = P (A) = P (A|N = k)PN (k) = k=0 1 1 1 3 1 3 1 1 15 · + · + · + · = = 0,2343.
2 8 4 8 6 8 8 8 64 15 75 = = 18,75.
64 4 √ 15 49 35 3 √ σX = npq = 80 · · = = 3,7888.
64 64 16 Aproximant amb la gaussiana: 1 25,5 − 18,75 P (X > 25) = 1 − FX (25,5) = 1 − 1 + erf √ = 0,5 − 0,5 erf(1,2597) = 0,0374.
2 2 · 3,7888 (sense correcci´o del mig punt d´ ona 0,0495, el valor exacte ´es 0,0409.) Aix´ı, E[X] = np = 80 · (b) Per Bayes: P (N = 2|A) = P (A|N = 2)P (N = 2) = P (A) 1 6 · 15 64 3 8 = 4 = 0,2666.
15 A priori, P (N = 2) = 38 = 0,375. La probabilitat ha disminu¨ıt ja que un nombre alt de sat`el.lits que fallen afavoreix la baixa qualitat.
1 10 (c) E[T |N ] = = .
λ 4−N 10 E[T ] = E 4−N 3 = 10 k=0 1 PN (k) = 10 4−k En un segon podem reconstruir que arriben a temps real.
1000 4,6875 1 1 1 3 1 3 1 · + · + · +1· 4 8 3 8 2 8 8 = 75 = 4,6875ms.
16 213 dades. Per tant, no podem reconstruir les dades 1 2 A un punt d’una xarxa arriben missatges formats per dos blocs de mides X i Y (Mb). La densitat de la variable bidimensional (X, Y ) ´es   K(1 − xy), f(x, y) =  0, si 0 ≤ x ≤ 1 i 0 ≤ y ≤ 1 altrament.
on K ´es una constant.
(a) Calculeu el valor de K. Trobeu les densitats marginals de X i de Y . Calculeu el coeficient de correlaci´o ρ entre X i Y . S´ on independents X i Y ? (b) Calculeu l’esperan¸ca de X condicionada a Y = y. Quina ´es la millor estimaci´o possible del valor de X si sabem que Y = 1? (c) La mida del missatge ´es Z = X +Y . Calculeu la seva esperan¸ca i vari` ancia. Trobeu la probabilitat que Z > 1.
1 tn dt = (Indicaci´ o: 0 1 .) n+1 Soluci´ o: (a) La variable (X, Y ) viu en el quadrat [0, 1] × [0, 1].
1 1 1 x 3K 1= dx dy K(1 − xy) = K dx 1 − = . Aix´ı, K = 43 .
2 4 0 0 0 1 4 4 x Densitat marginal de X: f(x) = dy (1 − xy) = 1− , per 0 < x < 1.
3 3 2 0 4 y Per simetria x ↔ y, la densitat marginal de Y : f(y) = 1− , per 0 < y < 1.
3 2 Com f(x, y) = f(x)f(y), les variables no s´ on independents.
1 4 x 4 E[X] = E[Y ] = x 1− dx = = 0,4444.
3 2 9 0 1 4 2 x 5 x 1− . V [X] = V [Y ] = dx = 3 2 18 0 1 1 4 1 x x2 4 dx − = E[XY ] = dx dy xy (1 − xy) = 3 3 0 2 3 0 0 E[X 2 ] = E[Y 2 ] = C[X, Y ] = (b) f(x|y) = 5 − 27 4 9 2 =− 5 − 18 5 .
27 4 9 2 = 13 = 0,0802.
162 1 C[X, Y ] 2 = −0,01234. ρ = =− = −0,1538.
81 σX σY 13 f(x, y) 1 − xy = per 0 < x < 1.
f(y) 1 − y2 1 1 − xy 3 − 2y = .
1 − y2 6 − 3y La millor estimaci´o possible de X donada Y = 1 la d´ ona l’esperan¸ca condicionada: 1 E[X|Y = 1] = .
3 4 4 8 (c) E[Z] = E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] = + = = 0,8888.
9 9 9 11 V [Z] = V [X + Y ] = V [X] + V [Y ] + 2C[X, Y ] = = 0,1358.
81 1 1−x 1 4 4 x P (Z > 1) = 1 − P (Z < 1) = 1 − dx dy (1 − xy) = 1 − dx (1 − x − (1 − x)2 ) = 3 3 2 0 0 0 3 4 1 3 x 7 dx (1 − x + x2 − ) = = 0,3888.
1− 3 0 2 2 18 E[X|y] = dx x 0 2 3 El soroll en un canal de comunicaci´o ve donat pel proc´es X(t) = A cos t + B sin t + C, on A, B, C s´ on variables aleat` ories gaussianes incorrelades, d’esperances mA = mB = 0, mC = 1 i desviacions σA = σB = σC = 1 (a) Calculeu les funcions de valor mitj` a, d’autocorrelaci´o, d’autocovari` ancia i la pot`encia del proc´es ´ estacionari en sentit ampli? X(t). Es (b) Trobeu la millor estimaci´o de X(π) per una constant. Calculeu l’error mitj` a associat a aquesta estimaci´o.
(c) Trobeu la millor estimaci´o lineal homog`enia de X(π) donades X(0) i X( π2 ). Compareu l’error mitj` a d’aquesta estimaci´o amb el de l’anterior apartat. Quina estimaci´o ´es millor? Com es podria millorar l’estimaci´ o lineal anterior si nom´es disposem d’aquestes dues dades? Soluci´ o: 2 2 2 (a) Notem primer que E[A2 ] = σA + m2A = 1, E[B 2 ] = σB + m2B = 1, E[C 2 ] = σC + m2C = 2. Al ser incorrelades E[AB] = mA mB = 0, E[AC] = mA mC = 0, E[BC] = mB mC = 0.
m(t) = E[X(t)] = E[A] cos t + E[B] sin t + E[C] = 1.
R(t1 , t2 ) = E[X(t1 )X(t2 )] = E[(A cos t1 +B sin t1 +C)(A cos t2 +B sin t2 +C)] = E[A2 ] cos t1 cos t2 + E[B 2 ] sin t1 sin t2 + E[C 2 ] + termes creuats d’esperan¸ca zero = cos t1 cos t2 + sin t1 sin t2 + 2 = 2 + cos(t2 − t1 ).
C(t1 , t2 ) = R(t1 , t2 ) − m(t1 )m(t2 ) = 1 + cos(t2 − t1 ).
Pot`encia = R(t, t) = 2 + cos 0 = 3.
El proc´es ´es estacionari en sentit ampli ja que m(t) = 1 ´es constant i R(t, t + τ ) = 2 + cos τ no dep`en de t.
(b) La millor estimaci´o per una constant la d´ ona l’esperan¸ca. Aix´ı, ´es C = E[X(π)] = m(π) = 1.
L’error mitj` a en aquest cas ´es la vari` ancia de la variable: = V [X(π)] = C(π, π) = 2.
(c) L’estimador ´es X(π) = αX(0) + βX( π2 ). Les equacions del principi d’ortogonalitat s´ on:   E[(αX(0) + βX( π2 ))X(0)] = E[X(π)X(0)]  E[(αX(0) + βX( π2 ))X( π2 )] = E[X(π)X( π2 )].
Utilitzant E[X(t1 )X(t2 )] = R(t1 , t2 ) = 2 + cos(t2 − t1 ):   3α + 2β = 1 1 4 La soluci´ o ´es α = − , β = .
5 5 L’error mitj` a: =E  2α + 3β = 1 4 π X(π) − − X(0) + X( ) 5 5 2 2.
1 4 π X(π) = R(π, π)+ R(0, π)− R( , π) = 5 5 2 8 = 1,6.
5 Aquesta estimaci´o ´es millor que la constant ja que l’error ´es menor. Una manera de millorar-la ´es fer-la no homog`enia. Com les variables s´ on gaussianes aquesta seria ja la millor de les estimacions possibles.
3 ...