Parcial 2013 induccion. (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Fundamentos Matematicos
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 0

Descripción

Examen parcial 2013 induccion resuelto

Vista previa del texto

Enginyeria Civil. Fonaments matem` atics 26/09/2013 Demostreu per inducci´ o sobre n la proposici´o: n ∀ n ∈ N, n ≥ 1 : (2k 2 − 1)2 = k=1 n 2 k=1 (2k n(4n4 + 10n3 − 10n + 1) 5 n=1 ↓ − 1)2 = (2 · 12 − 1)2 = 12 = 1 [n=1] M. Rosa Estela. Fonaments Matemàtics. Escola de Camins. UPC.
n(4n4 + 10n3 − 10n + 1) 5 [n=m] n=1 ↓ 4 + 10 − 10 + 1 = =1 5 Suposem cert: m (2k 2 − 1)2 = k=1 [ n=m+1 ] m(4m4 + 10m3 − 10m + 1) , amb m ≥ 1 5 (Hip`otesi d’Inducci´o, H.I.) Ens preguntem: m+1 k=1 ? (m + 1) [4(m + 1)4 + 10(m + 1)3 − 10(m + 1) + 1] (2k 2 − 1)2 = 5 Comencem “arreglant” una mica el numerador del terme dret: (m + 1) [4(m + 1)4 + 10(m + 1)3 − 10(m + 1) + 1] = = (m + 1) [4(m4 + 4m3 + 6m2 + 4m + 1) + 10(m3 + 3m2 + 3m + 1) − 10(m + 1) + 1] = = (m + 1) [4m4 + 26m3 + 54m2 + 36m + 5] = 4m5 + 30m4 + 80m3 + 90m2 + 41m + 5 Per tant, el que hem de demostrar ´es: m+1 k=1 ? 4m5 + 30m4 + 80m3 + 90m2 + 41m + 5 (2k 2 − 1)2 = 5 Procedim ara a manipular el terme esquerre de l’expressi´o anterior, amb la intenci´o d’arribar a veure que ´es igual al dret: m+1 2 k=1 (2k = Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) − 1)2 = m 2 k=1 (2k − 1)2 H.I ↓ m(4m4 + 10m3 − 10m + 1) + (2m2 + 4m + 1)2 = + [2(m + 1)2 − 1]2 = 5 = 4m5 + 10m4 − 10m2 + m + (4m4 + 16m3 + 20m2 + 8m + 1) = 5 = 4m5 + 30m4 + 80m3 + 90m2 + 41m + 5 5 Enginyeria Civil. Fonaments matem` atics 26/09/2013 Demostreu per inducci´ o sobre n la proposici´o: n ∀ n ∈ N, n ≥ 1 : (4k + 1)3 = n(16n3 + 48n2 + 46n + 15) k=1 n=1 ↓ n 3 = (4 · 1 + 1)3 = 53 = 125 k=1 (4k + 1) [n=1] M. Rosa Estela. Fonaments Matemàtics. Escola de Camins. UPC.
n=1 ↓ n(16n3 + 48n2 + 46n + 15) = 16 + 48 + 46 + 15 = 125 [n=m] Suposem cert: m (4k + 1)3 = m(16m3 + 48m2 + 46m + 15), amb m ≥ 1 (Hip`otesi d’Inducci´o, H.I.) k=1 [ n=m+1 ] Ens preguntem: m+1 ? (4k + 1)3 = (m + 1) [16(m + 1)3 + 48(m + 1)2 + 46(m + 1) + 15] k=1 Comencem “arreglant” una mica el terme dret: (m + 1) [16(m + 1)3 + 48(m + 1)2 + 46(m + 1) + 15] = = (m + 1) [16(m3 + 3m2 + 3m + 1) + 48(m2 + 2m + 1) + 46(m + 1) + 15] = = (m + 1) [16m3 + 96m2 + 190m + 125] = 16m4 + 112m3 + 286m2 + 315m + 125 Per tant, el que hem de demostrar ´es: m+1 ? (4k + 1)3 = 16m4 + 112m3 + 286m2 + 315m + 125 k=1 Procedim ara a manipular el terme esquerre de l’expressi´o anterior, amb la intenci´o d’arribar a veure que ´es igual al dret: m+1 m (4k + 1)3 = k=1 (4k + 1)3 H.I ↓ + [4(m + 1) + 1]3 = m(16m3 + 48m2 + 46m + 15) + (4m + 5)3 = k=1 = (16m4 + 48m3 + 46m2 + 15m) + (64m3 + 240m2 + 300m + 125) = = 16m4 + 112m3 + 286m2 + 315m + 125 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Enginyeria Civil. Fonaments matem` atics 26/09/2013 Trobeu els z ∈ C tals que 2iz = |z + 2i| 2iz = |z + 2i| Sigui z = x + yi, i per tant z = x − yi.
2xi + 2y = |x + (y + 2)i| 2xi + 2y = x2 + (y + 2)2 Separem aquesta equaci´ o en part real i part imagin`aria: R) 2x = 0 ⇒ x=0 I) 2y = x2 + (y + 2)2 M. Rosa Estela. Fonaments Matemàtics. Escola de Camins. UPC.
Usem que ja hem trobat que x = 0: Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) 2y = (y + 2)2 = |y + 2| Separem el valor absolut en dos casos: a) 2y = +(y + 2) ⇒ y=2 ⇒ z = 0 + 2i b) 2y = −(y + 2) ⇒ y = −2 3 ⇒ z = 0 − 32 i Aquesta segona soluci´ o ´es falsa; no compleix l’equaci´o inicial. Tamb´e es pot veure abans, ja que l’equaci´ o anterior implicaba que la y ha de ser positiva per ser v`alida.
Per tant, la soluci´ o ´es u ´nica, i ´es z=2i .
Enginyeria Civil. Fonaments matem` atics 26/09/2013 Calculeu i representeu gr` aficament el lloc geom`etric dels punts del conjunt A A = {z ∈ C : |z − 3| ≤ 2|z + 3|} |z − 3| ≤ 2|z + 3| Sigui z = x + yi.
(x − 3)2 + y 2 ≤ 2 Com que √ a= √ (x + 3)2 + y 2 b ⇒ a = b, llavors: (x − 3)2 + y 2 ≤ 4((x + 3)2 + y 2 ) M. Rosa Estela. Fonaments Matemàtics. Escola de Camins. UPC.
(x − 3)2 + y 2 ≤ 4((x + 3)2 + y 2 ) Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) x2 − 6x + 9 + y 2 ≤ 4x2 + 24x + 36 + 4y 2 0 ≤ x2 + 10x + y 2 + 9 Organitzem-ho en alguna forma coneguda.
0 ≤ (x + 5)2 − 52 + y 2 + 9 42 ≤ (x + 5)2 + y 2 La soluci´ o s´ on els punts exteriors a la circumfer`encia de radi 4 centrada a −5 + 0i.
...