Resumen Ondas (2015)

Resumen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ciencias y Tecnologías de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Seminario Ondas - ONELEC
Año del apunte 2015
Páginas 4
Fecha de subida 24/01/2015
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Carlos Angulo ONELEC T1 Ondas T1 Ondas Ecuaciones de ondas En MLHI Ec. de ondas no dispersivas 1D 𝜕 2𝜓 1 𝜕2𝜓 = 𝜕𝑥 2 𝑣 2 𝜕𝑡 2 3D 𝛻 2𝜓 = Mantiene forma, tamaño y velocidad de propagación 𝑣 de la perturbación 𝜓 1 𝜕2𝜓 𝑣 2 𝜕𝑡 2 𝛻 2 = ∆ Laplaciana Con las ec. de Maxwell en medios MLHI y con 𝛻 × 𝛻 × 𝐴 = 𝛻 𝛻 · 𝐴 − 𝛻 2 𝐴 Ec. Maxwell en MLHI 𝛻 2 𝐸 = 𝜇𝜀 𝜕 2𝐸 𝜕 (4) ← −𝜇 𝛻 × 𝐻 = −𝛻 2 𝐸 ← 𝛻 × (3) 𝜕𝑡 𝜕 𝑡2 2) 𝛻 · 𝐻 = 0 1 𝜕2𝐸 𝛻2 𝐵 = 2 2 𝑣 𝜕𝑡 𝜕 (3) ← −𝜀 𝛻 × 𝐸 = −𝛻 2 𝐻 ← 𝛻 × (4) 𝜕𝑡 Soluciones particulares de la Ec. de onda 3) 𝛻 × 𝐸 = −𝜇 4) 𝛻 × 𝐻 = 𝜀 En medios dieléctricos 𝑛 = 𝜀𝑟 𝜇𝑟 = 1 Ondas Planas uniformes OPU 𝜕 𝐻 𝜕𝑡 𝜕 𝐸 𝜕𝑡 1 𝑐 = 𝜇𝜀 𝑛 𝜔 𝑘 = ·𝑛 𝑐 𝑣= 𝜓 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑣𝑡 + 𝑔(𝑥𝑖 + 𝑣𝑡) Solución general d’Alambert OPU Progresivas 𝜓 = 𝑓 𝑥𝑖 ± 𝑣𝑡 𝑥𝑘 1) 𝛻 · 𝐸 = 0 𝑥𝑖 , 𝑥𝑘 puede ser 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥𝑖 dirección de propagación + sentido negativo de 𝑥𝑖 − sentido positivo de 𝑥𝑖 𝑥𝑘 eje en que esta la perturbación El vector Poynting ha de dar la dirección de propagación 𝐸 = 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝑓 𝑧 − 𝑣𝑡 𝑦 • • • Lo hemos de adaptar hasta conseguir la z sola Perturbación del 𝐸del eje 𝑦 Se propaga en dirección positiva del eje z Truco 𝐸 OPUP que se propaga en el eje 𝑥𝑖 Vector propagación 𝑢𝑝 = ±𝑥𝑖 En función del sentido de propagación 𝐵 OPUP 𝐵 ⊥ 𝐸, 𝑢𝑝 𝐵= 𝑢𝑝 ×𝐸 𝑣 𝐻= 𝜂 = 𝜇𝑣 𝑢𝑝 ×𝐸 𝜂 Ondas Esféricas 𝜓= 𝐴 𝐵 𝑓 𝑟 − 𝑣𝑡 + 𝑔 𝑟 + 𝑣𝑡 𝑟 𝑟 Emisión ∃ un foco 𝑂 tal que el 𝐸 y 𝐵 valen lo mismo en las esferas de radio 𝑟 Recepción Resumen ONELEC 1 Carlos Angulo ONELEC T1 Ondas T1 Ondas Ondas Plana Uniformes Armónicas Progresivas OPUAP Valor Instantáneo 1. Viajan en un eje (𝒙𝒊 ) 𝐸𝑥𝑗 = 𝑓(𝑥𝑖 − 𝑣𝑡) 𝐸 = 𝐸𝑥𝑗 𝑥𝑗 Propagación 𝑥𝑖 Perturbación 𝑥𝑗 𝐾 numero de onda 2𝜋 𝜆 = longitud de onda 𝑘 𝐸 𝑟, 𝑡 = E0xj cos 𝜔𝑡 − 𝑘 𝑥𝑖 + 𝜑𝑥𝑗 𝑥𝑗 𝜔 =𝑣 𝑘 OPUAP 𝐸 = 𝐸0𝑥𝑗 𝑒 −𝑗𝑘 𝑥𝑖 𝑒 𝑗𝜑𝑥𝑗 𝐸𝑐 = 𝐸0𝑥𝑗 𝑒 Vector propagación 𝒌 2. Viajan en un cualquier dirección • • Modulo: 𝑘 numero de onda Dirección y sentido: el de la propagación 𝑘= 𝐸𝑐 · 𝑘 = 0 1) y 1.
𝐻⊥𝑘 𝐻𝑐 · 𝑘 = 0 𝑘 𝐻𝑐 = × 𝐸𝑐 𝜂 2) y 1.
𝐸𝑐 = 𝜂 𝐻𝑐 × 𝑘 3) y 2.
4) y 2.
1.
2.
2 2 1 𝜂 𝐸𝑐 𝑘 = 𝐻𝑐 𝑘 2𝜂 2 2 𝑑𝑈 𝜀 𝜇 < > = 𝐸𝑐 = 𝐻𝑐 𝑑𝑉 2 2 2 𝐸𝑐 𝐸 = 𝐸𝑐 𝑒 −𝑗𝑘 𝑥𝑖 De una OPUAP que viaja en el eje 𝒙𝒊 𝑎 = 𝑒 𝑗𝑘𝑟 Divergencia 𝛻 𝑎𝑏 = 𝛻𝑎 · 𝑏 + a𝛻b Rotacional 𝛻 × 𝑎𝑏 = 𝛻𝑎 × 𝑏 + a𝛻 · 𝑏 3. 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑏 𝑎 · 𝑐 − 𝑐 𝑎 · 𝑏 4. 𝛻𝑒 −𝑗𝑘 𝑟 = −𝑗𝑘𝑒 −𝑗𝑘𝑟 𝐸 = ℝ 𝐸 · 𝑒 𝑗𝜔𝑡 Ec. Maxwell MLHI en RSP 1) 𝛻 · 𝐸 = 0 2) 𝛻 · 𝐻 = 0 3) 𝛻 × 𝐻 = 𝜀𝑗𝜔𝐸 4) 𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇𝐻 V. Poynting ∗ 1 Vector de Poynting <𝑃 >= 𝑥𝑗 𝑘 𝑟 = 𝑘𝑥 𝑥 + 𝑘𝑦 𝑦 + 𝑘𝑧 𝑧 Relaciones Vectoriales Relaciones 𝑬 y 𝑯 𝐸⊥𝑘 Fasor 𝑗𝜑𝑥𝑗 𝑘 𝑘 𝐸 = 𝐸𝑐 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 Fasor 𝑥𝑗 5) < 𝑃 > = 2 ℝ 𝐸 × 𝐻 5) y 3 Densidad de energía total ∗ = 𝐸𝑐 · 𝐸𝑐 𝜔 = 𝑣𝑘 1 𝑐 𝑣= = 𝜇𝜀 𝑛 𝑛 = 𝜀𝑟 Impedancia 𝜂 𝜇 1 𝜂 = 𝜇𝑣 = = 𝜀 𝜀v 𝜇0 = 120𝜋 𝜀0 Resumen ONELEC 2 Carlos Angulo ONELEC T1 Ondas T1 Ondas OPUAP con otra base vectorial Generamos una base vectorial con dos vectores unitarios 𝑒1 𝑒2 que nos facilite el análisis 𝑘 𝑒1 Condiciones de la base Redefinimos 𝐸𝐶 (es el que tiene vectores) 𝑒1 ⊥ 𝑒2 𝐸𝑐 = 𝐸1 𝑒1 + 𝐸2 𝑒2 𝐸𝑐 = 𝐸01 𝑒 𝑗𝜑1 𝑒1 + 𝐸02 𝑒 𝑗𝜑2 𝑒2 𝑒1 × 𝑒2 = 𝑘 𝑒2 𝐸 = 𝐸1 𝑒1 + 𝐸2 𝑒2 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 Nuevo Fasor Si representamos el valor instantáneo fijando un plano y dejando pasar el tiempo la representación de 𝐸 nos mostrara: • Líneas • Circunferencia Polarización • Elipse 𝐸 = 𝐸01 𝑒 𝑗𝜑1 𝑒1 + 𝐸02 𝑒 𝑗𝜑2 𝑒2 𝑒 −𝑗𝑘𝑟 Nuevo Valor Instan.
𝐸 𝑟, 𝑡 = 𝐸01 cos(𝜔𝑡 − 𝑘 𝑟 + 𝜑1 ) 𝑒1 + 𝐸02 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑟 + 𝜑2 ) 𝑒2 Proceso de caracterización de la polarización 3. Condiciones 𝒆𝟐 𝑒2 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒2 ⊥ 𝑘, 𝑒2 ⊥ 𝑒1 𝑒1 × 𝑒2 = 𝑘 𝑒2 × 𝑘 = 𝑒1 2. Condiciones 𝒆𝟏 𝑒1 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑒1 ⊥ 𝑘 → 𝑒1 · 𝑘 = 0 𝑘 × 𝑒1 = 𝑒2 1) Identificar 𝐾 -y sacar 𝑘 2) Escoger 𝑒1 teniendo en cuenta las condiciones 3) Construir 𝑒2 4) Calcular 𝐸𝐶 con los vectores anteriores proyectándolo en cada uno 𝐸𝑐 = 𝐸1 𝑒1 + 𝐸2 𝑒2 𝐸1 = 𝐸𝐶 e1 𝐸2 = 𝐸𝐶 e2 5) Calcula la amplitud y la fase en cada componente 6) Calcular la relación entre amplitudes 𝑝 y fases ∆𝜑 𝐸02 𝑝= 𝐸01 Forma canónica 4.En cada componente 𝐸1 = 𝐸01 𝑒 𝑗𝜑1 𝐸2 = 𝐸02 𝑒 𝑗𝜑2 ∆𝜑 = 𝜑2 − 𝜑1 𝐸 𝑟 = 𝐸01 𝑒 𝑗𝜑1 𝑒1 + 𝑝𝑒 ∆𝜑 𝑒2 𝑒^ − 𝑗𝑘𝑟 Tipos de polarización Lineal Se ha de cumplir una de estas 4 condiciones Circular Elíptica Características de la elipse 𝑝=0 𝑝=∞ 𝑝 = 1 𝑦 ∆= ± 𝜋 2 ∆𝜑 = 0 ∆𝜑 = ±𝜋 A derechas 𝜋 < ∆𝜑 < 2𝜋 O −𝜋 < ∆𝜑 < 0 A izquierdas 0 < ∆𝜑 < 𝜋 O −2𝜋 < ∆𝜑 < −𝜋 Resto de casos Relación Axial 𝑅= Inclinación de la elipse 𝐸 max 𝐸 min 1 2 cos ∆𝜑 𝛽 = atan 1 2 −1 𝑝 Resumen ONELEC sin 𝜑 𝑝+𝑝 2 1+ 1−4 1 sin 𝜑 𝑝+𝑝 2 1− 1−4 1 = Angulo que forma el eje mayor con 𝑒1 Comprobar en que cuadrante esta 3 Carlos Angulo ONELEC T1 Ondas 𝜷 Relación axial 𝑝=0 Lineal 𝑅 = ∞ ↔ eje menor 0 𝛽=0 𝑝=∞ 𝛽= 𝑝=1 Circular 𝜋 2 𝑅=𝑝=1 Casos importantes respecto a la inclinación 𝑝= 𝐸02 𝐸01 Polarización Lineal 𝑝=0 𝑒1 𝑝 = 0 → 𝐸02 = 0 → 𝛽 = 0 𝜋 𝑝 = ∞ → 𝐸01 = 0 → 𝛽 = 2 ∆𝜑 = 0 𝑒2 𝑝=∞ ∆𝜑 = ±𝜋 Polarización elíptica 𝑝<1 𝑝>1 𝑒1 𝑝=1 𝑒1 ∆𝜑 ≠ ± 𝑒2 𝑒1 𝜋 2 𝑒2 Base ortonormal para polarizar 𝑒2 Descomposición en polarizaciones lineales 𝜇1 y 𝜇2 son unitarios en un plano ⊥ a 𝑘 𝜇1 · 𝜇2 = 0 𝜇1 · 𝜇1 = 1 𝜇2 · 𝜇2 = 1 𝐸𝑐 = 𝐸1 𝜇1 + 𝐸2 𝜇2 𝐸 = 𝐸𝑐 • 𝐸1 = 𝐸𝑐 𝜇1 𝜇1 • 𝐸2 = 𝐸𝑐 𝜇 2 𝜇 2 𝑒 −𝑘𝑟 Polarizador 𝑧 𝑥 𝜓 𝑠 𝑆 = cos 𝜓 𝑥 + sin 𝜓 𝑦 𝑧 Onda transmitida será 𝐸𝑡 𝑟 = 𝐸𝑖 𝑟 · 𝑠 · 𝑠 𝑦 24/01/2015 Resumen [Asignatura] 4 ...