Mecánica Cuántica - Problema 44 (2014)

Ejercicio Español
Universidad Universidad de Barcelona (UB)
Grado Física - 3º curso
Asignatura Mecànica Quàntica
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 10
Subido por

Vista previa del texto

.
44 L’electr´ o d’un ` atom d’hidrogen ocupa l’estat (no normalitzat) A 1 exp(≠ar/2) Ô Y1,0 ‰+ + 3 Ú B 2 Y1,1 ‰≠ .
3 Trobeu: (a) els valors esperats de L2 , Lz , S 2 i Sz , (b) els valors esperats de J 2 i Jz , (c) i la densitat de probabilitat de trobar l’electr´o amb la tercera component de spin +~/2 i a una dist` ancia r de l’origen.
Soluci´ o: ´ ben (a) L’electr´ o de l’` atom d’hidrogen ve descrit per una s`erie de nombres qu`antics. Es sabut que n designa el nivell d’energia en el qual es troba, ¸ l’estat de moment an˛ i m¸ la seva tercera component. En la notaci´o de Dirac, diem que gular orbital L l’electr´ o es troba en l’estat |n¸m¸ Í; en la representaci´o de posicions aquest “ket” no ´es m´es que la ja coneguda funci´o d’ona de l’`atom d’hidrogen: È˛r |n¸m¸ Í = Ân¸m¸ (˛r ) = Èr|n¸ÍÈ◊, Ï|¸m¸ Í = Rn¸ (r)Y¸m¸ (◊, Ï). Per altra banda, sabem que l’electr´o t´e un moment angular intr´ınsec o de spin, al qual el hi associam el nombre qu`antic s = 1/2 amb ms = ±1/2 (la tercera component de spin pot prendre dos valors: +~/2, spin up, o ≠~/2, spin down); el spin queda descrit pels estats |sms Í (pel cas de part´ıcules amb spin s = 1/2, se sol escriure |1/2, 1/2Í © ‰+ © |øÍ, |1/2, ≠1/2Í © ‰≠ © |¿Í, com estats propis d’Sz amb valors propis ±~/2 respectivament, o el que ´es el mateix, propis de ‡z amb valor propi ±1). Aix´ı doncs, per descriure completament l’estat qu`antic d’un electr´ o, cal utilitzar estats producte de la forma |n¸m¸ Í ¢ |sms Í, pertanyents a l’espai de Hilbert producte H = L2 ( 3 ) ¢ 2 .
Com ja ´es habitual en Mec` anica Qu`antica, l’electr´o es troba en una superposici´o d’estats (pel que fa al nostre problema, el valor d’n ´es irrellevant), | Í = Ne ≠ar/2 = Ne ≠ar/2 A A 1 Ô Y1,0 ‰+ + 3 Ú 2 Y1,1 ‰≠ 3 1 Ô |1, 0Í ¢ |øÍ + 3 Normalitzem, imposem que Î Î2 = 1 ⁄ 3 Ú B B 2 |1, 1Í ¢ |¿Í .
3 4 1 2 Î Î = È | Í = |N | e ÎY1,0 Î2 + ÎY1,1 Î2 r2 drd 3 3 3 ⁄ Œ 2 a3 = |N |2 r2 e≠ar dr = |N |2 3 = 1 =∆ |N |2 = .
a 2 0 2 2 ≠ar 8 (0.25) (0.26) .
Per calcular el que es demana, recordem que L2 Y¸m¸ = ~2 ¸(¸ + 1)Y¸m¸ , Lz Y¸m¸ = ~m¸ Y¸m¸ , aleshores se segueix que 2 2 ÈL Í = È |L | Í = È |N e ≠ar/2 = È |2~2 | Í = 2~2 ÈLz Í = È |Lz | Í = È |N e ≠ar/2 A Ú A 2~ 2 A 1 Ô Y1,0 ‰+ + 3 1 Ô 0 · Y1,0 ‰+ + 3 B ⁄ Ú Ú 2 Y1,1 ‰≠ 3 2 ~Y1,1 ‰≠ 3 B (0.27) B 2 2 (0.28) = È | ~N e≠ar |1, 1Í ¢ |¿Í = ~|N |2 e≠ar ÎY1,1 Î2 r2 drd 3 3 3 ⁄ Œ 2 2 r2 e≠ar dr = ~.
= ~|N |2 3 3 0 De fet, aquests dos u ´ltims resultats els podem calcular de forma directa. Donat que l’electr´ o es troba en una superposici´o d’estats propis d’L2 i Lz , el valor esperat ´es directament el sumatori sobre tots els estats, de la probabilitat de que l’electr´o es trobi en un estat donat multiplicat pel resultat de mesurar en aquell estat. Aix´ı, ÈL2 Í = (1/3)2~2 + (2/3)2~2 = 2~2 i ÈLz Í = (1/3)~ · 0 + (2/3)~ = (2/3)~. Calculem ˛ = (~/2)˛‡ , ÈS 2 Í. Com que S S2 = ~2 2 ~2 2 3 ‡ = (‡x + ‡y2 + ‡z2 ) = ~2 , 4 4 4 (0.29) on he utilitzat que ‡i2 = , i = x, y, z. Per tant, 3 3 ÈS 2 Í = È |S 2 | Í = È | ~2 | Í = ~2 .
4 4 En canvi, Sz |øÍ (|¿Í) = ~/2|øÍ (≠~/2|¿Í), llavors A Ú (0.30) B 1 ~ 2 ~ Ô |1, 0Í ¢ |øÍ ≠ ÈSz Í = È |Sz | Í = È |N e |1, 1Í ¢ |¿Í 2 3 2 3 3 4 ⁄ ~ 1 2 = |N |2 e≠ar ÎY1,0 Î2 ≠ ÎY1,1 Î2 r2 drd 3 2 3 3 3 4 ⁄ Œ ⁄ Œ ~ 1 2 ~ ~ = |N |2 r2 e≠ar dr ≠ = ≠ |N |2 r2 e≠ar dr = ≠ .
2 3 3 6 6 0 0 ≠ar/2 (0.31) Novament, pel fet de que l’electr´o es trobi en una superposici´o d’estats propis d’S 2 i Sz , podr´ıem haver calculat els corresponents valors esperats com 21 3 4 3 4 1 1 1 1 2 3 ÈS Í = ~ +1 + ~2 +1 = ~2 2 2 3 2 2 3 4 3 4 ~1 ~ 2 ~ ÈSz Í = + ≠ =≠ .
23 2 3 6 2 (0.32) (b) Per calcular ÈJ 2 Í i ÈJz Í anem a la base acoblada. Tenim la suma de dos moments angulars: j1 = 1 (m1 = ≠1, 0, 1) i j2 = 1/2 (m2 = ±1/2). Respecte la teoria d’addici´o 9 .
de moments angulars, aix` o ens proporciona estats amb moment angular total J = 1/2 (M = ±1/2) i J = 3/2 (M = -3/2,. . . ,3/2). En el nostre cas, l’electr´o es troba en l’estat A B Ú 1 2 ≠ar/2 Ô |1, 0Í ¢ |øÍ + | Í = Ne |1, 1Í ¢ |¿Í .
(0.33) 3 3 Com j1 i j2 s´ on fixes, podem escriure els estats |¸m¸ Í ¢ |sms Í en la notaci´o habitual ´ a dir, |m¸ ms Í. Es | Í = Ne ≠ar/2 A 1 Ô |0, 1/2Í + 3 Ú B 2 |1, ≠1/2Í .
3 (0.34) Anant a les taules de C-G, veiem que en l’acoblament 1 ◊ 1/2, Ú 2 1 |3/2, 1/2Í ≠ Ô |1/2, 1/2Í 3 3 Ú 1 2 |1, ≠1/2Í = Ô |3/2, 1/2Í + |1/2, 1/2Í.
3 3 |0, 1/2Í = (0.35) Substituint aquestes dues expressions en (0.34), s’obt´e B A Ô 2 2 1 | Í = N e≠ar/2 |3/2, 1/2Í + |1/2, 1/2Í .
3 3 (0.36) Ara, | Í est` a escrit en termes d’estats |JM Í, propis de J 2 i Jz . Un cop aix`o, tenim que C Ô D 3 4 3 4 1 21 1 2 ≠ar/2 2 2 2 3 3 J | Í = Ne ~ + 1 |3/2, 1/2Í + ~ + 1 |1/2, 1/2Í 3 2 2 3 2 2 (0.37) 3 4 5 1 2 ≠ar/2 Ô |3/2, 1/2Í + |1/2, 1/2Í .
= ~ Ne 4 2 Arribats a aquest punt, cal expressar J 2 | Í en termes de la base no acoblada (ho feim a trav´es de les expressions (0.35) inverses), per aix´ı posteriorment fer el producte È |J 2 | Í (en principi, no sabem fer-lo utilitzant la base acoblada). Es troba el seg¨ uent, 3 4 19 11 Ô |0, 1/2Í + Ô |1, ≠1/2Í 4 3 2 6 3 4 19 11 = ~2 N e≠ar/2 Ô |1, 0Í ¢ |øÍ + Ô |1, 1Í ¢ |¿Í , 4 3 2 6 J 2 | Í = ~2 N e≠ar/2 (0.38) i aix´ı, ⁄ A Ú B 1 19 2 11 Ô Ô ÎY1,0 Î2 + Ô ÎY1,1 Î2 r2 drd ÈJ Í = ~ |N | e 3 3 34 3 2 6 3 4 ⁄ Œ ⁄ Œ 19 11 41 41 2 = ~2 |N |2 r2 e≠ar dr + = ~2 |N |2 r2 e≠ar dr = ~ .
12 6 12 12 0 0 2 2 2 ≠ar 10 (0.39) .
Per altra banda, ÈJz Í = È |Jz | Í = È |N e ≠ar/2 A Ô B 2 2~ 1~ |3/2, 1/2Í + |1/2, 1/2Í 3 2 32 (0.40) ~ ~ =È | | Í= .
2 2 O b´e, com sempre, al tenir | Í normalitzat i expressat en termes d’estats propis de J 2 q i Jz , els corresponents valors esperats s´on ( propabilitat ◊ resultat): A Ô B2 3 4 3 42 2 2 3 3 1 ~2 +1 + 3 2 2 3 A Ô B2 3 42 2 2 ~ 1 ~ ~ ÈJz Í = + = .
3 2 3 2 2 2 ÈJ Í = ~2 1 2 3 4 1 41 + 1 = ~2 2 12 (0.41) Tamb´e podem calcular el valor esperat de Jz com segueix. Notem que els estats de la forma Y¸m¸ ‰± s´ on propis de Jz = Lz + Sz . Formalment, |¸m¸ Í ¢ |sms Í i Jz = Lz ¢ 2 + 1 ¢ Sz , Jz (|¸m¸ Í ¢ |ø, ¿Í) = Lz |¸m¸ Í ¢ |ø, ¿Í + |¸m¸ Í ¢ Sz |ø, ¿Í 3 4 1 = ~ m¸ ± |¸m¸ Í ¢ |ø, ¿Í.
2 (0.42) Aleshores, Jz | Í = N e ≠ar/2 A ~ = N e≠ar/2 2 3 4 1 1 Ô ~ 0+ |1, 0Í ¢ |øÍ + 2 3 A 1 Ô |1, 0Í ¢ |øÍ + 3 Ú Ú 3 4 2 1 ~ 1≠ |1, 1Í ¢ |¿Í 3 2 2 |1, 1Í ¢ |¿Í 3 B B ~ ~ = | Í =∆ ÈJz Í = .
2 2 (0.43) (c) La probabilitat de trobar l’electr´o amb la tercera component del spin up en un punt de l’espai, ´es 1 a3 1 P+ (˛r ) = ÎÈø| ÍÎ2 = |N |2 e≠ar ÎY1,0 Î2 = e≠ar ÎY1,0 Î2 .
3 2 3 (0.44) Aleshores, la probabilitat total ser`a P+ = ⁄ 3 P+ (˛r )d3 x = |N |2 ⁄ 1 e≠ar ÎY1,0 Î2 r2 drd 3 3 = ⁄ Œ 3 a 2 ≠ar r e dr.
0 6 (0.45) D’aquesta darrera expressi´ o podem identificar P+ (r), i.e. la densitat de probabilitat de trobar l’electr´ o amb spin amunt a una dist`ancia r de l’origen, P+ (r) = 11 a3 2 ≠ar r e .
6 (0.46) ...