Tema 3.Conceptes Bàsics (2014)

Apunte Catalán
Universidad Universidad Autónoma de Barcelona (UAB)
Grado Genética - 3º curso
Asignatura Biologia de sistemes
Año del apunte 2014
Páginas 24
Fecha de subida 15/03/2016
Descargas 6
Subido por

Vista previa del texto

BS- Tema 3 mfiguls TEMA 3: REVISIÓ DE CONCEPTES BÀSICS 23/2/15 Principi fonamental Als sistemes vius es compleix el principi de conservació́ de la matèria. (“D’on no n’hi ha, no en raja”) A = E−S+G Variació́ de component al sistema = Entrada −Sortida +Generació́ – – – – Acumulació́ (A): variació́ de la quantitat de component Entrada (E): quantitat de component que entra al sistema travessant els límits Sortida (S): quantitat de component que surt del sistema travessant els límits Generació́ (G): quantitat de component individual que es sintetitza o es consumeix/degrada (a partir de o formant un altre component) Exemple: balanç̧ de contingut de lisina a una cèl·lula. La variació de la quantitat de lisina en una cèl·lula s’escriuria com una derivada (variació de quantitat de lisina respecte al temps) Estat estacionari o no estacionari - Balanç de matèria a un bioreactor en continu. Volum constant - Un component: Biomassa El sistema més senzill en el qual s’aplica l’equació és en un dipòsit.
Imaginem que tenim un dipòsit al que hi està entrant aigua, si no hi hagués cap sortida, A= E (perquè el que s’acumula al dipòsit és el que entra).
Però en aquest cas també posem una sortida. Engeguem la bomba d’entrada i sortida de manera que entri i surti la mateixa quantitat, per tant el volum és constant.
Apliquem el principi A= E – S + G.
- El volum que entrarà al dipòsit serà igual a cabal d’entrada(Fent) x concentració interior (C) o Unitats: § cabal d’entrada à l/h § concentració substratà mol/l La concentració de sortida serà igual a la que hi ha dins al bioreactor.
El que mirem en aquest model és si canvia la quantitat de glucosa per unitat de temps, el que es presenta com la derivada 𝑑 𝑉𝐶𝑠 = 𝑉!"#$%&% − 𝑉!"#$%&' = 𝐹!"#$ · 𝐶! !"# − 𝐹!"#$ · 𝐶! 𝑑𝑡 𝑚𝑜𝑙𝑠 ℎ 1 BS- Tema 3 mfiguls Com augmenta la concentració de glucosa a l’interior del dipòsit dependrà de l’entrada i la sortida. Si entra i surt el mateix, el volum serà constant, això implica que el cabal serà igual: 𝐹!"# = 𝐹!"#$ = 𝐹 Per tant, si mantenim el cabal, el volum és constant: 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 Si el volum és constant i els cabals són iguals, la derivada ens quedarà com es mostra a continuació. (traiem factor comú de F) de la següent manera: !"# 𝑉 !" = 𝐹 · 𝐶!"#$ − 𝐹 · 𝐶! !!! !" 𝐹 = 𝑉 𝐶!"#$ − 𝐶! - !"#$ !·! 𝑽 és una constant que s’anomena tau, (𝜏), que, segons en quin àmbit s’utilitzi es diu d’una manera o altra. Les seves unitats són en hores. En tots els casos mesura el temps en que alguna cosa tarda a passar.
𝑑𝐶! 1 = (𝐶!"#$ − 𝐶! ) 𝑑𝑡 𝜏 𝑭 La generació pot incloure síntesi i degradació. El que queda és el què s’està acumulant.
Però no volem la derivada, sinó la concentració de la glucosa, així doncs, per resoldre la equació diferencial separem les variables i integrem a banda i banda: Deixem tot el que depèn del temps a una banda i el que té a veure amb la concentració a l’altra.
!! 1 1 ! 𝑑𝐶! = 𝑑𝑡 𝜏 !! !! 𝐶!"#$ − 𝐶! ! En aquests casos, ja hi ha taules per tal de resoldre les integrals.
A continuació, reordenem les equacions per tal d’aïllar la concentració. Acabem obtenint: ! 𝐶! = 𝐶!"#! (1 − 𝑒 !!·! ) Aquesta equació és útil perquè hem passat d’una derivada en funció del temps a una equació que ens indica com varia la concentració al llarg del temps.
2 BS- Tema 3 mfiguls Els gràfics representen dos intervals de temps diferent: un més al principi i un més endavant.
Si representem la concentració en funció del temps, podem determinar el valor de 𝜏.
Si al tanc inicialment hi havia aigua i ara està entrant glucosa, la concentració de glucosa augmenta fins a un límit, que serà el que està entrant.
La pendent ha anat canviant i quan arribem al màxim de concentració, el pendent és zero.
Estem a l’estat estacionari. Quan la concentració no varia més, la derivada és zero, per tant, si a l’equació substituïm per 0, podrem calcular al concentració a l’estat estacionari. Això també ho puc fer si poso que temps és infinit (a l’equació de Cs=...).
A què equival τ, com a unitat de temps? Veiem que passat τ, el sistema ha canviat en un % (primera gràfica, requadre), que és sempre del 63%. Com que sempre és el mateix valor, 63,21%, la tau ens serveix per observar comparar velocitats de canvis de diferents sistemes, per veure quins van més ràpids i quins van més lents. Això ens pot servir per comparar diferents sistemes sempre i quan siguin semblants (equacions de 1r ordre). La tau seria el temps que tarda el sistema a arribar a aquest valor fixe de 63,21%.
El concepte és que tenim un temps, passat el qual ha canviat un %. Com que sempre canvia el mateix %, el que estem mirant es quan triga a canviar el mateix %.
- Un sistema amb una τ més petita vol dir que arribem al 63% abans.
- Si tenim una τ més gran arribem al 63% més tard. El sistema és més lent.
- Comparant les τ estem comparant sistemes més ràpids o més lents.
En una primera pràctica, hauríem de discernir entre estat estacionari i estat no estacionari, dinàmica.
Podem tenir altres exemples del model.
Bioreactor com a sistema experimental - Balanç de matèria a un bioreactor en discontinu.
- 2 components : Biomassa i Substrat à FLASCÓ Aquest és un sistema sense entrades ni sortides, però hi ha dos components: biomassa (hi estan creixent cèl·lules) i substrat. Per tant, hem de tenir en compte la generació, cosa que abans no miràvem.
En aquests sistema doncs, no hi ha ni entrades ni sortides pel que • E=0, S=0 à A=G Si no hi ha entrades ni sortides, quina és la generació? En aquest sistema apareixen coses de les cèl·lules i del substrat, pel que tenim dues equacions.
- 𝑑 𝑉𝑋 =𝜇·𝑋·𝑉 𝑑𝑡 Derivada de la generació de biomassa: La quantitat total de cèl·lules en un moment determinat depèn de 𝜇 (velocitat de creixement, 1/h), X (pes en sec de les cèl·lules = quantitat de cèl·lules, en G) i del V (volum, l). D’aquesta multiplicació obtenim la quantitat de microorganismes que apareixen, que depenen dels que ja hi havia i com s’han multiplicat.
3 BS- Tema 3 - mfiguls 𝑑 𝑉𝐶! = −𝑟! · 𝑋 · 𝑇 𝑐𝑡 Derivada del consum de substrat (glucosa): Per créixer, les cèl·lules estan consumint substrat, glucosa. Aquesta glucosa, una part l’expulsa el microorganisme en CO2 (perquè està respirant). En aquesta equació, es calcula quanta glucosa es gasta.
Bàsicament multipliquem la velocitat de consum (−𝑟! ) per quantitat de cèl·lules (X) per volum (V).
Ara simplifiquem pel volum constant: 𝑑𝑋 = 𝜇·𝑋 𝑑𝑡 𝑑 𝐶𝑠 = −𝑟! · 𝑋 𝑑𝑡 Per solucionar aquestes equacions, ho hem de fer a la vegada, perquè ambdues depenen de X. Per resoldre-ho s’han d’utilitzar mètodes d’integració numèrica.
La velocitat de creixement la podem resoldre per l’equació de Michaelis-Menten: !!"# ·! - Tenim que µ = !"!! o on Ks és una constant d’afinitat.
o Depèn de la concentració de substrat. Hi ha una zona on les cèl·lules creixen a velocitat màxima (línia blava). El moment en que la velocitat és màxima (mu màxima) coincideix amb el moment en que hi ha molt substrat (línia verda).
Alhora, el substrat baix una mica. A mesura que es va exhaurint, la velocitat es va fent més petita fins a ser zero quan no hi ha substrat.
- Si substituïm aquesta equació a la de generació de biomassa, sabem que µ depèn del substrat i r depèn de µ.
! - Tenim que 𝑟! = ! ! ! o On YX/S és el rendiment o Aquesta equació relaciona µ i r.
Per resoldre les equacions diferencials, necessitem un programa numèric de resolució d’equacions diferencials. En aquest se li dona les equacions i els paràmetres i calcula les relacions que tindrem, com es comporta el sistema. Obtenim un sistema dinàmic no estacionari.
Quan la glucosa (línia blava) és 0 veiem que les cèl·lules (línia verda) deixen de créixer. Quan arribem al final, la glucosa és baixa, la µ és baixa per les (C) i les cèl·lules creixen més lentament 4 BS- Tema 3 mfiguls 24/2/15 - Balanç de matèria a un bioreactor en continu. Volum variable - 3 components : Volum, Biomassa i Substrat En quest cas tenim tres component: biomassa, substrat i entrades i sortides.
A= E + S + G Així doncs, com que podem tenir entrades i sortides hem d’assumir que el volum pot variar, per tant, tenim tres variables, i per tant, per cadascuna d’elles una equació: - Equació de Volum: 𝑑𝑉 = 𝐹!"#$ − 𝐹!"#$ 𝑑𝑡 La variació del volum en el medi dependrà del cabal (F) d’entrada i sortida. En aquesta equació assumim que la densitat és constant (C)(la densitat que entra i surt del reactor és igual), per no complicar el tema. Així doncs, la diferencia de volum seria la diferencia entre el cabal d’entrada i sortida.
- Equació del canvi de cèl·lules: 𝑑𝑉𝑋 = 0 − 𝐹!"#$ · 𝑋 + 𝜇 · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 En el sistema no entren cèl·lules, per tant, el cabal d’entada és zero.
- Equació del canvi de concentració 𝑑𝑉𝐶! = 𝐹!"#$ 𝐶!"#$% − 𝐹!"#$ · 𝐶! + 𝑟! · 𝑋 · 𝑉 𝑑𝑡 El consum de glucosa com a conseqüència del creixement dependrà del cabal d’entrada de glucosa i la seva concentració, menys el cabal de sortida de glucosa i la seva concentració, menys la glucosa que gastem.
Igual que en el cas anterior, 𝜇 i 𝑟! els calculem amb les següents formules: !!"# ·! ! µ = !"!! , 𝑟! = ! ! ! Com que no podem assumir que el volum és constant, hem de descompondre les equacions diferencials del canvi en la quantitat de cèl·lules i en la concentració de glucosa.
Això ho fem aplicant la derivada del producte. Aquest pas es mostra en el segon claudàtor.
5 BS- Tema 3 mfiguls En el tercer claudàtor aïllem el que ens interessa seguir, és a dir, la variació en la concentració de cèl·lules i glucosa al llarg del temps.
Un cop aïllats els paràmetres els hi donarem valors i podrem fer les gràfiques.
- Balanç de matèria a un bioreactor en continu. Volum constant Si el volum és constant, llavors l’equació diferencial del volum desapareix.
𝑑𝑉 𝐹!"#$ = 𝐹!"#$ ; 𝑉 = 𝑐𝑡𝑒 = =0 𝑑𝑡 Així doncs, ens queden nomes les equacions del canvi en la quantitat de cèl·lules i el volum.
Quan parlem de reactors, la gent té tendència afixar-se en el quocient F/V, que s’anomena D, taxa de dilució. Aquest valor és la inversa de tau.
A continuació, substituïm F/V per D en les equacions que hem trobat anteriorment Gràfica: Amb les equacions diferencials, podem fer la simulació amb cabals 0- Suposem que tenim un dipòsit on hem inoculat cèl·lules, que han crescut, en aquest moment obrim les entrades i sortides del dipòsit de manera que el volum és constant.
Comença a entrar medi de cultiu i a sortir-ne. En aquest moment, la concentració de cèl·lules baixa i el substrat puja.
Al final, s’arriba en un estat estacionari: moment en que no varia ni la quantitat de cèl·lules ni substrat o tot i que en el sistema entra substrat i surten cèl·lules. És a dir, les reaccions estan funcionant però els paràmetres es mantenen. En l’estat estacionari, dX/dt=0 i dC/dt =0 .
Mentre no arribem al estacionari estem en un estat transitori, no estacionari, dinàmic.
6 BS- Tema 3 mfiguls Es pot comprovar experimentalment com es comporta el sistema, això es fa mesurant variables fàcils de mesurar, com X (pes en sec cèl·lules), C (concentració de glucosa) i D (dilució).
Per tal de fer això hem de fer reorganització en les equacions anteriors.
Un tema interessant en un cas pràctic seria fer les derivades de X i C 0. En l’estat estacionari, la concentració de cèl·lules i substrat dins el dipòsit no varia, de manera que les seves derivades són zero. Així doncs, si les igualem a zero, sabrem què està succeint en aquest moment.
S’arriba a la conclusió que D = µ, en aquest moment la velocitat de creixement és igual a la taxa de dilució. Per tant, el cultiu s’estabilitza en el moment en que la taxa de dilució és igual a la velocitat de creixement. La gràcia, és que en un moment que s’ha fixat el sistema en estacionari, les cèl·lules creixen en una velocitat constant. Això no passa en un sistema en discontinu Pel que fa a l’equació del canvi de substrat, podem dividir la quantitat de cèl·lules amb la diferència de substrat, és a dir, el substrat que ha desaparegut. Per tant això ens indica la quan substrat ha desaparegut per formar X cèl·lules.
7 BS- Tema 3 mfiguls 2/3/15 en aquest sistema, al substrat se l’anomena substrat limitant. Per obtenir X biomassa, el substrat que hi ha és menys del que es necessita. Per tant, el que governa l’estat del sistema és el substrat.
Aquest sistema l’hem posat a una taxa de dilució que al final s’estabilitza en µ. Això està relacionant amb el substrat limitant, que es mostra en verd a la diapositiva anterior.
En la diferència entre el substrat limitant i el que queda al final, hi ha la quantitat de cèl·lules que tenim al sistema. Si ens fixem en quina concentració ens hem quedat, aquesta serà la concentració necessària per arribar a una velocitat de creixement determinada (a la que es troba el sistema al final).
Aquesta concentració és estable: si augmenta la concentració inicial, la velocitat augmenta i al final el substrat que queda baixa, fins que s’acaba estabilitzant. El sistema és automàtic, ja que sempre s’acaba fixant en un valor de substrat que dependrà de la taxa de dilució.
El fet que s’arribi a aquest estat estable és perquè la concentració de substrat i la velocitat de creixement son inversament proporcionals, el que fa que el sistema s’estabilitzi en un punt, que serà D = µ . En aquest moment, les cèl·lules que surten del sistema son les que estan creixent, mentre a dins hi ha sempre la mateixa quantitat de cèl·lules.
- Balanç d’un component a una cèl·lula assumint creixement zero Ens concentrem en un component (proteïna, metabòlit...). Podríem aplicar el mateix principi: A=E-S+G 8 BS- Tema 3 - mfiguls equació de volum: La variació del volum en el component depèn del que s’agafa (rE) i el que surt (rS). També del que es genera pel metabolisme (rBS) i el que es degrada (rdeg), per tant: 𝑑 𝑉𝐶! 𝑚𝑜𝑙𝑠 = 𝑟! 𝑉 − 𝑟! 𝑉 + 𝑟!" 𝑉 − 𝑟!"# 𝑉 𝑑𝑡 ℎ si no hi ha creixement, podem assumir que el volum de la cèl·lula és constant, per tant: 𝑑 𝐶! 𝑚𝑜𝑙𝑠 = 𝑟! − 𝑟! + 𝑟!" − 𝑟!"# 𝑑𝑡 ℎ·𝑙 Ara suposem que no entra ni surt res de la cèl·lula. Es a dir, que nomes hi ha metabolisme (E=0, S=0). I que la síntesi és constant.
- La velocitat de degradació (k) serà proporcional a la quantitat de substrat que hi ha (CS). Integrem aquesta equació del canvi en la concentració de substrat per tal de trobar la solució.
L’expressió ens descriu con canvia la concentració a la cèl·lula al llarg del temps.
Posant uns valors a l’atzar, podem veure com és la gràfica.
9 BS- Tema 3 mfiguls En aquest cas, també trobem que el sistema s’estabilitza en un valor el que és característic de cada sistema.
En aquest cas, 𝟏 𝟏 = 𝝉 𝒌 Aquest paràmetre, com abans, ens servirà per comparar sistemes.
Per saber a quina concentració s’estabilitza el sistema fem zero la derivada 𝑑𝐶! /𝑑𝑡 ja que en aquell moment, la concentració no varia. L’equació ens dona tres paràmetres, per tant, sabent-ne dos podem determinar el valor de la concentració.
𝑟!" 𝐶! = = 𝐶!! 𝑘 - Balanç d’un component a una cèl·lula amb creixement I El més habitual és tenir una mesura del pes sec, X, que serà el nombre de cèl·lules. En aquest cas, l’expressió serà igual que en el cas anterior però canviant V per X i per tant, el canvi serà per unitat de biomassa.
Si assumim que la X és constant, hem de fer la derivada del producte, la quantitat de biomassa, X, la podem simplificar. Les cèl·lules apareixen proporcional a les que hi ha.
Assumim constant obtenim µ. Això ens indica que la variació per unitat de temps en el reactor serà igual a la velocitat de creixement.
Per tant, substituïm mu a l’equació.
L’expressió final és més senzilla, apareix el terme de dilució per creixement; 𝜇 · 𝐶! que apareix si la cèl·lula està creixent. En alguns llibres aquest terme es negligeix. Això es perquè en un metabolisme normal les r son grans, mentre que el producte 𝜇 · 𝐶! serà molt petit, per tant, es sol depreciar.
10 BS- Tema 3 - mfiguls Balanç d’un component a una cèl·lula amb creixement II Imaginem que es sintetitza una cosa que es de la cèl·lula, és a dir, nomes hi ha 𝑟!" (biosíntesi) i la cèl·lula també creix. Si s’assumeix que estem al estat estacionari es pot arribar a una equació que ens permet saber la velocitat de síntesi si sabem la concentració de substrat i el creixement. Aquesta quantitat serà la necessària perquè a la cèl·lula hi hagi una biosíntesi mínima.
Això es pot complicar, també podem posar una síntesi més gran que es compensi amb la degradació. Per tant, les velocitats de síntesi i degradació es cancel·laran, per tant, al final acabaríem calculant la velocitat neta de síntesi (que és una mica més gran que la de degradació).
Amb el terme de dilució per creixement (𝜇 · 𝐶! ) podem saber la quantitat de proteïna que cal que es sintetitzi (rBS) perquè la cèl·lula es mantingui creixent (biosíntesi mínima) El sistema s’estabilitza en un valor (ja que la velocitat de creixement és constant).
Aquests sistemes son deterministes però funcionen molt bé.
Temps característic El terme tau ens indica el temps que es tria a aconseguir un canvi significatiu en una variable.
Es calcula ja que interessa tenir una mesura comparable entre diferents processos per poder simplificar.
Imaginem que tenim una gràfica temps – AX. El pendent de la gràfica es relaciona amb la velocitat de canvi.
11 BS- Tema 3 mfiguls El pendent va variant en el temps. Hi ha vàries definicions de tau a part de la que hem vist, per exemple es podria obtenir de dividir el canvi que hi ha hagut en X en un període de temps (en promig): Hi ha un altre valor anomenat temps de duplicació (td). Aquest, indica el temps que es tarda en obtenir el doble del que hi ha en un moment. Si posem 2 vegades la concentració final i aïllem trobem la fórmula que s’indica a continuació.
La tau i el temps de duplicació es poden convertir i ens donen el mateix tipus d’informació à serveixen per comparar sistemes.
El temps característic o temps de relaxació és important per adequar el model a la ‘finestra temporal’ per la qual fem el model.
- Finestra temporal (o d’oservació): interval de temps durant el qual ‘observem’ o ‘simulem’ el sistema. És a dir, el temps que es triga a fer l’experiment.
Dependent de la velocitat a la que passin els esdeveniments, entraran o no dins la finestra.
- Les variables que, per temps, entren dins la finestra d’observació són les quals el model ens descriu la dinàmica - Les variables que no entren a la finestra per l’esquerra, a es dir, amb temps de relaxació molt menor a la finestra temporal, en el model es pot considerar que són instantànies.
- Les variables que no entren a la finestra per la dreta, a es dir, amb temps de relaxació molt més gran a la finestra temporal, en el model es pot considerar que són congelades (constants, estacionàries) als seus valors inicials.
En una escala d’hores, hi ha coses que ja han passat, per tant, en funció de l’escala que considerem, la percepció canvia. Es a dir, no s pot saber en quin moment exacte a passat o quan ha tardat en passar, sinó l’important és saber que si que ha passat . Per exemple, podem assumir que el canvi es estable i per tant tenim una constant. La cosa es que el procés de canvi ha succeït molt abans o molt després. Nosaltres l’estem mesurant en hores.
Com que parlem de temps gran, utilitzem una escala en log.
Els temps de residència es solen veure millor en escala logarítmica, ja que a vegades són molt grans. Les coses que han passat abans, que surten de la finestra (tant per l’esquerra com la dreta), puc assumir que són estables. Es a dir, fem models per veure com canvien coses, però hi ha coses que no les podem agafar, per tant, les considerem constants.
12 BS- Tema 3 mfiguls A la pràctica, es considera que un canvi ha arribat al nivell final (estable), quan ha passat un temps equivalent a 5 vegades el seu temps característic (>99,3 % de canvi), o 5𝝉.
4/3/15 A més a més de les consideracions ja vistes, l’estudi de reaccions metabòliques hem de considerar dos aspectes clau més: - Termodinàmica - Cinètica Les reaccions només es donen si son favorables termodinàmicament à AG<0 L’ AG (energia de Gibbs) és una variable complexa calculable a partir de l’entalpia (H) i l’entropia (S). Aquesta energia determina la direcció de la reacció: Les reaccions es poden agrupar en dos tipus: - Exergònica: normalment, tots els processos naturals van en aquesta direcció. En aquestes reaccions, els productes tenen menys energia que el substrat, és a dir, s’allibera energia à AG<0.
13 BS- Tema 3 mfiguls Aquestes reaccions són termodinàmicament favorables pel qual la reacció va endavant.
o les reaccions exotèrmiques, en general son afavorides perquè –TAS >AH.
o Si els productes tenen menys energia, el sistema perd energia i ∆G serà negativa. Pot ser negativa perquè canvia l’entalpia (H) (energia inherent dels enllaços químics) o perquè augmenta l’entropia (S) (desordre de la matèria).
- Endergònica/endotèrmica: AH és major – TAS per tant governa. Son aquelles en les que cal subministrar energia.
Nomes les reaccions que alliberen energia avancen espontàniament cap a la formació de productes.
Les reaccions naturals (espontànies) van en la direcció en que AG<0, però també podem fer anar el procés a la inversa, en tot cas, s’haurà de donar energia.
Les reaccions ‘avancen’ en la direcció de disminuir l’energia lliure o de Gibbs (ΔG J/mol): ΔGo= Energia lliure en condicions estàndard (1 M de reactius i productes, 1 atm, a bioquímica pH: 7 , 55.5 M H2O, 1mM Mg) R = Constant dels gasos ideals (8.314 J·K-1·mol-1, 0.082 atm·L·K-1·mol-1) T = Temperatura (Kelvin) Per saber cap a on anirà la reacció tenim una equació que ens permet calcular l’energia lliure.
N aquesta hi participen els termes, R (constant dels gasos) i un ln d’un quocient que depèn de l’estequiometria de la reacció.
o Si ΔG <0 , la reacció va cap a desprendre energia (exergònica) o Si ΔG> 0 la reacció necessita del subministrament d’energia (endergònica) o Si ΔG=0, les velocitats es cancel·len, per tant la reacció no va endavant ni endarrere (equilibri).
Per tant, ΔG es la força impulsora, que ens indica cap a on va la reacció o bé si es manté a l’equilibri.
14 BS- Tema 3 mfiguls A l’equilibri (ΔG = 0): Keq>1 : A l’equilibri la reacció esta desplaçada cap a productes Keq<1 : A l’equilibri la reacció esta desplaçada cap a substrats Per agafar una idea per saber si estem lluny de l’equilibri o no podem calcular AG.
La relació entre [C][D][A][B] és constant, per això li diem constant d’equilibri. Segons si Keq és major o menor de 1 sabrem si va cap a la dreta o cap a l’esquerra.
La termodinàmica restringeix la direcció de la reacció (a pressió constant): ΔG<0 : La reacció neta avança en direcció reactius à Productes ΔG=0 : La reacció es troba a l’equilibri (reacció directa e inversa iguals) ΔG>0 : La reacció neta avança en direcció productes à reactius Fora de la situació d’equilibri: La relació d’acció de masses (mass-action ratio (gamma)) és el següent quocient: Llavors es pot escriure: On es coneix com a “relació de desequilibri” (disequilibrium ratio) - Si T/keq està entre 0 i 1, la reacció va endavant Si T/keq està entre 1 i infinit, la reacció va endarrere Si T/keq= 1, la reacció està a l’equilibri.
15 BS- Tema 3 mfiguls En un sistema tancat les reaccions arriben a l’equilibri, quan els nivells s’equilibren però , no es pot obtenir energia, però quan encara estan desequilibrats sí. És el que fan moltes centrals hidràuliques.
Perquè el sistema es mantingui funcionant s’ha d’afegir una entrada d’aigua que subministri constantment, així contínuament hi haurà un flux constant que mantindrà el sistema fora de l’equilibri i permetrà formar energia. Això és el que passa en les cèl·lules amb el metabolisme.
Per tant si a una cèl·lula se li tanca el flux d’entrada, arriba a un equilibri i mor. El mateix passa en un ecosistema En el metabolisme, si mirem cap on van de forma natural les reaccions, sempre van cap endavant.
Perquè un sistema viu estigui funcionant, necessita tenir una entrada i sortida, una cèl·lula ha de mantenir un flux, perquè constantment s’han de convertir els reactius en productes.
Si no es subministrés energia, els components cel·lulars tendirien a la degradació. (Primer dibuix) La única manera en que en la vida real algunes reaccions van al revés es perquè s’està subministrant energia (Segona i tercerca) L’energia obtinguda servirà per a l’anabolisme, és a dir, per la formació de noves molècules.
La generació dels components nous de la cèl·lula implica acoblar processos o reaccions que consumeixen energia amb d’altres que la generen perquè el resultat combinat resulti termodinàmicament favorableà Els enzims no infringeixen la termodinàmica (von Stockar et al. 2007) (Liu et al. 2007) 16 BS- Tema 3 mfiguls Les reaccions sempre van endavant (perquè segueixen la termodinàmica), una altra cosa diferent és la velocitat a la que ho fan. L’avanç de la reacció per formar productes menys energètics passa per un estat de transició d’energia major que els substrats. L’energia d’activació (EA) és l’energia necessària que s’ha de subministrar al substrat perquè passi a aquest estat de transició. L’energia d’activació modularà la velocitat a la que va la reacció.
• Com més alta sigui l’energia d’activació, menys molècules passaran a productes i la reacció anirà més lenta.
Respectivament, com més energia es doni, la reacció anirà més rapida.
à Velocitat i direcció son conceptes diferents.
El concepte d’energia d’activació ens porta a parlar de la velocitat de reacció i la cinètica.
Per una reacció: La velocitat de reacció, v serà la velocitat de canvi entre el coeficient estequiomètric d’aquell substrat a la reacció Que també es coneix com: Si hi ha més d’una reacció: com es mostra en l’exemple, per cada X0, apareixeran 2S1. Però alhora també desapareix S1.
• • Per tant la reacció 1 (r1) produirà 2 S1 , de manera que la síntesi de S1 per r1 serà à 2v1.
A més, la reacció 2 fa desaparèixer S1 en una velocitat à - v2 Les dues reaccions afecten a S1, per tant hem de fer un sistema d’equacions per combinarles.
• En un vector posarem els coeficients d’estequiometria: [2 -1] 𝑣! • en una matriu hi posarem les velocitats de reacció 𝑣 ! Multipliquem el vector per la matriu i podem obtenir el canvi de S.
17 BS- Tema 3 mfiguls Es poden deduir diferents coses: - La velocitat de reacció és proporcional al nombre de molècules amb energia suficient per creuar el llindar de l’energia d’activació.
- La velocitat de reacció és proporcional a la quantitat de A i de B i al nombre de molècules que hagin de col·lisionar per reaccionar Segons aquesta llei d’acció de masses: La velocitat depèn de la constant de velocitat o cinètica (k), i les concentracions.
- On p i q es coneixen com l’ordre respecte a A i l’ordre respecte a B.
p i q poden coincidir amb els coeficients estequiomètrics de A o B però no necessàriament.
L’ordre de la reacció seria p+q.
Per exemple: La manera clàssica de tractar aquesta equació és convertir-la a una equació lineal, prenent logaritmes: Llavors els paràmetres p i q multiplicaran, pel que l’equació serà lineal respecte als paràmetres Si mantenim constant B obtindríem una recta en una representació gràfica doble logarítmica (ln(v) vs ln(A)) amb pendent p Per tant -> (l’ordre és el pendent de la representació logarítmica).
Exemple sistema senzill 1:Reacció reversible. La velocitat de les reaccions directa i inversa són proporcionals al seu substrat (primer ordre).
A l’equilibri: Si tenim un sistema reversible, hem de tenir en compte l’equilibri. Agafarem el concepte de que si estem al equilibri, les velocitats són iguals. Reordenem les equacions, de manera que ens quedin quocients de productes (B) respecte substrats (A). Aquests quocients són iguals que la constant d’equilibri. En aquest cas, com que la reacció estequiomètrica és 1:1, no hi ha coeficients estequiomètrics.
A qualsevol altre moment: la velocitat de reacció i la direcció no són el mateix però estan lligades. Així doncs, quan fem els balanços els podem fer amb una constant de velocitats (per exemple v1 o v2) i l’altra en funció de la constant d’equilibri (keq). Al final el balanç ens quedarà en funció de la constant de velocitat i la d’equilibri.
18 BS- Tema 3 mfiguls Exemple sistema senzill 2: sistema de reaccions reversibles Quan tenim moltes reaccions, separem estequiometria de velocitats amb matrius i vectors (velocitats 1, 2 i 3).
En aquest cas, tenim 3 reaccions consecutives, de manera que, per simplificar, posem cada reacció en una columna de la matriu. Per exemple en la primera reacció desapareix un de substrat i apareix un producte pel que la primera columna és -1 1 0 0. A la segona columna desapareix un de x2 i apareix un de x3, pel que la columna serà 0 -1 1 0.... Així dons, les reaccions les multiplico per la velocitat (fem un producte de matriu per vector).
Segons el nombre d’equacions i incògnites, podem saber si el sistema està sub o sobredeterminat.
De la mateixa manera, si sumem totes les files de la matriu dona zeroà això indica que x1+x2+x3+x4=cte. Conseqüència, el valor d’una de les variables sempre depèn del valor de les altres 3. Per tant, nomes cal calcular la dinàmica de 3 variables I l’altra queda fixada.
Si donem valors a les constants de velocitat i equilibri, podem veure com varien les concentracions al llarg del temps.
- Si les velocitats son diferents, algunes coses passen de pressa i es mantenen en relació constant i altres pràcticament no es mouen - Així, podem simplificar el sistema, el que no ens alterarà el resultat. Podem posar les coses que casi no varien en aquest període de temps com a constant. Això és una simplificació que no ens alterarà els resultats si estem estudiant el sistema en aquest període de temps.
19 BS- Tema 3 mfiguls 9/3/15 Una manera d’accelerar la reacció és afegint un catalitzador, un ENZIM.
• Els enzims disminueixen l’energia d’activació, accelerant la reacció.
• Però els enzims no canvien la diferència d’energia entre substrat i productes.
Es pot pensar que a una determinada temperatura hi ha un determinat nombre de molècules amb energia suficient per creuar el llindar Ea. Si Ea disminueix, hi haurà més molècules amb l’energia mínima per superar el llindar i passar a productes i per tant la reacció anirà més ràpida.
Al sistemes biològics amb reaccions catalitzades per enzims, la representació doble logarítmica anterior no dona habitualment una recta.
• Les equacions de les cinètiques enzimàtiques es deriven a partir de considerar una ‘mecanisme de reacció’, format per passos elementals cadascun d’ells regit per una cinètica d’acció de masses.
Les fórmules de la cinètica enzimàtica es resolen per un determinat mètode matemàtic, diferent del mètode clàssic de Michaelis – Menten (que és irreversible). Així doncs, les tractarem amb un mètode diferent.
Imaginem un sistema amb reaccions reversibles com el següent (Michaelis –Menten reversible): • Si fem un balança de cada component i la diferencial per cadascun d’ells també podríem resoldre el sistema.
Però per aconseguir una “fórmula senzilla”, s’han de fer diferents suposicions del sistema: - La primera i ultima reacció son molt ràpides.
o Ks i Kp són constants de dissociació Les reaccions del mig son les que lentes, pel que son les que governen la direcció de la reacció.
La concentració de substrat (S) és molt major que la d’enzim (E). Si només hi ha substrat i la quantitat d’enzim és molt menor, els llocs catalítics de l’enzim es troben totalment ocupats i la velocitat endavant és màxima: 𝑽𝒇 = 𝒌𝟐 · 𝑬𝑺 20 BS- Tema 3 mfiguls La velocitat a la que va la reacció, és proporcional a la quantitat de complexes enzim – substrat (ES) o Igual si només hi ha producte: 𝑽𝒓 = 𝒌!𝟐 · 𝑬𝑷 § La Vr és la velocitat reversa.
A qualsevol situació intermèdia , la velocitat de reacció neta depèn de la quantitat de substrat o producte i de: 𝒗𝟐 = 𝒌𝟐 · 𝑬𝑺 𝒗!𝟐 = 𝒌!𝟐 · 𝑬𝑷 La quantitat total d’enzim es conserva: 𝑬𝟎 = 𝑬𝒇𝒓𝒆𝒆 + 𝑬𝑺 + 𝑬𝑷 E, S, P i ES estan relacionades per les constants de dissociació.
𝑬𝒇𝒓𝒆𝒆 · 𝑺 𝒌𝒔 = 𝑬𝑺 𝑬𝒇𝒓𝒆𝒆 · 𝑷 𝒌𝒑 = 𝑬𝑷 § - - • P i S són el substrat i producte no unit a l’enzim. (molècules lliures) • Però si s’assumeix poca quantitat d’enzim, S i P són equivalents a la quantitat total de S i P. Una de les assumpcions és que sempre hi ha molt més substrat que enzim.
• La velocitat de reacció serà proporcional a la fracció d’enzim ocupat que és: • Substituïm ES i EP assumint que per la dissociació, ja estem a l’equilibri (substituïm ES i EP per les expressions de dissociació, Ks i Kp).
Igual per al producte • Per tant: • En qualsevol moment, la velocitat neta de la reacció neta estarà governada per la velocitat directa (Vf) menys la velocitat reversa (Vr).
21 BS- Tema 3 mfiguls En el model de Michaelis – Menten, la velocitat màxima de l’enzim és el producte de la Kcat (constant de catàlisi) per la quantitat d’enzim. En aquest model, el producte de quantitat d’enzim per la seva catàlisi serà la velocitat forward (K2·ES) En aquest model, si no podem assumir que hi ha molt més substrat que producte ni que les reaccions rapides no són rapides, i les lentes són lentes, no ens serveix. Per tant, el model cinètic és útil en alguns casos, però no és universal.
Si assumim que estem a l’equilibri, les velocitats directa i inversa són iguals. Així doncs, les igualem i simplifiquem termes.
Com que estem al equilibri, la S i P són les concentracions a l’equilibri (Seq i Peq) , per tant ho reordenem de manera que ens quedi el quocient producte/substrat , el que ens dona la constant d’equilibri, Keq . Aquesta constant, es relacionarà amb les altres constants d’equilibri.
Aquesta és la relació de Haldane, que indica una relació entre constants i permet re-escriure la cinètica.
Com que la relació de Haldane conté altres constants d’equilibri, per eliminar-les les substituïm a l’equació de la velocitat. També dividim i multipliquem pel substrat de manera que puguem treure factor comú.
• Cal remarcar que tenim P/S que serà Τ 22 BS- Tema 3 mfiguls Per tant, hem arribat a un model que conté la constant d’equilibri, el que ens demostrarà que la direcció natural és anar endavant el que és termodinàmicament favorable. Si ha d’anar enrere, en tot cas s’ha d’acoblar a una altra.
Els enzims no sempre són catalitzadors, també hi ha equacions per els enzims que són inhibidors.... Cadascun d’aquests té la seva equació de dinàmica, per exemple: 23 BS- Tema 3 mfiguls 24 ...