Mecanica analítica (J.González 2012-13) (2013)

Apunte Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 2º curso
Asignatura Mecanica
Año del apunte 2013
Páginas 14
Fecha de subida 08/11/2014
Descargas 7

Descripción

Apunts tal com el ppt del Profesor J. González

Vista previa del texto

Tema 4: ´ nica anal´ıtica Elementos de meca Oscar Fajardo Fontiveros original de Jes´ us Gonz´alez 9 de octubre de 2013 ´Indice 1. Cinem´ atica y din´ amica 1.1. Sistema de coordenadas generalizadas . . . . .
1.1.1. Ligaduras: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Ligaduras hol´ onomas: . . . . . . . . . . .
1.1.3. Ligaduras no-hol´ onomas: . . . . . . . . .
1.1.4. Definiciones adicionales: . . . . . . . . . .
1.2. Principio de Hamilton: . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Problema fundamental de la din´ amica: 1.2.2. Ejemplos de lagrangianos (L = T − V ): .
1.2.3. Principio de Hamilton: . . . . . . . . . . .
Introducci´on al c´alculo variacional . . . . . .
1.2.4. Ecuaciones del movimiento: . . . . . . . .
2 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2. Teoremas de conservaci´ on: 2.1. Energ´ıa cin´ etica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Momento lineal i momento angular: . . . .
2.1.2. Teorema del momento lineal: . . . . . . . . .
2.1.3. Coordenadas ignorables: . . . . . . . . . . . .
2.2. Conservaci´ on de la energ´ıa: . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Energ´ıa mec´ anica: . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Teorema de la conservaci´ on de la energ´ıa: .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 . 7 . 8 . 9 . 9 . 9 . 9 . 10 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
energ´ıa mec´ anica: .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3. Ecuaciones de Hamilton: 3.1. Hamiltoniano: . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Formalismo de Hamilton: . . .
3.1.2. Espacio de las fases: . . . . . .
3.2. Ecuaciones de Hamilton: . . . . . . . . . .
3.3. Teoremas de conservaci´ on: . . . . . .
3.3.1. Teorema de conservaci´ on de la 1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11 11 11 12 12 13 13 1.
Cinem´ atica y din´ amica 1.1.
Sistema de coordenadas generalizadas • Conjunto formado por el m´ınimo n´ umero de magnitudes necesario para determinar la posici´ on del sistema.
Notaci´ on: S = {q1 , q2 , ..., qs } Donde s es el n´ umero de grados de libertad (s = CardS) y qi es una coordenada generalizada.
• Ejemplos: – Osciladores arm´ onicos simples:s = 1 y S = {x} – Sistema de dos osciladores acoplados::s = 2 y S = {x1 , x2 } – Problema de los dos cuerpos::s = 6 y S = {X, Y, Z, x, y, z} – Part´ıculas de un campo de fuerzas centrales:s = 1 y S = {r, φ} • Cinem´ atica: – Cada sistema mec´ anico tiene un n´ umero bien definido de grados de libertad. s ∈ N – Existe un conjunto de s n´ umeros reales, S = {q1 , q2 , ..., qs } ∈ Rs que determinan la posici´ on del sistema en el espacio.
1.1.1.
Ligaduras: • Sistema de N part´ıculas en el espacio: s = 3N grados de libertad.
– S = {⃗r1 , ⃗r2 , ⃗r3 , ..., ⃗rN } = {x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , ...xN , yN , zN } • Coordenadas generalizadas:S = {q1 , q2 , ..., q3N } • Ligaduras: restricciones sobre el movimiento del sistema.
• Tipos de ligaduras: Ligaduras hol´ onomas: Se pueden expresar mediante ecuaciones que relacionan las coordenadas y el tiempo.
Ligaduras no hol´ onomas: No se pueden expresar mediante una ecuaci´ on de las coordenadas.
Ligaduras escler´ onomas: No dependen expl´ıcitamente del tiempo.
Ligaduras re´ onomas: Dependen del tiempo.
1.1.2.
Ligaduras hol´ onomas: • Sistema de N part´ıculas: f (q1 , q2 , q3 , ...q3N ; t) = 0 • Reducci´on del grado de libertad:qj = f −1 (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t) , ...q3N (t) ; t) • Sistema de N part´ıculas sometidas a h ligaduras hol´onomas distintas: s = 3N − h • Osciladores harm´ onicos simples: – Tres coordenadas:S = {x, y, z} – Dos ligaduras hol´ onomas: y = 0; z = 0 – Movimiento unidimensional: s = 1 con S = {x} • Dos osciladores acoplados: 2 – Seis coordenadas:S = {x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 } – Cuatro ligaduras hol´ onomas: y1 = z1 = y2 = z2 = 0 – Dos grados de libertad: s = 1 con S = {x1 , x2 } • Part´ıcula en un campo de fuerzas centrales: – Tres coordenada: {r, φ, θ} – Una ligadura hol´ onoma: θ = π/2 – Dos grados de libertad: s = 2 con S = {r, φ, } • Part´ıcula restringida a moverse sobre la superficie de una esfera de radio R: – Tres coordenadas: {r, φ, θ} – Una ligadura hol´ onoma: r − R = 0 – Dos grados de libertad: s = 2 con S = {φ, θ} • Part´ıcula restringida a moverse sobre la superficie de una esfera de radio R = R(t): – Tres coordenadas: {r, φ, θ} – Una ligadura hol´ onoma: r − R(t) = 0 – Dos grados de libertad: s = 2 con S = {φ, θ} 1.1.3.
Ligaduras no-hol´ onomas: • Se suelen expresar mediante inecuaciones.
• Ejemplo 1: Part´ıcula sometida a moverse en el interior de una esfera de radio R.
– Ligaduras: x2 + y 2 + z 2 < R • Ejemplo 2: N a ´tomos de un gas ideal contenidos a moverse en el interior de un recipiente prism´ atico de aristas a, b y c: ⎧ ⎫ ⎨ 0 < xi < a ⎬ – Ligaduras: 0 < yi < b , i = 1, 2, 3, ...N ⎩ ⎭ 0 < zi < c 1.1.4.
Definiciones adicionales: • Dado al sistema: S = {q1 , q2 , ..., qs } definimos: • Velocidades generalizadas: – Derivadas temporales de las coordenadas generalizadas: Notaci´ on:{q˙1 , q˙2 , q˙3 ..., q˙s } – Ejemplo: Velocidad lineal x˙ asociada a la coordenada carteiana x.
– Velocidad lineal angular φ˙ asociada a la coordenada φ.
• Espacio de configuraci´on: – Espacio de s dimensiones cuyas coordenadas son las variables q1 , q2 , q3 , ..., qs , Configuraci´ on del sistema: Punto del espacio de configuraci´on.
Evoluci´on temporal del sistema: Curva en el espacio de configuraci´ on.
– Tratamiento geom´etrico a los problemas de mec´anica.
– No coincide con el espacio f´ısico.
3 1.2.
1.2.1.
Principio de Hamilton: Problema fundamental de la din´ amica: • Determinar la dependencia temporal de las coordenadas generalizadas para unas condiciones dadas: q1 (t), q2 (t), q3 (t), ..., qs (t).
• Por unas “condiciones dadas” entendemos dos elementos: – Condiciones iniciales: q1 (0), q2 (0), q3 (0), ..., qs (0).
– Interacciones internas y con el entorno.
• Las interacciones en Mec´anica Anal´ıtica, se describen mediante una finci´ on de qi (t), q˙1 (t), i = 1, 2, 3, ...s y t, llamado lagrangiano del sistema: • Para sistemas conservativos, el lagrangiano se define como: L (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t) , ..., qs (t) , q˙1 (t) , q˙2 (t) , q˙3 (t) , ..., q˙s (t) ; t) = T − V 1.2.2.
(1) Ejemplos de lagrangianos (L = T − V ): • Oscilador arm´ onico simple,s = 1 y S = {x}: L (x, x; ˙ t) = 1 1 mx˙ 2 − kx2 2 2 • Part´ıcula de fuerzas centrales inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, s = 1 y S = {r, φ}: 1 k 1 L (r, ϕ, r, ˙ ϕ; ˙ t) = mr˙ 2 + mr2 ϕ˙ 2 − 2 2 r • El lagrangiano se refiere al sistema en conjunto.
1.2.3.
Principio de Hamilton: t2 • Acci´ on de un sistema: J = L (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t) , ..., qs (t) , q˙1 (t) , q˙2 (t) , q˙3 (t) , ..., q˙s (t) ; t) dt t1 • Principio de Hamilton: De todas las funciones qi (t), i = 1, 2, 3..s, que llevan a un sistema desde qi (t1 ), i = 1, 2, 3..s al punto qi (t2 ), i = 1, 2, 3..s del espacio de configuraci´ on en el intervalo que lleva de t1 a t2 , aquella que se realizara ser´ a aquella en la que la acci´ on es un extremo.
• C´ alculo variacional: – Funcional: Funci´ on cuyo dominio de definici´on es un conjunto de funciones.
– T´ecnicas para resolver problemas en los que una determinada funci´ on o familia de funcones, hacen m´ aximo o m´ınimo a un funcional.
– Generalizaci´ on de la teor´ıa de m´aximos y m´ınimos del an´alisis matem´atico a funcionales.
Introducci´ on al c´ alculo variacional 1.2.4.
Ecuaciones del movimiento: • Del principio del Hamilton, deriva un problema de c´alculo variacional: t – Para hacer que J = t12 L (q1 (t) , q2 (t) , q3 (t) , ..., qs (t) , q˙1 (t) , q˙2 (t) , q˙3 (t) , ..., q˙s (t) ; t) dt sea un extremo, se ha de cumplir la condici´ on de Euler: d ∂L − ∂qi dt ∂L ∂ q˙i 4 = 0, i = 1, 2, 3, ..., s – Definimos las ecuaciones de Lagrange como: d dt ∂L ∂ q˙i − ∂L = 0, i = 1, 2, 3, ..., s ∂qi • Caracterizaci´ on matem´ atica: – Sistema de s ecuaciones diferenciales de segundo orden acoplados.
– Soluciones: Las funciones qi (t), i = 1, 2, 3, ..., s buscadas.
– Determinar el espacio de las fases.
– Determinar el lagrangiano: L = T − V – Escribir las ecuaciones de Lagrange: d dt ∂L ∂ q˙i − ∂L = 0, i = 1, 2, 3, ..., s ∂qi – Resolver las ecuaciones diferenciales obtenidas.
Ejemplo I: Oscilador arm´onico simple; s = 1 y S = {x} ∂L d ∂L − =0 • Ecuaciones de Lagrange: dt ∂ x˙ ∂x • C´ alculo de derivadas: ∂L d ∂L = −kx; = mx; ˙ ∂x ∂ x˙ dt ∂L ∂ x˙ = m¨ x • Ecuaci´on diferencial lineal con coeficientes constantes: x = A cos (ωt + θ) k ω= m Con A y θ a determinar por condiciones iniciales.
Ejemplo II: Osciladores acoplados: • Dos osciladores acoplados de masas m1 y m2 y k1 ,k2 ,k3 constantes. Interacci´ on entre si linealmente con constante k3 • Espacio de configuraci´on: s = 2 y S = {x1 , x2 } 1 1 1 • L (x1 , x2 , x˙ 1 , x˙ 2 ; t) = m1 x˙ 21 + m2 x˙ 22 − m1 x21 − 2 2 2 d ∂L ∂L d − • Ecuaciones de Lagrange: = 0; dt ∂ x˙ 1 ∂x1 dt • Derivadas: – Coordenadas x1 : – Coordenadas x2 : 1 1 2 m1 x22 − k3 (x2 − x1 ) 2 2 ∂L ∂L − = 0.
∂ x˙ 2 ∂x2 ∂L = −k1 x1 + k3 (x2 − x1 ) ∂x1 ∂L = m1 x˙ 1 ∂ x˙ 1 d ∂L = m1 x ¨1 dt ∂ x˙ 1 ∂L = −k2 x2 + k3 (x2 − x1 ) ∂x2 ∂L = m2 x˙ 2 ∂ x˙ 2 d ∂L = m2 x ¨2 dt ∂ x˙ 2 5 m1 x ¨1 = −k1 x1 + k3 (x2 − x1 ) m2 x ¨2 = −k2 x2 − k3 (x2 − x1 ) Ejemplo III: Part´ıcula sometida a un campo de fuerzas inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: – Sistema resultante: • Part´ıcula de masa m bajo una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
• Espacio de configuraci´on: s = 2 y S = {r, φ} • Ecuaciones de Lagrange: d dt ∂L ∂ r˙ − • Derivadas: – Coordenada r: ∂L d = 0; ∂r dt − ∂L =0 ∂ϕ k ∂L = mrϕ˙ 2 + 2 ∂r r ∂L = mr˙ ∂ r˙ d ∂L = m¨ r dt ∂ r˙ – Coordenada ϕ: ∂L =0 ∂ϕ ∂L = mr2 ϕ˙ ∂ ϕ˙ d dt – Sistema resultante: ∂L ∂ ϕ˙ ∂L ∂ ϕ˙ m r2 ϕ¨ + 2rr˙ ϕ˙ = = mr2 ϕ¨ + 2mrr˙ ϕ˙ k r2 rϕ¨ + 2r˙ ϕ˙ = 0 Ejemplo IV: Part´ıcula sometida en un campo conservativo: ⃗ (⃗r) • Part´ıcula de masa m, en 3D, sometida a una fuerza conservativa:F⃗ (⃗r) = −∇V • Espacio de configuraci´on: s = 3 y S = {x, y, z} – Lagrangiano: 1 1 1 L = mx˙ 2 + my˙ 2 + mz˙ 2 − V (x, y, z) 2 2 2 • Ecuaciones de Lagrange: ∂L d ∂L − =0 dt ∂ x˙ ∂x d ∂L ∂L − =0 dt ∂ y˙ ∂y d ∂L ∂L − =0 dt ∂ z˙ ∂z – C´alculo de derivadas: ∂V ∂L d ∂L ∂L =− , = mx, ˙ = m¨ x ∂x ∂x ∂ x˙ dt ∂ x˙ ∂V – Ecuaciones diferenciales del movimiento:m¨ x=− ∂x – Resultados an´ alogos para las otras componentes: ∂V ∂V m¨ y=− , m¨ z=− ∂y ∂z – Notaci´ on vectorial: ∂V ∂V ∂V m¨ xx ˆ + m¨ y yˆ + m¨ z zˆ = − x ˆ− yˆ − zˆ ∂x ∂y ∂z ⃗ (⃗r) = F⃗ (⃗r) – Segunda ley de Newton: m⃗r¨ = −∇V 6 2.
Teoremas de conservaci´ on: 2.1.
Energ´ıa cin´ etica: • Sistema de N part´ıculas, antes de imponer las ligaduras.
– Coordenadas cartesianas:{x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , x3 , y3 , z3 , ...xN , yN , zN } – Coordenadas generalizadas:{q1 , q2 , q3 , ..., q3N } • Coordenadas cartesianas en funci´ on de las generalizadas: xj = xj (q1 , q2 , q3 , ..., q3N ; t) yj = yj (q1 , q2 , q3 , ..., q3N ; t) zj = zj (q1 , q2 , q3 , ..., q3N ; t) Con j = 1, 2, 3, ..., N • Relaci´on entre velocidades cartesianas y velocidades generalizadas: 3N x˙ j = i=1 3N y˙ j = i=1 3N z˙j = i=1 ∂xj ∂xj dqi + = ∂qi dt ∂t ∂yj ∂yj dqi + = ∂qi dt ∂t ∂zj dqi ∂zj + = ∂qi dt ∂t 3N ∂xj ∂xj q˙i + ∂qi ∂t i=1 3N ∂yj ∂yj q˙i + ∂qi ∂t i=1 3N ∂zj ∂zj q˙i + ∂qi ∂t i=1 Con j = 1, 2, 3, ..., N • Definici´on: N T = j=1 1 mj x˙ 2j + y˙ j2 + z˙j2 2 • Componentes x˙ j (j = 1, 2, 3, ..., N ): 3N x˙ 2j = k=1 ∂xj ∂xj q˙k + ∂qk ∂t 3N l=1 3N 3N ∂xj ∂xj q˙l + ∂ql ∂t = k=1 k=1 ∂xj ∂xj q˙k q˙l + 2 ∂qk ∂ql 3N k=1 ∂xj ∂xj ∂xj q˙k + ∂qk ∂t ∂t • An´ alogamente para las componentes y˙j , z˙j (j = 1, 2, 3, ..., N ): 3N 3N ∂yj ∂yj q˙k q˙l + 2 ∂qk ∂ql y˙ j2 = k=1 k=1 3N 3N z˙j2 = k=1 k=1 ∂zj ∂zj q˙k q˙l + 2 ∂qk ∂ql 3N k=1 3N k=1 ∂yj ∂yj q˙k + ∂qk ∂t ∂yj ∂t 2 ∂zj ∂zj q˙k + ∂qk ∂t ∂zj ∂t 2 • En coordenadas generalizadas, la energ´ıa cin´etica queda: 3N 3N T = k=1 l=1 1 Ak,l q˙k q˙l + 2 con N Ak,l (q1 , q2 , ..., qi , ..., q3N ; t) = mj j=1 7 3N Ak q˙k + A0 k=1 ∂yj ∂yj ∂zj ∂zj ∂xj ∂xj + + ∂qk ∂ql ∂qk ∂ql ∂qk ∂ql 2 N Ak (q1 , q2 , ..., qi , ..., q3N ; t) = ∂xj ∂xj ∂yj ∂yj ∂zj ∂zj + + ∂qk ∂t ∂qk ∂t ∂qk ∂t mj j=1 1 2 A0 (q1 , q2 , ..., qi , ..., q3N ; t) = N ∂xj ∂t mj j=1 2 + ∂yj ∂t 2 + ∂zj ∂t 2 – Si Ak,l es nulo, excepto cuando k = l, se dice que las matrices generalizadas son ortogonales.
– Los t´erminos Ak y A0 son nulos cuando las coordenadas generalizadas no dependen del tiempo.
– La expresi´ on de la energ´ıa cin´etica se puede simplificar introduciendo las ligaduras: k, l ∈ {1, 2, 3, ..., s} 2.1.1.
Momento lineal i momento angular: • Energ´ıa cin´etica de una part´ıcula: T = • Componentes del momento lineal: 1 m x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 2 ∂T ∂ x˙ ∂T Py = my˙ = ∂ y˙ ∂T Pz = mz˙ = ∂ z˙ Px = mx˙ = • Momento lineal en coordenadas polares planas: – Energ´ıa cin´etica: T = 1 2 1 2 2 mr˙ + mr ϕ˙ 2 2 – Momento lineal en direcci´ on radial: Pr = mr˙ = – Momento angular: Pϕ = mr2 ϕ˙ = • Sistema: ∂T ∂ r˙ ∂T ∂ ϕ˙ s grados de libertad Espacio de configuraci´onS = {q1 , ..., qs } • Momento generalizado asociado a la coordenada generalizada qk : Pk = ∂T ∂ q˙k ⃗ y del momento lineal P⃗ de la Esta definici´on incluye las componentes del momento angular L mec´ anica de Newton.
• Expresi´on para los momentos generalizados: Pk = ∂ ∂ q˙k 3N 3N k=1 l=1 1 Ak,l q˙k q˙l + 2 Escrita antes de imponer las ligaduras.
8 3N 3N Ak q˙k + A0 = k=1 Ak,l q˙l + Ak l=k 2.1.2.
Teorema del momento lineal: Momento conjugado: Dada la coordenada generalizada qk , al momento generalizado pk = el momento conjugado de qk .
∂T se llama ∂ q˙k Coordenada ignorable: Una coordenada ignorable es aquella que no aparece expl´ıcitamente en la expresi´ on del lagrangiano.
Teorema del momento generalizado: Si qk es gnorable, su momento comjugado, pk = constante del movimiento.
∂T es una ∂ q˙k ∂L d ∂L =0 − dt ∂ q˙k ∂qk ∂L • Si qk no aparece en el lagrangiano, entonces = 0.
∂qk ∂L d ∂L = cte =0⇒ • Ecuaci´on de Lagrange: dt ∂ q˙k ∂ q˙k ∂L ∂T ∂T ∂L • L = T − V y V independiente de la velocidad: = ⇒ pk = = = cte ∂ q˙k ∂ q˙k ∂ q˙k ∂ q˙k Demostraci´on: 2.1.3.
• Ecuaci´on de Lagrange referida a qk : Coordenadas ignorables: • Para resolver una coordenada ignorable se puede resolver la ecuaci´ on s Ak,l q˙l + Ak = pk = cte l=1 Para q˙k = q˙k (q˙1 , q˙2 , q˙3 , ..., q˙k−1 q˙k+1 , ..., q˙s ) • Substituyendo al lagrangiano, se eliminan q˙k de la expresi´ on, i as´ı se reduce el n´ umero de variables del problema.
• Encontradoas las restantes coordenadas ignorables en funci´on del tiempo, se substituye en la expresi´ on para q˙k i se tiene q˙k (t).
• Finalmente por integraci´on se obtiene qk (t).
2.2.
Conservaci´ on de la energ´ıa: 2.2.1.
Energ´ıa mec´ anica: • Teorema: Dado un sistema con s grados de libertad y un espacio de configuraci´ on S = {q1 , q2 , q3 ..., qs } y lagrangiano L = L (q˙1 , q˙2 , q˙3 , ..., q˙s ; t) en el que las coordenadas generalizadas no dependen de t, la energ´ıa mec´ anica vendr´ a dada por: s q˙k Em = k=1 ∂L −L ∂ q˙k • Demostraci´on: – Energ´ıa cin´etica: s s T = k=1 l=1 1 Ak,l q˙k q˙l + 2 9 s Ak q˙k + A0 k=1 – Relaci´ on entre coordenadas generalizadas y cartesianas independientemente del tiempo: s s T = k=1 l=1 1 Ak,l q˙k q˙l 2 – Funci´ on homogenea de grado v = 2 en las velocidades generalizadas: ◦ Substituci´ on: s T (λq˙1 , λq˙2 , λq˙3 , ..., λq˙s ) = l=1 1 Ak,l (λq˙k ) (λq˙l ) = λ2 2 s s k=1 l=1 1 Ak,l q˙k q˙l = λ2 T (q˙1 , q˙2 , q˙3 , ..., q˙s ) 2 – Teorema de Euler de las funciones homogeneas: s q˙i i=1 – Energ´ıa mec´ anica: s q˙k k=1 2.2.2.
∂T = 2T ∂ q˙i ∂L − L = 2T − (T − V ) = T + V = Em ∂ q˙k Teorema de la conservaci´ on de la energ´ıa: • Teorema: Si el lagrangiano no depende expl´ıcitamente del tiempo, la enetg´ıa mec´anica se conserva.
• Lagrangiano no depende del tiempo: s s T = k=1 l=1 s 1 Ak,l q˙k q˙l ⇒ Em = 2 q˙k ∂L −L ∂ q˙k q˙k ∂L ∂L ∂L + q¨k + ∂qk ∂ q˙k ∂t k=1 • Derivando respecto al tiempo: dEm dt = d dt s q˙k k=1 s q¨k = k=1 s = q˙k k=1 ∂L −L ∂ q˙k ∂L d + q˙k ∂ q˙k dt d dt ∂L ∂ q˙k ∂L ∂ q˙k − s − k=1 ∂L ∂L − ∂qk ∂t • Recordando la ecuaci´on de Lagrange y que el lagrangiano no depende del tiempo: d ∂L dt ∂ q˙k ∂L =0 ∂t − ⎫ ∂L s ⎬ =0 ⎪ ∂L dEm ∂qk = 0 ⇒ Em = q˙k − L = cte ⇒ ⎪ dt ∂ q˙k ⎭ k=1 Ejemplo 2.1 Part´ıcula en un campo de fuerzas centrales inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: 1 1 K L = L (r, ϕ, r, ˙ ϕ; ˙ t) = mr2 + mr2 ϕ˙ 2 − 2 2 r 1. Coordenada ϕ es ignorable: 10 • Se conserva el momento conjugado: pϕ = ∂T = mr2 ϕ˙ ∂ ϕ˙ 2. t no aparece en el lagrangiano: • Se conserva la energ´ıa mec´ anica: s Em = q˙k k=1 ∂L ∂L ∂L − L = r˙ + ϕ˙ L ∂ q˙k ∂ r˙ ∂ ϕ˙ • Expresi´ on de la energ´ıa mec´ anica: ∂L = mr˙ ∂ r˙ ∂L = mr2 ϕ˙ ∂ ϕ˙ 3.
⎫ ⎪ ⎬ = mr˙ 2 + mr2 ϕ˙ 2 − ⇒ Em ⎪ ⎭ 1 2 1 2 2 K mr˙ + mr ϕ˙ − 2 2 r = 1 2 1 2 2 K mr˙ + mr ϕ˙ + 2 2 r Ecuaciones de Hamilton: 3.1.
3.1.1.
Hamiltoniano: Formalismo de Hamilton: • Formulaci´ on basada en la energ´ıa mec´anica y en coordenadas y momentos generalizados.
– Aplicaci´ on de la Mec´ anica Cl´ asica.
– Desarrollo de la Mec´ anica Estad´ıstica y Cu´antica.
• Caracterizaci´ on din´ amica de un sistema con s grados de libertad, espacio de configuraci´ on S = {q1 , q2 , q3 ..., qs } y lagrangiano L = L (q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., q˙1 , q˙2 , q˙3 , ..., q˙s ; t): – Hamiltoniano: H = H (q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., p1 , p2 , p3 , ..., ps ; t) s = pk q˙k − L (q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., p1 , p2 , p3 , ..., q˙s ; t) k=1 – Velocidades generalizadas: – Resolviendo: ⎧ p1 = A1,l q˙l + A1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ p2 = A2,l q˙l + A2 p3 = A3,l q˙l + A3 ⎪ ..
⎪ ⎪ ⎪ .
⎪ ⎩ ps = As,l q˙l + As q˙l = q˙l [p1 , p2 , p3 , ..., ps ] ; Ak,l = (q1 , q2 , q3 , ..., qs ; t) ; Ak = (q1 , q2 , q3 , ..., qs ; t) con k, l ∈ [1, s] 11 3.1.2.
Espacio de las fases: • Si la energ´ıa potencial no depende de las velocidades y las coordenadas no dependen del tiempo, el hamiltoniano es la energ´ıa mec´ anica: – Ener´ıa potencial independiente de las velocidades: pk = ∂T ∂ (T − V ) ∂L = = ⇒H= ∂ q˙k ∂ q˙k ∂ q˙k s q˙k k=1 ∂L −L ∂ q˙k – Coordenadas independientes del tiempo: s Em = q˙k k=1 ∂L − L ⇒ H = Em ∂ q˙k • Espacio de las fases: Espacio de 2s dimensiones, cuyas coordenadas son las coordenadas generalizadas y los momentos generalizados: Φ = {q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., p1 , p2 , p3 , ..., ps } – Estado mec´ anico: Punto del espacio de fases.
– Evoluci´ on din´ amica: Curva en el espacio de fases.
3.2.
Ecuaciones de Hamilton: • Problema fundamental: Determinar la evoluci´on dek sistema,q1 (t) , q2 (t) , q3 (t) , ..., qs (t) en el espacio de fases Φ.
• Ecuaciones diferenciales del movimiento: q˙k = ∂H ∂H , p˙k = − ∂pk ∂qk con k = 1, 2, 3, ...s • Caracterizaci´ on matem´ atica: Sistema de 2s ecuaciones diferenciales de primer orden en qk (t) y pk (t) con k = 1, 2, 3, ...s • Deducci´on: A partir de las ecuaciones diferenciales de Lagrange.
• Deducci´on de las f´ormulas: s – Expresi´ on del Hamiltoniano, H = pk q˙k − L.
k=1 s – dH = s (q˙k dpk + pk q˙k ) − k=1 k=1 ∂L ∂L dqk + dq˙k ∂qk ∂ q˙k – Definici´ on del momento generalizado: pk = + ∂L dt ∂t ∂T ∂L = ∂ q˙k ∂ q˙k – Ecuaci´ on de Lagrange: pk = ∂L ∂T = ⇒ dH = ∂ q˙k ∂ q˙k s s (q˙k dpk + pk q˙k ) − k=1 s k=1 s (q˙k dpk + pk q˙k ) − • En definitiva:dH = k=1 (p˙ k dqk + pk dq˙k ) + (p˙ k dqk + pk dq˙k ) + k=1 ∂L dt ∂t • Dependencia funcional: H = H (q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., p1 , p2 , p3 , ..., ps ; t) 12 ∂L dt ∂t • Aplicando la definici´ on de diferencial: s dH = k=1 ∂H ∂H dqk + dq˙k ∂qk ∂pk + ∂L dt ∂t • Comparando expresiones se obtiene lo que quer´ıamos m´ as un tercer resultado: q˙k = ∂H ∂H ∂L ∂H , p˙k = − , =− ∂pk ∂qk ∂t ∂t con k = 1, 2, 3, ..., s.
3.3.
Teoremas de conservaci´ on: 3.3.1.
Teorema de conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica: • Teorema de conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica: Si el tiempo no aparece expl´ıcitamente en el hamiltoniano, se conserva la energ´ıa mec´ anica.
• Demostraci´on: – Aplicaci´ on del tercer resultado obtenido anteriormente: ∂L ∂H =− ∂t ∂t – En efecto, si el hamiltoniano no depende del tiempo: H = H (q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., p1 , p2 , p3 , ..., ps ): ∂H ∂L =− = 0 ⇒ L = (q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., q˙1 , q˙2 , q˙3 , ..., q˙s ) ⇒ Em = cte ∂t ∂t • Definiciones: Coordenada ignorable: La que no aparece en el hamiltoniano.
∂T Momento conjugado de la coordenada qk : pk = ∂ q˙k • Teorema de conservaci´ on del momento conjugado: Si hay una coorcenada ignorable en el hamiltoniano, se conservan el momento generalizado conjugado.
– Demostraci´ on: pk ignorable por lo tanto: ∂H ∂H = 0 ⇒ p˙ k = − =0 ∂qk ∂qk Por lo tanto, se conserva el momento pk .
Ejemplo 3.1 Oscilador arm´ onico simple: • Espacio de las fases:Φ = {x, p} • Expresi´ on del hamiltoniano:H (x, p, t) = 1 p2 + kx2 2m 2 • Demostraci´ on: – Expresi´ on general: s H= pk q˙k − L (q1 , q2 , q3 , ..., qs , ..., p1 , p2 , p3 , ..., ps ; t) = px˙ − L (x, p, t) k=1 – Expresi´ on para la velocidad: p= ∂T ∂ = ∂ x˙ ∂ x˙ 1 mx˙ 2 2 13 = mx˙ ⇒ x˙ = p m – Substituci´ on: H=p p 1 p − m m 2 m 2 1 p2 − kx2 = − 2 m 1 p2 1 − kx2 2m 2 ⎧ p ∂H ⎪ ⎨ x˙ = = ⇒ p = mx˙ ∂p m • Ecuaciones de Hamilton: ⎪ ⎩ p˙ = − ∂H = −kx ⇒ m¨ x = −kx ∂x • Soluci´ on: x (t) = A cos (ωt + θ) p (t) = −mAω sin (ωt + θ) 14 = p2 kx2 + 2m 2 ...