Exercicis del tema 2 resolts: Funcions de diverses variables (2014)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemàtiques 2
Año del apunte 2014
Páginas 12
Fecha de subida 02/09/2014
Descargas 18
Subido por

Vista previa del texto

Exercicis del tema 2: Funcions de diverses variables 8. Determineu el domini de les funcions següents: a) Aquesta funció no estarà definida pels valors que anul·len el denominador i pels valors del radicand de l’arrel que la facin negativa.
.
Llavors, no estarà definida per tots els punts x2 + y2 * 1.
Per tant, el domini de la funció f(x, y) és: Dom f   b) f (x, y) = ln(y  x 2 )  Aquesta funció no estarà definida pels valors del radicand de l’arrel que la facin negativa i, a més a més, pels valors que anul·len o facin negatiu el logaritme neperià.
Llavors, no estarà definida per tots els punts y ) x2.
101 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, el domini de la funció f(x,y) és: Dom f  9. Estudieu les corbes de nivell de les funcions següents: a) f(x, y)= 3x + 2y Igualem la funció a k i aïllem la y: Donem valors a la k i observem que obtenim rectes: Imatge 28 b) f(x, y)= (x–1)2 + (y+2)2 Igualem la funció a k i observem que obtenim una circumferència de radi k i DFOUSBEBFOFMQVOU  ¦  (x–1)2 + (y+2)2 = k on k*0 Donem valors a la k i observem que obtenim circumferències: 102 Matemàtiques II Imatge 29 10. Calculeu els límits següents: a) xy 2  y 2 + x 1 0 (1+ r cos ) r 2  sin 2   r 2  sin 2  +1+ r cos  1 = = lím = (x,y ) (1,0) 0 (1) r  0 x 1 1+ r cos 1 r ( r 2  cos   sin 2  + cos ) r 2  sin 2  + r 3  cos   sin 2   r 2  sin 2  + r cos  = lím = = lím r 0 r 0 r cos  r cos  cos (r 2  sin 2  +1) cos  = lím r 2 = (*) = lím r 0 r 0 cos cos  lím (1) Canvi amb coordenades polars:  3 (*) Aquest límit és 1 quan cose&0, en els casos en què  = + 2k o bé  = + 2k 2 4 per kDZ el límit no existeix. Per tant el límit no existeix.
b) 103 Llúcia Mauri Masdeu (1) Canvi amb coordenades polars: Aquest límit no existeix, ja que depèn del paràmetre e.
11. Estudieu la continuïtat de les funcions a) La funció f(x,y) està definida a trossos, per a (x, y) & (0,0) correspon la funció ,, que és contínua en tots els punts menys els que anul·len el denominador, però el punt (0,0) no pertany al domini de definició, així és contínua. Per a (x, y) = (0,0) és la funció constant 0, que sempre és contínua. Ara sols ens cal estudiar què passa al punt de tall. Vegem si el límit de la funció quan tendeix a (0,0) coincideix amb el valor f(0,0): x 3 + 2xy 2 0 r 3 cos3  + 2rcos  r 2 sin 2  r 3 cos 3  + 2r 3 cos sin 2  = = lím = lím = 2 2 (x,y ) (0,0) x + y r 0 0 r 0 r 2 cos2  + r 2 sin 2  r 2 (cos2  + sin 2  ) lím lím r 3 cos ( 3  + 2cos sin2  ) r 2 (cos2  + sin 2  ) r 0 = lím rcos ( 3  + 2cos sin2  ) = 0 r 0 f(0,0) = 0 Per tant, la funció f(x,y) és contínua en tots els seus punts de R 2 .
b) La funció f(x,y) està definida a trossos, per a (x, y) & (0,0) correspon la funció 3 4x , que és continua en tots els punts menys els que anul·len el denominador, però x y2 2 el punt (0,0) no pertany al domini de definició, així és contínua. Per a (x, y) = (0,0) és 104 Matemàtiques II la funció constant 0 que sempre és contínua. Ara sols ens cal estudiar què passa al punt de tall. Vegem si el límit de la funció quan tendeix a (0,0) coincideix amb el valor f(0,0): 0 4x3 4r 3 cos 3  4rcos3  = = lím = lím = lím 4rcos 3  = 0 2 2 (x,y ) (0,0) x + y 0 r  0 r 2 cos2  + r 2 sin 2  r  0 cos2  + sin 2  r  0 f(0,0) = 0 lím Per tant, la funció f(x,y) és contínua en tots els seus punts de R 2 .
12. Calculeu el vector gradient i la matriu hessiana de les funcions següents als punts indicats: a) en Busquem les derivades parcials segones: , , , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: b) en Busquem les derivades parcials segones: , , 105 , Llúcia Mauri Masdeu Per tant, la matriu hessiana serà la següent: c) en (1,1)  f (x, y) f (x, y)   4 xy 2 4 xy 2 , , f (x, y) =  =  2 y  ( x + y 2 ) 2 ( x 2 + y 2 ) 2  x    Busquem les derivades parcials segones: 2 f (x, y) 12x 2 y 2 + 4 y 4 = 3 x 2 (x 2 + y 2) 2 f (x, y) 8x 3 y 8xy 3 = 3 xy (x 2 + y 2) , 2 f (x, y) 8x 3 y + 8xy 3 = 3 yx (x 2 + y 2) 2 f (x, y) 12x 2 y 2 4 y 4 = 3 y 2 (x 2 + y 2) , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: 2 f (x, y)  x 2 Hf (x, y) =  2   f (x, y)   yx d) 2 2 4  2 f (x, y)   12x y + 43 y 2 2  xy   ( x + y ) = 2 f (x, y)   8x 3 y + 8xy 3   y 2   ( x 2 + y 2 ) 3  en 106 8x 3 y 8xy 3  3  (x 2 + y 2)  12x 2 y 2 4 y 4   2 2 3  x + y ( )  Matemàtiques II Busquem les derivades parcials segones: , , , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: 13. Calculeu el gradient i la matriu hessiana de les funcions següents: a) Busquem les derivades parcials segones: , , , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: b)  f (x, y) f (x, y)  2 2 x 2 +y 2 f (x, y) =  , 2x , 2ye x +y 2ey = 2xe y   x ( Busquem les derivades parcials segones: 107 ) Llúcia Mauri Masdeu 2 2 2 f (x, y) = e x +y (2 + 4 x 2 ) 2 2 x , , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: 2 f (x, y)  x 2 Hf (x, y) =  2   f (x, y)   yx 2 f (x, y)  2 2  x 2 +y 2  (2 + 4 x 2 ) 2 4 xye x +y xy  e   = 2 2 2 2 2 f (x, y)   4 xye x +y e x +y (2 + 4 y 2 ) 2e  y 2  c) Busquem les derivades parcials segones: , , , 2 f (x, y) 2 f (x, y,z) yz = xze (yz + 2) = xye yz (yz + 2) , y 2 yz , , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: 2 f (x, y,z)  2  2 x   f (x, y,z) Hf (x, y,z) =  yx  2 f (x, y,z)   zx 2 f (x, y,z) xy 2  f (x, y,z) y 2 2  f (x, y,z) zy 2 f (x, y,z)   xz    0 e yz (1+ yz) y 2e yz 2   f (x, y,z)   yz = e (1+ yz) xze yz (yz + 2) xye yz (yz + 2)  yz   2 yz xye yz (2 + yz) xy 3e yz  2  f (x, y,z)   y e  z 2  108 Matemàtiques II d) f ( x, y, z )  z ln( x 2 y 2 ) Busquem les derivades parcials segones: , , , , , , Per tant, la matriu hessiana serà la següent: e) Busquem les derivades parcials segones: , , , , , , 109 Llúcia Mauri Masdeu Per tant, la matriu hessiana serà la següent: 14. Determineu el domini de les funcions següents: a) Per tant, tenim que: Llavors, b) Per tant, tenim que: Llavors, c) 110 Matemàtiques II Per tant, tenim que: Llavors, Calculeu les matrius jacobianes d’aquestes funcions: a) b)  f1 (x, y)  f1 (x, y)   x Jf (x, y) =  =  f 2 (x, y)  f 2 (x, y)  x 1 f1 (x, y)    (x y) 2 y = y f 2 (x, y)   y   (x + y) 2 c) 15. Donada , proveu que 111 1   (x y) 2 x (x + y) 2  Llúcia Mauri Masdeu 16. Donada , calculeu l’elasticitat parcial respecte x en (2,2,4).
essent 17. Calculeu l’elasticitat parcial respecte a z de la funció f ( x, y, z )  ( x z )e ( y QVOU   ¦  2 3 z ) en el essent 18. Calculeu l’elasticitat parcial respecte a y de la funció (2,1).
en el punt essent 19. Calculeu l’elasticitat parcial respecte z de la funció f ( x, y, z )  xye 2 z en el punt (1,2,3).
essent 112 ...

Tags: