Ejercicios del tema (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura Estadística 2
Año del apunte 2014
Páginas 7
Fecha de subida 11/09/2014
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Estadística II EJERCICIOS del Tema 1 1) Haciendo uso de la tabla de la distribución normal estandarizada, calcular las probabilidades siguientes : a) P(Z<1,35) = b) P(Z<-0,38) = c) P(Z>2,1) = d) P(Z>-1) = e) P(-1,39<Z<-0,44) = f) P(-1,52<Z<0,89) = 2) Las ventas semanales de un distribuidor pueden considerarse como una variable aleatoria que tiene una distribución N(4,76; 0,04) millones de €. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas, en una semana cualquiera sean: a) Menor de 4,66 millones de €.
b) Mayor de 4,80 millones de €.
c) Entre 4,70 y 4,82 millones de €.
3) La longitud de ciertas piezas a la salida de máquina siguen una distribución Normal con media 100mm y desviación tipo 5mm. Si se consideran aceptables las longitudes situadas en el intervalo (88; 112): a) Calcular la proporción de unidades que serán rechazadas.
b) Si la máquina se descentra y pasa a fabricar en torno a 110mm, ¿cuál será en nuevo porcentaje de piezas rechazadas? 4) Una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media µ y desviación tipo σ. Para cada uno de los siguientes casos calcule la probabilidad de que X se encuentre en los intervalos que se indican.
Distribución: Intervalos: N(20; 2) N(17; 1) N(33; 3) a) (18; 22) (16; 18) (30; 36) b) (16; 24) (15; 19) (27; 39) c) (14; 26) (14; 20) (24; 42) 5) Se extrae una m.a.s. de tamaño 100 de una población N(76; 16). Cuál es la probabilidad que la media de la muestra se encuentre entre 75 y 78? 6) Cuando se extrae una m.a.s. de una población, qué sucede con la desviación típica de la media si: a) aumenta de 100 a 200? b) aumenta de 200 a 300? c) disminuye de 360 a 90? 7) Mercamona produce sacos de tierra para gatos con un peso que se distribuye según una ley N(10kg; 0.25kg). Los sacos pasan un estricto control de calidad, que consiste en tomar una muestra de 4 sacos al azar de cada lote producido y pesarlos. Se produce un lote cada hora, así se van recogiendo muestras de 4 sacos cada hora.
Cuál es la probabilidad de que el peso promedio de los cuatro sacos esté por encima de 10.38 kg? 8) Se ha realizado un estudio para estimar el gasto medio en regalos de aniversario en una familia típica que tiene dos hijos. Se tomó una muestra de 150, y la media de lo gastado fue de $225. Suponiendo que el valor de la desviación típica de la población es conocido y vale $50, hallar el Intervalo de confianza del 95% para el gasto medio en regalos de aniversario de esas familias.
9) Se obtiene una muestra de los precios de un determinado producto en 16 establecimientos seleccionados al azar en un barrio de una ciudad. Se anotareon los siguientes resultados: 95, 108, 97, 112, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110.
Asumiendo que los precios del producto siguen una ley normal con variancia de 25 y media desconocida: a) Cuál es la distribución de la media de la muestra? b) Determinar el Intervalo de confianza del 95% para la media de la población.
10) En un estudio de costos de seguros de coche, una m.a.s. de 80 costos de reparación de carrocerías para un tipo determinado de daños tiene una media de $472,36 y una desviación típica de $62,35.
a) Dar una estimación puntual del costo medio de reparación de esta clase de daños b) Dar un intervalo de confianza del 95% para el costo medio de reparación de esta clase de daños c) Dar un intervalo de confianza del 99% para el costo medio de reparación de esta clase de daños 11) El director de una escuela universitaria desea usar la media de una muestra aleatoria para estimar el tiempo promedio que tardan los alumnos para ir de una clase a la siguiente, y además poder asegurar con una confianza del 99% que el error és, como máximo, de 0,25 minutos. Si puede suponerse que σ = 1,40 minutos, qué tamaño debe tener la muestra? 12) Una m.a.s. de 100 técnicos superiores en una gran área metropolitana revela que el salario semanal promedio de la muestra es de $487, con una desviación típica (de la muestra) de $48. Dar una estimación puntual y una por IC del 95% del salario medio semanal de todos los técnicos superiores de ésa área metropolitana.
13) Una empresa de transporte desconfía de la afirmación que la vida útil promedio de ciertos neumáticos es de, al menos, 28000 millas. Para verificar la afirmación, se colocan 40 de estos neumáticos en sus camiones y se anotan las millas que cada camión recorre con los neumáticos antes de que se consideren gastados. Se obtiene una vida útil promedio de 27463 millas, con una desviación típica de 1348 millas. Confirman los datos la sospecha de la empresa de transporte? 14) Una empresa de distribución por internet asegura que, en promedio, entrega sus productos en, como máximo, 10,5 días. Para comprobarlo se escoge una muestra aleatoria de órdenes de compra y se obtienen los siguientes plazos de entrega: 10 12 19 14 15 18 11 13 Confirman los datos la afirmación de la empresa? 15) Un oceanógrafo quiere verificar si la profundidad media del océano en cierta región es de 6740m, como estaba registrado en mapas antiguos. Realiza 40 sondeos en puntos aleatorios en la región y obtiene una media de 6930m con una desviación típica de 540m. A qué conclusión llega el oceanógrafo? Soluciones Solución ejercicio 1 a) P(Z<1,35) = 0,9115 b) P(Z<-0,38) = 0,3520 c) P(Z>2,1) = 0,0179 d) P(Z>-1) = 0,8413 e) P(-1,39<Z<-0,44) = 0,2477 f) P(-1,52<Z<0,89) = 0,749 Solución ejercicio 2 a) X ~ N(4,76; 0,04) ¿ P(X < 4,66) ? z= x − µ 4,66 − 4,76 = −2,5 = 0,04 σ P(X < 4,66) = P(z < –2,5) P(z < –2,5) = P(z > 2,5) = (por tablas) = 0,0062 Por tanto, P(X < 4,66) = 0,0062 b)¿ P(X > 4,80) ? Análogamente: z= x−µ σ = 4,80 − 4,76 =1 0,04 P(z > 1) = (por tablas) = 0,1587 Por tanto, P(X > 4,80) = 0,1587 c)¿ P(4,70 < X < 4,82) ? A la vista del gráfico se observa que: P(4,70 < X < 4,82) = 1 – 2 P(X > 4,82) z= x − µ 4,82 − 4,76 = = 1,5 σ 0,04 P(z > 1,5) = 0,0668 P(4,70 < X < 4,82) = 1 – 2 · 0,0668 = 0,8664 X ~ N(4,76; 0,04) Z ~ N (0; 1) Solución ejercicio 3 Sea X la longitud. X ~ N (100 mm; 5 mm) a) Serán rechazadas las que estén fuera del intervalo (88; 112).
Hay que calcular el área de las zonas sombreadas, pero como son iguales bastará con calcular una y multiplicar por 2.
Calcularemos: P (X > 112) z= x − µ 112 − 100 = = 2,4 σ 5 P ( z > 2,4) = 0,0082 Proporción de unidades rechazadas: 2 · 0,0082 = 0,0164 b) Si la máquina se descentra y pasa a fabricar en torno a 110 (se supone que la variabilidad se mantiene constante) prácticamente no habrá errores por defecto (longitudes menores de 88) pero aumentará mucho la proporción de errores por exceso.
Errores por defecto: Errores por exceso: P ( X < 88) z = (88 – 110)/5 = – 4,4 P (z < – 4,4) = 5,4 · 10–6 P ( X > 112) z = (112 – 110)/5 = 0,4 P (z > 0,4 ) = 0,3446 El total de defectos es la suma de los producidos por defecto y por exceso, pero en este caso prácticamente coincide con los errores por exceso.
Solución ejercicio 4 Este problema pretende hacer “descubrir” que si X ~ N (µ, σ) siempre se cumple que: P (µ – σ < X < µ + σ) P (µ – 2σ < X < µ + 2σ) P (µ – 3σ < X < µ + 3σ) = = = 0,6827 (≈ 68 %) 0,9545 (≈ 95 %) 0,9973 (≈ 99,7 %) Para x = µ + σ, se tiene: z = x −µ µ + σ−µ = = 1 ; independientemente de los valores de µ y σ. De forma σ σ análoga se obtendría 2 para x = µ + 2σ y 3 para x = µ + 3σ.
Solución ejercicio 5 Resuelto en clase Solución ejercicio 6 Resuelto en clase Solución ejercicio 7 X: peso de un sac ~ Normal(10, 0.25) Y:pes de l promig de quatre sacs ~ Normal (10, 4 - 2 * 4 * 0.252 = 0.015625 = 0.125) P(Y > 10.38) = P (Z > (10.38-10)/0.125) = P (Z > 3.04) = 0.001183 P(Y<9.755 o Y>10.245) = 1 - P (9.755 < Y < 10.245) = 1 – (P(Y < 10.245) – P(Y<9.755)) = 1 + P (Y<9.755) – P (Y < 10.245) = 1 + P(Z < (9.755-10)/0.125) – P(Z < (10.245 10)/0.125) = 1 + P(Z < -1.96) – P(Z < 1.96) = 1 + 0.025 – 0.975 = 0.05 Solución ejercicio 8 Como σ es conocida, trabajamos con la ley normal Solución ejercicio 9 x ~ N(µ; σ=25) σ es, pues, conocida n = 16    ; x ~ N(µ, 6,25)  n = 16  a) x ~ N µ, 25 b) x ± zα σ 2 16 ; x ± zα 6,25 2 α = 0,05; α 2 = 0,025 ; zα = 1,96 x = 104 2 IC del 95% para µ: (91,75; 116,25) Solución ejercicio 10 Resuelto en clase ...