Parcial Primavera 2013 (2013)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Telemática - 2º curso
Asignatura PPEE
Año del apunte 2013
Páginas 4
Fecha de subida 02/12/2014
Descargas 2
Subido por

Vista previa del texto

ETSETB PPEE Probabilitat i Variables Aleat` ories Resoluci´ o del Control del Grup 20 17 d’Abril del 2013 1. Una caixa cont´e 10 resist`encies de les quals 4 s´on defectuoses. Prenem 6 resist`encies a l’atzar per muntar un dispositiu.
(a) Quina ´es la probabilitat que n’haguem triat tres de defectuoses.
(b) Prenem una resist`encia de les sis que hem triat i resulta ser defectuosa. Quina ´es la probabilitat que n’hi hagi 3 de defectuoses entre les sis.
(c) Si nom´es una de les sis resist`encies ´es defectuosa, la probabilitat que el dispositiu falli ´es de 0.3, mentre que si n’hi ha m´es d’una, la probabilitat que falli ´es 0.6.
Si el dispositiu ha fallat, quina ´es la probabilitat que nom´es hi hagu´es una resist`encia defectuosa.
Resoluci´ o: Hi ha 10 6 mostres en total, totes amb la mateixa probabilitat.
(a) Diem A al succ´es la mostra t´e tres resist`encies defectuoses.
Hem de triar 3 de les 4 resist`encies defectuoses, que es pot fer de i per a cada elecci´o n’hi ha 63 per completar la mostra. D’on P (A) = 4 3 6 3 10 6 = 4 3 maneres, 4 · 20 ≈ 0.38.
210 (b) Diem B el succ´es la mostra t´e almenys una resist`encia defectuosa.
Volem calcular la probabilitat condicionada, P (A|B) = P (A ∩ B) P (A) = .
P (B) P (B) La probabilitat de A ´es la de l’apartat anterior, i la de B es pot calcular com ¯ =1− P (B) = 1 − P (B) 1 6 6 10 6 = 209 ≈ 0.995.
210 D’on P (A|B) ≈ 0.383.
(c) Considerem els successos seg¨ uents.
F ={el dispositiu falla}.
R={a la mostra t´e exactament una resist`encia defectuosa}.
S={la mostra t´e m´es d’una resist`encia defectuosa.
Per calcular P (R|F ) fem servir la f´ormula de Bayes, P (R|F ) = P (F |R)P (R) .
P (F ) De l’enunciat, P (F |R) = 0.3. Calculem P (R) i P (F ).
P (R) = 4 1 6 5 10 6 = 4·6 ≈ 0.11.
210 Per calcular P (F ) fem servir la f´ormula de les probabilitats totals, P (F ) = P (F |R)P (R) + P (F |S)P (S).
De l’enunciat, P (F |S) = 0.6. Calculem P (S) com ¯ = 1 − ( 24 + 1 ) = 185 ≈ 0.885.
P (S) = 1 − P (R) − P (B) 210 210 210 D’on, P (F ) ≈ 0.3 24 185 1182 + 0.6 = ≈ 0.563.
210 210 2100 Per tant, P (R|F ) ≈ 72 ≈ 0.06.
1182 2. Una variable aleat`oria X segueix una distribuci´o de probabilitat donada per P (X = −1) = 1/4, P (X = 1) = 1/2, P (X = 2) = 1/4.
(a) Calculeu el valor mitj`a i la variancia de X.
(b) Sigui Y = 3X + 1. Doneu la funci´o de probabilitat de Y .
(c) Calculeu el valor mitj`a i la variancia de Y .
2 Resoluci´ o: (a) E(X) = (−1)(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4) = 3/4.
V ar(X) = E(X − E(X))2 = E(X 2 ) − (E(X))2 = (−1)2 (1/4) + 1(1/2) + 4(1/4) − 9/16 = 7/4 − 9/16 = 19/16.
(b) La funci´o de probabilitat de Y ´es P (Y = −2) = P (X = 1) = 1/4, P (Y = 4) = P (X = 1) = 1/2, P (Y = 7) = P (X = 2) = 1/4.
(c) Com que Y s’obt´e de X per una transformaci´o lineal, tenim E(Y ) = E(3X + 1) = 3E(X) + 1 = 13/4.
V ar(Y ) = V ar(3X + 1) = 9V ar(X) = 171/16.
3. El temps d’espera T (en minuts) per l’arribada d’un tren a l’estaci´o de Sants respecte l’hora prevista segueix una llei de probabilitat amb funci´o de densitat  0, t<0    c, 0≤t<2 fT (t) = ce2−t , 2 ≤ t ≤ 10    0, t > 10 (a) Trobeu el valor de c i representeu la funci´o de distribuci´o FT .
(b) Que ´es m´es probable, que el tren arribi abans d’un minut o que hagem d’esperar m´es de cinc minuts? (c) Calculeu el valor mitj`a del temps d’espera.
Resoluci´ o: 3 (a) Calculem FT (t) = P (T ≤ t) = t −∞ fT (t)dt,     0, t<0 ct, 0≤t<2 FT (t) = c(3 − e2−t ), 2 ≤ t ≤ 10    1, t > 10 Com que FT (10) = c(3 − e−8 ) = 1, obtenim c= 1 .
3 − e−8 (b) Fent servir la funci´o de distribuci´o obtenim, P (T ≤ 1) = FT (1) = c = e−3 − e−8 3 − e−3 = .
3 − e−8 3 − e−8 P (T > 5) = 1 − FT (5) = 1 − Com que e−3 − e−8 = e5 −1 e8 1 .
3 − e−8 < 1, dedu¨ım que P (T > 5) < P (T ≤ 1).
(c) 10 2 0 R t(ce2−t )dt tcdt + tfT (t)dt = E(T ) = 2 = 2c + c(3 − 11e−8 ) = c(5 − 11e−8 ) 5 − 11e−8 = .
3 − e−8 4 ...