Mecánica Cuántica - Problema 35 (2014)

Vista previa del texto

.
35 Determineu els valors propis de H = h0 a† a + h1 (a + a† ), on a i a† s´on operadors de creaci´ o i anihilaci´ o, i h0 i h1 constants.
Soluci´ o: Els estats |nÍ (propis de l’oscil·lador harm`onic), s´on propis de l’operador nombre N = a† a, per` o no s´ on propis dels operadors a i a† independentment. Per aquesta ra´o, els estats |nÍ no s´ on propis de l’hamiltoni`a que proposa l’enunciat. La idea ´es estudiar, si ´es possible escriure l’hamiltoni`a com H = C0 A† A + C1 per alguns operadors A i A† , i constants C0 i C1 , de tal manera que A i A† satisfacin les mateixes regles de commutaci´ o que a i a† . En particular, proposem A = a + c, A† = a† + cú . Si substituim en l’hamiltoni` a de l’enunciat, resulta que 1 H = h0 (A† ≠ cú )(A ≠ c) + h1 A ≠ c + A† ≠ cú 1 2 1 2 = h0 A† A ≠ cA† ≠ cú A + |c|2 + h1 A ≠ c + A† ≠ cú 2 (0.8) = h0 A† A + h0 |c|2 ≠ h1 (c + cú ) ≠ A(h0 cú ≠ h1 ) ≠ A† (h0 c ≠ h1 ).
Aleshores demanem que J A(h0 cú ≠ h1 ) = 0 A† (h0 c ≠ h1 ) = 0 =∆ c = cú = h1 , h0 (0.9) a fi que l’hamiltoni` a s’escrigui com hem argumentat abans, de la forma H = C0 A† A + C1 . Substituint c = h1 /h0 , es t´e H = h 0 A† A ≠ 2 h21 ¯ ≠ h1 , = h0 N h0 h0 (0.10) ¯ = A† A. El punt clau, ´es que tal i com estan on he definit l’operador nombre barra, N definits A i A† , se satisf` a: [A, A† ] = [a, a† ] = . Els operadors A i A† , satisfan les mateixes regles de commutaci´ o que a i a† , i com que tota la teoria de l’oscil·lador harm` onic l’hem basada en les regles de commutaci´o que satisfan aquests u ´ltims, tenim † ¯ el seg¨ uent: N |nÍ = (A A)|nÍ = n|nÍ. Llavors, 2 ¯ |nÍ ≠ h1 |nÍ = H|nÍ = h0 N h0 A h2 nh0 ≠ 1 h0 3 B |nÍ ≈∆ En = nh0 ≠ h21 .
h0 (0.11) ...