Resumen T1 DGD (2014)

Resumen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ciencias y Tecnologías de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura DGD Diseño Digital
Año del apunte 2014
Páginas 3
Fecha de subida 13/03/2015 (Actualizado: 13/03/2015)
Descargas 28
Subido por

Vista previa del texto

Carlos Angulo DGD Resum T1 T1 Introducció al DD 1.1 Introducció als Sistemes Digitals Sistema: processa informació (x(t)) Analògic • • Pot prendre qualsevol valor Soroll Digital • • Pot prendre un nombre finit de valors Capacitat de suportar info. limitada Senyal Conversió A/D • • Periòdicament es llegeix el valor del senyal analògic i se li assigna el valor digital més pròxim Hi ha pèrdua d’informació Senyals lògics: 2 nivells Sistemes 𝐹 𝑥(𝑡) 𝑧(𝑡) Combinacional Sortida actual depèn només de l’entrada actual 𝑧 𝑡 =𝐹 𝑥 𝑡 →𝑧=𝐹 𝑥 Seqüencial Sortida actual depèn de l’entrada actual i de les anteriors 𝑧 𝑡 = 𝐹 𝑥 −∞, 𝑡 Sistema Codificació Codificar: assignar a cada element d’un conjunt finit d’info 𝑥 una combinació diferent de 𝑛 valors binaris Implica memòria 𝑥 → 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 … 𝑥1 𝑥0 ∈ 0,1 𝑛 Nomenclatura: • Bit: dígit binari 𝑥𝑖 ∈ 𝐵 = 0,1 amb 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 • Vector, paraula: combinació de 𝑛 bits 𝑥𝑛−1 … 𝑥1 𝑥0 • 𝑛: longitud del codi • Byte: paraula de 8 bits • Nibble: paraula de 4 bits Amb 𝑛 bits es poden fer 2𝑛 paraules diferents 2𝑛 ! Codis exhaustius de 𝑛 bits arbitrarietat Funcions lògiques 𝑧 = 𝑓 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥1 , 𝑥0 amb 𝑧, 𝑥𝑖 ∈ 0,1 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1 𝑓 lògica assigna valors binaris a vector de 𝑛 bits Sistema combinacional 𝑛 𝑛 entrades 𝑚 sortides 𝑚 funcions lògiques Descripcions de f. lògiques • • • 𝑥𝑖 Sis.
Comb.
𝑚 𝑧𝑘 𝑧𝑘 = 𝑓 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥1 , 𝑥0 0≤𝑖 ≤𝑛−1 0≤𝑘≤𝑚−1 Taules de veritat Expressions algebraiques Logigrames Nom funció 𝒙𝟏 𝒙𝟎 00 𝒇𝑿𝑶𝑹 0 𝒇𝑿𝑵𝑶𝑹 D’una variable 1 Logigrama 𝑓0 Cte zero 𝑓0 = 0 𝑓𝐼𝐷 Identitat 𝑓𝐼𝐷 𝑥 = 𝑥 𝑓𝑁𝑂𝑇 Negació o Not GND NOT 𝑓𝑁𝑂𝑇 𝑥 = 𝑥 inst4 𝑓1 01 1 11 1 0 𝑓1 = 1 VCC 0 AND2 De dues variables 10 Cte u 0 1 𝑓𝐴𝑁𝐷 AND o producte lògic 𝑓𝐴𝑁𝐷 𝑥1 , 𝑥0 = 𝑥1 𝑥0 𝑓𝑂𝑅 OR o suma lògica 𝑓𝑂𝑅 𝑥1 , 𝑥0 = 𝑥1 + 𝑥0 𝑓𝑋𝑂𝑅 XOR,OR-exclusiva 𝑓𝑋𝑂𝑅 𝑥1 , 𝑥0 = 𝑥1 ⨁ 𝑥0 OR2 inst1 inst XOR NAND2 𝑓𝑁𝐴𝑁𝐷 NAND 𝑓𝑁𝑂𝑅 NOR 𝑓𝑋𝑁𝑂𝑅 XNOR o NOR exclusiva inst5 𝑓𝑁𝐴𝑁𝐷 𝑥1 , 𝑥0 = 𝑥1 𝑥0 inst8 NOR2 XNOR inst9 𝑓𝑁𝑂𝑅 𝑥1 , 𝑥0 = 𝑥1 + 𝑥0 𝑓𝑋𝑁𝑂𝑅 𝑥1 , 𝑥0 = 𝑥1 ⨁𝑥0 inst10 𝑥1 ⨁𝑥0 = 𝑥1 𝑥0 + 𝑥1 𝑥0 Resumen DGD T1 1 Carlos Angulo DGD Resum T1 Composició de funcions Una mateixa funció lògica té múltiples representacions en forma de logigrames i d’expressió algebraica Regles de precedència: Suma de productes SdP Permet veure fàcilment quan la • L’ordre de prioritat de màxims a mínims és NOT,AND i OR funció val 1 • Podem alterar les prioritats anteriors emprant parèntesis Producte de sumes PdS Àlgebra de Boole Permet veure fàcilment quan la funció val 0 Propietats General Conjunt 𝐵 amb operacions • Suma • multiplicació 1.
2.
𝐵 = 0,1 OR = suma AND = producte NOT = obtenir invers 3.
𝑎·𝑏 ∈𝐵 𝑎+𝑏 ∈𝐵 𝑎·𝑏 =𝑏·𝑎 Commutativitat 𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 4.
Conjunt tancat 𝑎, 𝑏, ∈ 𝐵 ⇒ 5.
𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 6.
Distributivitat 𝑎+0=𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑎+0=𝑎 𝑎·1=𝑎 Element invers 𝑎 + 𝑎 = 1 𝑎·𝑎 =0 El conjunt B té almenys dos elements diferents Element neutre 𝑎2 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑐 𝑎 1 + 𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑐 𝑎 1 + 𝑏 + 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏𝑐 Propietats Al. Boole 𝑩 = {𝟎, 𝟏} 1.
2.
3.
4.
𝑎+1=1 𝑎·0=0 𝑎+𝑎 =𝑎 Idempotència 𝑎·𝑎 = 𝑎 Involució 𝑎 = 𝑎 Incògnita 𝑥1 ⨁𝑥0 = 𝑥1 𝑥0 + 𝑥1 𝑥0 5.
𝑎⨁0 = 𝑎 𝑎⨁1 = 𝑎 4.
Associativitat 𝑎+ 𝑏+𝑐 = 𝑎+𝑏 +𝑐 𝑎· 𝑏·𝑐 = 𝑎·𝑏 ·𝑐 Absorció 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑎𝑏 𝑎 𝑎+𝑏 =𝑎 Lleis de Morgan Dualitat +↔· 𝟏↔𝟎 𝑦 = 𝑎 + 𝑎𝑏 ↔ 𝑦 = 𝑎 𝑎 + 𝑏 Qualsevol igualtat booleana continua essent vàlida si intercanviem les operacions i els elements neutres 8.
Tª de Shannon 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑎𝑓 0, 𝑏 + 𝑎 𝑓(1, 𝑏) 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑎 + 𝑓 0, 𝑏 𝑎 + 1, 𝑏 𝑎+𝑏 =𝑎·𝑏 𝑎+𝑏 = 𝑎·𝑏 𝑎·𝑏 = 𝑎+𝑏 Aplicables a logigramas 7.
𝑎·𝑏 =𝑎+𝑏 1.2 Sistemes de numeració i codis 𝑥 Representació d’una quantitat entera positiva 𝒙 en base 𝒓 Obtenir valor decimal 𝑟 = 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 … 𝑎1 𝑎0 𝑟 𝑥 enter positiu 𝑎𝑖 dígit de base 𝑟𝑎𝑖 ∈ 0, . . , 𝑟 − 1 per 𝑟 ≤ 10 𝑟 nombre de dígits de la base (diferents possibles) 𝑛−1 𝑥 𝑟 𝑎𝑖 𝑟 𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑟 + 𝑎2 𝑟 2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑟 𝑛−1 = 𝑖=0 𝐷 = 𝑑 · 𝑞 + 𝑟 → 𝑎1 + 𝑎2 𝑟 1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 𝑟 𝑛−2 𝑟 + 𝑎0 De decimal a una altre base De binari a octal 𝑟=2 𝑟𝑜𝑐 = 8 = 23 𝑥 2 = 𝑥𝑛−1 … 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 Analitzem de tres en tres i trèiem les xifres en octal 𝑥2 𝑥1 𝑥0 2 = y0 → 𝑥 8 = 𝑦𝑚−1 … 𝑦1 𝑦0 De binari a hexadecimal 𝑟=2 𝑟𝑜𝑐 = 16 = 24 𝑥 2 = 𝑥𝑛−1 … 𝑥3 𝑥2 𝑥1 𝑥0 Analitzem de quatre en quatre i trèiem les xifres en octal 𝑥2 𝑥1 𝑥0 2 = y0 → 𝑥 8 = 𝑦𝑚−1 … 𝑦1 Resumen DGD T1 2 Carlos Angulo DGD Binari Resum T1 Binari Ponderat amb pesos 2𝑛−1 2𝑛−2 … 21 20 Amb 𝑛 bits codifiquem de 0 a 2𝑛 − 1 BCD Qualsevol codi que codifiqui en binari els dígits decimals BCD Natural Utilitza vectors de 4 bits per codificar decimals BCD(8,4,2,1) BCD exc3 BCD Natural però a cada dígit li suma 3 Comença des de 3 Auto complementari 𝑁+𝑁 =9 On 𝑛 es l’invers( canviant 0 per 1) BCD(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) On 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, son els pesos, el nombre en decimal seria 𝑎0 · 𝑎 + 𝑎1 · 𝑏 + 𝑎2 · 𝑐 + 𝑎3 · 𝑑 Moduls i signe MiS El bit de l’esquerra 𝑥𝑛−1 es pel signe • 0 per positiu • 1 per negatiu Complement Ca2 Els pesos són el del binari excepte • El de l’esquerra és − 2𝑛 • De tal manera que indica el signe com en MiS • Permet fer restes sumant quantitats negatives 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 …𝑥0 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 … Codi gray 𝑥 BinGray 0 1 000 001 • 2 3 011 010 • 4 5 6 7 110 111 101 100 Reflexa els anteriors però canviant el bit de més a l’esquerra Fa que entre nombre continus nomes canviïn un bit 𝑟 𝑥 = 𝑟 𝑛 − 𝑁𝑟 =𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 …𝑥0 𝑥𝑛−1 …𝑥1 + 𝑥 2𝑔𝑟𝑎𝑦 1.
2.
3.
2.
=𝑥′𝑛−1 𝑥′𝑛−2 …𝑥′0 𝑥′𝑛−1 …𝑥′1 + 𝑥 2 =𝑥′𝑛−1 … …… …𝑥′0 2𝑔𝑟𝑎𝑦 1.
Baixem el darrer bit 𝑥′𝑛−1 del nombre en gray al resultat i l’anem pujant al sumant 𝑛 xifres abans de la coma 𝑚 xifres després de la coma 𝐶𝑎2 𝑁 = 𝐶𝑎1 𝑁 + 1 𝑁 − 𝑀 = 𝑁 + (−𝑀) Posem M com un nombre negatiu amb MiS 1. Considerem M amb 1 bit més (𝑥𝑛 =0 per ser positiu) del que necessita per ser representat 2. Calculem l’invers de M: el bit agregat 𝑥𝑛 = 1 i canviant els altres per aconseguir l’invers en decimal Codificar X en Ca2 de n+1 bits 𝒙<𝟎 Es desplacen el nom binari un cop a la dreta la sumen sense portar el 1 en cas de overflow 𝐶𝑎2 𝑁 = 2𝑛 − 2−𝑚 − 𝑁 = 𝐶𝑎2 𝑁 − 1 Operacions • Suma: directament • Resta: sumar amb un nombre negatiu Codifiquem en binari 1.
𝐶𝑎2 𝑁 = 2𝑛 − 𝑁 𝐶𝑎𝑟−1 = 𝑟 𝑛 − 𝑟 −𝑚 − 𝑁𝑟 𝑿≥𝟎 Amb 𝑛 + 1 codifiquem de − 2𝑛 a 2n−1 2 𝑁𝑟 = 𝑥𝑛−1 … 𝑥0 , 𝑥−1 … 𝑥−𝑚 Complements 𝐶𝑎𝑟 𝑁 GrayBin Amb 𝑛 + 1 bits codifiquem de −(2𝑛 − 1) a +(2𝑛 − 1) Codifiquem en binari Complementem bit a bit Sumem 1 en binari Resta en Binari 𝑥10 = 𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 2 𝐶𝑎2 𝑥 = 𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 + 1 𝐶𝑎2 Minuend – Subtrahend 1. Passem el subtrahend amb un bit més (serà el de signe ) i el passem a Ca2 2. Fem la suma 3. Si el resultat té carry (1 bit de més) vol dir que el resultat és positiu . Ignorem el carry i considerem el binari natural.
Si no presenta carry el resultat és negatiu i esta en Ca2.
16-24 16=10000 24=11000 12=01100 Agregamos un bit 24 = 011000 Lo pasamos a Ca2 24𝐶𝑎2 = 100111 + 1 24𝐶𝑎2 = 101000 010000 = 16 +101000 = −24 111000 = −8 No hi ha carry Agregamos un bit 12 = 001100 Lo pasamos a Ca2 24𝐶𝑎2 = 110011 + 1 24𝐶𝑎2 = 110100 Resumen DGD T1 010000 = 16 +110100 = −12 1000100 = 4 Hi ha carry, no el considerem.
Resultat: 000100 3 ...