Problemas de Sistemas de Ecuaciones Lineales (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Álgebra lineal
Año del apunte 2014
Páginas 6
Fecha de subida 17/05/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Sistemes d’equacions lineals P 1 Estudieu i resoleu els seg¨ uents sistemes d’equacions  x + 2y + 2z − t = 1  x + 2y − z + 3t = −3      2y + 3z + t = 0  2x + 3y + z − 2t = 5  2x + 6y + 7z − t = 2  −x − 5z + 13t = −19     −2x + 2z + 4t = −2  8x + 13y + z = 9  x + 2y + z + t = 1       −x + y + 2z + t = 0   x − y − z + 2t = 6      −x + y + 3z + 4t = 6  x + 2y − z + 2t 2x − y + z − t x − y + 2z + t 7y − 3z + 9t x + 6y − z + 10t                 =2        =1    =0     =4      =4   x+y+z =3       2x − y + z = 1   x + 2y + z − t = 4       2x − y + z + 2t = −1   4x + 2y − z = 0      x + 5z = 10   −x + 2y + z − 3t = 0      10x − 3y + 3z + 10t = 7    x−y+z =4    2x + y − 3z = 1    7x − y − 3z = 14    3x − y + 2z = 1    2x + y − 3z = −1    −5x − 5y + 14z = 2    x − 2y + z − t = 1    2x + y + 3z = 2    −x + 3y − z + 4t = −1  P 2 Estudieu segons els valors del par` ametre m els seg¨ uents sistemes d’equacions   2    3x + (m − 2) y + (m + 4) z = 0    2x + 3y + (m + 3) z = m  (m + 2) x + 3y + (2m + 3) z = (m − 2) x + (m + 1) y + (m − 1) z + (2m − 2) t = 1 −x + (m + 1) y + (m − 1) t = m −x + y + (m − 2) z − t = 1               −3x + 2y + (m − 2) z + (m − 3) t = 2m − 1  1 P 3 Estudieu els seg¨ uents sistemes d’equacions lineals  (m − 2) x + (m + 1) y + (m − 1) z = 2m − 2        −x + y + (m − 2) z = −1  −x + (m + 1) y = m − 1      −3x + 2y + (m − 2) z = m − 3    (m + 2) x + (m + 1) y + mz + mt = 3m + 4       x + (m − 1) y + (1 − m) t = m   −x + my + (m − 1) z − t = −1     3x + y + z + (m + 1) t = 4m + 3  Resoleu el 2n. sistema per m = 1.
P 4 Discutiu el seg¨ uent sistema segons els valors de m i n  (m − 1) x + y − 2z = 0       (1 − m) x + (m − 1) y + z = 0   (m − 1) x + y + mz = 0      (m − 1) x + (m + 1) y + (m − 1) z = n  Resoleu-lo per m = −2 i n = 0 P 5 Estudieu el seg¨ uent sistema segons els valors de a i b ∈ Z+   ax + 2z = 2    5x + 2y = 1    x − 2y + bz = 3  2 .
P 6 Estudieu els seg¨ uents sistemes segons els valors de a i b   1    x + ay + abz = a    2 2 2 bx + a y + a bz = a b  x + ay + a2 z =   ax + by + z = 1    x + aby + z = b    x + by + az = 1  P 7 Estudieu els seg¨ uents sistemes segons el valor del par` ametre m (1 + 2m) x + (2 + 2m) y + z + (1 + m) t = 5+m 3mx + (3m + 1) y + z + 2mt = 2−m (1 + m) x + (m + 5) y + 3z + t =         10       (2 − m) x + (6 − m) y + 3z + (2 − m) t = 13 + 4m  x + (2 + 2m) y + (3 + 4m) z + (m + 1) t + (m + 1) u = 1 (2 − m) x + (2 − m) y + (3 − 3m) z + (1 − m) t + (m + 2) u = 3 (4 + 5m) x + (3 + 6m) y + (5 + 4m) z + (m + 2) t + (1 − m) u = 4               (4 − 3m) x + (6 + m) y + (9 + 2m) z + 3t + mu = m + 1    2x + 6y + (m + 7) z + 7t = 3      (m − 1) x + (2m − 5) y + (m − 6) z + (3m − 5) t = −2   2x + (m + 1) y + 2mz + (m + 3) t = 1 + m      x + 5y + (m + 6) z + 5t = 2 − m  Resoldre’l per m = 0   m−1    .
mx + (2m − 1) y + (m + 1) z = m + 2    (m − 1) x + (m + 1) y + mz = 2m − 1  (2m − 1) x + (m + 1) y + 2mz = 3 P 8 Discutiu i resoleu a C segons els valors de m m2 x +y+z = x + m2 y + z = x+y+ m2 z      3 4−m = 2+     m2 P 9 Estudieu el sistema segons els valors de m   mx1 + x2 + · · · + xn = m      x1 + mx2 + · · · + xn = m  ··· x1 + x2 + · · · + mxn = m P 10 Discutiu i resoleu a Z (5)        el sistema   x + 2y + 3z = m    2x + 3y + 4z = 2    3x + 4y + z = 1  P 11 Discutiu segons els valors de a, b, c, d el seg¨ uent sistema  x + 2y + 3z + 4t = a       2x + 3y + 4z + t = b   3x + 4y + z + 3t = c      4x + y + 2z + 3t = d  en els casos K = Q, K = Z, K = Z (5) P 12 Discutiu en funci´ o del par` ametre m el seg¨ uent sistema:  mx + y + z + t = 0       x + my + z + t = 0  .
 x + y + mz + t = 0      x + y + z + mt = 0  Resoleu-lo quan sigui possible.
P 13 Resoleu el seg¨ uent sistema: x1 − a1 m1 = x2 − a2 m2  xn − an   = ··· =    mn     p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn = b  4 P 14 Es consideren els sistemes    bz − cy =      bz−cy =   l cx − az = m (S)     ay − bx = n S l cx−az = m     ay−bx= n a, b, c = 0 a ,b ,c = 0 i) Busqueu una condici´ o perqu`e el sistema (S) tingui soluci´ o.
ii) Suposant que aquesta condici´ o es compleix i que x0 , y0 , z0 ´es una soluci´ o, demostreu que qualsevol altra soluci´ o ´es de la forma x = x0 + λa, y = y0 + λb, z = z0 + λc, λ ∈ R arbitrari.
iii) Existeix alguna condici´ o perqu`e (S) i (S ) tinguin una soluci´ o comuna ?.
P 15 Resoleu el sistema al conjunt C.
l − bz + cy a = m − cx + az b = n − ay + bx c (Utilitzeu una inc` ognita auxiliar).
P 16 Siguin a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, a, b, c, d ∈ R . Demostreu que el seg¨ uent sistema ´es incompatible.
        x+y+z+t= a x−y−z+t= b   x + y − z − t = −c      3x − y + 3z + 7t = −d P 17 Discutiu segons els valors de a i c, i resoleu-lo quan sigui compatible, el sistema:   x + 4y + z = c    3x − y + 2z = 1    2x − 5y + az = −2  P 18 Una persona desitja seguir una dieta basada en tres tipus de menjar, M1 , M2 , M3 . Les quantitats respectives en grams de prote¨ınes, hidrats de carboni i greix per kg. de menjar de cada s´ on els donats en la taula seg¨ uent: Prote¨ınes Hidrats Greix M1 5 3 4 M2 2 2 1 M3 3 1 4 5 Es demana: a) De quina quantitat de prote¨ınes, hidrats i greix disposarem si comprem 3 kg de M1 , 4 kg de M2 i 5 kg de M3 . ? b) Quina quantitat de cada hem de comprar per obtenir 60 g de prote¨ınes, 36 d’hidrats i 50 de greix ? P 19 Estudia el seg¨ uent sistema segons els valors del par` ametre m    mx + y + z = 1   y+z =0     2x + my + z = m Resoleu el sistema en el cas que hi hagi soluci´ ou ´nica 6 ...