Solucions Seminari 1 (2017)

Ejercicio Catalán
Universidad Universidad Pompeu Fabra (UPF)
Grado Administración y Dirección de Empresas - 1º curso
Asignatura Matemáticas III
Año del apunte 2017
Páginas 14
Fecha de subida 18/06/2017
Descargas 0
Subido por

Vista previa del texto

Matemàtiques III Curs 2014-2015 Seminari 1. Diagonalització.
Problema 1: Per a la matriu  2 6 − 6   A = 10 2 1  8 1 2    Trobeu la matriu P i la matriu diagonal D tal que AP = PD.
Solució Problema 1: Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
2−λ 6 −6 10 8 2−λ 1 1 = −λ3 + 6λ2 + λ − 30 = 0 .
2−λ Per calcular les seves arrels apliquem el mètode de Ruffini per veure si hi ha alguna arrel sencera. Fent proves obtenim que si agafem el valor λ = −2 , obtenim que -1 6 1 -30 -1 2 8 -16 -15 30 0 -2 i llavors ja tenim una arrel. Les altres dues s’obtenen resolent l’equació de segon grau que ens queda després d’aplicar el mètode de Ruffini. Aquesta equació és − λ 2 + 8λ − 15 = 0 que té per arrels λ = 3 i λ = 5 . Llavors els valors propis de la matriu A són λ = −2 , λ = 3 i λ = 5 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi λ = −2 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 6 − 6  x   0  2 − λ      2−λ 1  y  =  0  posant λ = −2 , és a dir  10  8 1 2 − λ  z   0    4 6 − 6  x   0       10 4 1  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  8 1 4  z   0       1 4 x + 6 y − 6 z = 0  10 x + 4 y + z = 0 .
8 x + y + 4 z = 0  De la primera equació aïllem z = 2 x + y . Substituïm a les altres dues equacions i ens 3  32  3 x + 5 y = 0 − 32 queda  . D’aquí obtenim que y = x . Aleshores substituint aquesta 15  32 x + 5 y = 0  3 2 − 22 expressió de y en termes de x a l’expressió z = x + y , ens queda que z = x . Ara 3 15 agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector  1    propi v1 =  − 32 / 15  de valor propi λ = −2 .
 − 22 / 15    Valor propi λ = 3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2 − λ   10  8  6 2−λ 1 − 6  x   0      1  y  =  0  posant λ = 3 , és a dir 2 − λ  z   0   − 1 6 − 6  x   0        10 − 1 1  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions 8 1 − 1  z   0   − x + 6 y − 6 z = 0  10 x − y + z = 0 .
8 x + y − z = 0  1 De la primera equació aïllem z = − x + y . Substituïm a les altres dues equacions i ens 6 x  10 x − 6 = 0 queda  . D’aquí obtenim que x = 0 , i llavors z = y . Ara agafant un valor 8 x + x = 0 6   0   qualsevol de y diferent de zero, per exemple y = 1 , obtenim el vector propi v 2 =  1  de  1   valor propi λ = 3 .
Valor propi λ = 5 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2 − λ   10  8  6 2−λ 1 − 6  x   0      1  y  =  0  posant λ = 5 , és a dir 2 − λ  z   0  2  − 3 6 − 6  x   0        10 − 3 1  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  8 1 − 3  z   0   De la primera equació aïllem z = − − 3 x + 6 y − 6 z = 0  10 x − 3 y + z = 0 .
8 x + y − 3z = 0  x + y . Substituïm a les altres dues equacions i ens 2 19 x − 2y = 0 19 17  2 queda  . D’aquí obtenim que y = x , i llavors z = x . Ara agafant un 19 4 4  x − 2y = 0  2 valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector propi  1    v3 = 19 / 4  de valor propi λ = 5 .
17 / 4    0 1   1   Per tant, tenim la matriu P=  − 32 / 15 1 19 / 4  on les columnes són els tres vectors  − 22 / 15 1 17 / 4     − 2 0 0   propis que hem trobat i la matriu diagonal és D=  0 3 0  . Observeu que si  0 0 5   haguéssim considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
2 k  Problema 2: Per a la matriu A =   , on k és un valor real qualsevol, trobeu k 2 segons el valor de k, els valors propis, els vectors propis i la matriu P tal que AP = PD, on D és la matriu diagonal formada pels valors propis d’A.
Solució Problema 2: Distingim dos casos:  2 0 Cas k = 0 . Aleshores la matriu A és una matriu diagonal, és a dir, A =   i llavors  0 2 directament tenim que els valors propis són λ = 2 repetit dues vegades. Ara mirem si podem trobar dos vectors propis linealment independents associats al valor propi λ = 2 .
Resolem el sistema en forma matricial 2 − λ   0 0  x   0    =   posant λ = 2 , és a dir 2 − λ  y   0  3  0 0  x   0     =   d’on observem que podem agafar x i y qualssevol. Concretament, 0 0   y   0   x  0 podem prendre els vectors   i   amb x = 1 i y = 1 . Llavors tenim els dos vectors  0  y  1  0 propis v1 =   i v2 =   de valor propi λ = 2 , que a més a més són linealment  0 1 independents.
1 0  on les columnes són els dos vectors propis que Per tant, tenim la matriu P =   0 1 2 0  . Observeu que si haguéssim considerat un hem trobat i la matriu diagonal és D =   0 2 altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
Cas k diferent de zero. Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
2−λ k = λ 2 − 4λ + ( 4 − k 2 ) = 0 .
k 2−λ Resolent l’equació de segon grau obtenim els valors propis de la matriu A que són: λ = 2 + k i λ = 2 − k . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi λ = 2 + k : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2 − λ   k − k   k k  x   0    =   posant λ = 2 + k , és a dir 2 − λ  y   0  k  x   0    =   que ens dóna el sistema d’equacions − k  y   0  − kx + ky = 0 .
 kx − ky = 0 Observeu que la segona equació és la mateixa que la primera amb un canvi de signe.
Llavors, d’una de les dues equacions aïllem y = x . Ara agafant un valor qualsevol de x  1 diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector propi v1 =   de valor propi  1 λ =2+k.
Valor propi λ = 2 − k : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2 − λ   k k  x   0    =   posant λ = 2 + k , és a dir 2 − λ  y   0  4 kx + ky = 0  k k  x   0     =   que ens dóna el sistema d’equacions  , que de fet es k k y 0 kx + ky = 0       redueix a l’equació kx + ky = 0 . D’aquí obtenim que y = − x . Ara agafant un valor  1 qualsevol de x diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector propi v2 =   de  − 1 valor propi λ = 2 − k .
1 1  Per tant, tenim la matriu P=   on les columnes són els dos vectors propis que  1 − 1 0  2 + k hem trobat i la matriu diagonal és D=   . Observeu que si haguéssim 2 − k   0 considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
Problema 3: Trobeu els valors propis, els vectors propis i la matriu U en la representació espectral per a les matrius següents:  2 − 1 − 1   3.1. A=  − 1 0 1  −1 1 0   0  4 3   3.2. A=  3 − 4 0   0 0 − 2   Solució Problema 3: 3.1 Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
2 − λ −1 −1 −1 −1 −λ 1 1 = −λ3 + 2λ2 + 3λ = 0 .
−λ Observeu que podem escriure l’anterior equació com λ (−λ2 + 2λ + 3) = 0 . Llavors λ = 0 és una arrel de la nostra equació. La resta d’arrels les trobem resolent l’equació de segon grau − λ2 + 2λ + 3 = 0 , que són λ = −1 i λ = 3 . Llavors els valors propis de la matriu A són λ = −1 , λ = 0 i λ = 3 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi λ = −1 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial  2 − λ − 1 − 1  x   0        − 1 − λ 1  y  =  0  posant λ = −1 , és a dir  −1 1 − λ  z   0    3 − 1 − 1 x   0        − 1 1 1  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  − 1 1 1  z   0       5 3x − y − z = 0  − x + y + z = 0 .
− x + y + z = 0  Observem que la segona equació i la tercera són la mateixa. Per tant el sistema es 3 x − y − z = 0 redueix a  . De la primera equació aïllem z = 3 x − y . Substituïm a l’altre − x + y + z = 0 equació i ens queda 2 x = 0 . D’aquí obtenim x = 0 . Aleshores substituint x = 0 a l’expressió z = 3 x − y , ens queda que z = − y . Ara agafant un valor qualsevol de y 0   diferent de zero, per exemple y = 1 , obtenim el vector propi v1 =  1  de valor propi  − 1   λ = −1 .
Valor propi λ = 0 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 2 − λ   −1  −1  −1 −λ 1 − 1  x   0      1  y  =  0  posant λ = 0 , és a dir − λ  z   0   2 − 1 − 1 x   0        − 1 0 1  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions −1 1 0  z   0   2 x − y − z = 0  − x + z = 0 .
− x + y = 0  De la primera equació aïllem z = 2 x − y . Substituïm a la segona equació i ens queda x − y = 0 . Observem que aquestes dues equacions són equivalents. D’aquí obtenim  − x + y = 0 que y = x . Aleshores substituint aquesta expressió de y en termes de x a l’expressió z = 2 x − y , ens queda que z = x . Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, 1   per exemple x = 1 , obtenim el vector propi v 2 = 1 de valor propi λ = 0 .
1   Valor propi λ = 3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial  2 − λ − 1 − 1  x   0        − 1 − λ 1  y  =  0  posant λ = 3 , és a dir  −1 1 − λ  z   0    − 1 − 1 − 1  x   0        − 1 − 3 1  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  − 1 1 − 3  z   0       6 − x − y − z = 0  − x − 3 y + z = 0 .
− x + y − 3 z = 0  De la primera equació aïllem z = − x − y . Substituïm a les altres dues equacions i ens − 2 x − 4 y = 0 −x queda  . D’aquí obtenim que y = . Aleshores substituint aquesta 2 2 x + 4 y = 0 −x expressió de y en termes de x a l’expressió z = − x − y , ens queda que z = . Ara 2 agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector  1    propi v3 =  − 1 / 2  de valor propi λ = 3 .
 − 1/ 2    0 1     Resumint, els valors propis són − 1 , 0 i 3 amb vectors propis v1 =  1  , v2 = 1 i  − 1 1      1    v3 =  − 1 / 2  respectivament. Per a obtenir la matriu de la representació espectral  − 1/ 2    haurem de normalitzar els vectors v1 , v2 i v3 .
La norma de cadascun d’aquests vectors és: v1 = 2 , v2 = 3 i v2 = 6 / 2 . Llavors  0 1/ 3 2 / 6    U=  1 / 2 1 / 3 − 1 / 6  .
  − 1 / 2 1 / 3 − 1 / 6   3.2 Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
4−λ 3 0 3 0 −4−λ 0 0 = −λ3 − 2λ 2 + 25λ + 50 = 0 .
−2−λ Per calcular les seves arrels apliquem el mètode de Ruffini per veure si hi ha alguna arrel sencera. Fent proves obtenim que si agafem el valor λ = −2 , obtenim que -1 -2 25 50 -1 2 0 0 25 -50 0 -2 i llavors ja tenim una arrel. Les altres dues arrels s’obtenen resolent l’equació de segon grau que ens queda després d’aplicar el mètode de Ruffini. Aquesta equació és − λ 2 + 25 = 0 que té per arrels λ = −5 i λ = 5 . Llavors els valors propis de la matriu A són λ = −5 , λ = −2 i λ = 5 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi λ = −5 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7 4 − λ   3  0  3 −4−λ 0 0  x   0      0  y  =  0  posant λ = −5 , és a dir − 2  z   0   9 3 0  x   0        3 1 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  0 0 3  z   0       9 x + 3 y = 0  3x + y = 0 .
3z = 0  De la tercera equació deduïm que z = 0 . A més a més, observem que la variable z no apareix a les altres dues equacions. També podem observar que la primera equació és 3 vegades la segona. Aleshores obtenim de la segona equació que y = −3 x (ho podíem haver obtingut també de la primera). Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de  1    zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector propi v1 =  − 3  de valor propi λ = −5 .
 0    Valor propi λ = −2 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 4 − λ   3  0  3 −4−λ 0 0  x   0      0  y  =  0  posant λ = −2 , és a dir − 2  z   0   6 3 0  x   0       6 x + 3 y = 0 , on z pot ser  3 − 2 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  3 x − 2 y = 0   0 0 0  z   0       qualsevol valor.
De la primera equació aïllem y = −2 x . Substituïm a l’altre equació i ens queda 7 x = 0 .
D’aquí obtenim que x = 0 . Aleshores y = −2 x = 0 . Llavors hem trobat el vector propi 0   v 2 =  0  de valor propi λ = −2 .
1   Valor propi λ = 5 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 4 − λ   3  0  3 −4−λ 0 0  x   0      0  y  =  0  posant λ = 5 , és a dir − 2  z   0  8 0  x   0  −1 3       3 − 9 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions 0 0 − 7  z   0   − x + 3 y = 0  3x − 9 y = 0 .
− 7 z = 0  De la tercera equació deduïm que z = 0 . Observem que la segona equació és -3 vegades la primera equació. Aleshores d’una de les dues primeres equacions obtenim que x y = . Ara agafant un valor de x diferent de zero qualsevol, per exemple x = 1 , 3  1    obtenim el vector propi v3 = 1 / 3  de valor propi λ = 5 .
 0     1  0     Resumint, els valors propis són − 5 , − 2 i 5 amb vectors propis v1 =  − 3  , v2 =  0  i  0  1      1    v3 = 1 / 3  respectivament. Per a obtenir la matriu de la representació espectral haurem  0    de normalitzar els vectors v1 , v2 i v3 .
La norma de cadascun d’aquests vectors és: v1 = 10 , v2 = 1 i v3 = 10 / 3 . Llavors  1 / 10  U=  − 3 / 10  0  0 3 / 10   0 1 / 10  .
 1 0  Problema 4: Per a la següent matriu  − 11 − 4 8    A=  0 1 0  − 12 − 4 9    trobeu la matriu P i la matriu diagonal D de manera que AP = PD.
Solució Problema Extra 1: IMPORTANT TÉ VAPS REPETITS Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
− 11 − λ − 4 8 0 − 12 1− λ 0 = −λ3 − λ 2 + 5λ − 3 = 0 .
−4 9−λ Les arrels són λ = 1 , λ = 1 i λ = −3 . Llavors els valors propis de la matriu A són λ = 1 , λ = 1 i λ = −3 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
9 Valor propi λ = 1 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 8  x   0   − 11 − λ − 4      1− λ 0  y  =  0  posant λ = 1 , és a dir  0  − 12 − 4 9 − λ  z   0    − 12 − 4 8  x   0       0 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  0  − 12 − 4 8  z   0       − 12 x − 4 y + 8 z = 0  .
0 = 0 − 12 x − 4 y + 8 z = 0  La solució té dos graus de llibertat x = x, y = –3x + 2z i z = z. Ara agafant un parell de valors per x i y, per exemple x = 1 i z = 0 i x = 0 i z =1 obtenim dos vectors propi  1  0     linealment independents: v1 =  − 3  i v 2 =  2  són vectors propis de valor propi λ = 1 .
 0  1     Valor propi λ = −3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 8  x   0   − 11 − λ − 4      1− λ 0  y  =  0  posant λ = −3 , és a dir  0  − 12 − 4 9 − λ  z   0    − 8 − 4 8  x   0       4 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  0  − 12 − 4 12  z   0       − 8 x − 4 y + 8 z = 0  .
4 y = 0 − 12 x − 4 y + 12 z = 0  La solució té un grau de llibertat x = x, y = 0 i z = x. Llavors agafant un valor qualsevol 1   de x diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector propi v 2 =  0  de valor 1   propi λ = 3 .
0 1  1   Per tant, tenim la matriu P =  − 3 1 0  on les columnes són els tres vectors propis  0 − 2 1   1 0 0    que hem trobat i la matriu diagonal és D =  0 1 0  . Observeu que si haguéssim  0 0 − 3   considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
10 Problema Extra 1: Per a la següent matriu  7 8 − 10    A=  0 − 3 0  0 1 − 4    trobeu la matriu P invertible i la matriu diagonal D de manera que AP = PD.
Solució Problema Extra 1: Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
7−λ 8 − 10 0 0 −3−λ 1 0 = (7 − λ )(−3 − λ )(−4 − λ ) = 0 .
−4−λ Observem que directament tenim que els valors propis de la matriu A són λ = −4 , λ = −3 i λ = 7 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi λ = −4 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7 − λ   0  0  8 −3−λ 1 − 10  x   0      0  y  =  0  posant λ = −4 , és a dir − 4 − λ  z   0  11 8 − 10  x   0        0 1 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  0 1 0  z   0       11x + 8 y − 10 z = 0  .
y = 0 y = 0  Com que y = 0 , de la primera equació tenim que 11x − 10 z = 0 i aleshores aïllem 11x z= . Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x = 1 , 10  1    obtenim el vector propi v1 =  0  de valor propi λ = −4 .
11 / 10    Valor propi λ = −3 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7 − λ   0  0  8 −3−λ 1 − 10  x   0      0  y  =  0  posant λ = −3 , és a dir − 4 − λ  z   0  11 10 8 − 10  x   0       10 x + 8 y − 10 z = 0 .
 0 0 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  y − z = 0  0 1 − 1  z   0       De la segona equació aïllem z = y . Substituïm a la primera equació i ens queda y 10 x − 2 y = 0 . D’aquí obtenim que x = . Ara agafant un valor qualsevol de y diferent 5 1 / 5    de zero, per exemple y = 1 , obtenim el vector propi v2 =  1  de valor propi λ = −3 .
 1    Valor propi λ = 7 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 7 − λ   0  0  8 −3−λ 1 − 10  x   0      0  y  =  0  posant λ = 7 , és a dir − 4 − λ  z   0  − 10  x   0  0 8 8 y − 10 z = 0        0 − 10 0  y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions − 10 y = 0 , on x 0 1  y − 11z = 0 − 11  z   0    pot ser qualsevol.
De la segona equació deduïm que y = 0 i llavors substituint en alguna de les altres equacions obtenim z = 0 . Ara agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per 1   exemple x = 1 , obtenim el vector propi v3 =  0  de valor propi λ = 7 .
0   1/ 5 1   1   Per tant, tenim la matriu P =  0 1 0  on les columnes són els tres vectors 11 / 10 1 0     − 4 0 0   propis que hem trobat i la matriu diagonal és D =  0 − 3 0  . Observeu que si  0 0 7   haguéssim considerat un altre ordre dels valors propis a la configuració de D, ens hauria sortit una matriu P amb un ordre diferent de columnes.
Problema Extra 2: Per a la següent matriu 0 1 1   A=  1 0 − 1 0 −1 1    trobeu la matriu ortogonal P i la matriu diagonal D de manera que AP = PD.
12 Solució Problema Extra 2: Calculem els valors propis de la matriu A. Per això calculem el seu polinomi característic.
1− λ 1 0 1 0 − λ − 1 = −λ3 + 2λ2 + λ − 2 = 0 .
−1 1 − λ Per calcular les seves arrels apliquem el mètode de Ruffini per veure si hi ha alguna arrel sencera. Fent proves obtenim que si agafem el valor λ = 2 , obtenim que -1 2 1 -2 -1 -2 0 0 1 2 0 2 i llavors ja tenim una arrel. Les altres dues arrels s’obtenen resolent l’equació de segon grau que ens queda després d’aplicar el mètode de Ruffini. Aquesta equació és − λ 2 + 1 = 0 que té per arrels λ = −1 i λ = 1 . Llavors els valors propis de la matriu A són λ = −1 , λ = 1 i λ = 2 . Ara calculem el vector propi associat a cada valor propi.
Valor propi λ = −1 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 1 − λ   1  0  0  x   0      − λ − 1  y  =  0  posant λ = −1 , és a dir − 1 1 − λ  z   0  1 0  x   0  2 1       1 1 − 1 y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  0 − 1 2  z   0       2 x + y = 0  x + y − z = 0 .
− y + 2 z = 0  De la primera equació aïllem y = −2 x . Substituïm a les altres dues equacions i ens − x − z = 0 queda  . Observem que la segona equació és -2 vegades la primera.
2 x + 2 z = 0 Aleshores d’una de les dues equacions obtenim que z = − x . Ara agafant un valor  1    qualsevol de x diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector propi v1 =  − 2  de  −1    valor propi λ = −1 .
Valor propi λ = 1 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 1 − λ   1  0  0  x   0      − λ − 1  y  =  0  posant λ = 1 , és a dir − 1 1 − λ  z   0  1 13 0  x   0  0 1       1 − 1 − 1 y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  0 − 1 0  z   0       y = 0  x − y − z = 0 .
− y = 0  Observem que y = 0 . Aleshores la segona equació queda x − z = 0 d’on obtenim que z = x . Llavors agafant un valor qualsevol de x diferent de zero, per exemple x = 1 , 1   obtenim el vector propi v2 =  0  de valor propi λ = 1 .
1   Valor propi λ = 2 : el vector propi s’obté resolent el sistema en forma matricial 1 − λ   1  0  0  x   0      − λ − 1  y  =  0  posant λ = 2 , és a dir − 1 1 − λ  z   0  1 0  x   0   −1 1       1 − 2 − 1 y  =  0  que ens dóna el sistema d’equacions  0 − 1 − 1 z   0       − x + y = 0  x − 2 y − z = 0 .
− y − z = 0  De la primera equació aïllem y = x . Substituint en les altres dues equacions obtenim − x − z = 0 . D’aquí obtenim que z = − x . Per tant, agafant un valor qualsevol de x  − x − z = 0 1   diferent de zero, per exemple x = 1 , obtenim el vector propi v3 =  1  de valor propi  − 1   λ = 2.
1  1      Resumint, els valors propis són − 1 , 1 i 2 amb vectors propis v1 =  − 2  , v2 =  0  i  − 1 1     1   v3 =  1  respectivament. Per a obtenir la matriu de la representació espectral haurem  − 1   de normalitzar els vectors v1 , v2 i v3 .
La norma de cadascun d’aquests vectors és: v1 = 6 , v2 = 2 i v3 = 3 . Llavors  1/ 6 1/ 2  U=  − 2 / 6 0   − 1/ 6 1/ 2 14 1/ 3   1/ 3  .
 − 1 / 3  ...