Problemas Tema 2 (2014)

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ICOM 03/09/12 Introducción a las Comunicaciones (ICOM) ETSETB-UPC Tema II - Procesos Aleatorios en Comunicaciones Septiembre, 2012 1 1/7 ICOM 03/09/12 2/7 Ejercicio 1 Responda a las cuestiones a), b) y c) para cada uno de los siguientes procesos estocásticos i. x(t) = A A: variable aleatoria de PDF uniforme en [0, Amax] (dibuje la función de densidad de probabilidad de A) ii. x(t) = A·cos(2πf0t) A: variable aleatoria de PDF uniforme en [0, Amax] f0: constante iii. x(t) = A·cos(2πf0t + θ) A: variable gaussiana de media cero y varianza ! A2 θ: variable aleatoria de PDF uniforme en [0, 2π] estadísticamente independiente de la variable aleatoria A. (dibuje la función de densidad de probabilidad de A) iv. x(t) = A·cos(2πf0t) + B A: variable aleatoria de PDF uniforme en [0, Amax] f0: constante B: constante v. x(t) = A·cos(2πf0t) + B A: variable aleatoria de PDF uniforme en [0, Amax] f0: constante B: variable gaussiana de media cero y varianza ! B2 , estadísticamente independiente de la variable aleatoria A.
vi. x(t) = A·cos(2πf0t) A: constante f0: variable aleatoria de PDF uniforme en [f1,f2] (dibuje la función de densidad de probabilidad de f0).
a) Halle la media del proceso, la función de autocorrelación RX(t+ τ,t), la potencia instantánea y la potencia media.
b) Determine si se trata de un proceso estacionario o cicloestacionario.
c) Calcule la densidad espectral de potencia SX(f).
Nota: como ejercicio puede validar los cálculos teóricos realizando una simulación en MATLAB.
2 ICOM 03/09/12 3/7 Ejercicio 2 Se define el proceso: X (t ) = A cos(2! f c t + !) , donde la amplitud es una variable aleatoria de distribución de probabilidad: f A (a) = 1 2σ ( exp − 2a σ ) y la fase es una variable aleatoria distribuida uniformemente en !"0,2! )rad . Ambas variables son estadísticamente independientes entre sí.
a) Calcule la media y autocorrelación del proceso y comente si éste es estacionario o cicloestacionario.
b) Calcule su densidad espectral Ejercicio 3 Se define el proceso: X (t ) = cos(2! f c t + !) , donde la fase es una variable aleatoria distribuida uniformemente en #$ ! "2 ,+ "2 )rad .
a) Calcule la media y autocorrelación del proceso y comente si es estacionario o cicloestacionario.
b) Calcule su densidad espectral Ejercicio 4 El ruido aditivo n(t) en un canal de comunicaciones proviene de dos fuentes n1(t) y n2(t), según la relación n(t) = n1(t) + n2(t). Estos procesos se pueden expresar según la relación: n1(t) = w1(t) , n2(t) = w1(t) + w2(t) donde w1(t) y w2(t) son dos procesos Gaussianos de media cero, blancos con una densidad espectral de potencia N1/2 y N2/2 respectivamente, y mutuamente incorrelados. Halle la media, autocorrelación y densidad espectral de potencia del proceso n(t).
Ejercicio 5 Tenemos una señal aleatoria definida por la expresión Z(t) = A! cos 2! f 0t ! ! + ( ) ( B ! cos 2! f 0t + ! ) donde A y B son variables aleatorias, independientes, de media cero y varianza ! A2 y ! B2 , respectivamente. La fase ! es también una variable aleatoria, independiente de A y B, y distribuida uniformemente en !"0,2! #$ . Se pide: ( ) a) Calcule la función de autocorrelación RZ t + ! , t .
() b) Halle la potencia instantánea p Z t de Z(t) cuando A y B tienen la misma función de ( ) ( ) ( ) densidad de probabilidad f A x = f B x = ! ! x ! " x . Especifique el valor de ! .
c) Determine si Z(t) es estacionaria, proporcione la expresión matemática de su densidad espectral de potencia S Z f y dibújela.
( ) 3 ICOM 03/09/12 4/7 Ejercicio 6 En el esquema de la figura w(t) es un proceso aleatorio real y estacionario, de media cero y de correlación RW(τ). Las funciones h(t) y g(t) son las respuestas impulsionales de los correspondientes sistemas lineales e invariantes. El bloque final (E) procesa a la salida la esperanza estadística del proceso de entrada al mismo.
h(t) w(t) Y y(t) x E(.) g(t) a) Obtenga la expresión de la salida Y=E[Y(t)].
b) Particularice la expresión obtenida en el apartado a) para el caso en que el sistema de respuesta impulsional g(t) es un retardador de T segundos, es decir, g(t)=δ(t-T).
c) Particularice la expresión obtenida en el apartado b) para el caso en que w(t) es ruido blanco de densidad espectral No/2.
d) A partir del apartado anterior proponga un procedimiento que permita identificar la respuesta impulsional h(t).
Ejercicio 7 Sea un proceso estocástico x(t) de la forma: x(t) = f (t ! ! ) donde f (t) es una señal periódica de periodo T , es decir: f (t + kT ) = f (t) = # n=!" cn e +" j 2! nt T $k %Z y donde λ es una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (0,T ) .
a) Obtenga el valor esperado E [ x(t)] del proceso x(t) .
b) Obtenga la autocorrelación Rxx (t + ! , t) = E !" x(t + ! )x * (t)#$ del proceso x(t) .
c) Indique si el proceso es estacionario o no. Halle su densidad espectral de potencia SX ( f ) SX ( f ) = +# $R X (! )! e " j 2 " f ! d! "# + !/2 1 RX (! ) = lim % RX (t + ! , t)dt !"# ! $ !/2 A partir de este punto, considere el proceso y(t) = g(t) f (t ! ! ) donde g(t) es una señal periódica (determinista) de periodo T y f (t ! ! ) cumple las mismas condiciones que para los apartados anteriores.
d) Analice analíticamente si la nueva señal es estacionaria o no.
e) Calcule la densidad espectral de potencia SY ( f ) de la señal y(t) en función de la densidad espectral de potencia Sg ( f ) de la señal g(t) .
4 ICOM 03/09/12 5/7 Ejercicio 8 Sea un canal de comunicaciones en banda base, lineal e invariante. Su respuesta impulsional es real y se modela como: hc (t ) = αδ (t − t d ) Donde ! a su vez se modela como una variable aleatoria cuyos momentos estadísticos de primero y segundo orden son: [ ] E[α ] = α 0 E α 2 = A0 y el retardo del canal td , como una variable aleatoria de función de densidad de probabilidad uniforme en (0,Td). Ambas variables ( ! y td ) son estadísticamente independientes entre sí.
Si a la entrada de dicho canal se presenta un proceso aleatorio x(t) real, estadísticamente independiente a las dos variables aleatorias que modelan hc (t) y de función de autocorrelación: Rx (t + τ , t ) = E[x(t + τ ) x(t ))]: a) Demuestre que: Ry (t + ! , t) = t A0 Td " Rx (u + ! , u)du , siendo y(t) el proceso resultante a la t!Td salida de dicho canal.
b) Si el proceso de entrada x(t) es cicloestacionario ¿Qué condición se debe cumplir para que el proceso de salida sea estacionario? Justifique la respuesta.
c) Si el proceso de entrada x(t) es estacionario, demuestre que el proceso de salida es también estacionario y obtenga su función de autocorrelación en función de Rx (! ) .
Calcule también la potencia de dicho proceso en función de la potencia del proceso de entrada.
Ejercicio 9 Sea X(t) un proceso aleatorio cicloestacionario, y Tc el periodo de su función de autocorrelación: RX (t + τ , t ) = RX (t + Tc + τ , t + Tc ) . Su densidad espectral es R X (! ) = 1 Tc ! S X ( f ) = TF ( R X (! )) siendo R X (t + ! , t ) dt la correlación promediada temporalmente.
<Tc > Sea Y(t) el proceso obtenido a la salida de un sistema lineal invariante de respuesta impulsional h (t ) cuando a la entrada se presenta X(t).
a) Demuestre que Y(t) es también cicloestacionario. Para ello calcule su correlación RY (t + ! , t ) en función de R X (t + ! , t ) y de h (t ) . (Nota: No es necesario que realice el cálculo para la media, dada la analogía con el desarrollo para la correlación).
b) Calcule la correlación promediada temporalmente del proceso de salida RY (! ) en función de R X (! ) y de h (t ) .
5 ICOM 03/09/12 6/7 ( ) c) Calcule su densidad espectral S Y ( f ) = TF RY (! ) en función de S X ( f ) y de H ( f ) .
Observe que se obtiene la misma relación que para procesos estacionarios.
d) Si X (t ) = cos(2! 1000t ) + W (t ) , con W (t ) ruido blanco estacionario, de media nula y densidad espectral N 0 2 , y h (t ) la respuesta de un filtro paso bajo ideal de ancho de banda 2KHz, calcule R X (! ) , Tc y S X ( f ) .
Ejercicio 10 Sea un proceso aleatorio complejo z (t ) = x (t ) + jy (t ) tal que las partes real x (t ) e imaginaria y (t ) son a su vez procesos aleatorios caracterizados por las funciones de correlación Rx (t + ! , t ) , R y (t + ! , t ) , Rxy (t + ! , t ) , R yx (t + ! , t ) .
( ( ) ) a) Obtenga la función de autocorrelación R z t + ! , t = E !" z (t + ! ) z *(t ) #$ en función de Rx t + ! , t , R y t + ! , t , Rxy t + ! , t , R yx t + ! , t .
( ) ( ) ( ) Un proceso aleatorio complejo se denomina circularmente simétrico cuando se cumple R zz * (t + ! , t ) = E !" z (t + ! ) z (t ) #$ = 0 b) Obtenga las condiciones que deben cumplir las funciones Rx t + ! , t , R y t + ! , t , Rxy t + ! , t , R yx t + ! , t para que el proceso ( ) ( ) ( ) ( ) z (t ) = x (t ) + jy (t ) sea circularmente simétrico.
c) Si h (t ) es la respuesta impulsional de un sistema lineal e invariante y z (t ) = x (t ) + jy (t ) es un proceso aleatorio circularmente simétrico, averigüe si v (t ) = z (t ) * h (t ) es o no es circularmente simétrico.
d) Si z (t ) = x (t ) + jy (t ) es un proceso aleatorio circularmente simétrico averigüe si v(t ) = z (t )e j 2π fct es o no es circularmente simétrico. Calcule también su función de autocorrelación Rv (t + ! , t ) en función de R z (t + ! , t ) e) Sea el proceso z (t ) = e j (! +2"t ) con ! una variable aleatoria con función densidad de probabilidad f ! (! ) = 1 2" !( ! 2" ) . Calcule R (t + ! , t ), R z zz * (t + ! , t ), S z ( f ) y Pz . ¿Es z (t ) estacionario? ¿Es z (t ) circularmente simétrico? Obtenga Rx (t + ! , t ) , R y (t + ! , t ) , Rxy (t + ! , t ) , R yx (t + ! , t ) a partir de las correlaciones anteriores.
6 ICOM 03/09/12 7/7 Ejercicio 11 Sea x(t) un proceso aleatorio definido como: j2 π Cα t x(t) = Ae donde A y C son constantes y α es una variable aleatoria cuya densidad de probabilidad pα(α) es uniforme entre -1 y 1.
a) Calcule y dibuje el espectro de potencia SX(f) del proceso x(t). Discuta la estacionariedad del proceso x(t).
b) Calcule el ancho de banda B y la potencia media PX del proceso x(t).
c) Se transmite el proceso x(t) a través de un canal pasobajo cuya respuesta en frecuencia es: H c ( f ) = 1 + ! sign( f ) con !1 < ! < 1 !B < f < B y a cuya salida se añade un ruido blanco filtrado w(t) de media nula e incorrelado con x(t) cuyo espectro es: P ⎛ f Sw ( f ) = w Π⎝ ⎞⎠ 2B 2B Para compensar la distorsión del canal se considera primero el uso de un ecualizador ideal tal como se muestra en la figura: x(t) yo(t)=so(t)+n o(t) He(f) Hc(f) w(t) d) Halle la respuesta H e ( f ) de un ecualizador ideal del canal tal que la componente de señal a la salida sea so(t)=K·x(t-T) e) Calcule la SNR=PSo/PNo obtenida a la salida del ecualizador. ¿Qué valores de β son los más perjudiciales? ¿Qué problemas presenta la realización del filtro H e ( f ) ? 7 ...