Mecánica Cuántica - Problema 34 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 2
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 8
Subido por

Vista previa del texto

.
34 (a) Calculeu els elements de matriu dels observables X 2 i P 2 a la base pr`opia de l’energia de l’oscil·lador harm`onic. Aprofitant aquest resultat, verifiqueu per c`alcul directe que el valor esperat de l’energia cin`etica i de l’energia potencial en un estat propi de l’hamiltoni` a s´ on iguals.
(b) Calculeu el valor esperat de X 4 en un estat propi de l’energia.
Soluci´ o: (a) La base pr` opia de l’hamiltoni` a de l’oscil·lador harm`onic ´es formada pels estats |nÍ, els quals satisfan H|nÍ = ~Ê(n + 1/2)|nÍ. Per trobar la representaci´o matricial de l’operador X 2 en la base |nÍ, calculam X 2 |nÍ. R`apidament (aquest c`alcul el varem fer a teoria), 2 x0 1 X 2 |nÍ = XX|nÍ = X Ô a + a† |nÍ 2 3 42 1 2 1Ô 2 Ô x0 = Ô a + a† n|n ≠ 1Í + n + 1|n + 1Í 2 3 4 Ò x2 Ò = ... = 0 n(n ≠ 1)|n ≠ 2Í + (2n + 1)|nÍ + (n + 1)(n + 2)|n + 2Í .
2 (0.1) Llavors, Per altra banda, X 2 |0Í X 2 |1Í X 2 |2Í Q Ô 1 0 2 c c 0 3 0 c Ô c 2 2 0 5 x c Ô X2 = 0 c c 2 c 0 6 0 c Ô c 0 0 12 a ..
..
..
.
.
.
3 ...
...
...
...
...
...
..
.
R d d d d d d d d d d b 41 2 ~ a ≠ a† |nÍ 2x0 42 1 2 1Ô 2 Ô a ≠ a† n|n ≠ 1Í ≠ n + 1|n + 1Í |0Í |1Í |2Í |3Í |4Í ..
.
(0.2) P 2 |nÍ = P P |nÍ = P ≠i Ô 3 ~ 2x0 3 4 Ò ~2 Ò = ... = ≠ 2 n(n ≠ 1)|n ≠ 2Í ≠ (2n + 1)|nÍ + (n + 1)(n + 2)|n + 2Í .
2x0 (0.3) = ≠i Ô 1 .
Aleshores, P2 = ≠ ~2 2x20 P 2 |0Í P 2 |1Í P 2 |2Í Q Ô ≠1 0 2 c c 0 ≠3 0 c Ô c c 2 0 ≠5 c Ô c 0 6 0 c c Ô c 0 0 12 a ..
..
..
.
.
.
...
...
...
...
...
...
..
.
R d d d d d d d d d d b |0Í |1Í |2Í |3Í |4Í ..
.
(0.4) Aprofitem aquests dos resultats per mostrar que el valor esperat de l’energia cin`etica i de l’energia potencial en un estat propi de l’hamiltoni`a, valen el mateix. Se segueix, ÈP 2 Í Èn|P 2 |nÍ ~2 = = (2n + 1), 2m 2m 4mx20 1 1 1 ÈV Í = mÊ 2 ÈX 2 Í = mÊ 2 Èn|X 2 |nÍ = mÊ 2 x20 (2n + 1).
2 2 4 ÈKÍ = Substituint el valor d’x0 =  (0.5) ~/(mÊ), es troba que 1 ÈKÍ = ÈV Í = ~Ê(2n + 1).
4 (0.6) Arribats aqu´ı, notem el seg¨ uent “check” 3 ÈEÍ = ÈKÍ + ÈV Í = ~Ê n + 4 1 .
2 (b) Aquest apartat est` a resolt als apunts de teoria. Sol.: ÈX 4 Í = Èn|X 4 |nÍ = 2 (0.7) 2 x40 1 2 6n + 6n + 3 .
4 ...