Examen Final Primavera 2012 (2014)

Examen Español
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación - 2º curso
Asignatura Introducción al Procesado de Señales Audiovisuales
Año del apunte 2014
Páginas 4
Fecha de subida 08/04/2015
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Introducció al Processament de Senyals Àudio-visuals Data d’examen: 25 de juny de 2012 DEPARTAMENT DE TEORIA DEL SENYAL I COMUNICACIONS Data notes provisionals: 29 de Juny de 2012 Data màxima al·legacions: 2 de Juliol de 2012 Data notes definitives: 3 de Juliol de 2012 Professors: J. Mariño, E. Monte, J. Ruiz, P. Salembier Temps: 2 h 30 min • • • El vostre nom ha de figurar en tots els fulls que utilitzeu, en format: COGNOMS, NOM.
Justifiqueu tots els resultats. Els resultats sense justificació no seran valorats en la correcció.
No podeu utilitzar llibres, apunts, taules, formularis o telèfon mòbil.
PB. 1 2 Puntos En este ejercicio se pretende analizar una señal de música con una ancho de banda de 10kHz mediante un sistema discreto que opera a una frecuencia de muestreo de fm=20kHz basado en la STFT con una ventana triangular. Responda a las siguientes preguntas: a) Si expresamos la ventana triangular de L muestras tL[n] como la convolución de dos ventanas rectangulares de N muestras tL[n] = rN[n]*rN[n]. ¿Cuál es la relación entre la longitud de la ventana triangular L y la longitud de la ventana rectangular N? b) Dibuje aproximadamente el módulo de la transformada de Fourier de la ventana triangular de L muestras TL(F) indicando claramente el valor en F=0 y la posición de los ceros.
c) ¿Cuál es el ancho del lóbulo principal de la ventana triangular en función de L? Compárelo con una ventana rectangular de la misma longitud.
d) Se desea utilizar la STFT para detectar rayas espectrales separadas 200 Hz. Determine aproximadamente la longitud L que ha de tener la ventana triangular (considere que dos rayas espectrales se pueden distinguir si están separadas el ancho del lóbulo principal de la ventana).
PB. 2 Analizaremos la interpolación de una señal x[n] mediante el esquema siguiente: 2 Puntos Figura 1 a) Determine la expresión analítica de la transformada de Fourier de y[n] en función de las transformadas de Fourier de x[n], h1[n], h2[n] y de N1 y N2.
b) Dibuje las transformadas de Fourier a la salida de los bloques del diagrama de la Figura 1, con los valores de N1 =2 y N2 =3, suponiendo los filtros ideales. Indique claramente las frecuencias de corte y ganancias de cada filtro.
c) Si la interpolación se realiza con filtros FIR de igual longitud, justifique desde el punto de vista computacional si es mejor utilizar los valores de N1 =3 y N2 =2, o los valores N1 =2 y N2 =3.
PB. 3 Parte 1: Diagrama de ceros y polos de transformada z de autocorrelaciones a) Si la transformada z de h[n] es H(z), ¿cuál es la transformada z de h[-n]? b) ¿Qué relación existe entre los diagramas de ceros y polos de las transformadas z de h[n] y de h[-n]? c) Calcule la transformada z de la autocorrelación rh[m] de h[n], si H(z)=(1+z-1) . (1-z-1/3).
d) Dibuje el diagrama de ceros y polos de la transformada z de rh[m].
2 Puntos Parte 2: Diseño de filtros a partir de su autocorrelación e) Considere una respuesta impulsional h[n] con autocorrelación rh[m]={-1/2,5/4,-1/2}. Dibuje el diagrama de ceros y polos de la transformada z de la autocorrelación.
f) Determine h[n] suponiendo que el filtro es causal y estable.
25/06/2012 Introducció al Processament de Senyals Àudio-visuals PB. 4 4 Puntos Considere un sistema cuya respuesta impulsional es h[n] = 1 0.5n u[n] + (−0.5) n u[n]) ( 2 En primer lugar se pide: a) Obtenga su función de transferencia e indique su región de convergencia (ROC).
b) Determine la transformada z (incluida la ROC) de la respuesta y[n] del sistema en reposo a la secuencia x[n] = u[-n-1].
Calcule y[n].
c) Obtenga la respuesta del mismo sistema a la secuencia π x[n] = sin( n) .
2 Este sistema corresponde en realidad a la conexión en serie (cascada) de dos sistemas de orden uno. Se pide: d) Indique las relaciones de entrada salida de ambos.
e) Dibuje aproximadamente el módulo de la respuesta frecuencial de ambos.
Si denominamos h1[n] al filtro que enfatiza las altas frecuencias y h2[n] al que enfatiza las bajas, se pide: f) Expresar la respuesta impulsional de un filtro de dos dimensiones que enfatiza las altas frecuencias de las filas de una imagen y enfatiza las bajas frecuencias de sus columnas.
g) Proporcione de forma matricial las muestras de la respuesta impulsional de un filtro FIR de orden 3x3 que toma las primeras muestras de la respuesta impulsional del filtro anterior.
25/06/2012 Introducció al Processament de Senyals Àudio-visuals SOLUCIONES PB. 1 a) L=2N-1 b) 2 TL ( F ) = ( RN ( F ) ) En F=0, la transformada de la ventana rectangular toma valor N, por tanto TL(0)=N2.
Los ceros de la transformada de la ventana rectangular ocurren para F=k/N, por tanto para la transformada de la ventana triangular ocurren para F=2k/(L+1) c) La anchura del lóbulo principal de la transformada de la ventana triangular será ΔF=4/(L+1).
Para una ventana rectangular de longitud L, la anchura del lóbulo principal de su transformada es ΔF=2/L.
d) ΔF=4/(L+1) ≥ f / fm . Por consiguiente, L ≥ 4 (fm / f ) -1 = 399.
PB. 2 a) Y ( F ) = X ( N1 N2 F ) H1 ( N2 F ) H 2 ( F ) b) X(F) 1 H1 1/2 1/4 H2 1/6 Y(F) 1/3 2/3 1/12 c) PB. 3 a) b) c) d) e) f) La figura muestra la transformada de la señal de entrada y a la salida de los diferentes bloques. El filtro H 1 ha de tener frecuencia de corte 1/4 y ganancia 2, como corresponde a un interpolador por una relación N 1=2. El filtro H2 ha de tener una ganancia N2=3 y su frecuencia de corte nominal es 1/6; no obstante, en el caso de este problema, la frecuencia de corte puede tomarse entre 1/12 y 1/4.
Si todos los filtros tienen igual longitud de su respuesta impulsional, el cálculo de una muestra de la secuencia de salida requiere el mismo número de operaciones para todos ellos. En consecuencia, el único factor que afecta al coste computacional es el número de muestras por segundo que hay que calcular a la salida de cada filtro: opción N1=2 y N2=3: H1 requiere 2 fm y H2 requiere 6 fm opción N1=3 y N2=2: H1 requiere 3 fm y H2 requiere 6 fm Por tanto, es más costosa esta segunda opción H(1/z) Los ceros y polos del diagrama de la TZ de h[-n] son los inversos de los ceros y polos del diagrama de la TZ de h[n] R(z) = (1+z-1) . (1+z) . (1-z-1/3) . (1-z/3) Ceros en: z=-1 (doble), 1/3 y 3. Polos en z=0 (doble) y en infinito (doble) Ceros en: z= 1/2 y 2. Polos en z=0 y en infinito h[n]=δ[n]-1/2 δ [n-1] 25/06/2012 Introducció al Processament de Senyals Àudio-visuals PB. 4 a) b) 1 ⎡ 1 1 1 ⎤ H ( z ) = ⎢ + = ROC : z > 0.5 −1 −1 ⎥ −1 2 ⎣1 − 0.5 z 1 + 0.5 z ⎦ (1 − 0.5 z )(1 + 0.5 z −1 ) 1 −1 Y ( z) = H ( z) X ( z) = ROC : 0.5 < z < 1 −1 −1 (1 − 0.5z )(1 + 0.5 z ) 1 − z −1 −1 −4 6 + 3 ROC : 0.5 < z < 1 2 + −1 −1 1 − 0.5 z 1 + 0.5 z 1 − z −1 1 1 4 y[n] = 0.5n u[n] − (−0.5) n u[n] + u[−n − 1] 2 6 3 1 n n x[n] = j − (− j ) 2j 1 4 π n y[n] = H ( j ) j n − H (− j ) ( − j ) = sin n 2j 5 2 1 H ( z) = = H ( z ) H ( z ) ROC : z > 0.5 −1 (1 − 0.5z )(1 + 0.5z −1 ) a b 1 Y ( z) = c) d) ( ( ) 1 1 − 0.5 z −1 ya [n] = 0.5 ya [n − 1] + x[n] H a ( z) = ) 1 ROC : z > 0.5 1 + 0.5 z −1 yb [n] = −0.5 yb [n − 1] + x[n] Hb ( z) = e) Ha(F) Hb(F) 1/2 f) F H1 ( z ) = H b ( z ) H 2 ( z) = H a ( z) h[m, n] = h1[m]h2 [n] = (−0.5) m u[m] 0.5n u[n] −0.5 0.25 ⎤ ⎡ 1 ⎢ g) h[m, n] = 0.5 −0.25 0.125 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣0.25 −0.125 0.0625⎥⎦ 1/2 F ...