Aplicación de las Integrales (Volúmenes, áreas, ...) (2014)

Apunte Español
Universidad Universidad Rovira y Virgili (URV)
Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática - 1º curso
Asignatura Matemàtiques I
Año del apunte 2014
Páginas 10
Fecha de subida 29/09/2014
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Aplicacions de la integral definida Càlcul d’àrees 1.1) Trobeu l’àrea limitada per la corba y  x 2 i les rectes verticals x  1 i x  3 L’àrea es pot calcular simplement com la integral A 3  1 x 2 dx  3 x3 3 1  33 − 13 3 3  9 − 1  26 3 3 1.2) Trobeu l’àrea compresa entre l’eix de les x i la paràbola y  4x − x 2 En primer lloc hem d’esbrinar quins són els límits d’integració buscant els punts on la paràbola talla l’eix de les x, es a dir els valors on y  0 y  4x − x 2  0  x4 − x que resulten ser els punts x  0 i x  4. Tenim aleshores que l’àrea buscada és el resultat de fer la integral definida següent A 4  0 4x − x 2 dx  2x 2 − x3 3 4 0 3  24 2 − 4 − 0 3  32 − 64  32 3 3 1.3) Trobeu l’àrea que hi ha entre la paràbola x  8  2y − y 2 , l’eix de les y i les rectes y  −1, y  3 En aquest cas és millor fer servir com a variable independent la ordenada y, d’aquesta manera l’àrea demanada és simplement A 3  −1 8  2y − y 2 dy  8y  y 2 − 3  24  9 − 3 3 − −8  1 − 3 y3 3 −1 3 −1 3  92 3 1.4) Trobeu l’àrea entre la paràbola x  4 − y 2 i l’eix de les y.
La paràbola talla l’eix de les x quan x  0, es a dir si x  0  4 − y2 el que dona els valors x  −2 i x  2.
La manera més senzilla de resoldre el problema és la de fer servir com a variable independent y. En aquest cas l’àrea demanada és A 2  −2 4 − y 2 dx  4y − y3 3 2 −2 3  8− 2 3 − 4−2 − −2 3 3  32 3 Com la paràbola talla l’eix de les x quan y  0, es a dir si x  4, també podem calcular l’àrea com l’àrea compresa entre l’eix de les y, x  0, x  4 i les dues branques de la paràbola que són les funcions y  4 − x i y  − 4 − x . La segona és una funció negativa, pero degut a la simetria del problema podem calcular l’àrea com A  2 4 − x 3/2 4 − x dx  2  4 − x dx  −2 3/2 0 4 4 0 3/2  −2 0 − 4 3/2 4 1/2 0  32 3 1.5) Trobeu l’àrea entre la corba y  x 3 − 6x 2  8x i l’eix d’abscisses.
La funció d’interès és un polinomi de tercer grau. Els punts de tall amb l’eix de les x corresponen als valors en els que la funció es fa zero, y  0. Tenim aleshores y  0  x 3 − 6x 2  8x  xx 2 − 6x  8 que té com a solució els punts x  0, x  2 i x  4. En aquest cas hi ha 3 punts de tall i per tant la funció té una parte en que és positiva i un altre en la que és negativa. La integral definida és l’àrea sota la corba sempre i quan la funció sigui positiva. Si no és així haurem de canviar el signe de la funció o el que és el mateix prendre el seu valor absolut.
y 4 2 0 1 2 3 4 x -2 -4 y  x 3 − 6x 2  8x La integral definida s’ha de dividir en aquest cas en dos parts A 2 4  0 x 3 − 6x 2  8xdx −  2 x 3 − 6x 2  8xdx 4  x − 2x 3  4x 2 4  44  8 2 0 4 − x − 2x 3  4x 2 4 4 2 1.6) Calculeu l’àrea entre les dues corbes definides per fx  x  6 i gx  x 2 .
En aquest cas tenim que les dues corbes es tallen quan x  6  x2  x2 − x − 6  0 Les dues solucions d’aquesta equació de segon grau són x  −2 i x  3, per tant es tracta de trobar l’àrea que tanquen totes dues funcions dins del interval −2, 3. En aquest interval es compleix que fx ≥ gx 10 8 6 4 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x L’àrea entre les dues corbes és aleshores A b 3  a fx − gxdx   −2 x  6 − x 2 dx 3 2 3  x  6x − x 2 3 −2  27 − 2 22 3  125 6 1.7) Trobeu l’àrea dins de la regió definida per les corbes y  x , y  −x  6, i y  1.
Aquesta és una regió més complicada. Un dibuix ens ajudarà a clarificar la situació y 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 x La regió queda limitada en primer lloc per els punts de tall de les gràfiques de y  x i y  −x  6 amb la recta y  1, que tenen lloc quan x  1 i x  5. La gràfica que deda per sota és sempre la de y  1, ara bé en una part del interval la funció que queda per sobre i tanca la regió és y  x i en l’altra part és y  −x  6. Això vol dir que per a calcular l’àrea haurem de fer dues integrals dividint l’interval en el punt de tall de les funcions y  x i y  −x  6, es a dir −x6  Aleshoes tenim que x  x 2 − 12x  36  x 2  x  4 A   4 1 5 x − 1dx   −x  6 − 1dx  4 2 x 3/2 − x 3 16 − 4 − 4 4 4 1 5 x − 1dx   5 − xdx 4 5 2  5x − x 2 1 4 2 − 1  25 − 25 3 2 − 20 − 8  5  1  13 3 2 6 1.8) Repetiu el càlcul de l’àrea anterior fent servir la variable y com a variable independent.
En aquest cas tenim que les funcions són x  6 − y i x  y 2 . La gràfica que queda per sota és x  y 2 i es tallen quan 6 − y  y2  y2  y − 6  0 que correspon als valors y  2 i y  −3. Com que la regió està limitada per la recta y  1, l’àrea que ens interessa serà A 2  1 6 − y − y 2 dy   12 − 2 − 8 3 6y − y2 y3 − 2 3 − 6− 1 − 1 2 3 2  1  13 6 1.4) Trobeu l’àrea de la regió tancada per les corbes x  y 2 i y  x − 2 En aquest cas és més senzill fer servir y com a variable independent. Els punts de tall de les dues corbes corresponen a les solucions de y2  y  2  y2 − y − 2  0 que té com a solució els valors y  −1 i y  2. La fució que queda per sobre és la funció x  y  2 i l’àrea buscada és A  2  −1 y  2 − y 2 dx  4 −4− 8 3 2 − y2 y3  2y − 2 3 1 −2 1 2 3 2 −1  9 2 1.9) Trobeu l’àrea compresa entre la paràbola y 2  4x i la recta y  2x − 4 La paràbola i la recta és tallen quan 4x  2x − 4 2  4x 2 − 16x  16  4x 2 − 12x  16  0 Es a dir si x  1 o x  4. En aquests punts els valors de la ordenada són y  −2 i y  4.
y 4 2 0 1 2 3 4 x -2 -4 La millor manera de resoldre el problema és la de fer servir la ordenada y com a variable independent. Aleshores l’àrea demanada serà A 4 y4 y2 − 4 2 4  −2 fy − gydx   −2 y2 y3  2y  − 4 12  20 − − 7 3 3 4 −2 dx 2 3  24  4 − 4 4 12 − 2−2  −2 2 −2 3 − 4 12 9 Càlcul de Volums 2.1) Demostreu que el volum d’una esfera de radi R és V  4 R 3 3 Podem suposar que l’esfera es troba centrada en l’origen de coordenades. Sigui ara P x un pla paral·lel al pla y − z, que intersecta a l’esfera a una distància x de l’origen de coordenades. La intersecció amb l’esfera serà un cercle que tindrà un radi y R2 − x2 i l’àrea d’aquest cercle serà aleshores Ax  y 2  R 2 − x 2  Ara podem calcular el volum total de l’esfera com V R R R  −R Axdx   −R R 2 − x 2 dx  2  0 R 2 − x 2 dx 3  2 R 2 x − x 3 R 0 3  2 R 3 − R 3  4 R 3 3 2.2) Trobeu el volum d’un sòlid que s’obté al retallar d’un cilindre de radi R, una peça fent dos talls fins al centre. El primer horitzontal i el segon formant un angle  amb el primer.
La peça s’extendrà des de el valor x  −R fins al valor x  R. Ens la podem imaginar composta per triangles semblants que anomenarem R x . La base d’un triangle que es troba a una distància x de l’origen de coordenades és b R2 − x2 mentre que per a cada triangle la seva altura complirà que tan   h  h  b tan  b L’àrea de cada triangle és aleshores Ax  1 bh  1 b 2 tan   1 R 2 − x 2  tan  2 2 2 El volum total de la figura serà aleshores el valor de la integral V R R 1 R 2 − x 2  tan dx  1 tan   R R 2 − x 2 dx 2 2 −R  −R Axdx   −R R 3 3  tan  R 2 x − x  1 tan  R 2 x − x 3 −R 3 2 3 3  tan  R 3 − R  2R tan  3 3 R 0 2.3) Trobeu el volum de la figura en forma de trompeta que es forma quan la corba y  x 2 gira al voltant de l’eix de les x en el interval 0, 1.
En aquest cas es tracta d’un volum de revolució i tenim que 1 1 5 V    y 2 dx    x 4 dx   x 5 0 0 1 0   5 2.4) Trobeu el volum que genera la regió compresa entre les corbes y  sin x i y  x al girar al voltant de l’eix de les x en el interval 0,  2 El volum total es pot calcular com la diferència entre el volum que genera la recta y  x i el que genera la corba y  sin x. Es a dir V  V1 − V2     x3 3 3   − 24 /2 0 /2 0 − x 2 dx −   /2 0 /2 sin 2 xdx 0 1 − cos 2x dx 2 /2 x − sin 2x 4 2 0 4   −  24 4 4 2   −  24 4 Aquest volum es podria calcular també fent la integral V   /2 0 x − sin x 2 dx però en aquest cas resulta ser un procediment una mica més complicat.
2.5) Trobeu el volum que genera la corba y  x 2 definida en el interval 0, 1 al girar al voltant de l’eix de les y.
En aquest cas farem servir el mètode de les capes concèntriques. Tenim que el volum ve donat per l’expressió V b b  a 2xfxdx   a 2xydx i en el nostre cas tenim que V 1 1  0 2x  x 2 dx  2  0 x 3 dx  2 1 x4 4 0   2 Càlcul de longituds i superfícies.
3.1) Trobeu la longitud de la corba y  1 − x 2 en el interval 0, b La longitud d’una corba fx en el interval a, b es calcula com L b a 1  f ′ x 2 dx En el nostre cas, com f ′ x  1 x −2x  − 2 2 1−x 1 − x2 ens queda b L 0  0 b 2 1 x − 1 − x2 dx  b 0 1 x 2 dx  1 − x2 b 0 1 dx 1 − x2 1 dx  arcsin x b0  arcsin b − arcsin 0  arcsin b 2 1−x 3.2) Trobeu l’àrea de la superfície que es genera quan la corba y  voltant de l’eix de les x en el interval −r, r.
L’àrea d’una superfície de revolució ve determinada per l’expressió b A  2  fx 1  f ′ x 2 dx a En el nostre cas, tenim en primer lloc que 1  f ′ x 2  1 r2 r − x2 2  r r − x2 2 i tenim aleshores que A  2  r −r r2 − x2  2rx r−r  4r 2 Integrals Impròpies r r dx  2  rdx −r r2 − x2 r 2 − x 2 gira al 4.1) Calculeu les integrals impròpies següents 1 0 a 1 dx x El integrand no està definit en el punt x  0, la integral si existeix s’haurà de calcular com 1 I  lim  1x dx  limln x 1c  limln 1 − ln c c→0 c→0 c→0 c  − lim ln c   c→0 i per tant la integral és divergent.
b  1 0 1 dx x En aquest cas tenim una situació similar, doncs el integrand no està definit en el punt x  0, ara bé, en aquest cas tenim que 1 c c→0 I  lim 1 dx  lim c→0 x 1 1 2x 1/2  c  c x −1/2 dx  lim c→0  lim2 − 2c 1/2   2 c→0 4.2) Determineu si existeix la integral 3 1 dx x−1 i si es així trobeu el seu valor.
El integrand no està definit per a x  1. Tenim que 3 1 dx  lim  3 dx  limlnx − 1 3  limln3 − 1 − lnc − 1 c c→1 c→1 c→1 x−1 c x−1  ln 2 − lim lnc − 1  2   c→1 i la integral serà divergent.
4.3) Calculeu el valor de 3 0 dx 9 − x2 Es tracta d’una integral impròpia, doncs el integrand no està definit per a x  3. Tenim aleshres que I Ara com 3 0 dx  lim c→3 9 − x2 c 0 dx 9 − x2  dx  9 − x2  1 dx 3 1− x 3 2  arcsin x 3 c ens queda que c 0 c→3 c dx  lim arcsin x c→3 3 0 9 − x2  lim arcsin c − arcsin0  lim arcsin c c→3 c→3 3 3   arcsin1  2 I  lim 4.4) Calculeu les integrals impròpies següents:  1 a dx x En aquest cas tenim que I  1 dx  lim c→ x c 1 dx  lim2 x  c 1 c→ x  lim 2 c − 2   c→ i la integral és divergent b  1 dx x2 En aquest cas es compleix que  dx  lim  c dx  lim − 1 x c→ 1 x 2 c→ x2  lim − 1c  1  1 c→ I 1 c 1 4.5) Avalueu la integral   − dx e x  e −x Escrivim en primer lloc la integral com I   − dx  e x  e −x   − dx  x e  1x e Notem ara que  e x dx  arctane x   c e 2x  1 Aleshores la integral impròpia s’escriurà com   − e x dx e 2x  1   − 0 c e x dx  lim e 2x  1 c→  c→− lim arctane x  0c  c→ lim arctane x  c0 I  dx  c→− lim e x  e −x c 0 e x dx e 2x  1 lim arctan e 0 − arctan e c   c→ lim arctan e c − arctan e 0  c→−  −0  4   −  4 2   2 4.6) Trobeu l’àrea limitada per la funció x2 x −1 y2  2 i les seves asímptotes.
Podem trobar la funció representada en el gràfic següent 3 y 2 1 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 x -1 -2 -3 La simetría del problema ens permet concentar-nos en el primer quadrant. En aquest cas, la corba és y x 1 − x2 i l’àrea demanada és c x x dx  4 lim  dx  −2 lim c→1 c→1 2 0 0 1−x 1 − x2 c 1 − x 2  1/2 c  −2 lim  −4 lim1 − x 2  1/2  0 c→1 c→1 1/2 0 A  4 1  −4 lim1 − c 1/2 − 1  4 c→1 c 0 −2x dx 1 − x2 ...