Ex02 Resuelto 2012 (2012)

Examen Catalán
Universidad Universidad Politécnica de Cataluña (UPC)
Grado Ingeniería Civil - 1º curso
Asignatura Algebra
Año del apunte 2012
Páginas 8
Fecha de subida 03/06/2014
Descargas 0

Descripción

Examen resuelto

Vista previa del texto

` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 26.04.2012 Examen EX02 Q¨ uestio 1: (15p.) Al R-espai euclidi` a (En , < | >) considerem l’operador T . Demostreu que Ker(T ) ⊕ Im(T ) = En Ker(t T ) ⊕ Im(t T ) = En =⇒ Q¨ uestio 2: (15p.) Considerem l’espai euclidi`a real (R3 , < | >) amb el producte escalar can`onic. Amb els vectors a = (1, 2, 1), b = (1, 1, 1), c = (0, −1, 2), d = (0, 1, 1), comproveu que (a ∧ b) ∧ (c ∧ d) = det3 (a, b, d)c − det3 (a, b, c)d Algweb Problema I: (35p.) Sigui p(x) = a1 + a2 x + · · · + an xn−1 + xn ∈ Cn [x].
Definim la Matriu Companya de p(x) com una matriu A ∈ MC (n × n) tal que   0 1 0 ··· 0  0 0 1 ··· 0     0 0 0 · · · 0  A=   ..
..
..
..  ..
 .
.
.
.
.  −a1 −a2 −a3 · · · −an a)(9p.) Demostreu que Pc A[x] = (−1)n · p(x).
b)(5p.) Comproveu que si λ ´es valor propi d’A, aleshores dimR Ker(A − λIn ) = 1.
c)(5p.) Verifiqueu que si λ ´es valor propi d’A, llavors (1, λ, λ2 , ..., λn−1 ) ´es un vector propi associat a λ.
d)(9p.) Sigui Pc A[x] = (λ1 − x) · · · (λn − x).
 1 1  λ1 λ 2  2 2  λ1 λ 2 V =  ..
..
 .
.
λn−1 1 λn−1 2 Definim la seg¨ uent matriu de Vandermonde:  ··· 1 ··· λn   ··· λ2n  amb detn (V ) = (λi − λj )  ..  ..
i<j .
.  ··· λn−1 n Dedu¨ıu que si detn (V ) = 0 llavors V −1 · A · V ´es una matriu diagonal.
e)(7p.) Sigui p(x) = (1 − x)(2 − x)(3 − x)(4 − x). Trobeu una base de vectors propis en la que diagonalitza la seva matriu companya.
Problema II: (35p.) Sigui (E4 , < | >) un espai euclidi`a l’operador T de manera que  0 0 [T ]D =  0 0 complex amb D una base ortonormal del mateix. Definim i 0 0 0 i i 0 0  i i  i 0 A partir d’aquest operador en definim dos m´es: S = Id + T −∗ T Q = Id + T +∗ T a)(5p.) Justifiqueu si T , S, Q s´ on operadors normals.
b)(5p.) Justifiqueu si T , S, Q s´ on diagonalitzables i si en algun cas la matriu diagonal associada ´es de coeficients reals.
c)(15p.) Trobeu una base ortonormal en la que S diagonalitza.
d)(5p.) Calculeu det4 (S) i det4 (Q).
√ √ on valors propis de Q, calculeu els altres valors propis de Q.
e)(5p.) Sabent que 2 i 2 − 2 s´ ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 26.04.2012 EX02 Q¨ uesti´ o 1: Al R-espai euclidi` a (En , < | >) considerem l’operador T . Demostreu que Ker(T ) ⊕ Im(T ) = En =⇒ Ker(t T ) ⊕ Im(t T ) = En Sabem que ∀T ∈ LR (En ), Ker(T ) = Im(t T )⊥ i que Im(T ) = Ker(t T )⊥ . Per tant, el que volem demostrar ´es: Ker(t T )⊥ ⊕ Im(t T )⊥ = En =⇒ Ker(t T ) ⊕ Im(t T ) = En Per veure-ho, demostrarem les dues seg¨ uents condicions: 1) Ker(t T ) ∩ Im(t T ) = {0} 2) Ker(t T ) + Im(t T ) = En Algweb 1) Comprovem que Ker(t T ) ∩ Im(t T ) = {0}: ∀x ∈ Ker(t T ) ∩ Im(t T ), ∀y ∈ En , y = y1 + y2 y1 ∈ Ker(t T )⊥ , y2 ∈ Im(t T )⊥ (ja que tenim com a hip` otesi que Ker(t T )⊥ i Im(t T )⊥ s´on suplementaris) Aleshores, < x | y >=< x | y1 + y2 >=< x | y1 > + < x | y2 >= 0 + 0 = 0 i per tant, x = 0, concloent que Ker(t T ) ∩ Im(t T ) = {0}.
2) Segons la f´ ormula de Grassman i el Teorema Fonamental de Dimensions, dimR (Ker(t T )+Im(t T )) = η(t T )+rang(t T )− t dimR (Ker( T ) ∩ Im(t T )) = η(t T ) + rang(t T ) − 0 = n = dimR (En ).
Com que a m´es, Ker(t T ) + Im(t T ) ⊂ En , queda demostrat que Ker(t T ) + Im(t T ) = En .
` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 26.04.2012 EX02 Q¨ uesti´ o 2: Considerem l’espai euclidi` a real (R3 , < | >) amb el producte escalar can`onic. Amb els vectors a = (1, 2, 1), b = (1, 1, 1), c = (0, −1, 2), d = (0, 1, 1), comproveu que (a ∧ b) ∧ (c ∧ d) = det3 (a, b, d)c − det3 (a, b, c)d Algweb Per a tot l’exercici treballarem amb la base can` onica {e1 , e2 , e3 }, que ´es base ortonormal.
Calculem primer a ∧ b = (x1 , x2 , x3 ): 1 < a ∧ b | e1 >= x1 = det3 (a, b, e1 ) = 2 1 1 1 1 1 0 =1 0 1 < a ∧ b | e2 >= x2 = det3 (a, b, e2 ) = 2 1 1 1 1 0 1 =0 0 1 < a ∧ b | e3 >= x3 = det3 (a, b, e3 ) = 2 1 1 1 1 0 0 = −1 1 Calculem ara c ∧ d = (y 1 , y 2 , y 3 ): 0 < c ∧ d | e1 >= y 1 = det3 (c, d, e1 ) = −1 2 0 1 1 1 0 = −3 0 0 < c ∧ d | e2 >= y 2 = det3 (c, d, e2 ) = −1 2 0 1 1 0 1 =0 0 0 < c ∧ d | e3 >= y 3 = det3 (c, d, e3 ) = −1 2 0 1 1 0 0 =0 1 I ara calculem (a ∧ b) ∧ (c ∧ d) = (z 1 , z 2 , z 3 ): z 1 = det3 (a ∧ b, c ∧ d, e1 ) = 1 0 −1 −3 1 0 0 =0 0 0 z 2 = det3 (a ∧ b, c ∧ d, e2 ) = 1 0 −1 −3 0 0 1 =3 0 0 z 3 = det3 (a ∧ b, c ∧ d, e3 ) = 1 0 −1 −3 0 0 0 =0 0 1 Finalment, 1 det3 (a, b, d)c − det3 (a, b, c)d = 2 1 1 1 1 0 1 1 1 (0, −1, 2) − 2 1 1 1 1 0 −1 (0, 1, 1) = 2 = −(0, −1, 2) − (−2)(0, 1, 1) = (0, 1, −2) + (0, 2, 2) = (0, 3, 0) ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 26.04.2012 EX02 Problema I: Sigui p(x) = a1 + a2 x + · · · + an xn−1 + xn ∈ Cn [x].
Definim la Matriu Companya de p(x) com una matriu A ∈ MC (n × n) tal que   0 1 0 ··· 0  0 0 1 ··· 0     0 0 0 ··· 0  A=   ..
..
..
..  ..
 .
.
.
.
.  −a1 −a2 −a3 · · · −an a) Demostreu que Pc A[x] = (−1)n · p(x).
b) Comproveu que si λ ´es valor propi d’A, aleshores dimR Ker(A − λIn ) = 1.
c) Verifiqueu que si λ ´es valor propi d’A, llavors (1, λ, λ2 , ..., λn−1 ) ´es un vector propi associat a λ.
Algweb d) Sigui Pc A[x] = (λ1 − x) · · · (λn − x). Definim la seg¨ uent matriu de Vandermonde:   1 1 ··· 1  λ1 λ2 ··· λn    2 2  λ1 λ · · · λ2n  2 (λi − λj ) amb detn (V ) = V =   ..
..  ..
..
i<j   .
.
.
.
n−1 n−1 λn−1 λ · · · λ n 1 2 Dedu¨ıu que si detn (V ) = 0 llavors V −1 · A · V ´es una matriu diagonal.
e) Sigui p(x) = (1 − x)(2 − x)(3 − x)(4 − x). Trobeu una base de vectors propis en la que diagonalitza la seva matriu companya.
a) Desenvolupament per la darrera fila el determinant, −x 0 0 Pc A[x] = ..
.
1 −x 0 ..
.
0 1 −x ..
.
··· ··· ··· ..
.
−a1 −a2 −a3 ··· −x 1 0 −x 3+n 0 +(−1) (−a3 ) 0 ..
..
.
.
0 0 1 0 −x 1 = (−1)n+1 (−a1 ) 0 −x ..
..
.
.
0 0 −an − x 0 0 0 ..
.
0 ··· 0 ··· 1 ··· .. . .
.
.
0 ··· −x 0 0 ..
.
0 0 0 0 + · · · + (−1)j+n (−aj ) ..
.
1 0 ··· 0 ··· 1 ··· .. . .
.
.
0 ··· 1 −x 0 ..
.
0 0 −x 0 0 0 1 0 +(−1)2+n (−a2 ) 0 −x ..
..
..
.
.
.
1 0 0 0 ··· 1 ··· −x · · · ..
..
.
.
0 ··· 0 0 0 ..
.
[0]j−1×n−j −x 1 −x 0 ..
.
[0]n−j×j−1 0 −x 0 2n 0 + · · · + (−1) (−an − x) ..
.
0 1 −x 0 ..
.
0 0 ··· 1 ··· −x · · · ..
..
.
.
0 ··· 0 0 0 ..
.
0 ··· 0 ··· 1 ··· .. . .
.
.
0 ··· 0 0 ··· 1 0 ··· −x 1 · · · ..
.. . .
.
.
.
0 0 ··· = −x = (−1)1+n (−a1 ) + (−1)2+n (−a2 )(−x) + (−1)3+n (−a3 )x2 + · · · + (−1)j+n (−aj )(−x)j−1 + 0 + 0 0 ..
.
1 0 0 0 + ..
.
1 n + · · · + (−1)2n (−an − x)(−x)n−1 = (−1)n ai xi−1 + xn i=1 b) Sigui λ, valor propi d’A, amb x = 0 un vector propi associat. Aleshores, transposant la matriu A − λIn obtenim  −λ  0   (A − λIn )T =  0  ..
 .
1 −λ 0 ..
.
0 1 −λ ..
.
··· ··· ··· ..
.
−a1 −a2 −a3 ··· 0 0 0 ..
.
T       −an − λ  −λ  1   = 0  ..
 .
0 0 −λ 1 ..
.
0 0 −λ ..
.
··· ··· ··· ..
.
0 0 ···  −a1 −a2 −a3 ..
.
      −an − λ Si a la primera fila f1 li apliquem les seg¨ uents operacions elementals de fila: fi λi−1 f1 + i=2,...,n aleshores aquesta fila queda nul·la excepte el terme {1, n} que queda: −a1 − a2 λ − a3 λ2 − · · · − an−1 λn−2 − an λn−1 − λn = −p(λ) = (−1)n−1 Pc A[λ] = (−1)n−1 · 0 = 0 Algweb amb la qual cosa tota la primera fila ´es nul·la. Amb n − 1 permutacions la podem passar a sota de tot i aconseguim una matriu esglaonada per files amb n − 1 files no nul·les, cosa que implica que rang(A − λIn )T = rang(A − λIn ) = n − 1 i llavors dimR Ker(A − λIn ) = n − (n − 1) = 1.
c) Comprovem-ho:  0  0   0   ..
 .
−a1 1 0 0 ..
.
0 1 0 ..
.
−a2 −a3 ··· ··· ··· ..
.
0 0 0 ..
.
 1 λ λ2 ..
.
   λ λ2 λ3 ..
.
 λ λ2 λ3 ..
.
                    = = =             · · · −an λn−1 −a1 − a2 λ − · · · − an λn−1 −p(λ) + λn       λ 1 λ  λ    λ2   λ2   3   2  3       λ =  = λ  = λ  λ    ..    ..  ..
  .    .  .
(−1)n+1 Pc A[λ] + λn λn λn−1 d) Si detn (V ) = 0 vol dir que la matriu V cont´e per columnes una base N = {(1, λ1 , ..., λn1 ), ..., (1, λn , ..., λnn )} de vectors propis d’A. Aleshores A ´es una matriu semblant a una matriu diagonal D, a partir de V : D = V −1 · A · V (a m´es, del mateix fet que detn (V ) = 0 podem comprovar que tots els valors propis d’A s´on diferents) e) A partir de tota la informaci´ o recopilada als apartats anteriors, una base de vectors propis de la matriu companya corresponent a p(x) ´es: {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 4, 8), (1, 3, 9, 27), (1, 4, 16, 64)} ` ALGEBRA I GEOMETRIA Àlgebra i Geometria E.T.S.E.C.C.P.B.
Grau en Enginyeria Civil 26.04.2012 EX02 Problema II: Sigui (E4 , < | >) un espai euclidi` a complex amb D una base ortonormal del mateix. Definim l’operador T de manera que   0 i i i 0 0 i i   [T ]D =  0 0 0 i  0 0 0 0 A partir d’aquest operador en definim dos m´es: S = Id + T −∗ T Q = Id + T +∗ T a) Justifiqueu si T , S, Q s´ on operadors normals.
b) Justifiqueu si T , S, Q s´ on diagonalitzables i si en algun cas la matriu diagonal associada ´es de coeficients reals.
Algweb c) Trobeu una base ortonormal en la que S diagonalitza.
d) Calculeu det4 (S) i det4 (Q).
√ √ e) Sabent que 2 i 2 − 2 s´ on valors propis de Q, calculeu els altres valors propis de Q.
a) Calculem [∗ T · T ]D i [T ·∗ T ]D :  0 −i ∗ ∗ ∗ [ T · T ]D = [ T ]D · [T ]D = [T ]D · [T ]D =  −i −i  0 0 ∗ ∗ ∗ [T · T ]D = [T ]D · [ T ]D = [T ]D · [T ]D =  0 0     0 0 i i i 0 0 0 0 0 i i  0 0 0 0 = · −i 0 0 0 0 0 i  0 0 0 0 0 0 −i −i 0     3 0 0 0 0 i i i  2 −i 0 0 0 0 i i = · 0 0 1 0 0 i  −i −i 0 −i −i −i 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 2 2 2 2 1 0 1 1 1 0  0 1  2 3  0 0  0 0 Com que [∗ T · T ]D = [T ·∗ T ]D , aleshores ∗ T · T = T ·∗ T i per tant T no ´es normal.
Tenint en compte que ∗ S = Id +∗ T − T , S ·∗ S = (Id + T −∗ T ) · (Id +∗ T − T ) = Id + T ·∗ T − T 2 − (∗ T )2 + T ·∗ T ∗ S · S = (Id +∗ T − T ) · (Id + T −∗ T ) = Id + T ·∗ T − T 2 − (∗ T )2 + T ·∗ T De manera que S ·∗ S =∗ S · S, i S ´es normal.
Tenint en compte que ∗ Q = Id +∗ T + T , Q ·∗ Q = (Id + T +∗ T ) · (Id +∗ T + T ) = Id +∗ T + T + T + T ·∗ T + T 2 +∗ T + (∗ T )2 +∗ T · T ∗ Q · Q = (Id +∗ T + T ) · (Id + T +∗ T ) = Id + T +∗ T +∗ T +∗ T · T + (∗ T )2 + T + T 2 + T ·∗ T De manera que Q ·∗ Q =∗ Q · Q, i Q ´es normal.
b) Com que Pc T [x] = (0 − x)4 (s’obt´e f` acilment a partir de la matriu proposada a l’enunciat), si T diagonalitz´es en una certa base N , llavors [T ]N = [0]4 i llavors T = ˜ 0, cosa que entra en contradicci´o amb les dades de l’enunciat. Per tant, T no diagonalitza.
S i Q s´ı diagonalitzen per ser operadors normals.
A m´es, ∗ S = Id +∗ T − T = S i ∗ Q = Id +∗ T + T = Q, de manera que Q ´es hermiti`a (diagonalitza en una matriu de coeficients reals per tenir els valors propis reals) per`o S no (algun valor propi segur que no ´es real, perqu`e si tots fossin reals S seria hermiti` a).
c) Calculem [S]D :  1 i ∗ ∗ ∗ [S]D = [Id + T − T ]D = [Id]D + [T ]D − [ T ]D = I4 + [T ]D − [T ]D =  i i i 1 i i i i 1 i  i i  i 1 I el seu polinomi caracter´ıstic ´es, 1−x i i 1−x Pc S[x] = i i i i 1 i = (1 + 3i − x) i i i i 1−x i 1 1 1−x i i 1−x i i 1 + 3i − x 1 + 3i − x i +f2 + f3 + f4 i 1−x i = i i i i i 1−x 1 i −if1 = (1 + 3i − x) i −if1 1 − x −if1 1 1 0 1−i−x 0 0 0 0 1 0 1−i−x 0 1 + 3i − x 1 + 3i − x i i = 1−x i i 1−x 1 0 = (1 + 3i − x)(1 − i − x)3 0 1−i−x Calculem vectors propis per a cada valor propi: Algweb λ = 1 + 3i  −3i  i [S − (1 + 3i)Id]D =   i i  0 1 ∼ 0 0 i −3i i i i i −3i i   i −3i  i i   ∼  i i  −3i +f1 + f2 + f3 0   1 0 0 −8 4 4 0 1 0 −3 1 1  ∼ ··· ∼  0 0 1 4 −4 0 0 0 0 0 0 0  −1 −1  −1 0 =⇒ i −3i i 0 i i −3i 0   i ·(−i) −3  1 i ·(−i)  ∼ i  ·(−i)  1 0 0  1 1 1 +3f2 −3 1 1  ∼ 1 −3 1 −f2 0 0 0 Ker(S − (1 + 3i)Id) =< (1, 1, 1, 1)D >C λ=1−i  i i  [S − (1 − i)Id]D =  i i i i i i i i i i   1 i  i  ∼ 0 i 0 i 0 1 0 0 0 1 0 0 0  1 0  0 0 =⇒ Ker(S−(1−i)Id) =< (−1, 1, 0, 0)D , (−1, 0, 1, 0)D , (−1, 0, 0, 1)D >C Apliquem Gram-Schmidt als tres vectors propis associats a 1 − i obtenint els vectors u1 , u2 , u3 : (u1 )D = (−1, 1, 0, 0) (u2 )D = (−1, 0, 1, 0) − < (−1, 0, 1, 0)D | (−1, 1, 0, 0)D > (−1, 1, 0, 0) = (−1, 0, 1, 0) − 21 (−1, 1, 0, 0) = 21 (−1, −1, 2, 0) < (−1, 1, 0, 0)D | (−1, 1, 0, 0)D > (enlloc d’aquest vector prendrem (u2 )D = (−1, −1, 2, 0) per comoditat de c`alculs) < (−1, 0, 0, 1)D | (−1, 1, 0, 0)D > < (−1, 0, 0, 1)D | (−1, −1, 2, 0)D > (−1, 1, 0, 0)− (−1, −1, 2, 0) = < (−1, 1, 0, 0)D | (−1, 1, 0, 0)D > < (−1, −1, 2, 0)D | (−1, −1, 2, 0)D > 1 1 = (−1, 0, 0, 1) − (−1, 1, 0, 0) − (−1, −1, 2, 0) = 16 (−2, −2, −2, 6) 2 6 (u3 )D = (−1, 0, 0, 1)− (enlloc d’aquest vector prendrem (u3 )D = (1, 1, 1, −3) per comoditat de c`alculs) Normalitzant tots els vectors propis anteriors obtenim una base ortonormal W com la demanada a l’enunciat: W = 1 1 1 1 (1, 1, 1, 1)D , √ (−1, 1, 0, 0)D , √ (−1, −1, 2, 0)D , √ (1, 1, 1, −3)D 2 2 6 2 3 d) Com que Pc S[x] = (1+3i−x)(1−i−x)3 (l’hem calculat a l’apartat anterior), aleshores det4 (S) ´es el terme independent d’aquest polinomi (que tamb´e ´es el producte dels valors propis): det4 (S) = (1 + 3i)(1 − i)3 = (1 + 3i)(−2 − 2i) = 4 − 8i Calculem det4 (Q): 1 −i det4 (Q) = det4 ([Q]D ) = −i −i i 1 −i −i i i 1 −i i 1 0 i +if1 = 0 i +if1 0 1 +if1 0 1 = (i − 1)(−i − 1) −i − 1 0 1 1 i 0 −i − 1 −i − 1 i i−1 0 −i − 1 i 0 i−1 = −i − 1 i−1 −i − 1 0 i−1 0 −i − 1 i−1 i−1 = 0 1 i − 1 = (i − 1)(−i − 1)(−i − 1 + i − 1) = −4 0 e) Com que Q ∈ LC (En ), Q diagonalitza en una certa base W amb D = [Q]W matriu diagonal (amb els valors propis a la diagonal λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ). Per tant, Algweb det4 (Q) = det4 (D) = λ1 · λ2 · λ3 · λ4 = −4 tr(Q) = tr(D) = λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 4 ∗ Com que [Q]D = [Q]D i D ´es ortonormal, podem√concloure que ∗√Q = Q i per tant Q ´es hermiti` a, amb la qual cosa tots els valors propis s´ on reals. Suposant que λ1 = 2 i λ2 = 2 − 2 i imposant les dues condicions anteriors, resolem el seg¨ uent sistema: I per tant els 4 valors propis s´ on: √ √ 2 · (2 − 2) · λ3 · λ4 = −4 √ √ 2 + 2 − 2 + λ3 + λ4 = 4 √ √ √ √ 2, − 2, 2 + 2, 2 − 2.
...

Tags: