Examen Final Enero 2010 (2010)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Cálculo I
Año del apunte 2010
Páginas 7
Fecha de subida 16/09/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

Departament de Matem` atica Aplicada IV Enginyeria de Sistemes Audiovisuals/ Enginyeria de Sistemes Electr` onics ` Prova Final de CALCUL Temps: 3h (resoleu raonadament els exercicis seg¨ uents i incloeu-ne els c` alculs) (30 punts) 14 de gener del 2010 1. Considereu els nombres complexos z1 = −81, z2 = 1 − 3j, z3 = de z1 i el producte z2 z3 .
2. Donada la funci´ o f (x) = x2 + 2x − √ 2 34 π . Calculeu les arrels quartes (2 punts) x2 − x: (a) Trobeu el seu domini.
(b) Calculeu el l´ımit de la successi´o de terme general an = f (n).
2 −x 3. Considereu la funci´ o f : R → R definida per f (x) = x e (2 punts) (2 punts) .
(a) Representeu-la gr` aficament, calculant-ne els extrems relatius i els punts d’inflexi´o. (2 punts) (b) Calculeu l’` area del recinte compr`es entre la gr`afica de f i l’eix OX per a x ≥ 0.
(2 punts) 2 x (c) Considereu l’equaci´ o x = λe , on λ ´es un nombre real. Discutiu el nombre de solucions d’aquesta equaci´o segons sigui el valor de λ. (Indicaci´ o: expresseu l’equaci´ o en termes de la funci´ o f) (2 punts) 4. Considereu un recinte pla delimitat per tres costats d’un rectangle i una semicircumfer`encia, tal com es veu a la figura: Suposem que el per´ımetre del contorn est` a fixat, indiquem-lo L. Quines han de ser les mides per a que l’` area sigui m`axima i quin ´es aquest valor m`axim? (5 punts) 5. Donada la funci´ o f (x) = sin(2x) − 2 sin x, (a) Calculeu el seu polinomi de Taylor d’ordre 5 en el punt a = 0.
(b) La funci´ o f t´e, en x = 0, un m`axim, un m´ınim o un punt d’inflexi´o? (c) Calculeu (2 punts) (2 punts) (2 punts) f (x) + x3 .
x→0 x(1 − cos x)2 lim 6. Considereu la funci´ o f (x) = x−2 .
x2 + 4 2 (a) Calculeu f (x)dx.
(2 punts) 0 x (b) Definim una funci´ o F : R → R per F (x) = ´ derivable? Estudieu els seus extrems f (t)dt. Es 0 relatius (m` axims, m´ınims) cas que existeixin.
(c) Trobeu la recta tangent a la corba y = F (x) en el punt d’abscisa x = 0.
∞ (d) Estudieu la converg`encia de les s`eries: S1 = (1 punt) ∞ f (n), n=0 (2 punts) S2 = (f (n))2 .
n=0 (2 punts) Departament de Matem` atica Aplicada IV Enginyeria de Sistemes Audiovisuals/ Enginyeria de Sistemes Electr` onics ` Prova Final de CALCUL Temps: 3h (resoleu raonadament els exercicis seg¨ uents i incloeu-ne els c` alculs) (30 punts) 14 de gener del 2010 1. Considereu els nombres complexos z1 = −81, z2 = 1 − 3j, z3 = de z1 i el producte z2 z3 .
√ 2 34 π . Calculeu les arrels quartes (2 punts) Resoluci´ o: Expressem en forma polar −81 = 81π . Les arrels quartes tindran m`odul l’arrel quarta real positiva π + 2kπ π π de 81, ´es a dir, 3. Les quatre arrels tindran argument = + k per a k = 0, 1, 2, 3. Per 4 4 2 tant, les quatre arrels en polars i en expressi´o bin`omica s´on: 3√ 3√ 2+j 2, 2 2 √ √ 3 3 33π/4 = 3 cos 3π/4 + j3 sin 3π/4 = − 2+j 2, 2 2 √ √ 3 3 35π/4 = 3 cos 5π/4 + j3 sin 5π/4 = − 2−j 2, 2 2 √ √ 3 3 37π/4 = 3 cos 7π/4 + j3 sin 7π/4 = 2−j 2.
2 2 √ √ √ Passant a forma bin` omica z3 = 2 43 π = 2 cos 34 π + j 2 sin 34 π = −1 + j.
Llavors: z2 z3 = (1 − 3j)(−1 + j) = 2 + 4j.
3π/4 = 3 cos π/4 + j3 sin π/4 = 2. Donada la funci´ o f (x) = x2 + 2x − x2 − x: (a) Trobeu el seu domini.
(2 punts) (b) Calculeu el l´ımit de la successi´ o de terme general an = f (n).
(2 punts) Resoluci´ o: (a) El domini de f el constitueixen els nombres que verifiquen simult`aniament x2 + 2x ≥ 0 i x2 − x ≥ 0. La soluci´ o de la primera inequaci´o, x(x + 2) ≥ 0, ´es el conjunt (−∞, −2] ∪ [0, +∞).
La soluci´ o de la segona inequaci´o, x(x − 1) ≥ 0, ´es el conjunt (−∞, 0] ∪ [1, +∞). El domini de f ´es la intersecci´ o dels dos conjunts: Dom(f) = (−∞, −2] ∪ {0} ∪ [1, +∞).
√ √ (b) lim( n2 + 2n − n2 − n) presenta una indeterminaci´o ∞ − ∞. La resolem multiplicant i dividint per l’expressi´ o conjugada: √ √ √ √ ( n2 + 2n − n2 − n)( n2 + 2n + n2 − n) 2 2 √ √ = lim( n + 2n − n − n) = lim n2 + 2n + n2 − n (n2 + 2n) − (n2 − n) 3n √ √ lim √ = lim √ = lim n2 + 2n + n2 − n n2 + 2n + n2 − n 3 1+ 2 n + = 1− 1 n 3 .
2 3. Considereu la funci´ o f : R → R definida per f (x) = x2 e−x .
(a) Representeu-la gr` aficament, calculant-ne els extrems relatius i els punts d’inflexi´o. (2 punts) (b) Calculeu l’` area del recinte compr`es entre la gr`afica de f i l’eix OX per a x ≥ 0.
(2 punts) (c) Considereu l’equaci´ o x2 = λex , on λ ´es un nombre real. Discutiu el nombre de solucions d’aquesta equaci´ o segons sigui el valor de λ. (Indicaci´ o: expresseu l’equaci´ o en termes de la funci´ o f) (2 punts) Resoluci´ o: (a) Calculem f (x) = (−x2 + 2x)e−x , f (x) = (x2 − 4x + 2)e−x . La primera derivada s’anul.la per a x = 0 i x = 2. Obtenim els punts A(0, 0) i B(2, 4/e2 ) i del signe de la segona derivada es .la en t´e que en A hi ha un m´ınim relatiu i en B un m`axim√relatiu. La segona derivada s’anul √ √ −2− 2 √ √ −2+√2 √ , Q 2 − 2, (6 − 4 2)e que, 2 ± 2, donant els punts P 2 + 2, (6 + 4 2)e per els altres aspectes de la corba, podrem assegurar s´on punts d’inflexi´o sense necessitat de calcular els valors de la derivada tercera.
El l´ımit limx→+∞ f (x) = 0 estableix que l’eix OX ´es as´ımptota a la que la funci´o hi tendeix per sobre donat que f ´es sempre positiva. De limx→−∞ f (x) = +∞ tenim l’altra fugida a l’infinit.
Reunint l’obtingut podem presentar la gr`afica: (b) Fent primitiva per parts dues vegades obtenim: +∞ area ` M x2 e−x dx = = 0 = lim x2 e−x dx = −(2 + 2x + x2 )e−x , d’on: M →+∞ x2 e−x dx = lim M →+∞ 0 lim M →+∞ −(2 + 2x + x2 )e−x M 0 = 2 − (2 + 2M + M 2 )e−M = 2 .
(c) Podem posar l’equaci´ o en la forma x2 e−x = λ, ´es a dir, f (x) = λ les solucions de l’equaci´ o seran les abcisses dels punts de tall de la corba y = f (x) amb la recta horitzontal y = λ.
El nombre de solucions ser` a: per a λ < 0 cap, per a λ = 0 una soluci´o doble, per a 0 < λ < 4/e2 tres arrels simples, per a λ = 4/e2 una de simple i una de doble, per a λ > 4/e2 una arrel simple.
4. Considereu un recinte pla delimitat per tres costats d’un rectangle i una semicircumfer`encia, tal com es veu a la figura: Suposem que el per´ımetre del contorn est`a fixat, indiquem-lo L. Quines han de ser les mides per a que l’` area sigui m` axima i quin ´es aquest valor m`axim? (5 punts) Resoluci´ o: (a) Indiquem x el costat horitzontal del rectangle i y el vertical. Llavors la semicircumfer`encia t´e radi y/2. L’` area del recinte ´es: 2 1 y S = xy + π 2 2 = xy + π 2 y 8 (1) La condici´ o imposada per el per´ımetre ´es: 2x + y + π y =L 2 d’on x = 2L − 2y − πy 4 (2) Podem ara expressar l’` area en termes de la variable y per: S(y) = 1 π π+4 2 1 (2Ly − 2y 2 − πy 2 ) + y 2 = − y + Ly 4 8 8 2 (3) Podem estalviar-nos feina notant que la gr`afica de S ´es una par`abola amb les branques avall, 2L amb el que t´e un m` axim relatiu que ´es absolut. La derivada de S(y) s’anul.la per a y = , π+4 L valor que portat a (??) d´ ona x = . L’`area m`axima la obtindrem ara en (??): π+4 Smax = − π+4 8 2L π+4 2 L2 1 2L = .
+ L 2 π+4 8 + 2π 5. Donada la funci´ o f (x) = sin(2x) − 2 sin x, (a) Calculeu el seu polinomi de Taylor d’ordre 5 en el punt a = 0.
(2 punts) (b) La funci´ o f t´e, en x = 0, un m` axim, un m´ınim o un punt d’inflexi´o? (2 punts) (c) Calculeu (2 punts) f (x) + x3 .
x→0 x(1 − cos x)2 lim Resoluci´ o: (a) Utilitzem el polinomi de Taylor d’ordre 5 de la funci´o sin x: x − P T (sin(2x) − 2 sin x, a = 0, n = 5) = 2x − = x3 x5 + . Llavors 3! 5! (2x)3 (2x)5 x3 x5 + −2 x− + 3! 5! 3! 5! −23 + 2 3 25 − 2 5 x5 x + x = −x3 + .
3! 5! 4 (b) El comportament local en 0 ve dominat pel terme −x3 . Tenim, per tant, un punt d’inflexi´ o.
(Alternativament, el polinomi mostra que f (0) = f (0) = f (0) = 0, f (0) = 0, corresponent a punt d’inflexi´ o: segona derivada nul.la i tercera derivada no nul.la).
5 2 5 0 (c) Indeterminaci´ o . De f (x)+x3 = −x3 + x4 +o(x6 )+x3 = x4 +o(x6 ) i de 1−cos x = x2 +o(x3 ), 0 substituint per infinit`esims equivalents, tenim: f (x) + x3 = lim x→0 x(1 − cos x)2 x→0 x lim x5 4 x2 2 2 x5 4 5 x→0 x 4 = lim = 1.
6. Considereu la funci´ o f (x) = x−2 .
x2 + 4 2 f (x)dx.
(a) Calculeu (2 punts) 0 x ´ derivable? Estudieu els seus extrems f (t)dt. Es (b) Definim una funci´ o F : R → R per F (x) = 0 relatius (m` axims, m´ınims) cas que existeixin.
(2 punts) (c) Trobeu la recta tangent a la corba y = F (x) en el punt d’abscisa x = 0.
∞ (d) Estudieu la converg`encia de les s`eries: S1 = (1 punt) ∞ f (n), n=0 S2 = (f (n))2 .
(2 punts) n=0 Resoluci´ o: x−2 x dx dx = dx − 2 .
2 2 2 x +4 x +4 x +4 La primera ´es immediata: 12 ln(x2 + 4). En la segona fem x = 2t i queda 1 1 x 2 arctan t = 2 arctan 2 . Ara la integral definida val (a) Considerem la primitiva 2 0 x−2 1 dx = ln(x2 + 4) x2 + 4 2 2 − arctan 0 x 2 2 = 0 2dt 4t2 +4 = 1 2 dt t2 +1 = 1 1 π (ln 8 − ln 4) − arctan 1 = ln 2 − .
2 2 4 x (b) Aplicant el Teorema Fonamental del C`alcul: si f ´es cont´ınua a tot R llavors F (x) = 0 f x−2 , que nom´es t´e un zero a x = 2.
´es derivable a tot R i F (x) = f (x). Aix´ı, F (x) = 2 x +4 2 −x + 4x + 4 1 . Com que F (2) = > 0, es tracta d’un m´ınim.
Calculem F (x) = (x2 + 4)2 8 0 (c) L’equaci´ o de la recta tangent en el punt 0 s y = F (0) + F (0)(x − 0). F (0) = 0 f = 0.
x F (0) = f (0) = − 12 . Aix´ı, la recta tangent ´es y = − .
2 (d) Es tracta de s`eries de termes positius. Analitzant el comportament del terme general quan n → +∞ trobem: n−2 1 1 f (n) = 2 ∼ , (f (n))2 ∼ 2 .
n +4 n n S1 t´e el mateix car` acter que la s`erie harm`onica amb p = 1 i ´es, per tant, divergent. S2 t´e el mateix car` acter que la s`erie harm`onica amb p = 2 i ´es, per tant, convergent.
...