Examen Parcial Otoño 2010 (5) (2010)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 1º curso
Asignatura Calculo
Año del apunte 2010
Páginas 2
Fecha de subida 12/11/2014
Descargas 1
Subido por

Vista previa del texto

ETSE de Telecomunicaci´o de Barcelona primera equaci´o. Per tant, 3j i −3j s´on arrels de p(x): C` alcul – grup 70. Examen parcial (60 minuts) – Versi´ o #4 1 15/10/2010 3j 1 1. Ajusta el valor de λ perqu`e la successi´o de terme general: n2 + λn n2 + 2n an = −3j λn 1 tingui l´ımit igual a e3 .
3 punts Soluci´o: ´ una indeterminaci´o del tipus 1∞ . El l´ımit ser`a, per tant, eα , on: Es α = l´ım λn n2 + λn −1 n2 + 2n λn − 2n n2 + 2n = l´ım λn 11 18 18 3j 6j − 9 −18 + 6j −18 2 + 3j 2 + 6j 6j 0 −3j −6j −6j 2 2 0 Les dues arrels que falten surten de resoldre l’equaci´o x2 + 2x + 2 = 0: √ −2 ± 4 − 8 −2 ± 2j x= = = −1 ± j.
2 2 La factoritzaci´o en C ser`a: λ (λ − 2) n2 = λ (λ − 2) .
= l´ım n2 + 2n Perqu`e el l´ımit sigui e3 cal: λ (λ − 2) = 3 2 p(x) = (x − 3j) (x + 3j) (x − (−1 + j)) (x − (−1 − j)) .
Per trobar la factoritzaci´o en R nom´es cal multiplicar binomis que continguin arrels λ2 − 2λ − 3 = 0 ⇒ ⇒ λ=3 o λ = −1.
complexes conjugades: (x − 3j) (x + 3j) = x2 + 9, (x − (−1 + j)) (x − (−1 − j)) = x2 + 2x + 2.
2. Factoritza, en R i en C, el seg¨ uent polinomi, sabent que una de les seves arrels ´es Aleshores, en R: p(x) = x2 + 9 imagin`aria pura: x2 + 2x + 2 .
p(x) = x4 + 2x3 + 11x2 + 18x + 18.
3 punts 3. Troba el domini m`axim de la seg¨ uent funci´ o: Soluci´o: Sigui aj, amb a ∈ R, l’arrel imagin` aria pura de p(x). Aleshores es verificar` a p(aj) = 0, x2 − 9 √ 9 −x f (x ) = ln ´es a dir: 4 3 4 2 ⇒ a4 − 11a2 + 18 + −2a3 + 18a j = 0.
3 Aleshores cal a − 11a + 18 = 0 i −2a + 18a = 0. De la segona equaci´o se segueix 2 4 punts 2 (aj) + 2 (aj) + 11 (aj) + 18 (aj) + 18 = 0 a4 − 2a3 j − 11a2 + 18aj + 18 = 0 .
(a = 0 no ´es soluci´o) que a = 9, ´es a dir, a = ±3, valors de a que verifiquen la Soluci´o: Perqu`e es pugui calcular el logaritme cal: x2 − 9 √ >0 9−x ⇒ x2 − 9 > 0.
En aquest pas s’ha tingut en compte que √ 9 − x ´es una quantitat no negativa i, per tant, en multiplicar la inquaci´ o anterior per ella, el signe de desigualtat no es capgira. L’expressi´ o x2 − 9 ´es positiva en el conjunt: x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞) .
(1) A m´es, cal 9 − x > 0 perqu`e es pugui calcular l’arrel quadrada. (Quan 9 − x = 0 es pot calcular l’arrel per` o es provoca una divisi´ o per zero; per aix`o la desigualtat ´es estricta.) Aix`o ´es: x ∈ (−∞, 9) .
La intersecci´o dels conjunts (1) i (2) d´ ona el domini m`axim: x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, 9) .
(2) ...