Tema 7 Matematicas Ingenieria informatica (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Europea Miguel de Cervantes
Grado Ingeniería Informática - 1º curso
Asignatura Matematicas I
Año del apunte 2014
Páginas 15
Fecha de subida 26/11/2014
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Tema 7 Matematicas Ingenieria informatica

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Tema 7 Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales 7.1.
Introducci´ on Se entiende por ecuaci´ on diferencial cualquier ecuaci´on en la que interviene una variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o m´as variables independientes. Muchas leyes de la naturaleza, en f´ısica, qu´ımica, biolog´ıa o astronom´ıa, encuentran su expresi´on m´as natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son asimismo abundantes sus aplicaciones en la propia matem´atica, especialmente en geometr´ıa, y tambi´en en ingenier´ıa, econom´ıa y en otros muchos campos de las ciencias aplicadas.
Es f´acil comprender la raz´on que subyace tras una tan amplia gama de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Recordemos que si y = f (x) es una funci´on dada, su derivada se puede interpretar como el ritmo de cambio de y con respecto a x. En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus ritmos de variaci´on est´an relacionadas entre s´ı por medio de los principios cient´ıficos b´asicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexi´on en s´ımbolos matem´aticos el resultado es con frecuencia una ecuaci´on diferencial.
El siguiente ejemplo ilustra estos comentarios. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la aceleraci´on a de un cuerpo de masa m es proporcional a la fuerza total F que act´ ua sobre ´el con 1/m como constante de proporcionalidad, de modo que a = F/m, o sea, ma = F.
(1) Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo de masa m cae bajo la sola influencia de la gravitaci´on. En tal caso, la u ´nica fuerza que act´ ua sobre ´el es mg, donde g denota la aceleraci´on de la gravedad1 .
Si y es la altura medida hacia abajo desde una cierta posici´on prefijada, entonces su velocidad v = dy/dt es el ritmo de cambio de su posici´on y su aceleraci´on a = dv/dt = d2 y/dt2 es el ritmo de cambio de la velocidad. Con esta notaci´on, (1) se convierte en d2 y m 2 = mg, dt o sea, d2 y = g.
(2) dt2 Si alteramos la situaci´on, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad, la fuerza total que act´ ua sobre el cuerpo es mg ° k(dy/dt), y (1) pasa a ser m d2 y dy = mg ° k .
2 dt dt 1 (3) g se puede considerar como constante sobre la superficie de la tierra en la mayor´ıa de las aplicaciones, y es aproximadamente 9.8 m/s2 .
1 7.1. Introducci´on 2 Las ecuaciones (2) y (3) son las ecuaciones diferenciales que expresan los atributos esenciales de los dos procesos f´ısicos bajo consideraci´on.
Como ejemplos adicionales de ecuaciones diferenciales podemos citar: (1 ° x2 ) x2 dy = °ky, dt (4) d2 y m 2 = °ky, dt (5) dy 2 + 2xy = e°x , dx (6) d2 y dy ° 5 + 6y = 0, 2 dx dx (7) d2 y dy ° 2x + p(p + 1)y = 0, 2 dx dx (8) d2 y dy + x + (x2 ° p2 )y = 0.
2 dx dx (9) En cada una de las ecuaciones (4) a (9) la variable dependiente es y, mientras que la variable independiente es x o t. Las letras k, m y p representan constantes. Una ecuaci´ on diferencial ordinaria es una en la que s´olo existe una variable independiente, de manera que todas las derivadas que aparecen en ella son derivadas ordinarias. Todas las que acabamos de citar son ordinarias. El orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de la derivada m´as alta que contiene. Las ecuaciones (4) y (6) son de primer orden; las ecuaciones (5), (7), (8) y (9) son de segundo orden. Las ecuaciones (8) y (9) son cl´asicas, y se conocen como ecuaci´ on de Legendre y ecuaci´ on de Bessel , respectivamente.
Una ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales es una ecuaci´on que hace intervenir m´as de una variable independiente, de modo que las derivadas que aparecen en ella son derivadas parciales. Por ejemplo, si w = f (x, y, z, t) es una funci´on del tiempo y de las tres coordenadas rectangulares de un punto del espacio, las que siguen son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden: @ 2w @ 2w @ 2w + + = 0, @x2 @y 2 @z 2 µ 2 ∂ @ w @ 2w @2w @w 2 a + + = , 2 2 2 @x @y @z @t µ 2 ∂ @ w @ 2w @2w @ 2w 2 a + + = .
@x2 @y 2 @z 2 @t2 Tambi´en estas ecuaciones diferenciales son cl´asicas. Se trata, respectivamente, de las ecuaciones de Laplace, del calor y de ondas. Cada una de ellas posee un importante significado en f´ısica te´orica, y su estudio ha estimulado el desarrollo de muchas ideas matem´aticas relevantes. En general, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales aparecen en la mec´anica de los medios continuos, en problemas relacionados con campos el´ectricos, din´amica de fluidos, difusi´on y movimientos ondulatorios. Su teor´ıa es muy diferente de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias y notablemente m´as dif´ıcil en casi todos sus aspectos.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.2. Soluciones y problemas de valores iniciales 7.2.
3 Soluciones y problemas de valores iniciales Una ecuaci´on diferencial ordinaria general de orden n es una expresi´on del tipo µ ∂ dy d2 y dn y F x, y, , 2 , . . . , n = 0 , dx dx dx (10) o usando la notaci´on con primas para las derivadas F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 , donde F es una funci´on real de 1 + (n + 1) variables reales. La variable independiente x pertenece a un intervalo I de R.
Suele resultar sencillo comprobar que una funci´on dada y = y(x) es soluci´on de una ecuaci´on (10). Basta calcular las derivadas de y(x) y mostrar que y(x) y sus derivadas, cuando se sustituyen en la ecuaci´on (10), la transforman en una identidad para todo x 2 I. Se dice entonces que y(x) es una soluci´on de la ecuaci´on (10) en el intervalo I. As´ı vemos que y = e2x , y = e3x son ambas soluciones de la ecuaci´on de segundo orden y 00 ° 5y 0 + 6y = 0 ; y m´as generalmente que y = c1 e2x + c2 e3x tambi´en lo es para toda elecci´on de las constantes c1 y c2 . Con frecuencia aparecen soluciones de ecuaciones diferenciales definidas impl´ıcitamente, y a veces es dif´ıcil o incluso imposible expresar la variable dependiente expl´ıcitamente en t´erminos de la variable independiente.2 As´ı, por ejemplo, xy = ln y + c es una soluci´on de (11) dy y2 = dx 1 ° xy para todo valor de la constante c, como podemos comprobar sin m´as que derivar (11) y reordenar el resultado. Estos ejemplos ilustran tambi´en el hecho de que una soluci´on de una ecuaci´on diferencial contiene habitualmente una o m´as constantes arbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuaci´on.
Generalmente ning´ un fen´omeno queda totalmente descrito mediante una ecuaci´on diferencial.
La descripci´on se debe completar con la ayuda de ciertas condiciones sobre la soluci´on.
2 Se dice que una relaci´ on G(x, y) = 0 es una soluci´ on impl´ıcita de la ecuaci´ on (10) en el intervalo I si define una o m´ as soluciones expl´ıcitas en I.
Teorema de la funci´ on impl´ıcita. Sea G(x, y) una funci´ on con derivadas parciales continuas en el rect´ angulo R = {(x, y) 2 R2 : a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x0 , y0 ). Si G(x0 , y0 ) = 0 y Gy (x0 , y0 ) 6= 0 entonces existe una funci´ on derivable y = '(x) definida en cierto intervalo I = (x0 ° h, x0 + h) que satisface G(x, '(x)) = 0 para todo x 2 I.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.2. Soluciones y problemas de valores iniciales 4 Definici´ on 7.2.1 Se llama problema de valores iniciales de una ecuaci´ on diferencial ordinaria de orden n a lo siguiente: 8 > F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0 > > > > > <y(x0 ) = y0 y 0 (x0 ) = y1 > > > ············ > > > :y (n°1) (x ) = y 0 n°1 donde x0 2 I e y0 , y1 , . . . , yn°1 son constantes dadas.
La ecuaci´on diferencial general de primer orden es el caso especial de (10) que corresponde a tomar n = 1: µ ∂ dy F x, y, = 0.
(12) dx Esperar´ıamos normalmente que una tal ecuaci´on tenga soluci´on y que esta soluci´on contenga una constante arbitraria. Sin embargo, µ ∂2 dy +1=0 dx carece de soluciones reales, y µ ∂2 dy + y2 = 0 dx s´olo admite la soluci´on y = 0, la funci´on nula, (que no contiene constante arbitraria alguna).
Situaciones como ´estas plantean cuestiones dif´ıciles de ´ındole te´orica sobre la existencia y naturaleza de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
Por simplicidad, supongamos que es posible despejar dy/dx en (12): dy = f (x, y).
(13) dx A continuaci´on establecemos un teorema de existencia y unicidad para problemas de valor inicial de primer orden.
Teorema 7.2.1 Dado el problema de valor inicial dy = f (x, y), y(x0 ) = y0 , dx supongamos que f y @f /@y son funciones continuas en un rect´ angulo R = {(x, y) 2 R2 : a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x0 , y0 ). Entonces el problema de valor inicial tiene una soluci´on u ´nica en un intervalo (x0 ° h, x0 + h), donde h es un n´ umero positivo.
Ejemplos (1) El problema de valor inicial dy = x2 ° xy 3 , y(1) = 6, dx tiene soluci´on u ´nica. En efecto, en este caso f (x, y) = x2 °xy 3 y @f /@y = °3xy 2 son funciones continuas en cualquier rect´angulo que contenga al punto (1,6) y puede aplicarse el teorema anterior. Existe una soluci´on u ´nica en un intervalo de la forma (1 ° h, 1 + h), donde h es un n´ umero positivo.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.2. Soluciones y problemas de valores iniciales 5 (2) Para el problema de valor inicial dy = 3y 2/3 , y(2) = 0, dx ¿existe una soluci´on u ´nica? En este caso f (x, y) = 3y 2/3 y @f /@y = 2y °1/3 . La funci´on @f /@y no est´a definida en los puntos de la forma (a, 0), a 2 R. Por consiguiente, no existe un rect´angulo que contenga a (2,0) en el cual @f /@y sea continua. As´ı pues no podemos utilizar el teorema 7.2.1 para determinar si el problema de valor inicial tiene o no soluci´on u ´nica.
3 Observemos que '1 (x) = 0 (funci´on nula) y '2 (x) = (x ° 2) son soluciones. Por consiguiente el problema de valor inicial no tiene soluci´on u ´nica.
El teorema de existencia y unicidad 7.2.1 tiene gran importancia, pero no dice nada sobre la naturaleza de la soluci´on. Por razones pr´acticas se puede requerir conocer el valor de la soluci´on en un punto determinado, los intervalos en los cuales la soluci´on es creciente o los puntos en donde la soluci´on alcanza un valor m´aximo. Obviamente, conocer una representaci´on expl´ıcita (una f´ormula) de la soluci´on ser´ıa una ayuda considerable para responder a estas preguntas. Sin embargo encontrar una f´ormula de ese tipo resulta en muchas ocasiones dif´ıcil o incluso imposible.
Una t´ecnica u ´til para visualizar las soluciones de la ecuaci´on diferencial (13) consiste en trazar el campo de direcciones de la ecuaci´on. Observemos que la ecuaci´on (13) especifica una pendiente en cada punto del plano donde f est´a definida; es decir, proporciona la direcci´on que una curva soluci´on de la ecuaci´on debe tener en cada punto. La gr´afica de una soluci´on, llamada aqu´ı curva soluci´on, recibe tambi´en el nombre de curva integral. La representaci´on gr´afica de las direcciones asociadas con varios puntos del plano se llama campo de direcciones de la ecuaci´on diferencial. Puesto que el campo de direcciones proporciona el “flujo de soluciones”, facilita el trazado de cualquier curva soluci´on particular (tal como la curva soluci´on de un problema de valor inicial).
Una manera sistem´atica de construir el campo de direcciones de la ecuaci´on (13) consiste en determinar primero todos los puntos del plano que est´an asociados a la misma pendiente c; esto es todos los puntos donde f (x, y) = c. Dicho lugar geom´etrico se denomina isoclina para la pendiente c.
Una vez que se han determinado las isoclinas, a lo largo de ellas (en la pr´actica s´olo unas cuantas) se dibujan peque˜ nos segmentos con pendiente igual al valor correspondiente de c. Este procedimiento se llama m´etodo de las isoclinas.
Ejemplo dy Para la ecuaci´on dx = x°y, las isoclinas son las rectas x°y = c. En la Figura 7.1 se han trazado seis isoclinas y los correspondientes segmentos con la pendiente apropiada a lo largo de cada una de ellas. Se muestran unos cuantos segmentos m´as que junto con los anteriores proporcionan, con un buen grado de refinamiento, el campo de direcciones de la ecuaci´on. Para c = 0 se obtiene la isoclina y = x. Esta recta divide el plano en dos partes en cada una de las cuales la derivada y 0 tiene un mismo signo. Las gr´aficas de las soluciones, cort´andose con la recta y = x pasan de la regi´on de decrecimiento estricto de la funci´on y a la regi´on de crecimiento estricto de la misma y viceversa. Por tanto, en esta recta se encuentran los puntos de m´ınimo relativo de las soluciones (de hecho de m´ınimo absoluto). En la Figura 7.2 se incorporan al campo de direcciones algunas soluciones, concretamente las que verifican las condiciones y(0) = °3, °2, °1, 0, 1, 2.
Observemos que y 00 = 1 ° y 0 = 1 ° x + y. La recta y = x ° 1 en la que y 00 = 0 es la isoclina para la pendiente 1 y a la vez es soluci´on de la ecuaci´on. Esta recta divide el plano en dos partes, en una de las cuales (la que est´a situada sobre la recta) y 00 > 0, y por lo tanto, aparecen las gr´aficas de las soluciones convexas, y en la otra, y 00 < 0, aparecen las gr´aficas de las soluciones c´oncavas.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.2. Soluciones y problemas de valores iniciales 6 Y 3 2 1 3 2 1 1 2 3 X 1 2 3 Figura 7.1: Isoclinas para las pendientes -2.03, -1.2, 0, 1, 2.1, 2.93, dy y campo de direcciones de dx = x ° y.
Y 3 2 1 3 2 1 1 2 3 X 1 2 3 Figura 7.2: Campo de direcciones y algunas soluciones de dy dx Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara = x ° y.
7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 7.3.
7 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden En t´erminos generales, es muy dif´ıcil resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Incluso la sencilla ecuaci´on dy = f (x, y) dx no puede resolverse, en general, en el sentido de que no existen f´ormulas para obtener su soluci´on en todos los casos. Por otra parte, hay ciertos tipos can´onicos de ecuaciones de primer orden para las cuales s´ı se dispone de m´etodos rutinarios de resoluci´on. En esta secci´on discutimos brevemente algunos de los tipos frecuentes en las aplicaciones.
Ecuaciones separables El m´as simple de los tipos can´onicos es aquel en que las variables son separables. Son aquellas ecuaciones diferenciales que se pueden escribir en la forma dy = g(x)h(y), dx (14) donde el miembro de la derecha es producto de dos funciones cada una dependiente de s´olo una de las variables. En primer lugar, si r es ra´ız de la funci´on h (o sea h(r) = 0), entonces y = r es soluci´on de la ecuaci´on (14). Por lo tanto, la ecuaci´on (14) posee las ra´ıces de h como soluciones constantes.
En las zonas del plano delimitadas por estas soluciones constantes, o sea, para los (x, y) 2 R2 tales que y no es ra´ız de h, es posible dividir por h(y) dejando la ecuaci´on en la forma 1 dy = g(x).
h(y) dx (15) Si H(y) y G(x) son primitivas de 1/h(y) y g(x), respectivamente, esto es, H 0 (y) = 1/h(y), G0 (x) = g(x), la ecuaci´on (15) se convierte en H 0 (y) dy = G0 (x).
dx (16) Sea ahora y(x) una soluci´on de la ecuaci´on (16). Recordando la regla de la cadena, se tiene d d H(y(x)) = G(x).
dx dx En otras palabras, H(y(x)) y G(x) son dos funciones de x que tienen la misma derivada; por consiguiente, deben diferir en una constante. Es decir, H(y(x)) = G(x) + C, lo cual define la soluci´on y(x) impl´ıcitamente.
Observemos que esencialmente, el procedimiento es el siguiente: para resolver la ecuaci´on 1 dy = g(x), h(y) dx se “multiplica por dx” para obtener 1 dy = g(x) dx, h(y) Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara (17) 7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y luego se integran ambos miembros Z 1 dy = h(y) Z 8 g(x) dx + K, es decir, H(y) = G(x) + C.
La u ´ltima ecuaci´on es la soluci´on impl´ıcita obtenida en (17).
Ejemplo La ecuaci´on xy 0 + y = y 2 es separable ya que puede escribirse en la forma y0 1 = y(y ° 1) x (18) con tal que y(y ° 1) 6= 0 y x 6= 0. Las funciones y = 0 e y = 1 son soluciones de xy 0 + y = y 2 . Las restantes soluciones, si existen, satisfacen (18) y, por tanto, tambi´en satisfacen Z Z 1 1 dy = dx + K y(y ° 1) x para un cierto valor de la constante K. Puesto que el integrando del primer miembro puede escribirse como 1/(y ° 1) ° 1/y, cuando integramos, encontramos que ln |y ° 1| ° ln |y| = ln |x| + K.
Esto nos da |(y ° 1)/y| = |x|eK , o bien (y ° 1)/y = Cx para un cierto valor de C(6= 0). Despejando y, obtenemos la f´ormula expl´ıcita y = 1/(1 ° Cx). Si en ella permitimos que C tome el valor 0, obtenemos la soluci´on constante y = 1. Por consiguiente hemos determinado todas las soluciones: la funci´on constante y = 0 y todas las funciones definidas por 1 , C 2 R.
1 ° Cx y= Ecuaciones exactas La ecuaci´on diferencial de primer orden dy = f (x, y) dx tambi´en puede expresarse en la “forma diferencial” As´ı, la ecuaci´on puede expresarse como M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.
(19) dy 3x2 ° y = dx x°1 (20) (y ° 3x2 )dx + (x ° 1)dy = 0, Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 9 donde M (x, y) = y ° 3x2 y N (x, y) = x ° 1. Hay otras maneras de expresar la ecuaci´on (20) en forma diferencial, por ejemplo µ ∂ y ° 3x2 dx + dy = 0.
x°1 Para resolver la ecuaci´on (19) es u ´til saber si el primer miembro es una diferencial total . La diferencial total dF (x, y) de una funci´on F (x, y) de dos variables se define mediante dF (x, y) = @F @F (x, y)dx + (x, y)dy, @x @y donde dx y dy son incrementos arbitrarios.
Definici´ on 7.3.1 Se dice que la forma diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy es exacta en un rect´ angulo R = {(x, y) 2 R2 : a < x < b, c < y < d}, si existe una funci´on F (x, y) tal que @F @F (x, y) = M (x, y) y (x, y) = N (x, y) (21) @x @y para todo (x, y) 2 R. Esto es, la diferencial total de F (x, y) satisface dF (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy.
Si M (x, y)dx + N (x, y)dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuaci´ on M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 se llama ecuaci´ on exacta.
Por ejemplo, la ecuaci´on ydx + xdy = 0 es exacta, ya que d(xy) = ydx + xdy es la diferencial total de F (x, y) = xy.
La resoluci´on de las ecuaciones exactas es una cuesti´on sencilla una vez que se obtiene la funci´on F (x, y) que satisface las condiciones (21). Si se considera a y como una funci´on de x en d cierto intervalo I, la ecuaci´on dF (x, y) = 0 es equivalente a dx F (x, y(x)) = 0 para x 2 I. Por consiguiente, F (x, y(x)) = C. Es decir, las soluciones de dF (x, y) = 0 est´an dadas impl´ıcitamente por F (x, y) = C.
A veces una reagrupaci´on de los t´erminos facilita el reconocimiento de una funci´on F (x, y) cuya diferencial total es M (x, y)dx + N (x, y)dy. En otras ocasiones podr´ıa no ser sencillo determinar F (x, y) mediante inspecci´on. El siguiente teorema proporciona un criterio para determinar si una ecuaci´on es exacta.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 10 Teorema 7.3.1 Supongamos que las derivadas parciales de M (x, y) y N (x, y) son continuas en un rect´ angulo R = {(x, y) 2 R2 : a < x < b, c < y < d}. Entonces M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una ecuaci´ on exacta en R si, y s´olo si, @M @N (x, y) = (x, y) @y @x para todo (x, y) 2 R.
Emplearemos el siguiente m´ etodo para resolver ecuaciones exactas: (a) Si M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es exacta entonces @F (x, y) = M (x, y). Se integra esta u ´ltima @x ecuaci´on con respecto a x para obtener Z F (x, y) = M (x, y) dx + g(y).
(22) (b) Para determinar g(y) se deriva parcialmente con respecto a y en ambos lados de la ecuaci´on (22) y se sustituye N (x, y) por @F (x, y). Se despeja g 0 (y).
@y (c) Se integra g 0 (y) para obtener g(y), prescindiendo de la constante num´erica. Sustituyendo g(y) en la ecuaci´on (22) resulta F (x, y).
(d) La soluci´on de M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 est´a dada impl´ıcitamente por F (x, y) = C.
Nota En la construcci´on de F (x, y) se puede integrar primero N (x, y) con respecto a y para obtener Z F (x, y) = N (x, y) dy + h(x).
(23) y luego continuar para encontrar h(x). Si una de las integrales que aparecen en (22) y (23) es m´as f´acil de calcular que la otra, esa ser´a una raz´on suficiente para escoger el m´etodo de resoluci´on.
Ejemplo Consideremos la ecuaci´on ey dx + (xey + 2y)dy = 0. Se tiene que M (x, y) = ey y N (x, y) = xey + 2y, luego @M @N (x, y) = ey = (x, y).
@y @x Por tanto, la ecuaci´on es exacta. Eso quiere decir que existe una funci´on F (x, y) para la que @F (x, y) = ey @x y @F (x, y) = xey + 2y.
@y Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 11 Integrando la primera de estas ecuaciones respecto de x vemos que Z F (x, y) = ey dx + g(y) = xey + g(y), de manera que @F (x, y) = xey + g 0 (y).
@y Como esta derivada parcial ha de ser igual a xey +2y, deducimos g 0 (y) = 2y, de modo que g(y) = y 2 y F (x, y) = xey + y 2 . La soluci´on de la ecuaci´on est´a dada impl´ıcitamente por xey + y 2 = C.
Factores integrantes La ecuaci´on ydx + (x2 y ° x)dy = 0 (24) no es exacta, porque @M (x, y) = 1 y @N (x, y) = 2xy ° 1. No obstante, si la multiplicamos por el @y @x 2 factor 1/x , la ecuaci´on se convierte en µ ∂ y 1 dx + y ° dy = 0, x2 x que ya es exacta.
Definici´ on 7.3.2 Si la ecuaci´ on (19) no es exacta, pero la ecuaci´ on µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 que resulta de multiplicar la ecuaci´ on (19) por la funci´on µ(x, y) es exacta, entonces µ(x, y) se llama factor integrante de la ecuaci´ on (19).
¿C´omo hallar factores integrantes en la pr´actica? En general es muy dif´ıcil. En algunos casos, sin embargo, se dispone de m´etodos directos. Para ver c´omo surgen ´estos, consideremos la condici´on de que µ sea un factor integrante para (19): @(µM ) @(µN ) = .
@y @x Desarrollando esa igualdad resulta µ @M @µ @N @µ +M =µ +N , @y @y @x @x o sea, @µ @µ M °N = @y @x µ @N @M ° @x @y ∂ µ.
(25) Con ello hemos “reducido” el problema de resolver la ecuaci´on diferencial ordinaria (19) al mucho m´as duro de resolver la ecuaci´on diferencial en derivadas parciales (25). Ahora bien, no necesitamos la soluci´on general de (25) sino que cualquier soluci´on particular servir´a a nuestros prop´ositos. Y desde este punto de vista, (25) es m´as u ´til de lo que parece. Supongamos, por ejemplo, que (19) Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 12 tiene un factor integrante µ que es s´olo funci´on de x. Entonces @µ/@x = dµ/dx y @µ/@y = 0, luego (25) se puede escribir en la forma µ ∂ dµ @M @N N = ° µ, dx @y @x que tiene sentido cuando @M/@y ° @N/@x N g= depende s´olo de x. En ese caso, es (26) 1 dµ =g µ dx que tiene como soluci´on, entre otras, µ(x) = e R g(x) dx .
(27) Este razonamiento es obviamente reversible: si la expresi´on (26) es s´olo funci´on de x, entonces (27) proporciona una funci´on µ que depende s´olo de x y satisface (25), de manera que se trata de un factor integrante para (19).
Ejemplo En el caso de la ecuaci´on (24) tenemos @M (x, y) @y ° @N (x, y) @x N (x, y) 1 ° (2xy ° 1) °2(xy ° 1) 2 = =° , 2 x y°x x(xy ° 1) x = que es s´olo funci´on de x. Por consiguiente, R µ(x) = e °(2/x) dx = e°2 ln |x| = 1 x2 es un factor integrante para (24), como ya hab´ıamos visto.
Razonamientos an´alogos proporcionan el siguiente procedimiento paralelo, aplicable cuando (19) tiene un factor integrante que s´olo depende de y: si h= es s´olo funci´on de y, entonces @N/@x ° @M/@y M R µ(y) = e es un factor integrante para (19).
h(y) dy Ecuaciones lineales El tipo m´as importante de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es el de las ecuaciones lineales, es decir, aquellas que pueden expresarse en la forma a1 (x) dy + a0 (x)y = b(x), dx Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara (28) 7.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 13 donde a1 (x), a0 (x) y b(x) dependen s´olo de x y son funciones continuas en un intervalo I de R.
Supondremos adem´as que a1 (x) 6= 0 para todo x 2 I. Dividiendo por a1 (x) se puede reescribir la ecuaci´on (28) en la forma can´onica (o forma est´andar) dy + P (x)y = Q(x), dx donde P (x) y Q(x) son funciones continuas en el intervalo I.
Expresemos la ecuaci´on (29) en la forma diferencial (29) [P (x)y ° Q(x)] dx + dy = 0.
(30) La ecuaci´on (30) es exacta solamente cuando P = 0. No obstante, puede obtenerse f´acilmente un factor integrante µ, que depende s´olo de x, para la ecuaci´on (30). Se tiene M (x, y) = P (x)y ° Q(x) y N = 1, luego @M/@y ° @N/@x =P N y entonces R µ(x) = e P (x) dx (31) es el factor integrante deseado.
Regresando a la ecuaci´on (29), se multiplica por µ(x) definida en (31) para obtener µ(x) dy + P (x)µ(x)y = µ(x)Q(x), dx (32) que se puede escribir en la forma µ(x) dy dµ + y = µ(x)Q(x), dx dx es decir, d (µ(x)y) = µ(x)Q(x).
dx Integrando (33) con respecto a x, resulta Z µ(x)y = µ(x)Q(x) dx + C, y despejando y se obtiene °1 y = µ(x) µZ (33) ∂ µ(x)Q(x) dx + C , es decir, si Æ(x) es una primitiva cualquiera de P (x), µZ ∂ °Æ(x) Æ(x) y=e e Q(x) dx + C .
(34) La expresi´on (34) es la soluci´ on general de la ecuaci´on (29).
Teorema 7.3.2 Supongamos que P (x) y Q(x) son funciones continuas en un intervalo (a, b) que contiene al punto x0 . Entonces, para cualquier elecci´ on del valor inicial y0 existe una soluci´on u ´nica y(x) en (a, b) del problema de valor inicial dy + P (x)y = Q(x), y(x0 ) = y0 .
dx La soluci´on est´a dada por (34) para un valor apropiado de C.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.4. Ejercicios 14 Ejemplo La ecuaci´on dy 1 + y = 3x dx x es evidentemente lineal con P (x) = 1/x, x 2 (0, +1), de modo que una primitiva de P (x) es ln x y µ(x) = eln x = x. Multiplicando ambos miembros por x se llega a d (xy) = 3x2 , dx as´ı que xy = x3 + C o bien y = x2 + C .
x Esta soluci´on es v´alida en (0, +1).
7.4.
Ejercicios 1. Usando el m´etodo de las isoclinas, dibuja varias curvas soluci´on, incluida la curva que satisfaga la condici´on inicial dada: (1) dy = 2x, y(0) = °1, dx (4) dy = sen(x + y), y(0) = 0, dx (2) dy = x + y, y(0) = 1, dx (5) dy = y(2 ° y), y(0) = 3, dx (3) dy = x2 ° y 2 , y(0) = 0, dx (6) dy y°x = , y(0) = 1.
dx y+x Ecuaciones separables 2. Resuelve las siguientes ecuaciones: (1) (1 + x)y 0 = x, (2) y 0 = x2 ° 1 , y2 (3) xyy 0 = y ° 1, (4) xy 0 = (1 ° 2x2 ) tg y, (5) (x + 1)y 0 + y 2 = 0, (6) yy 0 = ex+2y sen x.
3. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial: (1) y 0 = 8x3 e°2y , y(1) = 0, (4) (1 + ex )yy 0 = ex , y(0) = 1, (2) y 0 = y sen x, y(º) = °3, (5) y 0 = (1 + y 2 ) tg x, y(0) = p (3) y 0 = 2 y + 1 cos x, y(º) = 0, p 3, (6) y 0 sen x = y ln y, y(º/2) = e.
Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara 7.4. Ejercicios 15 Ecuaciones exactas. Factores integrantes 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: ydx + xdy + xdx = 0, 1 ° x2 y 2 (1) et (y ° t)dt + (1 + et )dy = 0, (4) (2) (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0, (5) (x + 2) sen y dx + x cos y dy = 0, (3) (xy ° 1)dx + (x2 ° xy)dy = 0, (6) 2xy ln y dx + (x2 + y 2 p y 2 + 1)dy = 0.
5. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial: (1) (ex y + 1)dx + (ex ° 1)dy = 0, y(1) = 1, (4) (x + y 2 )dx ° 2yxdy = 0, y(1) = 1, (2) (1/x + 2y 2 x)dx + (2yx2 ° cos y)dy = 0, y(1) = º, (5) (x2 + y)dx ° xdy = 0, y(°2) = 1, (3) (yexy ° 1/y)dx + (xexy + x/y 2 )dy = 0, y(0) = 1, (6) 2xdx (y 2 ° 3x2 )dy + = 0, y(1) = 1.
y3 y4 Ecuaciones lineales 6. Resuelve las siguientes ecuaciones: (1) dy = x2 e°4x ° 4y, dx (4) (y ° 2xy ° x2 )dx + x2 dy = 0, (2) y ° x + xy cotg x + xy 0 = 0, (5) x ln x 2 (3) x(x + 1)y 0 + y = x(x + 1)2 e°x , dy ° y = x3 (3 ln x ° 1), dx (6) y 0 + y = 1 .
1 + e2x 7. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial: (1) y 0 + y cos x = sen x cos x, y(0) = 1, (2) dy y ° = xex , y(1) = e ° 1, dx x 0 (3) y ° y tg x = sec x, y(0) = 0, (4) dy + 4y ° e°x = 0, y(0) = 4/3, dx (5) y 0 + 1 y = sen x, y(º/2) = 1, x+1 p dy °15 2 º 2 2 (6) cos x + y sen x = 2x cos x, y(º/4) = .
dx 32 Miscel´ anea 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: p p (1) ex dx + (ex cotg y + 2y cosec y)dy = 0, (4) 2x(1 + (2) (2xy 3 + 1)dx + (3x2 y 2 ° y °1 )dy = 0, (5) (2y ° x3 )dx = xdy, (3) 3ex tg y dx + (2 ° ex ) sec2 y dy = 0, (6) y 0 + y cotg x = 2x cosec x.
x2 ° y)dx = Universidad Europea Miguel de Cervantes Prof.: Juan Carlos Gonz´ alez Vara x2 ° y dy, ...

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