Diferenciabilidad (2010)

Apunte Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 2º curso
Asignatura matemáticas
Año del apunte 2010
Páginas 10
Fecha de subida 27/05/2014
Descargas 5
Subido por

Descripción

Apuntes detallados y esquemáticos

Vista previa del texto

3 - Diferenciabilitat Recordem que, considerant f : ℜ → ℜ ; és definia la derivada de f ( x ) en el punt a ∈ ℜ com el límit incremental següent: f ′(a ) = h lim0 f (a + h ) − f (a ) h 1. Derivades direccionals i parcials 1.1. Derivades direccionals: serà la derivada en una direcció particular; la diferència serà que ara considerarem un espai ℜ n , amb més dimensions; axó ho aconseguirem introduint els vectors: Dv f (a ) =t lim0 r f (a + t ⋅ v ) − f (a ) t On: • r Dv f (a ) → Derivada de la funció “ f ” en el punt “ a ” en la direcció “ v ”.
• r r r v → es un vector unitari de ℜ ; el que implica que en v ∈ ℜn → v = 1 • f : ℜn → ℜ • a → es un punt interior.
Ens dona la velocitat del canvi de la funció en la direcció que ens indica el vector.
Obtindríem la pendent de la recta tangent indicada.
1.2. Les derivades parcials: La derivada d'una funció d'una variable mesura la rapidesa de canvi de la variable dependent respecte a la variable independent. Per a funcions de dues variables podem mesurar dues raons de canvi: mantenint-ne una de fixa, i avaluant el canvi de l’altra.
Partint d’un model amb dues variables, “x” i “y”; si volem avaluar la variació respecte a “x” , deixant la “y” fixa, per exemple “y = a”; passant a estar en presència d'una funció d'una sola variable, la “x”, on: z = f ( x, a ) = g ( x ) Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-1 Llavors, si “g” té una derivada en “x = b”, obtindrem la derivada parcial de f respecte a x en (b;a). De la mateixa manera podem fer-ho per a “y”, mantenint la “x” fixa.
Partint de la equació “ z = f ( x, y ) ”, fixant la variable “ y ” com “ y = y0 ”, resultarà una funció d’una sola variable: g ( x ) = f ( x, y 0 ) = g ( x ) Representant la corba que obtindríem de la intersecció de la superfície “ z = f ( x, y ) ” amb el pla “ y = a ”. La derivada parcial indicarà la pendent de la tangent de la corba “ g ( x) ” en el punt que investiguem.
Podem expressar les derivades parcials de “ f ” respecte la variable “ xi ” en forma de vector, de la següent manera:  ∂f1 (x1, x2 ,..., xn )    ∂xi   ∂f   2 ( x1 , x2 ,..., xn )  ∂f (x1, x2 ,..., xn ) =  ∂xi  ∂xi  ...
     ∂f m  ∂x ( x1 , x2 ,..., xn )   i 1.3. Relació entre la derivada direccional i la derivada parcial: la derivada parcial equivaldrà a la derivada direccional utilitzant el vector canònic. Per exemple: ∂f (x1, x2 ,..., xn ) =t lim0 f ((x1, x2 ,..., xn ) + t ⋅ (1,0,0,...,0)) − f (x1, x2 ,..., xn ) ∂x1 t ∂f (x1, x2 ,..., xn ) =t lim0 f ((x1, x2 ,..., xn ) + t ⋅ (0,1,0,...,0)) − f (x1, x2 ,..., xn ) ∂x2 t ...
∂f (x1, x2 ,..., xn ) =t lim0 f ((x1, x2 ,..., xn ) + t ⋅ (0,0,0,...,1)) − f (x1, x2 ,..., xn ) ∂xn t Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-2 2. Vector Gradient i matriu jacobiana 2.1. Vector Gradient → ∇f : Representarà la derivada d’una funció, respecte a cada una de les variables; Si partim de la funció f : ℜ n → ℜ , el vector gradient serà:  ∂f  (x1 , x2 ,..., xn ), ∂f (x1, x2 ,..., xn ),..., ∂f (x1, x2 ,..., xn ) ∇f ( x1 , x2 ,..., xn ) =  ∂x2 ∂xn  ∂x1  Propietats del Vector Gradient, si ∇f = 0 llavors: • ∇f ( x ) ⊥ f ( x ) = c → el vector gradient serà perpendicular a les corbes de nivell de f .
• Apuntarà en direcció del màxim creixement.
• Té una relació evident amb les derivades parcials: Dv f (a ) = ∇f (a ) ⋅ v ∇( f + g )( x ) = ∇f ( x ) + ∇g ( x ) ∇(α ⋅ f )( x ) = α ⋅ ∇f ( x ) ∇( f ⋅ g )( x ) = ∇f ( x ) ⋅ g (x ) + ∇g ( x ) ⋅ f ( x ) Geomètricament parlant, una derivada no es res més que la pendent de la funció en el punt derivat; permetent-nos calcular la recta tangent a la funció en dit punt: y = f ′(a ) ⋅ ( x − a ) + f (a ) Que, comparant-ho amb l’anterior càlcul analític, arribem a la mateixa conclusió: h lim0 f (a + h ) − f (a ) f (a + h ) − f (a ) − f ′(a ) ⋅ h = f ′(a ) → h lim0 =0 h h A partir de l’expressió anterior podem arribar a la conclusió que existeix una aplicació lineal, que fa que el límit sigui zero: f : (a )(h ) : ℜ → ℜ ⇒ h → f ′(a) ⋅ h Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-3 Si analitzem més àmpliament el cas en que n = 2; i intentem buscar l’aplicació lineal resultant de la funció: f : ℜ 2 → ℜ ⇒ f ( x, y ) = z Buscarem la recta que passi pel punt ( xa , ya ) , i pel punt z a , sabent que za = f ( xa , ya ) . Queda llavors de la manera següent: z − za = α ⋅ ( x − xa ) + β ⋅ ( y − ya ) A partir de l’expressió del pla anterior només caldria buscar α i β .
2.2. Matriu jacobiana  ∂f1 (a )   ∂x1  ∂f 2 (a ) Jf (a ) =  ∂x1   M  ∂f m (a )  ∂x  1 ∂f1 (a ) ∂x2 ∂f 2 (a ) ∂x2 M ∂f m (a ) ∂x2 ∂f1 (a ) ∂xn  ∂f 2 L (a ) ∂xn  L M  ∂f m  (a ) L ∂xn  L En la que es compleix que: Dvf (a ) = Jf (a ) ⋅ v 3. Funcions continues y funcions diferenciables Donada una funció; si les derivades parcials de la matriu jacobiana son continues, la funció serà diferenciable o, el que es el mateix: Partint que f : ℜ m → ℜ n , i d’un element “ a ” que pertany a ℜ n ; llavors si totes les ∂f i (a ) són continues, llavors la funció serà diferenciable en “ a ”.
∂x j Condicions per a la diferenciabilitat: • Si f es diferenciable en un punt llavors serà continua en aquell punt; però si f es continua en un punt, no garanteix que sigui diferenciable en el mateix punt.
Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-4 • Si la funció es diferenciable en un punt, existiran les derivades en aquell punt; i si no existeixen les derivades parcials, la funció no serà diferenciable.
• Si les derivades parcials son continues en un punt, llavors la funció també hi es derivable.
Si f , g : ℜ n → ℜ son diferenciables, llavors les següents funcions també ho seran: • f +g • f −g • f ⋅g • f g sempre que g ≠ 0 4. Funcions vectorials La funció vectorial assignarà a cada grup de “n” termes, un grup “m” de nombres reals:  y1 = f1 ( x1 , x2 ,..., xn )  y = f ( x , x ,..., x )  2 2 1 2 n n m f : ℜ → ℜ → llavors f ( x1 , x2 ,..., xn ) = ( y1 , y2 ,..., ym ) on  M  ym = f m ( x1 , x2 ,..., xn ) Podríem, per tant, arreglar-ho de la següent manera: f ( x1 , x2 ,..., xn ) = ( y1 , y2 ,..., ym ) = ( f1 ( x1 , x2 ,..., xn ), f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ),..., ym = f m ( x1 , x2 ,..., xn )) 5. Matriu Jacobiana Si la funció f : A ⊂ ℜn → ℜm es diferenciable en el punt x 0 = ( x 1 , x 2 ,..., x n ), llavors la seva diferencial serà: df (( x0 )) = ∂f ( x0 ) ∂f ( x0 ) ∂f ( x0 ) ⋅ dx1 + ⋅ dx2 + ... + ⋅ dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn Que es podrà representar matricialment com:  dx1     ∂f ( x0 ) ∂f ( x0 ) ∂f ( x0 )   dx2  ⋅ df ( x0 ) =  + + ... + = J f ( x0 ) ⋅ dx ∂x2 ∂xn   ...   ∂x1    dx   n Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-5 La matriu “ J f (a ) ” es coneixerà com a Matriu Jacobiana de la funció “ f ”, en el punt “ x0 ”; i la podrem representar com:  ∂f1 (x0 )   ∂x1  ∂f 2 (x ) J f ( x0 ) =  ∂x1 0   M  ∂f m ( x0 )  ∂x  1 ∂f1 (x0 ) ∂x2 ∂f 2 (x0 ) ∂x2 M ∂f m (x0 ) ∂x2 ∂f1 (x0 ) ∂xn   ∇f1 ( x0 )  ∂f 2 L (x0 ) =  ∇f 2 (x0 )  ∂xn    ...
 L M    ( ) ∇ f x ∂f m (x0 )  m 0  L ∂xn  L Propietats de la matriu Jacobiana: • Si “ m = 1 ” llavors → J f ( x0 ) = ∇f ( x0 ) • una var iable → df = f ′( x) ⋅ h  var ies var iables → df = ∇f ( x) ⋅ h 6. Teorema de Schwartz per a derivades d’ordre superior Partirem del Teorema de Schwartz, segons el que, partint de la següent funció oberta, de la que existeixen totes les derivades parcials, i son derivables en “ a ”: f : ℜn → ℜ Llavors es complirà: ∂ ∂f ∂ ∂f ∂2 f ∂2 f (a ) = (a ) → (a ) = (a ) ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi ∂xi ∂x j ∂x j ∂xi A partir del que podem descriure la matriu hessiana:  ∂2 f ∂2 f  ( x , y ) (x0 , y0 ) 0 0 2 ∂x1∂x2  ∂x1  ∂2 f ∂2 f ( x , y ) (x0 , y0 ) 2 H f ( x0 , y0 ) =  ∂x ∂x 0 0 ∂ x 2 1 2  M M  ∂2 f  ∂2 f  ∂x ∂x ( x0 , y0 ) ∂x ∂x ( x0 , y0 ) n 2  n 1 Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit  ∂2 f (x0 , y0 )  ∂x1∂xn   ∂2 f L (x0 , y0 ) ∂x2∂xn  L M  ∂2 f L (x0 , y0 )  2 ∂xn  L 3-6 7. Optimització sense restriccions A continuació veurem un mètode analític per optimitzar una funció real, en el cas que no existeixin restriccions sobre el domini de la funció, i quan la funció admeti segones derivades contínues.
Aquest mètode generalitza la tècnica d'optimització de funcions en una variable utilitzant càlcul diferencial. Els passos seran els següents: 1. Es determina quins són els candidats a òptims, definint els punts crítics, ja que són els únics punts candidats a extrems locals.
2. Seguidament aplicarem un criteri basat en la segona derivada, per determinar si el punt crític correspon a un màxim o mínim relatiu.
7.1. Condicions de primer ordre: Punt crític Sigui f una funció de valor real definida sobre un conjunt D ⊂ ℜ 2 . Un punt x0 ∈ D serà punt estacionari o punt crític si totes les parcials de f es fan zero quan s'avaluen en x0 : ∇f ( x = x 0 ) = 0 Hi ha una sèrie de punts amb els que cal tenir una especial cura, doncs el punt crític buscat podria fer fallar el teorema si pertany a algun dels següents grups de punts: • Els punts de la frontera si el conjunt no és obert.
• En els que la funció no és diferenciable.
7.2. Condicions de segon ordre Fins ara, al utilitzar una única variable, només calia estudiar el signe de la segona derivada en el punt estudiat. Caldrà doncs ara, al treballar amb més dimensions, estudiar el signe d’una matriu: la matriu hessiana.
Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-7 7.3. Avaluació dels punts crítics: A partir d’aquests dos mètodes ja podrem avaluar els punts crítics, però únicament per buscar extrems locals, sense informar-nos si, a més a més, ho seran globalment. Per assolir l’esmenta’t propòsit, farem ús de la matriu hessiana H f (x) : • Si H f ( x = x0 ) és definida positiva, x0 serà un mínim local.
• Si H f ( x = x0 ) és definida negativa, x0 serà un màxim local.
• Si H f ( x = x0 ) no és definida positiva ni negativa, serà un punt de sella: o Si H f ( x = x0 ) és semidefinida positiva, x0 serà un mínim relatiu.
o Si H f ( x = x0 ) és semidefinida negativa, x0 serà un màxim relatiu.
7.4. Casos particulars en la avaluació del punts crítics ℜ2 → ℜ → Si tenim una funció de la forma “ f ( x, y ) ”, dues vegades diferenciable, llavors la matriu hessiana en el punt crític, quedaria com:   ∂2 f  ∂2 f ∂2 f  (x0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 )  ∂xx ∂xy   =  ∂xx H f (x 0 , y 0 ) = 2 2 ∂ f   ∂2 f ∂ f (x0 , y 0 ) ( x 0 , y 0 )   ∂yy  ∂yx   ∂yx ∂2 f ∂xy ∂2 f ∂yy       ( x0 , y 0 ) Analitzant el seu determinant, si: ∂ 2 f (x0 , y0 ) > 0 → Mínim  ∂xx • Hf >0→ 2  ∂ f ( x , y ) < 0 → Màxim  ∂xx 0 0 • H f < 0 → Punt de sella • H f = 0 → Criteri no concloent Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-8 ℜ3 → ℜ → En una funció de la forma “ f ( x, y, z ) ”, dues vegades diferenciable, llavors la matriu hessiana en el punt crític, quedaria com:  ∂2 f   ∂ xx  ∂2 f H f (x 0 , y 0 , z 0 ) =   ∂2yx ∂ f  ∂ zx  ∂2 f ∂ xy ∂2 f ∂ yy ∂2 f ∂ zy ∂2 f ∂ yz ∂2 f ∂ yz ∂2 f ∂ zz          (x0 , y 0 , z 0 ) Llavors, analitzant el seus determinants: H1 = • • • ∂ f ∂xx 2 = ( x0 , y0 , z0 ) ∂ f ∂xx 2 ∂2 f ∂xx H2 = 2 ∂ f ∂yx ∂2 f ∂xy ∂2 f ∂yy ( x0 , y0 , z0 ) ∂2 f ∂xx ∂2 f H3 = H f = ∂yx ∂2 f ∂zx ∂2 f ∂xy ∂2 f ∂yy ∂2 f ∂zy Si tots els seus determinants, H1 , H 2 i H 3 , son positius el punt crític serà un mínim.
Si H1 < 0, H 2 > 0 i H 3 < 0 , llavors el punt crític serà un màxim de la funció.
Si no es complexen les anteriors condicions serà un punt de sella.
ℜn → ℜ → En una funció de la forma “ f ( x1 , x2 ,..., xn ) ”, dues vegades diferenciable, llavors, analitzant els determinants per descobrir la naturalesa del punt crític. Si: • • • Tots els seus determinants, H1 , H 2 ,..., H n , son positius el punt crític serà un mínim.
Si H1 < 0, H 2 > 0, H 3 < 0,..., (−1) n ⋅ H n > 0 , llavors el punt crític serà un màxim de la funció.
Si no es complexen les anteriors condicions serà un punt de sella.
Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit 3-9 ∂2 f ∂yz ∂2 f ∂yz ∂2 f ∂zz ( x0 , y0 , z0 ) 8. Optimització amb restriccions. Multiplicadors de Lagrange En aquest punt buscarem l’optimització sota restriccions del domini de les variables independents.
Si volem optimitzar una funció de dues variables “ f ”, dos vegades diferenciable, y volem que s’apliqui la restricció “ g ( x, y ) = k ” on “ k ” representaria una constant, y “ λ ” el multiplicador de Lagrange, escribint la funció langragiana com: L( x, y, λ ) = f ( x, y ) − λ ⋅ [g ( x, y ) − k ] Llavors, a partir del punt crític que ens proporcionaria igualar les seves derivades parcials a zero ( x0 , y0 , λ ) , podem obtenir una nova matriu hessiana “ H ”, que inclouria la restricció:  ∂g ∂g   0  ∂x ∂y    ∂g ∂ 2 L ∂ 2 L  H =  ∂xy   ∂x ∂xx  ∂g ∂ 2 L ∂ 2 L   ∂y ∂yx ∂yy    ( x0 , y0 ,λ ) Llavors: • Si H > 0 llavors, en ( x0 , y0 ) , la funció “ f ” sota la restricció “ g ( x, y ) = k ” • té un màxim.
Si H < 0 llavors, en ( x0 , y0 ) , la funció “ f ” sota la restricció “ g ( x, y ) = k ” té un mínim.
9. Elasticitat Donada una funció definida en la regió oberta “ A ”, on f es derivable en “ x0 ” segons la direcció del vector unitari “ v ”: f : A ⊂ ℜn → ℜ x0 ∈ A Llavors definirem la elasticitat de “ f ( x) ” en “ x0 ” segons “ v ” com: Ev f ( x0 ) = x0 ⋅ f v′( x0 ) f ( x0 ) De la mateixa manera, si volguéssim la elasticitat parcial en “ f ( x) ” en “ x0 ” segons “ xi ” seria: E xi f ( x0 ) = Grau en Administració d’empreses Matemàtiques 2 Gerard Lladó Fortit ∂f ( x0 ) f ( x0 ) ∂xi x0 i ⋅ 3-10 ...